专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
圆锥曲线中焦点弦问题(共16张PPT)
焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式 已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 3： 过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F， 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方） ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆Байду номын сангаас程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.
圆锥曲线焦点弦长公式
圆锥曲线焦点弦长公式
椭圆：
对于椭圆，其标准方程为 a2x2+b2y2=1（其中 a>b）。
焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数，等于椭圆的长轴长，即 2a。
焦点弦长的一般公式比较复杂，但如果是过焦点的直线与椭圆相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=a2k2+b22b2
双曲线：
对于双曲线，其标准方程为 a2x2−b2y2=1。
焦点到双曲线上任意一点的距离之差为常数，等于双曲线的实轴长，即 2a。
对于双曲线的焦点弦长，情况与椭圆类似，但公式会有所不同。
如果过焦点的直线与双曲线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：L=b2−a2k22b2
抛物线：
对于抛物线，其标准方程为 y2=4px（其中 p 是焦距）。
焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
对于抛物线的焦点弦长，如果过焦点的直线与抛物线相交，且直线的斜率存在，设为 k，则弦长 L 可以用以下公式表示：
L=k22p。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有ep NF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式
【实用版】
目录
1.圆锥曲线的基本概念及应用
2.圆锥曲线弦长公式的推导过程
3.圆锥曲线弦长公式的应用实例
4.圆锥曲线弦长公式的简化方法
5.总结
正文
一、圆锥曲线的基本概念及应用
圆锥曲线是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
它们在物理、工程、天文等众多领域都有着广泛的应用。
二、圆锥曲线弦长公式的推导过程
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于 x 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的。
三、圆锥曲线弦长公式的应用实例
以椭圆为例，设椭圆的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，直线方程为：y = kx + b。
将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于 x 的一元二次方程：(1 + k^2)x^2 + 2kbx + (b^2 - a^2) = 0。
利用韦达定理求得交点横坐标之和与横坐标之积，再利用弦长公式计算弦长。
四、圆锥曲线弦长公式的简化方法
利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式，可以进一步简化运算过程。
例如，对于椭圆，弦长公式可以简化为：d(1k)x1-x2，其中 d 为椭圆的焦距。
五、总结
圆锥曲线弦长公式是解决直线与圆锥曲线相交问题的有效方法，通过整体代换，设而不求的思想，可以简化运算过程。
圆锥曲线中的弦长问题知识讲解
圆锥曲线中的弦长问题知识点：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则弦长公式：其中当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径二、例题：1、若椭圆193622=+y x 的弦被点()2,4平分，则此弦所在直线的斜率为 A 、2 B 、 -2 C 、31 D 、21- 2、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于A 、3B 、4C 、23D 、243、过抛物线px y 22=()0>p 的焦点F 作倾斜角为︒45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则P=4、求直线23+=x y 被曲线221x y =截得的线段的长5、过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（A ）3 （B ）2 （C ）6（D ）236、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为22且63e =，过椭圆C 32l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.8、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。
9、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
众所周知,我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线（即二次曲线）。
一般直接用公式解决弦长问题时,计算量大,容易出错,这正是高考命题需要考查学生计算能力的一个重要方面。
我们通常用“设而不求”的方法，可得到其弦长公式。
这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。
本文将给同学们介绍“圆锥曲线弦长万能公式”，用它来解题可以简化运算过程。
假设设直线l的方程为：y=kx m（特殊情况要讨论k的存在性），圆锥曲线为f（x，y）=0(可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线)，把直线l的方程代入二次曲线方程，可化为ax2 bx c=0，（或ay2 by c=0），不妨设直线和二次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），那么：x1，x2是方程ax2 bx c=0的两个实数解，于是有。
圆锥曲线焦点弦公式及应用
圆锥曲线焦点弦公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
圆锥曲线的弦长问题
THANKS
感谢观看
01
弦长是指连接圆锥曲线上的两点的线段的长度。
02
弦长的计算方法有多种，包括公式法、参数方程法、极坐标法
等。
弦长公式是计算弦长的常用方法，适用于不同圆锥曲线和不同
03
坐标系。
02
圆锥曲线弦长的公式与定 理
圆锥曲线的一般弦长公式
圆锥曲线的一般弦长公式为：$|AB| = frac{2sqrt{D^2 - 4F}}{sqrt{1 - k^2}}$，其中 $D$是曲线的一般方程中x和y的最高次项系数 乘积的一半，$F$是常数项，$k$是弦AB的斜 率。
研究弦长问题在工程学中的应用，如桥梁、建筑的设计等。
弦长问题与其他数学知识的结合
弦长问题与线性代数的结合
探讨弦长问题与线性代数之间的关系，如矩阵 变换、线性方程组等。
弦长问题与解析几何的结合
研究弦长问题与解析几何之间的关系，如参数 方程、极坐标等。
弦长问题与微积分的结合
探讨弦长问题与微积分之间的关系，如求曲线长度、面积等。
函数与导数
在解决函数与导数问题时，有时需要利用弦长公式进行计算。
综合题
在高考数学的综合题中，有时会涉及到弦长问题，需要考生综合 运用所学知识进行解决。
05
弦长问题的变式与拓展
弦长问题的变种形式
弦长与角度的关系
研究弦长与圆锥曲线上的角度之间的关系，如弦的中垂线与曲线的 交点等。
弦长与焦点的关系
探讨弦长与圆锥曲线的焦点距离之间的关系，以及在何种情况下弦 长达到最大或最小值。
实际生活中的弦长问题
01
02
03
桥梁设计
在桥梁设计中，需要计算 通过桥墩的弦长，以确保 桥梁的稳定性和安全性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
微点3圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
【微点综述】
过圆锥曲线焦点的直线与该圆锥曲线相交于两点，则称这两个交点间的线段为圆锥曲线的焦点弦．关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程（如 ）代入圆锥曲线方程，化为关于 （或 ）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式 （或 ）求出弦长．这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐．利用圆锥曲线定义及余弦定理等导出圆锥曲线的焦点弦长公式较为简捷．
18．已知 是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 ，则C的离心率为________________
19．已知双曲线 的离心率为 ，过左焦点 且斜率为 的直线交 的两支于 两点．若 ，则 ________________．
20．过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=_____.
（1）椭圆 的焦点弦长公式：
（过左焦点）； （过右焦点），即 ；
（2）椭圆 的焦点弦长公式：
（过上焦点）； （过下焦点），即 ．
例10
10．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，若过点 及 的直线交椭圆于A，B两点，求 ．
2．双曲线的坐标式焦点弦长公式
例11
11．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．
先看例题：
例7
7．已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为 ，则有 ．
【结论5】双曲线的夹角式弦长公式：
已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为 ，则有 ．
一、圆锥曲线倾斜角式焦点弦长公式
1．椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
例1
1．如图， 为椭圆 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，求弦长 ．
【结论1】椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为椭圆 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，则 ；
（2） 为椭圆 的上、下焦点，过 倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，则 ．
【结论3】抛物线的焦点弦长： ．
例5
5．斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握．
由以上讨论可以得到圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式
【结论4】圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：
（3）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（4）抛物线 的焦点弦长公式： ．
【强化训练】
12．已知双曲线 的右焦点为F且斜率为 的直线交C于A、B两点，若 ，则C的离心率为
A． B． C． D．
13．已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则
A．1B． C． D．2
14．过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=_____.
21．过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于P、Q两点，则 的值为__________.
22．已知F为抛物线 的焦点，过F作两条互相垂直的直线 ，直线 与C交A，B两点，直线 与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为____.
23．过抛物线C： 的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M(在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且 ，则点M到直线NF的距离为___________.
设直线 过圆锥曲线焦点 且交圆锥曲线于 两点，若已知直线 倾斜角为 ，设圆锥曲线通径为 ，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式： ．
例6
6．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
二、圆锥曲线夹角式焦点弦长公式
下面先利用双曲线的第二定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷．
（2） 为双曲线 的上、下焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为双曲线的通径，通径长 ．
例3
3．过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
3．抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式
例4
4．如图，抛物线 与过焦点 的直线 相交于 两点，若 的倾斜角为 ，求弦长 ．