单 摆 课时作业(含解析) (30)

第4课时单摆[对点训练]知识点一·单摆及单摆公式的应用1．(多选)单摆是为研究摆的振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A．摆线质量不计B．摆线的长度不伸缩C．摆球的直径比摆线长度短得多D．摆角很小(θ<5°)答案ABCD解析单摆就是一根不可伸长的没有质量的线，下面悬挂一个质点的理想化模型，摆角要求小于5°，故A、B、C、D均正确。

2．天津市某中学生在本校实验室利用一单摆做小角度摆动，通过实验得到摆球振动位移x随时间t变化的关系如图所示，则下列说法正确的是()A．该同学所用单摆摆长约为1 mB．t＝0时刻与t＝1 s时刻摆球的速度相同C．t＝0时刻摆球加速度为零，所受合力为零D．t＝0．5 s时刻摆线的拉力最大答案A解析从图象可以知道，T＝2 s，T＝2π Lg，L＝gT24π2＝1m，所以A正确；t＝0时刻与t＝1 s时刻摆球都处于平衡位置，速度大小相等，但方向相反，故B错误；t＝0时刻摆球处于平衡位置即最低点，单摆实际上在一定的弧度内做圆周运动，如图。

在最低点，合力提供向心力，所以合力和加速度都不为零，故C 错误；t ＝0．5 s 时，在最大位移处，速度为0，重力沿绳子方向的分力G 1与绳子拉力T ′平衡，T ′＝G 1，拉力比重力小，而在平衡位置速度最大，合力提供向心力即T －G ＝m v 2R ，拉力比重力大，故D 错误。

3．如图所示为演示简谐运动的沙摆，已知摆长为l ，沙桶的质量为m ，沙子的质量为M ，M ≫m ，沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的周期为( )A ．周期不变B ．先变大后变小C ．先变小后变大D ．逐渐变大答案 B解析 在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，周期变大；当沙子流到一定程度后，沙摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期变小，故沙摆的周期先变大后变小，故B 正确。

4．两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速度v 1、v 2(v 1>v 2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f 1、f 2和A 1、A 2，则( )A ．f 1＞f 2，A 1＝A 2B ．f 1＜f 2，A 1＝A 2C ．f 1＝f 2，A 1＞A 2D ．f 1＝f 2，A 1＜A 2答案 C解析 由单摆周期公式T ＝2π Lg 知，单摆振动的周期或频率只与摆长和当地重力加速度有关，因此两单摆的频率相等，即f 1＝f 2；由机械能守恒定律有12m v 2＝mgh ，解得h ＝v 22g ，即摆球经过平衡位置的速度越大，达到的高度越高，其振幅也就越大，C 正确。

5．两个单摆在相同的时间内，甲摆动45次，乙摆动60次，则( )A．甲、乙两摆的周期之比为3∶4B．甲、乙两摆的频率之比为9∶16C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶3D．甲、乙两摆的摆长之比为16∶9答案D解析由t＝n甲T甲＝n乙T乙，知甲、乙的周期之比为4∶3，频率之比为3∶4，由周期公式T＝2π lg，有l＝gT24π2，知其摆长之比为l甲∶l乙＝16∶9，故D正确。

6．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成了6次全振动，两摆长之差为1．6 m，则两单摆长l a与l b分别为()A．l a＝2．5 m，l b＝0．9 mB．l a＝0．9 m，l b＝2．5 mC．l a＝2．4 m，l b＝4．0 mD．l a＝4．0 m，l b＝2．4 m答案B解析设两个单摆的周期分别为T a和T b，由题意10T a＝6T b，得T a∶T b＝3∶5。

根据单摆周期公式T＝2π lg，可知l＝g4π2T2，由此得l a∶l b＝T2a∶T2b＝9∶25。

则l a＝925－9×1．6 m＝0．9 m，l b＝2525－9×1．6 m＝2．5 m。

故B正确。

7．将秒摆的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的()A．只将摆球质量变为原来的1 4B．只将振幅变为原来的2倍C．只将摆长变为原来的4倍D．只将摆长变为原来的16倍答案C解析单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B均错误；对秒摆，T0＝2π l0g ＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π lg＝4 s，故l＝4l0，故C正确，D错误。

8．如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球组成了双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的夹角为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为()A．2π lg B．2π2lgC．2π2l cosαg D．2πl sinαg答案D解析这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π l′g，公式中的l′是指质点到悬点的距离，即做圆周运动的半径，也就是这个双线摆的摆长，该双线摆的摆长为l′＝l sinα，所以T＝2πl sinαg，故D正确。

知识点二·用单摆测重力加速度9．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。

(1)现有如下测量工具：A．时钟；B．停表；C．天平；D．毫米刻度尺。

本实验所需的测量工具有________。

(2)如果实验中所得到的T2-L关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________。

(3)由图象可知，小筒的深度h＝________m；当地重力加速度g＝________ m/s2。

答案(1)BD(2)a(3)0．39．86解析(1)测量筒的下端口到摆球球心之间的距离L要用到毫米刻度尺，测单摆的周期需要用停表，所以测量工具选B、D。

(2)设摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2πL＋hg得，T2＝4π2g L＋4π2g h，可知T2-L关系图象为a。

(3)将T2＝0，L＝－30 cm代入上式可得h＝30 cm＝0．3 m；将T2＝1．20 s2，L＝0代入上式可求得g＝π2 m/s2≈9．86 m/s2。

10．根据单摆周期公式T＝2πlg，可以通过实验测量当地的重力加速度。

如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm。

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置大于5度，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期Te．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5度，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝Δt 50答案(1)18．6 mm(2)abe解析(1)根据游标卡尺读数规则，游标卡尺的读数：18 mm＋0．1×6 mm ＝18．6 mm。

(2)摆线要选择细些的，可减小阻力，伸缩性小些的，保证摆长不变，并且尽可能长一些，以方便周期的测量，a正确；摆球尽量选择质量大些、体积小些的，可减小空气阻力的影响，b正确；为了使摆的周期大一些，以方便测量，可增大摆长，而使摆线相距平衡位置有较大的角度，可能导致误差增大，c错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置小于等于5度，在摆球通过平衡位置的同时开始计时，测量单摆运动50个周期的时间Δt，则单摆周期T＝Δt50，d错误，e正确。

知识点三·等效单摆的综合应用11．如图所示，一个半径为R的圆弧形光滑轨道竖直放置，今有两质点P、Q，Q从圆弧轨道的圆心处自由落下(空气阻力不计)，P同时从非常接近O点的B点无初速释放，问P与Q谁先到达O点？答案Q解析Q从圆心处自由下落，设到达O点所需时间为t1，则有R＝12gt 21，所以t1＝2Rg。

P从非常接近O点的B点无初速释放，相当于单摆的运动，圆弧轨道对P的支持力代替了绳的拉力，且偏角可认为小于5°，设它到达O点的时间为t2，则有t2＝T4＝π2Rg。

所以t1＜t2，即质点Q先到达O点。

12．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B 点开始计时，第21次通过B 点时用30 s ；球在最低点B 时，球心到窗上沿的距离为1 m ，当地重力加速度g 取π2(m/s 2)；根据以上数据可得小球运动的周期T ＝________ s ；房顶到窗上沿的高度h ＝________ m 。

答案 3．0 3．0解析 T ＝t n ＝3．0 s ，T ＝T 12＋T 22＝122π1g ＋2π 1＋h g ，解得h ＝3．0 m 。

易错点·单摆的摆长13．如图所示，三根细线在O 点处打结，A 、B 端固定在同一水平面上相距为l 的两点上，构成直角三角形，∠BAO ＝30°，下端C点系着一个小球，已知O 点到小球C 的球心的距离是l ，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动)( )A ．让小球在纸面内振动，周期T ＝2π lgB ．让小球在垂直纸面内振动，周期T ＝2π3l2g C ．让小球在纸面内振动，周期T ＝2π 3l2gD ．让小球在垂直纸面内振动，周期T ＝2π lg易错分析 单摆中的摆长是指从球心到做圆周运动的圆心的距离。

当小球在垂直纸面内振动时，错把OC 间距当成摆长，而错选D 。

答案 A解析 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l ，周期T ＝2πlg ，A 正确，C 错误；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为⎝ ⎛⎭⎪⎫34l ＋l ，周期T ′＝2π ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋1l g ＝π(4＋3)l，故B、D错误。

g[提升训练]一、选择题1．将周期为2 s的秒摆的周期变为1 s，下列措施可行的是() A．将摆球质量减半B．振幅减半C．摆长减半D．摆长减为原来的1 4答案D解析由周期公式T＝2πlg知，单摆的周期只与摆长l和当地的重力加速度g有关，所以要使T由2 s变为1 s，选项中只有D项l变为l4时才能满足，故D正确。

2．一座摆钟走慢了，要把它调准(即把钟摆的周期调小)，正确的做法是() A．缩短摆长B．增长摆长C．增大摆锤的质量D．将摆钟移到重力加速度较小的地方答案A解析摆钟走慢了，是周期T变大了，要校准，要使周期变小；根据单摆的周期公式T＝2πLg，要使周期变小，可以减小摆长，所以A正确，B、C、D 错误。