保险精算模型寿险精算---熊福生
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机动车辆保险索赔次数的精算模型
机动车辆保险索赔次数的精算模型
吴金文
【期刊名称】《保险职业学院学报》
【年(卷),期】2001(000)004
【摘要】@@ 占财产保险业务"半壁江山"的机动车辆保险,一直是各家保险公司竞争的焦点.随着我国保险业的迅猛发展,保险市场主体的迅速增加,竞争也不断加剧,尤其面对加入WTO的挑战和机遇,作为财产保险的各家公司,如何经营管理好机动车辆保险,增强风险意识,及时化解承保风险、理赔风险和财务风险,减少赔付率、提高利润率,已成为大家的共识和共同追求的目标.要实现这一目标其中一个重要的环节必须引起高度重视,即机动车辆保险索赔次数的精算.
【总页数】2页(P56-57)
【作者】吴金文
【作者单位】中国保险管理干部学院
【正文语种】中文
【中图分类】F84
【相关文献】
1.复合索赔次数模型与混合索赔次数模型中的若干结果 [J], 熊福生
2.再论机动车辆保险的精算模型及其应用 [J], 高洪忠
3.一种基于索赔次数和索赔额的奖惩系统 [J], 王奕渲;周叔子
4.基于索赔次数和索赔额的车辆保费计算新模型 [J], 朱建清;赵明清
5.基于时变假设的修正负二项车险索赔频率精算模型 [J], 郁佳敏
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保险精算模型寿险精算---熊福生
Weibull模型(1939)
x kxn
s(x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
死亡力
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这几个常用模型的拟合效果不令人满意。
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很
大的误差
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1, K (x)
整数余命K的概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
死亡概率.
n
qx
dxn lx
lxndxn lxlxn
n pxqxn
以 n mqx 表示x岁的人在 x n ~ x n m 之间死亡的概率
n m qx
d m xn lx
lxn
lxnm lx
n px nm px
lxn d m xn lxlxnm
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
死亡力
定义：在 (x) 时刻一瞬间的死亡率，简记
x
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存
活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)，T(x)=X-x， 如新生儿的剩余寿命T(0)=X。
T的分布函数 t qx ：
t qx Pr(T ( X ) t) pr(x X x t X x)
x kxn
s(x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
死亡力
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这几个常用模型的拟合效果不令人满意。
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很
大的误差
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1, K (x)
整数余命K的概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
死亡概率.
n
qx
dxn lx
lxndxn lxlxn
n pxqxn
以 n mqx 表示x岁的人在 x n ~ x n m 之间死亡的概率
n m qx
d m xn lx
lxn
lxnm lx
n px nm px
lxn d m xn lxlxnm
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
死亡力
定义：在 (x) 时刻一瞬间的死亡率，简记
x
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存
活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)，T(x)=X-x， 如新生儿的剩余寿命T(0)=X。
T的分布函数 t qx ：
t qx Pr(T ( X ) t) pr(x X x t X x)
保险精算培训课件
风险规避策略
针对高风险业务或领域，制定相应的规避策略，如限制承保范 围、提高保费等。
风险缓释措施
对于无法规避的风险，采取相应的缓释措施，如再保险、共同 保险等。
风险管理工具
运用各种风险管理工具，如投资组合优化、资本管理、压力测 试等，有效控制和缓释风险。
风险监控与报告
风险监控体系
建立完善的风险监控体系，实时监测各类风险因素的变 化，以及其对保险公司的潜在影响。
风险管理
随着风险意识的提高，保险精算将在风险识别、评估和控制方面 发挥更大的作用。
法规遵从
随着监管政策的不断变化，保险精算需要更加注重法规遵从，以避 免因违规操作而导致的风险。
提高保险精算水平的建议与策略
掌握精算理论
深入学习精算理论是提高保险精算 水平的基础，了解精算模型和方法 的原理和应用。
数据分析能力
风险报告制度
定期或实时向上级管理部门或董事会报告公司的风险状 况，以确保决策者对风险有充分的了解和认识。
风险调整后的业绩评估
在业绩评估中考虑风险因素，以客观地评价公司的经营 绩效和风险管理水平。
05
保险精算的案例分析
案例一：人身保险精算实例
总结词
该案例通过具体数据展示了如何对人身保 险进行精算，包括对生存分布的假设、利 率和费用率等的考虑。
学习数据分析技能，掌握数据挖掘 和机器学习方法，以便更好地利用 数据进行精算分析。
实践经验积累
通过实际项目经验积累，不断总结 和反思，提高自己的精算实践能力 。
关注行业动态
了解保险市场的最新动态和趋势， 关注监管政策的调整和变化，及时 调整精算策略和方法。
THANK YOU.
二战后，随着非寿险市场的发展和计算机技术的 普及，保险精算得到了更广泛的应用和发展。
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch2
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
f0 (t)
d dt
F0 (t)
lim
dt 0
F0 (t
dt) dt
F0 (t)
• 生存函数与分布函数具有补函数关系, 所以寿命的密度函 数也可以表达为生存函数导函数的负数
f0 (t)
d dt
S0 (t)
lim
dt 0
S0 (t)
S0 (t+dt) dt
人类寿命密度函数示意图
密度函数曲线展示的人类生存规律
• 寿险业务关心的是被保险人购买了寿险产品之后的未来生存状 况。 所以, 寿险研究的主要变量是被保险人的未来寿命。
• 从统计分析的角度而言, 对寿命变量和未来寿命变量的分析是不 一样的
• 寿命分布和未来寿命分布最主要的差别
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
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• 生存函数与分布函数具有补函数关系, 所以寿命的密度函 数也可以表达为生存函数导函数的负数
f0 (t)
d dt
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dt 0
S0 (t)
S0 (t+dt) dt
人类寿命密度函数示意图
密度函数曲线展示的人类生存规律
• 寿险业务关心的是被保险人购买了寿险产品之后的未来生存状 况。 所以, 寿险研究的主要变量是被保险人的未来寿命。
• 从统计分析的角度而言, 对寿命变量和未来寿命变量的分析是不 一样的
• 寿命分布和未来寿命分布最主要的差别
保 险 学
（二）新中国保险事业的创立与发展
1、整顿改造旧的保险业，建立人民保险事业 1949年10月20日中国人民保险公司成立 2、人民保险事业的蓬勃发展（1950-1958） 3、国内保险业务的中断（1958-1979） 4、保险事业发展的新阶段（1980- ）
1991年，中国太平洋保险公司成立（上海），成为我国第 一家全国性、综合性的股份制保险。1992年，中国平安保 险公司成立（深圳）。 1992年，美国国际集团的子公司美国友邦公司在上海开设 分公司，成为中国保险市场上第一家外资公司。 改革开放以来，中国保险事业突飞猛进。
（二）火灾保险的形成与发展 1、15世纪，德国的火灾基尔特 2、1666年，伦敦大火，次年巴蓬 巴蓬开办承保火灾的 巴蓬 营业所，因其使用了差别费率，有“现代保险之 父”的称号。 3、1752年，美国富兰克林在费城创办第一家火灾 保险社。
（三）人寿保险的产生与发展
1、源于欧洲中世纪的基尔特制度。 2、16世纪德国有了儿童强制保险。 3、17世纪法国的“佟蒂法”是养老年金的起源。 3 17 4、1693年哈雷编制了第一张生命表，为现代人寿 保险奠定了数理基础。1762年，由英国人辛浦逊 和陶得森发起的人寿与遗属公平保险社（简称 “老公平”）首次将生命表用于寿险费率的计算， 标志着现代人寿保险的开始。
六、保险学的体系结构与特点 保 险 学
保 险 理 论 务 业 险
保 险 实 务
保 险 市 场
保 险 监 管
保
保险基本理论
保 风 险 与 保 险 功 能 与 同 原 分 则 类 质 性 合 本 的 的 险 基 险 保 的 形 态 险 保 险
保
保险业务
财 产 责 损 失 保 险 险 保 险 险 任 保 人 身 保 再
社会保险课件 第四章 社会保险精算
s a• 1 in 1 in 1
n
n
d
对于n年定期每年一元期末付的年金在n年末终值为：
s a • 1 i n 1 in 1
n
n
i
n年定期年金，每年收付m次，每次1/ m元的期首付年金在n年
末的终值为：
m
s n
第一节 社会保险精算的基础
社会保险费的计算基础 生命表
多减因表
社会保险精算的基本概念
风险与不确定性
风险：指在一定条件下和一定时期内某一事件可能发 生的各种结果的变动程度或可能性大小。既可以指以 外收益的可能性，也可以指以外损失的可能性。一般 来说，人们对损失的关注程度要高于对收益的关注程 度，所以，风险通常指不利事件发生的可能性大小。
商业保险精算与社会保险精算
商业保险是以保险业经营为特点、以利润最大化为目 标的保险事业及其实施机构的总称， 社会保险是借助商业保险分散风险的原理，以全体或 部分公民为保险对象，以分散特定社会风险为目的， 达到稳定社会、促进社会进步等目标的一项社会事业 或福利措施。
社会保险精算主要从事社会保险基金收入的预测、支出的 度量和社会保险基金的运营和管理等业务，为社会保险制 度设计和基金预算平衡提供信息依据和数据支持。 商业保险精算为商业保险发展提供各类技术支持。 两者存在着诸多不同，例如，精算目的不同、精算主体不 同、精算内容不同。 但两者本质上同出一源，社会保险精算在基本原理上与商 业保险精算一致，并在很多方面上直接借鉴商业保险精算 的方法和技术。
《社会保险》课程
第四章 社会保险精算
第一节 社会保险精算的基础 第二节 养老金计划
社会保险精算是以人寿和健康保险精算为基础的，我们首 先要对寿险精算的基本原理进行研究。
寿险精算学(第3版)课件：多状态模型
– 稳定人口：当人口的年龄和工作年数分布稳定不变,总人口稳定增加的人 口称为稳定人口。
• 人口假定
– 封闭人口假定：不考虑新增参保人口的假定称为封闭人口假定。 – 开放人口假定：在长期预测中,需要考虑每年新增参保者人数及其年龄和
工资分布,这时称为开放人口假定。
工资率函数
• 定义工资率函数 (rateofsalaryfunction)为
• 养老金计划的发展是工会与雇主集体谈判的结果
– 美国国家劳资关系委员会规定,雇主有义务和工会协商养老金计划的条款, 如果没有经过正式谈判,雇主不得擅自添加、删除或者修 改养老金计划的 条款。工会在养老金计划建立和设计中的重要地位,促进了养老金计划 的 发展。
养老金计划的类型
• 养老金计划的主要分类有DB计划和DC计划两种
• 常见的养老金待遇计发公式中包括计发系数、 参加养老 金计划的年数和工资等三项。 其中, 工资有在职期间平均 工资、 退休前一年的工资和退休前几年平均工资几种选 择。 有时为了简化测算和管理, 养老金待遇也可以设定为 固定数额或者与参加养老金计划年数相关的固定数额。
与工资水平无关的待遇设计
• 与工资水平无关的待遇设计有两种:
– DC计划预先设定雇主和雇员的缴费水平,缴费积累采用个人账户方式管理。 为了实现养老金待遇目标,DC计划一般有预先设定的待遇目标,在预设待 遇目标下确定预设的缴费水平。缴费水平确定后一般 较长时期内保持不 变。这样,退休时个人账户的积累额取决于缴费水平、缴费期、个人 账户 积累额的投资回报等。退休后养老金的实际水平取决于个人账户积累额 和转换为养老年金时的价格,养老年金的价格又取决于预期寿命、市场利 率和由市场竞争决定的费 用和利润等因素。
54
107102
• 人口假定
– 封闭人口假定：不考虑新增参保人口的假定称为封闭人口假定。 – 开放人口假定：在长期预测中,需要考虑每年新增参保者人数及其年龄和
工资分布,这时称为开放人口假定。
工资率函数
• 定义工资率函数 (rateofsalaryfunction)为
• 养老金计划的发展是工会与雇主集体谈判的结果
– 美国国家劳资关系委员会规定,雇主有义务和工会协商养老金计划的条款, 如果没有经过正式谈判,雇主不得擅自添加、删除或者修 改养老金计划的 条款。工会在养老金计划建立和设计中的重要地位,促进了养老金计划 的 发展。
养老金计划的类型
• 养老金计划的主要分类有DB计划和DC计划两种
• 常见的养老金待遇计发公式中包括计发系数、 参加养老 金计划的年数和工资等三项。 其中, 工资有在职期间平均 工资、 退休前一年的工资和退休前几年平均工资几种选 择。 有时为了简化测算和管理, 养老金待遇也可以设定为 固定数额或者与参加养老金计划年数相关的固定数额。
与工资水平无关的待遇设计
• 与工资水平无关的待遇设计有两种:
– DC计划预先设定雇主和雇员的缴费水平,缴费积累采用个人账户方式管理。 为了实现养老金待遇目标,DC计划一般有预先设定的待遇目标,在预设待 遇目标下确定预设的缴费水平。缴费水平确定后一般 较长时期内保持不 变。这样,退休时个人账户的积累额取决于缴费水平、缴费期、个人 账户 积累额的投资回报等。退休后养老金的实际水平取决于个人账户积累额 和转换为养老年金时的价格,养老年金的价格又取决于预期寿命、市场利 率和由市场竞争决定的费 用和利润等因素。
54
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人寿保险的基本概念及其精算学PPT(31张)
受益人是指人身保险合同中由被保险人或 者投保人指定的享有保险金请求权的人，投保 人、被保险人可以为受益人。
寿险合同的基本内容包括保险人名称和 住所，投保人、被保险人名称和住所，人身 保险受益人名称和住所， 保险责任和责任免 除，保险期间和保险责任开始时间，保险以 及支付办法，保险金赔偿或者给付办法，违 约责任和争议处理，订立合同的具体时间等。
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
•
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。
•
16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。
本课程只讨论人寿保险。 人寿保险是以人的生存和死亡为保险 事故的保险。若被保险人在保险期内死亡 或生存到一定年龄，保险人依照契约规定 给付保险金。
纯粹的生存保险 生存保险
生存年金 人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期）
生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险）
人身意外伤害保险
第0章 总 论
本章主要内容： ● 人寿保险的基本概念 ●精算学及其应用领域 ● 寿险精算学的基本思想 ● 精算师和精算工作
一、 人寿保险的基本概念
1、 基本概念 • 保险是指投保人根据合同约定，向保险人支
付保费，保险人对于合同约定的可能发生的 事故因其发生所造成的财产损失承担保险赔 偿责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病 或者达到合同约定的年龄、期限时承担给付 保险金责任的商业行为。
投保人是指与保险人订立保险合同，并 按照保险合同负有支付保险费义务的人。
寿险合同的基本内容包括保险人名称和 住所，投保人、被保险人名称和住所，人身 保险受益人名称和住所， 保险责任和责任免 除，保险期间和保险责任开始时间，保险以 及支付办法，保险金赔偿或者给付办法，违 约责任和争议处理，订立合同的具体时间等。
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
•
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。
•
16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。
本课程只讨论人寿保险。 人寿保险是以人的生存和死亡为保险 事故的保险。若被保险人在保险期内死亡 或生存到一定年龄，保险人依照契约规定 给付保险金。
纯粹的生存保险 生存保险
生存年金 人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期）
生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险）
人身意外伤害保险
第0章 总 论
本章主要内容： ● 人寿保险的基本概念 ●精算学及其应用领域 ● 寿险精算学的基本思想 ● 精算师和精算工作
一、 人寿保险的基本概念
1、 基本概念 • 保险是指投保人根据合同约定，向保险人支
付保费，保险人对于合同约定的可能发生的 事故因其发生所造成的财产损失承担保险赔 偿责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病 或者达到合同约定的年龄、期限时承担给付 保险金责任的商业行为。
投保人是指与保险人订立保险合同，并 按照保险合同负有支付保险费义务的人。
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生命表
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表
l0 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
lx l0 பைடு நூலகம் s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1, K (x)
整数余命K的概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
t
px
寿命与生存分布
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t)
s(x t) s(x)
Sx (t)
特别： S0 (x) x p0 s(x)
寿命与生存分布
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总 体分布假定（非参数方法）
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
第一章
生存分布 理论基础
寿命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
生命表
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
使用参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
寿命与生存分布
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值(均
值),简记 ex
ex E(K (x)) k k px qxk p k1 x
数：Tx
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表
n dx ：在 x ~ x n 死亡的人数。
d0
d1
dx
l0 l1 l2 lx lx1
1
l0 dx x0
n qx ：x岁的人在 x ~ x n 死亡的概率。
lxqx dx
n
px
lxn lx
：是一个
x ~ x n 的存活函数
生命表
Tx :x岁人群的未来累积生存年数
x1
Tx
Lx1
t0
0
ex , ex 分别表示未来寿命和未来整值寿命的平
均值,是未来存活年龄的平均值,表示未来平
均存活时间.
误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是
使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分 布。
生命表
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成 的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。
第一章
生存分布 理论基础
寿命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
寿命与生存分布
定义 F(x) Pr(X x)
意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。
与密度函数的关系：f (x) dF (x)
dx
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率： Pr(x X z) F(z) F(x)
寿命与生存分布
平均余命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简记
o
d
ex E(T (x)) td (1 t px ) t t pxxtdt t
0
0
0
t px dt
t pxt 0 0 t pxdt 0 t pxdt
剩余寿命的方差
个数：n d x
特别：n=1时，记作 d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
特别：n=1时，记作 Lx
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总
寿命与生存分布
定义 S(x) Pr(X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系： S(x) 1 F(x) 与密度函数的关系：f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x X z) s(x) s(z)
寿命与生存分布
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存
活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)，T(x)=X-x， 如新生儿的剩余寿命T(0)=X。
T的分布函数 t qx ：
t qx Pr(T ( X ) t) pr(x X x t X x)
s(x) s(x t) 1 s(x t)
s(x)
s(x)
Fx (t)
寿命与生存分布
T ( x)的概率密度函数：f x (t)
d t qx dt
对t求导
d (1 S ( x t) )
S ( x)
dt
S '(x t) S '(x t) S (x t)
S ( x)
S(x t) S(x)
S '(x t) S(x t)
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间
去世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
t px qu xt
寿命与生存分布
定义：(x)未来存活的完整年数，简记