中国精算师《寿险精算》章节题库-人寿保险的精算现值(圣才出品)
寿险精算习题及答案
习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4–1 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4–2 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。
II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元） 【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。
第二章人寿保险的精算现值
2020年4月23日星期四
人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。
人寿保险是人身保险的一种。
人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险 。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具 有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人 之间进行风险分散——即由所有的被保险人共同出 资给遭遇风险的少数被保险人——来达到降低突发 风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
• 解 : 设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
勇于开始，才能找到成 功的路
即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 × 4) 元多出 49.35 元 , 即超过歪缴纯保费基金的 12.34% 。这说明 , 最初基 金 需有风险附加费 ( 即安全附加费 ) 的存在 , 即该基金超过保费 总额的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。
1. 按算术数列续年递增的终身寿险 按算术数列{n} 续年递增的连续型的终身寿险 , 可分
称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额
于是
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险
现值随机变量 ZT 的方差是
勇于开始，才能找到成 功的路
2020/4/23
第二章 人寿保险的精算现值
第二章人寿保险的精算现值
100 j1
j 1,2,,100
100 j1
从而可得EZ EZ j 400， VarZ VarZ j 900
• 第二章 人寿保险的精算现值 12
设该项基金在最初时的数额至少是 h 元 , 依题意 , 则
ZE Z h E Z 0 P .95 , r Z Var Z Var h400 近似服从于标准正态分 布，则 1 .645 30 故 h400 30 1 .645 449.35( 元 )
2 T 2 2 1 x :n
1 2 x :n
对于投保连续型的保险 金额为 1 个单位的终身寿险， 其趸缴纯保费是 A t)t pxuxtdt x v t pxuxtdt exp(t 0 0
• 第二章 人寿保险的精算现值 7
记A t)t pxuxtdt x exp(-2
t h h 2 n 0 2
2 记 tt px uxtdt h A x exp
Zh A 其现值随机变量 Z 的方差是 Var x hA x
• 第二章 人寿保险的精算现值
2
15
表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴 纯保费分别为
• 第二章 人寿保险的精算1 , t n v , T n t b ,v v , t 0 ,Z t t T 0 , t n 0 , T n
对于 (x) 投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿 险 , 其有关函数是
•
第二章 人寿保险的精算现值
中国精算师《寿险精算》章节题库-特殊年金与保险(圣才出品)
第12章特殊年金与保险
计算题：
1．假设每年内死亡服从均匀分布，证明式可表示为：
解：由于死亡服从均匀分布，
2．证明中定义的Z和每年支付1的n年延期连续生命年金有相同的方差。
解：每年支付1的n年延期连续生命年金的随机变量可表示为：
3．对部分现金立即偿还年金.设现值随机变量为：
证明对部分现金立即偿还年金，式可写成：
解：直接求期望可得：
4．证明：有：
解：因为
5．假设
证明：
解：
因为Z2是常量，Z1为n年定期死亡保险的现值随机变量，故
6．一份保单从（x）死亡日期开始提供每年为1的连续确定年金。
如死亡发生在保单签发后的15年内，则年金支付到保单签发后的20年年底；如死亡发生在保单签发后15至20年内，则年金支付5年。
保单签发20年后终止。
给出趸缴净保费的表达式。
解：设保单给付现值的随机变量为Z，可得：
7．某份保单规定：如被保险人在20年末还活着时可得1000元；如在保单签发后的20年内死亡，则每月可得10元的收入直至20年末，该收入的第一笔支付在死亡的月末，保单签发20年后则无支付。
给出x岁时的年缴净保费公式。
解：
8．证明：
解：
9．证明：对一个退休收入保单，记a=h＋r，其中h=[a]，0＜r＜1，则在第h＋1保单年度内死亡均匀分布的假设下下式成立：
解：
10．证明：
解：。
中国精算师《寿险精算》章节题库-准备金评估Ⅰ(圣才出品)
第17章准备金评估Ⅰ一、计算题：1．假设10年期定期寿险，保额为递增型，即DB t=10000t，t=1,2，…，10（1）若毛保费为均衡保费，求NP；（2）若前5年的毛保费是后5年毛保费的1/2,求NP t；（3）取x=30岁，利率4%，利用中国经验生命表（1990-1993）CL1（男表）换算表计算（1）和（2）中NP的值；（4）取x=30岁，利率4%，利用中国经验生命表（2000-2003）CL1换算表计算（1）和（2）中NP的值；（5）比较（3）和（4）计算结果的差异，体会死亡率变化对净保费的影响。
解：（5）由（3）和（4）的计算结果可以看出，在同样的利率假设情况下，用经验生命表（1990-1993）计算的均衡净保费明显高于用经验生命表（2000-2003）计算的结果。
其原因是科技进步、医疗水平提高、环境卫生改善，导致了人类寿命持续延长，由此引发的寿险行业经验生命表中死亡率的改善降低了定期寿险的净保费，提高了年金产品的趸缴纯保费。
2．假设单位保额的n年期两全保险，缴费期为h年，修正责任准备金的期限等于缴费期，试推导第t年末（1≤t≤h）的修正责任准备金。
解：设为第一年净保费，为续年净保费，为均衡净保费，根据总保费不变的原则有：3．设某n年期两全保险，保额为1000元，费用分布为：第一年：保费的75%及固定费用50元；续年：保费的10%及固定费用10元。
求第五年PPM准备金的表达形式。
解：设其毛保费为G，根据均衡原理有：4．已知某终身寿险有如下资料:（1）毛保费等于15.0；（2）准备金计算法:一年定期修正法；（3）预定利率等于2.5%。
表1求在31岁出单情况下每千元保额的续年保费和第三年度末的责任准备金。
解：在一年定期修正法下，31岁出单情况下每千元保额的续年保费为:同时第三年度末的责任准备金为:5．假设某一寿险公司在未来五年内，每年均售出一份终身寿险保单。
被保险人全为男性，购买保单时年龄为35岁，保单死亡给付同为10万元，在这五年中没有保单失效或被保险人死亡。
中国精算师《寿险精算》过关必做(含真题)习题集(多种状态转换模型)【圣才出品】
第10章 多种状态转换模型1．某个三状态的马尔可夫链的转移概率由图10-1确定。
图10-1（1）给出转移概率矩阵P 。
（2）假设初始状态向量为计算状态向量（3）如果在时刻10的状态为1，计算在时刻12时处于状态1的概率。
（4）如果在时刻2的状态为2，计算状态向量（5）给出该过程的状态等价类，并说明状态的常返或非常返性。
（6）对非常返状态i ，计算（7）设过程的初始状态为2，计算过程处于状态2的期望次数。
（8）设过程的初始状态为2，计算过程能够到达状态0的概率。
解:（1）由图10-1可知概率转移矩阵P 为：（2）因为,由知： 220P ππ=（3）因为，由得：。
（4）因为，由得：。
（5）从图10-1可以看出，状态0和状态1相通，且状态0和状态1都无法到达状态2，因此该过程的状态等价类为{0，1}和{2}；0,1为常返，2为非常返。
（6）由于状态2与状态0,1不相通，因此。
（7）因为，所以。
（8）因状态2一定可以达到状态0，故。
2．某城市每天内的天气有雨和晴两种状况。
雨天和晴天的变化构成一个马尔可夫链。
如当天是雨天，那么下一天还是雨天的可能性是40％。
如当天是晴天，那么下一天还是晴天的可能性是80％。
（1）给出转移概率矩阵P 。
（2）如当天是雨天，计算三天后是雨天的概率有多大?（3）计算长期来说雨天的概率（即很久以后的某天是雨天的概率）。
（4）随机选择很久以后的不同的两天，那么两天都是雨天的概率有多大?220.750.250111741,0.50.503331212120.250.250.5π⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=,=,, ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭21210P ππ=()2120.750.2500,100.50.500.250.250.5π⎛⎫ ⎪=,=⎪ ⎪⎝⎭242P ππ=()240.750.2500,010.50.500.250.250.5π⎛⎫ ⎪=,=⎪ ⎪⎝⎭20.5r =（5）随机选择很久以后的相邻的两天，那么两天都是雨天的概率有多大（6）若保险人同意对一年以后举行婚礼的某天不会有雨承保。
春季中国精算师《寿险精算》考前押题及详解(一)(圣才出品)
C．0.55
D．0.74
E．0.81
【答案】A
【解析】已知寿命随机变量在（0，100）上服从均匀分布，故其分布函数为：
F
(
x)
=
Pr (
X
x)
=
x 1
0 100
dx
=
x 100
故 Pr（55<X≤81）=F（81）－F（55）=（81－55）/100=0.26。
3．30 岁的人购买保额为 1000 元的特殊的 35 年期两全保险，已知条件如下： （1）在其购买保险时，其两个孩子的年龄分别是 3 岁和 6 岁； （2）特殊约定为：如果被保险人死亡时两个孩子的年龄都小于 11 岁，那么给付额为 3000 元；如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于 11 岁，那么给付额为 2000 元； （3）在被保险人死亡时立即给付保险金； （4）μ30＋t=0.04，t≥0； （5）δ=0.06； （6）35E30=0.0302。 则此保单的趸缴纯保费为（ ）元。 A．638 B．766
定期保险（5 年内两个孩子都小于 11 岁），故
此保单的趸缴保险费为：
( ) ( ) 1000(A 30: 35
+ A1 30:8
+
A1 30:5
)
=
1000
35
exp
0
− t
exp
−30+t t
30+t dt + E 35 30
+
8 0
exp
(
−
t
)
exp
(
−30+t
t
)
30+t
dt
+
设，而且
中国精算师《寿险精算》章节题库-资产份额定价法(圣才出品)
第14章资产份额定价法一、计算题1．推导下列公式：解：根据资产份额的计算公式有2．推导公式以及并证明当i t=j t时，这两公式分别变为解：3．某终身寿险的信息如下：求新的保费，使得投资回报率（ROI）等于5%。
解：由于：则根据上题的结论可知，所以，新的保费为二、简答题1．简述单位保额有效保单的含义及其和新签发时保单数量的关系。
答：（1）单位保额一般表述为每1000元保险金额。
把经过这种转换后的保单称为单位保额有效保单。
（2）单位保额有效保单数量和新签发时保单数量的关系为：单位保额有效保单数量=新签发时保单数量×件均大小×生存概率例如，同时新签发了100张保额为5000元的保单，在一定年数后还剩余40张保单，如使用单位保额的概念来表述，等同于签发了500张单位保额保单，在一定年数后还剩余200张单位保额有效保单。
2．简述常用的利润衡量指标。
答：比较常用的利润指标有：（1）利润边际。
利润边际为利润现值与保费现值之比，即：（2）投资回报率。
使所有年度的利润现值之和等于0的收益率。
（3）盈亏平衡年。
使得累积盈余大于0且之后不再变为负值的第1个年份。
（4）特定年数（如20年或30年）后，资产份额与准备金的比例关系。
3．讨论如何在定价中考虑通货膨胀率。
答：在定价过程中使用到的死亡给付费用、退保费用和红利发放费用假设通常来自对过去的经验数据分析的结果，由于通货膨胀因素的存在，在未来年度发生的固定金额的费用，应随着预计的通货膨胀率逐年增大。
通货膨胀一般可表示为利率的一个固定比例，或表示为利率的函数。
在费用率假设中，针对通货膨胀率单独假设后，就可在对现金流进行动态分析时，很容易地通过变动通货膨胀假设进行分析。
4．讨论如何在本章的实例中增加定期的生存给付，并体现在定价中。
答：保险给付一般包括死亡给付、伤残给付、疾病给付、生存给付、退保给付、满期给付等，在考虑定期生存给付时，实例中的期末基金余额也应扣除对应的生存给付金额，同时保费收入相应进行调整，其他计算与实例类似。
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第2章人寿保险的精算现值
选择题
1．30岁的人购买保额为1000元的特殊的35年期两全保险，已知条件如下：
（1）在其购买保险时，其两个孩子的年龄分别是3岁和6岁；
（2）特殊约定为：如果被保险人死亡时两个孩子的年龄都小于11岁，那么给付额为3000元；如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于11岁，那么给付额为2000元；
（3）在被保险人死亡时立即给付保险金；
（4）μ30＋t=0.04，t≥0；
（5）δ=0.06；
（6）35E30=0.0302。
则此保单的趸缴纯保费为（）元。
[2008年真题]
A．638
B．766
C．777
D．796
E．800
【答案】D
【解析】由题意可知，该保险相当于保额1000元的35年期两全保险＋1000元保额的8年期定期保险（5-8年内被保险人只有一个孩子小于11岁）＋1000元保额的5年期定期保险（5年内两个孩子都小于11岁），故
此保单的趸缴保险费为：
=796（元）
2．30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度t 的保额为bt ，已知条件为：q30=0.1，b2=10－b1，q31=0.6，i=0 ，Z表示给付现值随机变量，则使得Var（Z）最小的b1的值为（）。
[2008年真题]
A．0.0
B．5.0
C．6.8
D．8.6
E．8.9
【答案】C
【解析】v=1，由题意得：
Pr [K（30）=0]=q30=0.1，
Pr [K（30）=1]=p30q31=（1－0.1）×0.6=0.54，
所以E（Z）=b1×0.1＋（10－b1）×0.54，E（Z）2= ×0.1＋（10－b12）×
0.54，
故Var（Z）=E（Z2）－（E（Z））2= －6.048b1＋24.84。
故当b1=6.048/（2×0.4464）=6.8时，Var（Z）最小。
3．50岁的人购买保险金在死亡时给付的特殊的递增型终身寿险，Z表示给付现值随机变量，已知：
b t=1＋0.1t，v t=（1＋0.1t）－2，t p50·μ（50＋t）=0.02 ，0≤t<50
则Var（Z）的值为（）。
[2008年真题]
A．0.01
B．0.02
C．0.03
D．0.04
E．0.05
【答案】D
【解析】给付现值函数Z=bt·vt=1＋0.1t－1 ，
所以
E（Z）=
=0.35835189
E（Z2）=
=0.16666667
故Var（Z）=E（Z2）-[E（Z）]2=0.04。
4．已知：=0.9439,A35=0.13 ，p35=0.9964 ，（IA）35=3.71 。
则IA36 =（）。
[2008年真题]
A．3.81
B．3.88
C．3.94
D．4.01
E．4.12
【答案】A
【解析】由已知，有：=v·p35＋v·q35=v=0.9439。
由（IA）35-A35=1E35×（IA）36=v·p35×（IA）36，
得：IA36=[IA35－A35]／（v·p35）=3.81
5．设l x＝100－x，0≤x≤100，且i＝0.05。
则=（）。
A．0.38
B．0.39
C．0.40
D．0.41
E．0.42
【答案】D
【解析】由已知，得：
=0.41
6．设A x=0.25，A x＋1=0.26，l x=100，l x＋1=95，则利率i=（）。
A．15%
B．16%
C．17%
D．18%
E．19%
【答案】E
【解析】由A x=vq x＋vp x A x＋1，p x= ，q x= ，
有l x（1＋i）A x=d x＋l x＋1A x＋1，
故i＝18.8%。
7．已知某生存模型，如表所示，对（90）考虑离散保险，假设b1＝10，b2＝5，b3＝2，i＝0.06，对现值随机变量Z=b K＋1·v K＋1，计算Var（Z）=（）。
A．8.91
B．9.85
C．10.23
D．11.45
E．12.70
【答案】B
【解析】P（K=0）=q90=1－l91/l90，P（K=1）=1|q90=l91/l90－l92/l90，P（K=2）=2|q90=l92/l90－l93/l90，
故
所以Var（Z）=32.554－4.7652=9.85。
8．年龄为（x）的100人，每人投保金额为10单位，购买连续型终身人寿保险，为保证以97.5%概率使得保费够用，假设μ＝0.04，δ＝0.06，正态分布97.5%的分位数为1.960，则开始时最低保费总额为（）。
A．449
B．459。