数列测试题(附答案)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(理)(2011·江西南昌市调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )

B ．1

C ．2

D ．3 [答案] C

[解析] 设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d ， ∴{S n n }是首项为a 1，公差为d

2的等差数列， ∵S 33－S 22＝1，∴d

2＝1，∴d ＝2.

2．(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1

3(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )

A ．－5

B ．－1

5 C ．5 [答案] A

[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n

的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．

[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，

∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 1

3(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.

3．(理)(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )

A ．ab ＝AG

B ．ab ≥AG

C ．ab ≤AG

D ．不能确定

[答案] C

[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b

2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.

[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．

4．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4

a 4＋a 5

的值为( )

或

5－12

[答案] C

[解析] ∵a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，

∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝

5－12.

5．(2011·北京日坛中学月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2011项的和S 2011等于( )

A ．1341

B ．669

C ．1340

D ．1339 [答案] A

[解析] 列举数列各项为：1,1,0,1,1,0，…. ∵2011＝3×670＋1，∴S 2011＝2×670＋1＝1341.

6．(理)(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )

A ．－43

B ．－32

C ．－23或－32

D ．－34或－43

[答案] C

[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24,36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－2

3.

7．(理)(2010·西南师大附中月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15

a 15

中最大的是( )

[答案] B

[解析] 由于S 15＝15a 8>0，S 16＝

16a 1＋a 16

2

＝8(a 8＋a 9)<0，所以可得a 8>0，a 9<0.

这样S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9<0，S 10a 10<0，…，S 15

a 15

<0，…

而0a 2>…>a 8>0，所以在S 1a 1

，S 2a 2

，…，S 15a 15

中最大的是S 8

a 8

，故选B.

8．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A

2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列

的( )

A ．充分非必要条件

B ．充要条件

C ．必要非充分条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] sin A cos A ＝2cos C ＋cos A

2sin C －sin A ?2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ?2cos(A ＋C )＋1＝0?

cos B ＝12?B ＝π3?A ＋C ＝2B ?A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A

不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π

6.故是充分非必要条件．故选A.

9．(理)(2010·海口调研)已知F 1、F 2分别是双曲线

x 2－

y 2

24＝1的左、右焦点，P 是双曲线

上的一点，若|PF 2|、|PF 1|、|F 1F 2|是公差为正数的等差数列，则△F 1PF 2的面积为( )

A ．24

B ．22

C ．18

D ．12 [答案] A

[解析] 由题意可知|PF 2|<|PF 1|，所以点P 在双曲线的右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 2|＋|F 1F 2|＝2|PF 1|，即|PF 2|＋10＝2|PF 1|，联立解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，所以△F 1PF 2是以点P 为直角顶点的直角三角形，所以面积为1

2×8×6＝24.

10.(理)(2011·海南嘉积中学模拟、四川广元诊断)若数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1

a n

且a 1＝2，

则a 2011等于( )

A ．1

B ．－1

2 C ．2 [答案] C

[解析] a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝1

2，a 6＝－1，…依次类推，数列{a n }的周期是3，而2011＝3×670＋1，故a 2011＝a 1＝2.

11．(理)(2011·豫南九校联考)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )

A ．1033

B ．1034

C ．2057

D ．2058 [答案] A

[解析] a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －

1＝2n －

1，

ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋1×210－1

2－1

＝210＋9＝1033.

12．(理)(2010·青岛质检)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2010OB →

，三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于( )

A ．1005

B ．1006

C ．2010

D ．2012 [答案] A

[解析] 由条件知数列{a n }为等差数列，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 2010＝1，故有S 2010

＝2010a 1＋a 2010

2

＝1005.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x 1，x 2,7成等差数列，1，y 1，y 2,8成等比数列，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中垂线方程是________．

[答案] x ＋y －7＝0

[解析] 由条件得x 1＝3，x 2＝5，y 1＝2，y 2＝4，∴MN 的中点(4,3)，k MN ＝1，∴MN 的中垂线方程为y －3＝－(x －4)，即x ＋y －7＝0.

14．(理)(2010·无锡模拟)已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )为坐标的点在曲线y ＝1

2x (x ＋1)上，则数列{a n }的通项公式为________．

[答案] a n ＝n

[解析] 由条件知，S n ＝12a n (a n ＋1)，∴S n －1＝12a n －1(a n －1＋1) (n ≥2)，两式相减得a n ＝1

2(a 2n

－a 2n －1＋a n －a n －1)，整理得a n －a n －1＝1，∵a 1＝1，∴a n ＝n .

15．(2011·苏北九校联考)已知α∈?

???0，π2∪?

??

?π2，π，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，

则α的值为________．

[答案] 2π

3

[解析] 由题意，sin 22α＝sin α·sin4α，∴sin 22α＝2sin α·sin2α·cos2α，即sin2α＝2sin α·cos2α，

∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos 2α－1＝cos α.∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. ∴cos α＝－12，∴α＝2π3.

16．(理)(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c 的值为________.

[答案] 22

[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q ＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为4＋6

2＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a ＝1×23＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(理)(2011·四川广元诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n .

①求数列{a n }和{b n }的通项公式；

②设c n ＝14a n ·13b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式． [解析] ①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2) 而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式 ∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋)

又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ， ∴b n b n －1＝1

2

∴{b n }是公比为1

2的等比数列， 而b 1＝T 1＝3－b 1，∴b 1＝3

2， ∴b n ＝32????12n －1＝3·???

?12n (n ∈N ＋)．

②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3????12n

＝(n －1)???

?12n ， ∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n

＝????122＋2·????123＋3·????124＋…＋(n －1)·???

?12n ∴12R n ＝????123＋2·????124＋…＋(n －2)????12n ＋(n －1)???

?12n ＋1

∴12R n ＝???

?122＋????123＋…＋????12n －(n －1)·???

?12n ＋

1，

∴R n ＝1－(n ＋1)???

?12n . 18．(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .

(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；

(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．

[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝16

27.

(2)???

b n ＋1＝1

3S n ①

b n

＝1

3S

n －1 ②

①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝4

3b n ， ∵b 2＝13，∴b n ＝13·???

?43n －

2 (n ≥2)

∴b n ＝????

?

1 n ＝1

13·???

?43n －2

n ≥2.

(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比???

?432的等比数列，

∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－43

2n

]1－???

?432 ＝37[(4

3)2n －1]．

19．(理)(2011·黑龙江林口四中)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，

其中n ＝1,2,3，….

(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；

(2)设T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n 及数列{a n }的通项．

[分析] 从题设入手，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上可得，a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，两边同时加1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，取对数即可解决问题．由第(2)问的形式知可由(1)问继而求出1＋a n 的表达式．则T n 可求．

[解析] (1)由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2.∵a 1＝2，∴a n ＋1>1，两边取对数得：

lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即

lg 1＋a n ＋1

lg 1＋a n

＝2.

∴{lg(1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg(1＋a n )＝2n －

1·lg(1＋a 1) ＝2n －

1·lg3＝lg32n －

1 ∴1＋a n ＝32n －

1(*)

∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·…·32n －

1＝31＋2＋22＋…＋2n －

1＝32n －1. 由(*)式得a n ＝32n －1－1.

20．(理)(2011·安徽河历中学月考)设曲线y ＝x 2＋x ＋2－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }的首项a 1＝－m ，(其中常数m 为正奇数)且对任意n ∈N ＋，点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)均在直线l 上．

(1)求出{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝na n (n ∈N ＋)，当a n ≥a 5恒成立时，求出n 的取值范围，使得b n ＋1>b n 成立． [解析] (1)由y ＝x 2＋x ＋2－ln x ， 知x ＝1时，y ＝4， 又y ′|x ＝1＝

???

???2x ＋1－1x x ＝1＝2，

∴直线l 的方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2， 又点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)在l 上，a 1＝－m ， ∴a n ＋1－a n ＋m ＝2n .

即a n ＋1－a n ＝2n －m (n ∈N ＋)， ∴a 2－a 1＝2－m ， a 3－a 2＝2×2－m ， …

a n －a n －1＝2×(n －1)－m .

各项迭加得，a n ＝2(1＋2＋…＋n －1)－(n －1)m ＋a 1＝n 2－(m ＋1)n .

∴通项a n ＝n 2－(m ＋1)n (n ∈N ＋) (2)∵m 为奇数，∴m ＋1

2为整数，

由题意知，a 5是数列{a n }中的最小项，∴m ＋1

2＝5， ∴m ＝9，令f (n )＝b n ＝n 3－(m ＋1)n 2＝n 3－10n 2， 则f ′(n )＝3n 2－20n ， 由f ′(n )>0得，n >20

3(n ∈N ＋)，

即n >20

3(n ∈N ＋)时，f (n )单调递增，即b n ＋1>b n 成立，∴n 的取值范围是n ≥7，且n ∈N ＋. 21．(理)(2011·辽宁丹东四校协作体联考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝???

?1＋cos 2n π2a n

＋sin 2n π

2，n ＝1,2,3，….

(1)求a 3，a 4，并求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a 2n －1a 2n

，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .证明：当n ≥6时，|S n －2|<1

n .

[分析] 考虑到递推关系式中的sin n π2和cos n π

2，可以对n 分偶数和奇数进行讨论，从而求得数列{a n }的通项公式，然后再求出数列{b n }的前n 项和公式，用数学归纳法进行证明．

[解析] (1)因为a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝(1＋cos 2π2)a 1＋sin 2π

2＝a 1＋1＝2， a 4＝(1＋cos 2π)a 2＋sin 2π＝2a 2＝4. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＋1＝[1＋cos 22k －1π

2]a 2k －1＋sin 2

2k －1π

2

＝a 2k －1＋1， 即a 2k ＋1－a 2k －1＝1. 所以a 2k －1＝k .

当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋2＝????1＋cos 22k π2a 2k ＋sin 22k π2＝2a 2k .

所以a 2k ＝2k .

故数列{a n }的通项公式为 a n

＝???

n ＋1

2 n ＝2k －1k ∈N *

2n

2 n ＝2k k ∈N

*

(2)由(1)知，b n ＝a 2n －1a 2n

＝n

2n ，

S n ＝12＋222＋323＋…＋n

2n ，① 12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2

n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1

＝12????1－????12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n

－n 2n ＋1. 所以S n ＝2－12

n －1－n

2n ＝2－n ＋22n .

要证明当n ≥6时，|S n －2|<1

n 成立，只需证明当n ≥6时，n n ＋22n <1成立． (1)当n ＝6时，6×6＋226

＝4864＝34<1成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥6)时不等式成立，即k k ＋22k <1.则当n ＝k ＋1时，k ＋1k ＋3

2k ＋1＝k k ＋22k

×k ＋1k ＋32k k ＋2

k ＋2·2k

<1， 由(1)、(2)所述可知，当n ≥6时，n n ＋22n <1. 即当n ≥6时，|S n －2|<1

n 成立．

22．(理)(2011·湖南长沙一中期末)已知数列{a n }和等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝4，a 2＝b 2

＝2，a 3＝1，且数列{a n ＋1－a n }是等差数列，n ∈N *.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)是否存在k ∈N *，使得a k －b k ∈????12，3若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)易知b n ＝4·???

?12n －1＝???

?12n －

3，

∵a 2－a 1＝－2，a 3－a 2＝－1，… ∴a n ＋1－a n ＝－2＋(n －1)＝n －3. ∴a n －a n －1＝(n －1)－3，

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝n n －1

2－3(n －1)＋4 ＝n 2－7n ＋142

. (2)设c n ＝a n －b n ＝n 2－7n ＋142

－???

?12n －3.显然，当n ＝1,2,3时，c n ＝0.

由c n ＋1－c n ＝n 2＋2n ＋1－7n －7＋142－n 2－7n ＋142

－????12n －2＋????12n －3＝n －3＋???

?12n －2.

当n ＝3时，c 4－c 3＝12，∴c 4＝a 4－b 4＝12； 当n ＝4时，c 5－c 4＝1＋14＝54，∴c 5＝a 5－b 5＝7

4； 当n ＝5时，c 6－c 5＝2＋???

?123＝17

8，∴c 6＝a 6－b 6＝318>3；

当n ≥6时，c n ＋1－c n ＝n －3＋???

?12n －

2>3恒成立；

此时c n ＋1＝a n ＋1－b n ＋1>3＋c n >3恒成立．

∴存在k ＝5，使a k －b k ∈???

?12，3.、