高中数学经典错因正解汇总：第七章平面解析几何初步
第七章平面解析几何初步
§7.1直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有
d=|AB|=2
21221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或
|AB|=|y 2-y 1|.
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A
为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是????
??
?++=++=λ
λλλ11212
1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是???
????
+=+=22
21
21y y y x x x .
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，
tan θ=2
11
21k k k k +-，
当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1
（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，
B 2都不为零时，有以下结论：
①l 1∥l 2?
21A A =21B B ≠2
1C C
②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交?
21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合?
21A A =21B B =2
1
C C 7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离
d =
2
2
00|
|B
A C By Ax +++；
（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离
d=
2
2
21||B
A C C +-.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；
（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42
2-+＞0），圆心坐标为
（-2D ，-2E ），半径为r =2
422F E D -+.
二、疑难知识
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .
???=++++=++0
022F Ey Dx y x C By Ax ??→?消元
一元二次方程ac
b 42-=??→?△判别式??
?
???相离△相切△相交△000 （2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为 d=
2
2|
|B A C Bb Aa +++?→???
????相交相切相离r d r d r d
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O 1O 2|>r 1+r 2?两圆外离； |O 1O 2|=r 1+r 2?两圆外切；
| r 1-r 2|<|O 1O 2| ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为: 1=+b y a x ,又过P(2,3),∴13 2=+b a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 1=+b y a x 的条件是:a ≠0且 b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形. 正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 错解：设动点P 坐标为(x,y).由已知3,)3()1(2 2-+-=y x x 化简3x =x 2 -2x+1+y 2 -6y+9 . 当x ≥0时得x 2-5x+y 2 -6y+10=0 . ① 当x ＜0时得x 2+ x+y 2 -6y+10=0 . ② 错因：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 (x-52 )2+(y-3)2 = 214 ① 和 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34 ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 错解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， ∴当m=1或m=-3时，x 2和y 2 项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆 错因：A=C ，是Ax 2+Cy 2 +F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是： A=C ≠0且F A ＜0. 正解：欲使方程Ax 2 +Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 错解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34 L ′的方程为y+3＝3 4 (x+3) 即4x-3y+3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解 正解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： （1） 过原点；（2）有最小面积. 解：设所求圆的方程是：()0421422 2 =+-++-++y x y x y x λ 即：()()0412222 2 =+++-+++λλλy x y x （1）因为圆过原点，所以041=+λ，即4 1 - =λ 故所求圆的方程为：02 7 472 2 =-+ +y x y x . （2） 将圆系方程化为标准式，有： ()5452452222 2 2 +??? ??+=--+??? ? ?++λλλy x 当其半径最小时，圆的面积最小，此时5 2 - =λ为所求. 故满足条件的圆的方程是5458542 2 =??? ??-+??? ? ? +y x . 点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待 定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小. ［例6］ 已知点A(11,y x )，B(22,y x )（21x x ≠0）是抛物线)0(22 >=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量,满足｜+｜＝｜-｜.设圆C 的方程为 0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x （1）证明线段AB 是圆C 的直径； （2）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为 5 5 2时，求p 的值. 解：（1）证明 ∵｜OB OA +｜＝｜OB OA -｜，∴（OB OA +）2＝（OB OA -）2 ， 整理得：OB OA ?＝0 ∴21x x ＋21y y ＝0 设M （y x ,）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则MB MA ?＝0 即 ))((21x x x x --＋))((21y y y y --＝0 整理得：0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径. （2）设圆C 的圆心为C （y x ,），则 ??? ??? ?+=+=22 2121y y y x x x ∵12 12px y =，)0(222 2>=p px y ∴22 221214p y y x x = 又∵21x x ＋21y y ＝0 ，21x x ＝－21y y ∴－21y y 22 2 214p y y = ∵21x x ≠0，∴21y y ≠0 ∴21y y ＝－42 p 21212 22122212141)2(41)(412y y p y y y y p y y p x x x -++=+=+= ＝ )2(1 22p y p + 所以圆心的轨迹方程为2 2 2p px y -= 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为ｄ，则 ＝ p p p y y p y p y x 5| )(|5 |2)2(1|5 | 2|2222 +-= -+= - 当y ＝p 时，ｄ有最小值5 p ，由题设得 5 p ＝ 5 5 2 ∴p ＝2. 四、典型习题 1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ） A.π6 B.π4 C.π3 D.π 2 2.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2 +y 2 =4相切 ，那么a 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2 +y 2 ＝３，则 x y 的最大值为： . 4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2 -6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为 3 1 . （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率； （2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程； （3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程. 5.如图，已知圆C ：（x+4）2+y 2 =4。圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切。圆 D 与y 轴交于A 、B 两点，点P 为(-3，0). （1）若点D 坐标为（0，3），求∠APB 的正切值； （2）当点D 在y 轴上运动时，求∠APB 的正切值的最大值； （3）在x 轴上是否存在定点Q ，当圆D 在y 轴上运动时，∠AQB 是定值？如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，说明理由 . §7.2圆锥曲线 一、知识导学 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，122 22=+b x a y （0>>b a ） 3椭圆的第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数 e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 4．椭圆的准线方程 对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 2 2:= 5.焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2 222=-=-=（焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6椭圆的参数方程(sin cos 为参数??? ? ??==b y a x 7．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫做焦距 8．双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0> b )； 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b x a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,有关系式2 2 2 b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,, 9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2 x 、2 y 项的分 母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的 正负来判断焦点所在的位置，即2 x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2 y 项的系数是正 的，那么焦点在 y 轴上 10．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图象，从纵的方向来 看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那 样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a , a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b y a x ） （4）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：112 2 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越 大，它的开口就越阔 11． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 12．双曲线的准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点 )0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数） 对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F 对应着上准线c a y l 2 1:=；相对于下焦点 ),0(2c F -对应着下准线c a y l 2 2:-= 抛物线 13 抛物线定义： 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的 焦点，定直线l 叫做抛物线的准线二、疑难知识 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲 线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ± =)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1) ()(2 2 22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 3．共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 4．抛物线的几何性质 （1）范围 因为p ＞0，由方程()022 >=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0， 所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点． （4）离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 19抛物线的焦半径公式： 抛物线)0(22>=p px y ，0 022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22 >-=p px y ，0 022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22 >=p py x ，0 022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22 >-=p py x ，0 02 2y p p y PF -=-= 三、经典例题 [例1]设双曲线的渐近线为：x y 2 3 ± =，求其离心率. 错解：由双曲线的渐近线为：x y 23±=，可得：23=a b ，从而213 122=+==a b a c e 剖析：由双曲线的渐近线为x y 2 3 ±=是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y 轴上时， 3 2 =a b ，故本题应有两解，即： 213122= +==a b a c e 或313. ［例2］设点P(x,y)在椭圆442 2=+y x 上，求y x +的最大、最小值. 错解：因442 2=+y x ∴442≤x ，得：11≤≤-x ，同理得：22≤≤-y ，故33≤+≤-y x ∴最大、最小值分别为3,-3. 剖析：本题中x 、y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件442 2 =+y x 的约束.当x=1时,y 此时取不到最大值2,故x+y 的最大值不为 3.其实本题只需令θθsin 2,cos ==y x ，则 )sin(5sin 2cos ψθθθ+=+=+y x ，故其最大值为5，最小值为5-. ［例3］已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ,离心率2=e ,求双曲线方程. 错解一： .60,40,10,422222 =-=∴=∴===a c b a c c a x 故所求的双曲线方程为.160 402 2=-y x 错解二： 由焦点)0,10(F 知,10=c .75,5,2222=-==∴== a c b a a c e 故所求的双曲线方程为 .175 252 2=-y x 错因： 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法. 解法一： 设),(y x P 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ， 离心率2=e ，由双曲线的定义知 .2|4|)10(22=-+-x y x 整理得 .148 16)2(2 2=--y x 解法二： 依题意，设双曲线的中心为)0,(m , 则 ?????????==+=+. 21042 a c m c m c a 解得 ?????===.284m c a ,所以 ,4816642 22=-=-=a c b 故所求双曲线方程为 .148 16)2(2 2=--y x ［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率2 3 =e ，已知点)23,0(P 到这个 椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程. 错解：依题意可设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 则 43 1222 22222 =-=-==a b a b a a c e ， 所以 41 22=a b ，即 .2b a = 设椭圆上的点),(y x 到点P 的距离为d ， 则 2 2 2 )2 3 (-+=y x d . 34)2 1 (349 3)1(222222 +++-=+ -+-=b y y y b y a 所以当2 1- =y 时，2 d 有最大值，从而d 也有最大值。 所以 22)7(34=+b ，由此解得：.4,122==a b 于是所求椭圆的方程为.14 22 =+y x 错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当2 1- =y 时，2 d 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y 到的取值范围.事实上，由于点),(y x 在椭圆上，所以有b y b ≤≤-，因此在求2 d 的最大值时，应分类讨论. 正解：若2 1< b ，则当b y -=时，2 d （从而d ）有最大值. 于是,)2 3()7(22 +=b 从而解得矛盾与21,21237<>-=b b . 所以必有21≥b ，此时当2 1-=y 时，2 d （从而d ）有最大值， 所以22)7(34=+b ，解得.4,122==a b 于是所求椭圆的方程为.14 22 =+y x ［例5］从椭圆122 22=+b y a x ,(a >b>0)上一点M 向x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F 1， A 、 B 分别是椭圆长、短轴的端点，AB ∥OM 设Q 是椭圆上任意一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2 与椭圆交于另一点P ，若⊿F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程 解：本题可用待定系数法求解 ∵b=c, a =2c ，可设椭圆方程为1222 22=+c y c x ∵PQ ⊥AB,∴k PQ =- 21==b a k AB ，则PQ 的方程为y=2(x-c)， 代入椭圆方程整理得5x 2 -8cx+2c 2 =0， 根据弦长公式，得c PQ 5 2 6＝ , 又点F 1到PQ 的距离d= 3 6 2 c ∴== ?d PQ S PQ F 2112 5 34c ,由,2532053422==c c ，得 故所求椭圆方程为 25 502 2=+y x ［例6］已知椭圆：19 22 =+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π 的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长 解：a=3,b=1,c=22; 则F （-22，0） 由题意知：)22(3 1 :+= x y l 与1922 =+y x 联立消去y 得： 01521242=++x x 设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x 41521= ?x x ，2 23221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点， 所以|AB|=215183 24)(3 2||3 1 12122121=-= -+?= -?+x x x x x x 点评：也可利用“焦半径”公式计算［例7］设P 是椭圆)1(12 22>=+a y a x 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求｜PQ ｜ 的最大值. 解： 依题意可设P （0,1），Q （y x ,），则｜PQ ｜＝2 2)1(-+y x ，又因为Q 在椭圆上，所 以，)1(222y a x -=，｜PQ ｜2 ＝12)1(222+-+-y y y a ＝22212)1(a y y a ++-- ＝2 2 222 111)11)(1(a a a y a -+---- -. 因为||y ≤1，a ＞1，若a ≥2，则|11|2a -≤1，当2 11 a y -=时，｜PQ ｜取最大值 1 1 2 22--a a a ；若1＜a ＜2，则当1-=y 时，｜PQ ｜取最大值2. ［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为5 3 的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN =4，求双曲线方程解：设所求双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，由右焦点为（2，0）知C=2，b 2=4-a 2 则双曲线方程为142 222=--a y a x ，设直线MN 的方程为：)2(53-=x y ，代入双曲线方程整理得：(20-8a 2 )x 2 +12a 2 x+5a 4 -32a 2 =0 设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2),则2 22182012a a x x --=+， 2 2 421820a x x -= ∴ ()21212 4531x x x x MN -+? ???? ??+= 48203254820125 8 2242 22=--?-??? ? ??--? =a a a a a 解得 12 =a ，142 =-=∴b 故所求双曲线方程为：3 2 2 =-y x 点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握 四、典型习题 1. 设双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 两焦点为F 1、F 2,点Q 为双曲线上除顶点外的任一点, 过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为P,则点P 的轨迹是 （ ） A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分. 2．已知点(-2，3)与抛物线y 2 =2px(p ＞0)的焦点 的距离是5，则p= . 3.平面内有两定点4)4()301)0,1(22=-+--y x B A ），在圆（，（和上，求一点P 使 2 2BP AP +取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值. 4.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22.（1）若圆（x-2）2+(y-1)2=320与椭圆 相交于A 、B 两点且线段AB 恰为圆的直径，求椭圆方程；（2）设L 为过椭圆右焦点F 的直线，交椭圆于M 、N 两点，且L 的倾斜角为600 ，求 NF MF 的值. 5.已知抛物线方程为)0)(1(22>+=p x p y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值． 6.线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m,0）（m>0），端点A 、B 到x 轴距离之积为m 2，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线 （1）求抛物线方程； （2）若m AOB tg ，求1-=∠的取值范围 §7.3 点、直线和圆锥曲线 一、知识导学 1． 点M(x 0，y 0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系 已知12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的焦点为F 1、F 2, 122 22=-b y a x （a ＞0,b ＞0） 的焦点为F 1、F 2，px y 22 =(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x 0，y 0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有： 上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线l ∶Ax ＋B y ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 设直线l :Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由?? ?==++0 y)f(x,0 C By Ax 消去y(或消去x)得:ax 2 +bx+c=0,△=b 2 -4ac,（若a ≠0时）， △＞0?相交 △＜0?相离 △= 0?相切 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、疑难知识 1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率。 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式： ?? ?-=+=0 20 1ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是椭圆的 下上焦点）. 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加. 2．双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径. 焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式： ???-=+=∴0 201ex a MF ex a MF 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式： ?? ?-=+=∴0 201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点） 3．双曲线的焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式： 当双曲线焦点在x 轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=。 当双曲线焦点在y 轴上时， 过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=。 4．双曲线的通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 a b d 2 2=. 5．直线和抛物线 （1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）. 联立?? ?=+=px y b kx y 22 ，得关于x 的方程02 =++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）； 当0≠a ，则 若0>?，两个公共点（交点）； 0=?，一个公共点（切点）； 0 d +? = . （3）焦点弦公式： 抛物线)0(22 >=p px y ， )(21x x p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-=. 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=. （4）通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=. （5）常用结论： ????? =-=px y p x k y 2)2(2 0222=--?p y k p y 和04)2(222 22=++-p k x p p k x k 2 21p y y -=?和4 2 21p x x =. 三、经典例题 [例1]求过点)1,0(的直线，使它与抛物线 x y 22 =仅有一个交点. 错解： 设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为 ???=+=x y kx y 21 2 ，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得 .01)22(2 2=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，,0=?∴解得 ∴= .21k 所求直线为.121+=x y 正解： ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22 =相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与 抛物线x y 22 =只有一个交点.③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k , 则? ??=+=x y kx y 212， ∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=?解得k = 1 2 ,∴ 所求直线为.12 1 += x y 综上，满足条件的直线为：.12 1 ,0, 1+= ==x y x y [例2]已知曲线C ：2 202 x y -= 与直线L ：m x y +-=仅有一个公共点，求m 的范围. 错解：曲线C ：2202x y -= 可化为20422=+y x ①，联立? ??=++-=2042 2y x m x y ，得： 02048522=-+-m mx x ，由Δ＝0,得5±=m . 错因：方程①与原方程并不等价，应加上[)+∞∈,0y . 正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m 的范围为52525<<-=m m 或. 注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出 错. [例3]已知双曲线12 2 2 =-y x ，过P(1,1)能否作一条直线L 与双曲线交于A 、B 两点，且P 为AB 中点. 错解：（1）过点P 且与x 轴垂直的直线显然不符合要求. （2）设过P 的直线方程为)1(1-=-x k y ，代入12 2 2 =-y x 并整理得： 02)1()1(2)2(222=------k x k k x k ∴2212)1(2k k k x x --= +，又∵221=+x x ∴22)1(22 =--k k k 解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的. 正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在. [例4]已知A 、B 是圆12 2 =+y x 与x 轴的两个交点，CD 是垂直于AB 的动弦，直线AC 和DB 相交于点P ，问是否存在两个定点E 、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E 、 F 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( 00,y x ) , 则 D (00,y x - 由A 、C 、P 三点共线得 1 100+= +x y x y ① 由D 、B 、P 三点共线得 1 100--= -x y x y ② ①×② 得 1 1202 02 2 --=-x y x y ③ 又 12 02 0=+y x , ∴2 02 01x y -=， 代入③得 12 2 =-y x ， 高中数学经典题型50道(另附详细答案) 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟 悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与 地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆 的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）② 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ． 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ） 4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 1.设Sn是等差数列｛An｝的前n项和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,则n=? ①Sn是等差数列 S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36，则2a1+5d=12......& 最后六项的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60......@ &+@:a1+an=36 Sn=(a1+an)/2*n n=18 ②解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+......an=324-144=180 而 S6=a1+a2+...a6=36 有 Sn-S(n-6)+S6= a1+a2+...a6+ a(n-5)+a(n-4)+....an =6(a1+an)=180+36=216 那么 (a1+an)=36 Sn=n(a1+an)/2=324 即 36n/2 =324 所以 n=18 2.已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)满足，a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0 (1)是否存在常数C，使得数列｛an+C｝为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由。 （2）设bn=3f(an)-[g(an+1)]^2，求数列｛bn｝的前n项和Sn (1)存在 C=-1 证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将f(x)、g（x)带入并化简 得4an+1 - 3an -1 =0 变形为4(an+1 -1)=3(an -1) 所以an-1是以3/4为等比 1为首项的等比数列 (2)an-1=(3/4)^n bn=3f(an)-[g(an+1)]^2 将f(an) g(an+1)带入不要急着化简先将an+1 - 1换成 3/4 (an-1) 化简后bn=-6(an -1)^2=-6*(9/16)^n bn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=54/7(9/16)^n-54/7 已知函数f(x)=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) <=> px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=(px+qy)^2+apx+aqy+b 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二 集合与元素的关系 1．属于 如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 知识点四 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（ ） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四 位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中 正确的结论是（ ） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1） （3，＋∞） D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角 的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （ ） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα 例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y ．若≠ ，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x k x D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选D ． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________． 分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． 解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题． 分析根据命题的四种形式的结构确定． 解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0． 说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心． 例5有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是 A B B A B [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题； 高中数学经典题型50 道(另附详细答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与 地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆 的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 高中数学经典例题、错题详解高中数学经典题型50道(另附详细答案)讲解学习
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