高中数学经典错因正解汇总：第七章平面解析几何初步
第七章平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x .3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.5．两条直线的夹角。
当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2⇔1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2⇔1k ·2k = -1（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，B 2都不为零时，有以下结论：①l 1∥l 2⇔21A A =21B B ≠21C C②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交⇔21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合⇔21A A =21B B =21C C 7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离d =2200||BA C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离d=2221||BA C C +-.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0），圆心坐标为（-2D ，-2E ），半径为r =2422F E D -+.二、疑难知识1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax −−→−消元一元二次方程acb 42-=−−→−△判别式⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相离△相切△相交△000 （2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为 d=22||B A C Bb Aa +++−→−⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相交相切相离r d r d r d2．两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； |O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切；| r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交； | O 1O 2 |=|r 1-r 2|⇔两圆内切； 0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含. 三、经典例题［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 1=+bya x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程.错解：设动点P 坐标为(x,y).由已知3,)3()1(22-+-=y x x 化简3x =x 2-2x+1+y 2-6y+9 .当x ≥0时得x 2-5x+y 2-6y+10=0 . ①当x ＜0时得x 2+ x+y 2-6y+10=0 . ②错因：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 (x-52 )2+(y-3)2 = 214 ① 和 (x+12 )2+(y-3)2= - 34 ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2= -34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2= 214 (x ≥0)［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，∴当m=1或m=-3时，x 2和y 2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C ，是Ax 2+Cy 2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C ≠0且FA＜0.正解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=114,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程.错解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34 L ′的方程为y+3＝34(x+3) 即4x-3y+3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解正解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34或k ＝43 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝43(x+3)。
即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线042=+-y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： （1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：()04214222=+-++-++y x y x y x λ即：()()04122222=+++-+++λλλy x y x（1）因为圆过原点，所以041=+λ，即41-=λ 故所求圆的方程为：0274722=-++y x y x . （2） 将圆系方程化为标准式，有：()545245222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλλy x当其半径最小时，圆的面积最小，此时52-=λ为所求. 故满足条件的圆的方程是54585422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x .点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。
（2）面积最小时即圆半径最小。
也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小. ［例6］已知点A(11,y x )，B(22,y x )（21x x ≠0）是抛物线)0(22>=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量,满足｜+｜＝｜-｜.设圆C 的方程为0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x（1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为552时，求p 的值.解：（1）证明 ∵｜OB OA +｜＝｜OB OA -｜，∴（OB OA +）2＝（OB OA -）2， 整理得：OB OA ⋅＝0 ∴21x x ＋21y y ＝0设M （y x ,）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则MB MA ⋅＝0 即 ))((21x x x x --＋))((21y y y y --＝0 整理得：0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径.（2）设圆C 的圆心为C （y x ,），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ∵1212px y =，)0(2222>=p px y∴22221214py y x x =又∵21x x ＋21y y ＝0 ，21x x ＝－21y y∴－21y y 222214py y =∵21x x ≠0，∴21y y ≠0 ∴21y y ＝－42p2121222122212141)2(41)(412y y py y y y p y y p x x x -++=+=+=＝)2(122p y p+ 所以圆心的轨迹方程为222p px y -= 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为ｄ，则＝pp p y y p y py x 5|)(|5|2)2(1|5|2|2222+-=-+=-当y ＝p 时，ｄ有最小值5p ，由题设得5p ＝552 ∴p ＝2.四、典型习题1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A.π6B.π4C.π3D.π22.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2+y 2=4相切 ，那么a 的值是( )A.5B.4C.3D.2 3. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2+y 2＝３，则xy的最大值为： .4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2-6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为31. （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；（2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；（3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程.5.如图，已知圆C ：（x+4）2+y 2=4。
分析错因_走出误区——高考解析几何解答题易错题归类剖析
ʏ江苏省无锡市第六高级中学 陈 敏ʏ江苏省无锡市青山高级中学 张启兆解析几何是高中数学的重要内容,但有些同学由于对某些知识点理解不透彻,或考虑不周等原因,导致在解题过程中出现这样和那样的错误,下面对高考解析几何解答题的易错题型进行归类剖析,希望对同学们的复习备考能有所帮助㊂一、忽略直线斜率不存在的情形例1 已知F (2,0)为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点,且点P 2,55在椭圆上㊂(1)求椭圆的方程㊂(2)已知直线l 与椭圆交于M ,N 两点,且坐标原点O 到直线l 的距离为306,试问:øM O N 的大小是否为定值若是,求出该定值;若不是,请说明理由㊂错解:(1)由椭圆的定义得2a =(2-2)2+552+(2+2)2+552=25,解得a =5㊂因为c =2,所以b =1㊂故椭圆的方程为x 25+y 2=1㊂(2)设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)㊂设直线l 的方程为y =k x +m ,由点到直线的距离公式得|m |k 2+1=306,则m 2=56(k 2+1)㊂联立y =k x +m ,x 2+5y 2=5,消去y 整理得(5k 2+1)x 2+10k m x +5m 2-5=0,Δ=100k 2m 2-20(m 2-1)(5k 2+1)=20(5k 2+1-m 2)>0,即m 2<5k 2+1㊂由韦达定理得x 1+x 2=-10k m5k 2+1,x 1x 2=5(m 2-1)5k 2+1,所以O M ң㊃O N ң=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m )(k x 2+m )=(k 2+1)㊃x 1x 2+k m(x 1+x 2)+m2=5(k 2+1)(m 2-1)-10k 2m25k 2+1+m2=6m 2-5(k 2+1)5k 2+1=0,所以O M ңʅO N ң,即øM O N =π2㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中忽略直线斜率不存在的情形㊂正解:(2)当直线l 的斜率存在时,同错解㊂当直线l 的斜率不存在时,则直线l 的方程为x =ʃ306,结合对称性不妨设直线l 的方程为x =306,联立x =306,x25+y 2=1,解得x =306,y =306,或x =306,y =-306,即得点M306,306,N 306,-306,此时O M ң㊃O N ң=0,故øM O N =π2㊂综上所述,øM O N =π2㊂易错提醒:本题的易错点有两个:一是忽略对直线斜率不存在的情形的讨论;二是øM O N =π2不是显性的,比较隐晦,识别出来有困难,但我们可以从特殊情况,即直线l 的斜率不存在入手,求出对应的定值,再利用82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.向量的数量积证明这个值与变量无关㊂二㊁盲目应用判别式例2 若圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:由于圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,所以联立方程组(x -a )2+y 2=4,y2=6x ,消去y 得方程x 2-(2a -6)x +a 2-4=0无解,所以Δ=(2a -6)2-4a 2-4<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ ㊂剖析:这属于知识性错误,产生错误的原因是没有理解判别式Δ只适用于直线与二次曲线的位置关系的判断,而不适用于两个二次曲线之间的位置关系的判断㊂正解:由于圆的半径为2,当圆与抛物线外切时,a =-2,于是当a <-2时,圆与抛物线没有公共点㊂当圆与抛物线内切时,联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2-(2a -6)x +a 2-4=0㊂①Δ=(2a -6)2-4a 2-4=0,解得a =136,代入方程①得3x 2+5x +2512=0,解得x =-56,是负根,显然圆与抛物线不能内切,所以当x ȡ0时,问题等价于圆心(a ,0)到抛物线的距离d 的最小值大于2,求a 的取值范围㊂设P (x ,y )为抛物线上一点,则d 2=(x -a )2+y 2=(x -a )2+6x =[x -(a -3)]2+6a -9㊂设f (x )=[x -(a -3)]2+6a -9(x ȡ0),当a -3>0,即a >3时,f (a -3)最小,所以d m i n =6a -9>2,解得a >136,又a >3,所以a >3;当a -3ɤ0,即a ɤ3时,f (0)最小,所以d m i n =a >2,此时2<a ɤ3㊂综上可得,a >2㊂故a 的取值范围为a <-2或a >2㊂易错提醒:二次曲线与二次曲线的交点问题不能完全类比直线与二次曲线位置关系的探讨,仅用判别式法是不够的,这是因为二次曲线是有范围限制的,并且一般情况下具有对称性,要结合起来一起讨论㊂由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系,图形未必能把细微处的走向描述清楚,必须与代数运算结合起来,即以数助形,数形结合㊂三㊁求取值范围时,未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数例3 已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1与椭圆x 24+y23=1的离心率互为倒数,且双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3㊂(1)求双曲线C 的方程;(2)直线y =2x +m 与双曲线C 交于A ,B 两点,点M 在双曲线C 上,且O M ң=2O Aң+λO B ң,求λ的取值范围㊂错解:(1)因为椭圆x 24+y 23=1的离心率为12,所以a 2+b 2a =2,即a 2=b 23㊂因为双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3,所以b =3,所以a =1,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1㊂(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),联立方程y =2x +m ,3x 2-y 2=3,消去y 整理得x 2+4m x +m 2+3=0,则x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=m 2+3㊂因为O M ң=2O A ң+λO B ң,所以x 0=2x 1+λx 2,y 0=2y 1+λy 2㊂因为点M 在双曲线C 上,所以2x 1+λx 22-2y 1+λy 223=1,即4㊃x 21-y 213+λ2x 22-y 223+4λx 1x 2-43㊃λy 1y 2=1,所以4λx 1x 2-43λy 1y 2+λ2+3=4λx 1x 2-43λ(2x 1+m )(2x 2+m )+λ2+3=0,即λ2-4λ+3+8m 2λ=0,显然λʂ0,于是8m 2=-λ2-4λ+3λȡ0 (*),所以λ(λ2-92解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4λ+3)ɤ0,λʂ0,解得λ<0,或1<λ<3㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,0 ɣ1,3㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数对m 的限制,故最后求λ的取值范围时出现错误㊂正解:(2)前面同错解㊂考虑Δ=16m 2-4(m 2+3)>0⇒m 2>1,将(*)式改为8m 2=-λ2-4λ+3λ>8㊂当λ>0时,得λ2+4λ+3<0,解得-3<λ<-1,与λ>0矛盾;当λ<0时,得λ2+4λ+3>0,解得λ>-1,或λ<-3,所以λ<-3,或-1<λ<0㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,-3 ɣ-1,0㊂易错提醒:审题不仔细,马虎大意,忽视条件 直线与双曲线有两个交点 隐含着判别式Δ=16m 2-4m 2+3>0㊂四、恒成立意义不明导致定点问题错误例4 如图1,M 是圆A :x +32+y 2=16上的动点,点B 3,0,线段M B 的垂直平分线交半径A M 于点P ㊂图1(1)求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)N 为轨迹E 与y 轴负半轴的交点,不过点N 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹E 于S ,T 两点,直线N S ,N T 分别与x 轴交于C ,D 两点㊂若C ,D 的横坐标之积是2,试问:直线l 是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由㊂易错分析:本题易错点有三个:一是在用参数表示直线S N 的方程时计算错误;二是不会利用 同构 的方法直接写出点D 的横坐标;三是在得到直线系S T 的方程后,对直线恒过定点的意义不明,找错方程的常数解㊂正解:(1)由题意可知|A P |+|P M |=|A M |=4,所以|P A |+|P B |=4>23=|A B |,所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴为4的椭圆㊂所以2a =4,c =3,所以b =a 2-c 2=1,所以椭圆的方程为x 24+y 2=1,即点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)由题意可知点N (0,-1),设直线S T 的方程为y =k x +m (m ʂ-1),设S (x 1,y 1),T (x 2,y 2),联立y =k x +m ,x 2+4y 2=4,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8k m x +4m 2-4=0,所以x 1+x 2=-8k m 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2,由Δ>0,得4k 2-m 2+1>0㊂所以直线S N 的方程为y +1=y 1+1x 1(x -0),令y =0,得x C =x 1y 1+1㊂同理x D =x 2y 2+1㊂因为x C x D =x 1y 1+1ˑx 2y 2+1=2,所以x 1x 2=2(y 1+y 2+y 1y 2+1)=2[k x 1+m +k x 2+m +(k x 1+m )(k x 2+m )+1]=2[k (x 1+x 2)(m +1)+k 2x 1x 2+(m +1)2],所以4m 2-41+4k 2=2k ˑ-8k m1+4k2(m +1)+ k 2ˑ4m 2-41+4k2+(m +1)2㊂因为m ʂ-1,所以m +1ʂ0,则4(m -1)=-16k 2m +8k 2(m -1)+2(1+4k 2)㊃(m +1),解得m =3,所以直线S T 的方程为y =k x +3㊂所以直线S T 过定点(0,3)㊂规律与方法:(1)若确定动直线l 过定点问题,可设动直线方程(斜率存在)为y =k x +t ,由题设条件将t 用k 表示为t =m k ,得到y =k (x +m ),即可说明动直线过定点(-m ,0)㊂(2)若确定动曲线C 过定点问题,可引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出对应的定点㊂(3)先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明㊂对于客观题,通过特殊值法探求定点能取得事半功倍的效果㊂(责任编辑 王福华)3 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高一数学第7章知识点答案
高一数学第7章知识点答案第1节：函数与映射数学中的函数概念是指两个集合之间的关系，它将定义域中的每个元素映射到值域中的一个元素。
函数具有独一无二的图像与原像的对应关系。
第2节：直线与直线的位置关系直线是无限延伸的，由于方向与位移的不同，直线之间可能存在相交、平行或重合等不同的位置关系。
第3节：平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系有三种情况：平面内与直线相交、平面与直线平行、平面包含直线。
第4节：平面与平面的位置关系两个平面之间的位置关系有四种情况：平面相交于一条直线、平面平行、平面重合、平面互相垂直。
第5节：模和距离模是实数的非负实数表示，距离是空间或平面上两点之间的长度。
第6节：一次函数一次函数是指函数的最高次幂为1次的函数，它的图像是一条直线，具有斜率和截距。
第7节：二次函数二次函数是指函数的最高次幂为2次的函数，它的图像是一个抛物线，具有顶点和轴对称性。
第8节：指数函数指数函数是指函数中自变量的指数是常数的函数，指数函数的图像是以底数为基础的指数曲线。
第9节：对数函数对数函数是指函数中自变量的对数是常数的函数，对数函数的图像是以底数为基础的对数曲线。
第10节：函数的性质函数的性质包括函数的奇偶性、单调性、最值等。
第11节：函数图像的绘制通过掌握函数的性质和变化趋势，可以绘制出函数的图像，更直观地理解函数的特点。
第12节：一元二次方程一元二次方程是指最高次幂为2次的只含有一个未知数的方程，它的标准形式为ax^2+bx+c=0。
第13节：二次函数的图像与性质通过对二次函数的图像进行分析，可以了解其特点，如顶点、对称轴、开口方向等。
第14节：函数的定义域与值域函数的定义域是指自变量能够取值的范围，值域是指函数在定义域内能够取得的全部值的集合。
第15节：函数的应用问题函数在实际问题中有广泛的应用，如距离、速度、面积等方面的计算和分析。
第16节：平面几何初步平面几何是研究平面上的集合、点、直线、角等几何体的性质和关系的数学分支。
平面解析几何中的易错点剖析
平面解析几何中的易错点剖析作者：王小青来源：《中学课程辅导·高考版》2017年第12期平面解析几何研究的内容是求曲线方程，再通过方程的特征研究曲线的几何性质，是数与形结合的典范，体现了用代数的方法研究曲线的思想方法.高考中重点考查直线、圆以及圆锥曲线的定义、方程、几何性质，直线与圆和圆锥曲线的位置关系，对同学们的思维能力、运算求解能力及数学思想方法的灵活运用要求较高.复习这部分内容时要理清概念，掌握基本方法，特别要注意理清概念的内涵与外延，对一些常见概念及公式的易错点要了如指掌.本文从解析几何的典型易错知识与方法加以剖析，以提高大家的辨别能力，提高解题速度与正确率.易错剖析一：基本概念理解偏差致错例1设双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为.错解：由题意，b=2，c=23，故a=22，所以双曲线的渐近线方程为y=±22x.错因分析：虽然结果正确，但是解决问题过程中概念不清晰，双曲线的虚轴长为2b，焦距为2c.正解：因为2b=2，所以b=1，因为2c=23，所以c=3，所以a=c2-b2=2，所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±22x.例2已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是.错解：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，所以m2+n>0，3m2-n>0，所以-m2∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1错因分析：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，不一定是m2+n>0，3m2-n>0，应正确转化为（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2正解：∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，∴（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2由双曲线性质，知c2=（m2+n）+（3m2-n）=4m2（其中c是半焦距），∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1评注：对于圆锥曲线的概念和性质要准确把握，其中双曲线的实轴长、虚轴长，椭圆的长轴长、短轴长及焦距分别对应是哪些量是易错点，再有，椭圆、双曲线及抛物线的方程要先确定焦点位置，再确定基本量.易错剖析二：知识交汇处转化不准确致错例3直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是.错解：设直线的倾斜角為θ，则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，所以-π4≤θ≤π4.错因分析：上述错解中不理解直线倾斜角的概念，其范围应该是θ∈[0，π），再有要善于用正切函数的图像解题.正解：设直线的倾斜角为θ，则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤π4或3π4≤θ评注：根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.易错剖析三：选用直线方程时没有考虑其适用条件致错例4经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是.错解：由题意，设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.由12·（5k-4）·（4k-5）=5得，k=85，故所求直线方程为8x-5y+20=0.错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12·|5k-4|·|4k-5|，而不是12·（5k-4）·（4k-5）.正解：由题意设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.由12·|5k-4|·|4k-5|=5得，k=85或k=25.故所求直线方程为8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.点评：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，易致错.例5过点（3，3）且横、纵截距相等的直线方程.错解：设所求方程为xa+ya=1，将（3，3）代入得a=6，得直线方程为x+y-6=0.错因分析：上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（3，3）的直线y=x也符合条件，主要审题不严致错.正解：x+y-6=0或x-y=0.例6过点P（2，4）引圆（x-1）2+（y-1）2=1的切线，则切线方程为.错解：当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d=|k-1+4-2k|k2+（-1）2=|3-k|k2+1=1，解得k=43，∴所求切线方程为43x-y+4-2×43=0，即4x-3y+4=0.综上，切线方程为4x-3y+4=0.错因分析：选用直线的点斜式方程时没有考虑斜率不存在的情形.正解：在上述解的基础上，再讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；综上，切线方程为x=2或4x-3y+4=0.点评：直线方程的五种形式中，每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在或零截距的情况，是很多学生经常犯的错误.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.如本题中，要关注过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.易错剖析四：使用公式时没有考虑公式适用的大前提例7直线x+y+2=0与2x+2y+1=0之间的距离是.错解：用公式d=|2-1|2=22.错因分析：本题的“陷阱”是两平行直线的距离公式使用的大前提是两直线方程中x，y对应项的系数要相等.正解：先将2x+2y+1=0化為x+y+12=0，则两平行线间的距离为d=|2-12|2=324.例8直线l过点P（-1，2）且到点A（2，3）和点B（-4，5）的距离相等，则直线l的方程为.错解：思路一：设直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.∴直线l的方程为y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.思路二：由题意可知AB∥l时，有k=kAB=-13，直线l的方程为y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.错因分析：思路一没有考虑斜率不存在的情形，思路二从形出发只考虑了一种情形.正解：思路一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.∴直线l的方程为y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，也符合题意.思路二：当AB∥l时，有k=kAB=-13，直线l的方程为y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.当l过AB中点时，AB的中点为（-1，4）.∴直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.评注：利用距离公式应注意：①点P（x0，y0）到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b 的距离d=|y0-b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等.例9过直线2x+y+4=0和圆（x+1）2+（y-2）2=4的交点，并且面积最小的圆的方程为.错解：设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，所求圆的半径r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）=125k2-16k+16.显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k+16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2+y2+265x-125y+375=0.错因分析：本题的“陷阱”是方程x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0表示圆的充要条件，上述解法忽视了k的限制条件（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0.正解：设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，化为圆的标准方程得[x+（k+1）]2+[y+12（k-4）]2=（k+1）2+14（k-4）2-（4k+1），由（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0，得5k2-16k+16>0，此时，所求圆的半径r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）=125k2-16k+16.显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k+16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2+y2+265x-125y+375=0.评注：审题的关键环节是挖掘方程表示圆的充要条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌.易错剖析五：忽视定义中的限制条件致错例10已知定圆C1：（x+3）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+y2=9，动圆M同时与定圆C1，C2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.错解：由C1：（x+3）2+y2=1，C2：（x-3）2+y2=9，设圆M半径为r，则MC1=1+r，MC2=3+r，故MC2-MC1=2且2a=2，a=1，c=3；b2=c2-a2=8，故M的轨迹方程为：x2-y28=1.错因分析：上述解法将MC2-MC1=2看成|MC1-MC2|=2，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致.正解：在上述解法中添加：由于MC2-MC1=2，知MC2>MC1，点M的轨迹是双曲线的左支，故M的轨迹方程为：x2-y28=1（x评注：直线与圆、圆锥曲线的定义，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，如果不注意一些限制条件，容易致错.易错剖析六：题设转化时不等价致错例11已知圆（x-a）2+y2=1与圆x2+y2=25没有公共点，则正数a的取值范围是.错解：由题意可知，两圆相离，所以圆心距a2>1+5，又a>0，所以a>6.错因分析：两圆没有公共点，除了两圆相离，还可以是两圆内含.正解：由题意可知，两圆相离或内含，所以a2>1+5或a26.评注：在研究两圆位置关系时，要关注题设条件的等价转化，如两圆没有公共点，两圆可以是外离或内含；再如两圆相切，可以是外切也可以是内切.易错剖析七：偏重技巧忽视本质致错例12已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一点到它的两个焦点（-c，0），（c，0）的距离之和为22，且它的焦距为2.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=59內，求m的取值范围.错解：（1）依题意可知2a=22，2c=2.又b2=a2-c2，解得a=2，b=1.则椭圆C的方程为x22+y2=1.（2）联立方程x22+y2=1，x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4m3，y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，即AB的中点为（-2m3，m3）.又∵AB的中点不在圆x2+y2=59内，∴4m29+m29=5m29≥59，解得m≤-1或m≥1.错因分析：本题第（2）问中忽视了大前提：必需两根都存在，要用判别式去检验，即Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，是致错的根本原因.正解：（2）联立方程x22+y2=1，x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.则Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，解得-3设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4m3，y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，即AB的中点为（-2m3，m3）.又∵AB的中点不在圆x2+y2=59内，∴4m29+m29=5m29≥59，解得m≤-1或m≥1.②由①②得，-3故m的取值范围为（-3，-1]∪[1，3）.评注：在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过联立方程组，用判别式来判别解的情况是前提.一些技巧性的解法，虽简化了过程，但忽视了本质，易致错.同学们，在解决解析几何问题时，首先要理解直线、圆和椭圆的定义，要理解其方程的结构特征，掌握其几何性质，要充分理解概念，掌握基本方法.高三一轮复习是一个见微知渐的过程，希望通过错误的剖析引导同学辨析正误.在解析几何的复习中，狠抓三基，不断对相应题型作出归纳总结，定能取得很好的效果.（作者：王小青，江苏省如皋中学）。
高中数学平面解析几何知识点总结
高中数学平面解析几何知识点总结归纳目录第一部分直线与方程知识点总结第二部分圆与方程知识点总结第三部分圆锥曲线知识点总结1.椭圆知识点总结2.双曲线知识点总结3.抛物线知识点总结第一部分直线与方程知识点总结一、直线的方程1、倾斜角定义：直线与x轴正方向所成的角α,α∈[0,π）。
2、倾斜角的斜率：k=tanx(x≠90°)，tan是sin比cos。
（1）过点P1（X1，Y1），和点P2（X2，Y2）的直线斜率公式：k＝（y2-y1）÷（X2-X1）。
（2）已知直线的一般方程式Ax+By+C=0,则斜率k＝-A÷B（B≠0）。
3、直线方程的几种形式斜截式：y=kx+b一般方程式：Ax+By+C=0点斜式：y-y₀=k(x-x0), 不能表示平行于y轴的直线截距式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0)，不能表示过原点的直线两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)二、直线的特殊位置关系（以斜截式：y=kx+b举例）直线L1与L2垂直，k1×k2＝-1直线L1与L2平行，k1＝k2，b1≠b2（垂直和平行这两种情况重点记）直线L1与L2重合，k1＝k2，b1＝b2直线L1与L2相交，k1≠k2三、点与直线的公式1.中点公式：中点坐标的横坐标=（x1+x2）/ 2，纵坐标＝（y1+y2）/ 2。
2.两点之间的距离公式：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3.点到直线Ax+By+C＝0的距离d公式：4.两条平行直线间的距离公式：若两直线分别为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则距离为|C1-C2|/√ (A²+B²)。
第二部分圆与方程知识点总结一、圆的三种方程（1）圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=r²，圆心：（a，b)，半径：r。
平面解析几何初步
平面解析几何初步解析几何是几何学和代数学的交叉领域，它研究平面内的点、线、圆等形状及其相互关系，利用代数方法进行分析和计算。
在平面解析几何中，我们将重点讨论直线、圆和二次曲线及其性质。
本文将介绍平面解析几何的基本概念和常见问题，以及一些解题技巧。
一、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。
一条直线可以由其上的两个点确定，我们可以通过计算斜率和截距来表示直线的方程。
直线的方程有多种形式，常见的有点斜式和截距式。
1. 点斜式方程点斜式方程形如 y-y₁ = k(x-x₁)，其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
通过给定一点和斜率，我们可以轻松写出直线的方程。
例如，已知直线上的点 A(2,3) 和斜率 k=2，我们可以得到直线的点斜式方程为 y-3=2(x-2)。
点斜式方程的优点在于直接给出了直线的一般形式，但不适用于垂直于 x 轴的直线。
对于垂直于 x 轴的直线，我们可以使用斜截式。
2. 截距式方程斜截式方程形如 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
斜截式方程适用于所有类型的直线，包括垂直于 x 轴的直线。
例如，有一条直线经过点 B(3,4) 且斜率为 1/2，我们可以得到直线的斜截式方程为 y=(1/2)x+2。
二、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要概念，它由平面上与固定点的距离等于常数的点构成。
在平面解析几何中，圆的方程一般形式为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a,b) 是圆的圆心坐标，r 是圆的半径。
根据圆的方程，我们可以计算圆心和半径，以及圆上的点。
例如，对于方程 (x-2)² + (y+3)² = 9，我们可以得到圆的圆心坐标为 (2,-3)，半径为 3。
利用这些信息，我们可以描绘出圆的几何形状。
三、二次曲线的方程除了直线和圆，二次曲线也是平面解析几何中的重要对象。
高中数学 平面解析几何初步全章总结 新人教B版必修2
平面解析几何初步总结1.详析直线的倾斜角与斜率（1）定义：把直线y kx b =+中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线的斜率不存在．x 轴正向与直线向上的方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角． 经过两点11(,)A x y 、22(,)B x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x -=-．（2）斜率k 与倾斜角θ的关系：0k =时，0θ=︒；0k >时，()0,90θ∈︒︒且θ随k 的增大而增大；k 不存在时，90θ=︒；0k <时，()90,180θ∈︒︒且θ随k 的增大而增大．2.比较直线的五种方程3.辨析两条直线相交、平行、重合、垂直的两种条件21k =- 说明：两直线的交点坐标即为对应方程组成的方程组的解．方程组有一组解，则两直线有一个交点；方程组无解，则两直线平行．4.根据直线位置关系妙设直线方程（1）与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为0Ax By m ++=（m 为参数，且m C ≠）；与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为0Bx Ay m -+=（m 为参数）．（2）与直线y kx m =+平行的直线方程可设为y kx b =+()b m ≠；与直线y kx m =+垂直的直线方程可设为1y x b k=-+． （3）过直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点的直线方程可设为111A x B y C ++()2220A x B y C λ+++=（λ为参数）．注意此方程中不包括直线2220A x B y C ++=，在解题时要验证该直线是否符合题意．特别地，直线过定点问题，一般将直线方程整理为111A x B y C ++()2220A x B y C λ+++=的形式，将定点转化为直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点．5.记忆重要公式，重视坐标法思想（2）坐标法思想：即根据图形特点，建立适当的直角坐标系，用坐标表示相关量，利用坐标间的代数计算解决几何问题．6.明确圆的两种方程，掌握待定系数法（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，其中，圆心是(,)C a b ，半径是r ． 圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=(0)Dx Ey F ++>．其中圆心是(,)22D E--，半径是． 注意：二元二次方程表示圆的条件是2x 和2y 项的系数相等且不为零；没有xy 项．（2）圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量（,,a b r 或,,D E F ），求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可． 7.点击圆的相关位置关系 （1）点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外，可通过点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．（2）直线与圆的位置关系直线 圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法（通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解得个数来判断）、几何法（由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来判断）．（3）圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法（根据两圆方程联立的方程组解的情况判断）、几何法（根据两圆的圆心距d 与两圆半径1r ，2r 之间的关系判断）． 8.牢记圆的切线求法，细解弦长问题（1）圆的切线求法：①设切线斜率，得到切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依据判别式为0求解；②设切线斜率，得到切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解．解题时，注意切线斜率不存在的情况．（2）当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．（3）求相交两圆的公共弦长时，可通过两圆方程相减求出两圆公共先所在的直线方程，进而求出其中一圆心到直线的距离及该圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长．9.明晰空间直角坐标系的建立法则，直击距离公式 （1）建林的空间直角坐标系要遵循右手法则．（2）空间中1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 之间的距离12||PP =专题一 巧设直线方程解题在本章中，经常要用直线方程解决问题，但很多时候直线方程并非已知，而是要设出方程进而解决问题，这时，如何选择方程形式将决定解题过程中的优劣简繁．典例1 直线l 过点(8,6)P ，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．研析 由题意知，直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0．方法一 设直线l 的方程为1x y a a +=或1x y a a+=-(0)a ≠． 当直线l 的方程为1x ya a+=时， ∵点(8,6)P 在l 上，∴861a a+=，解得14a =，∴直线l 的方程为140x y +-=；当直线l 的方程为1x y a a+=-时， ∵点(8,6)P 在l 上，∴861a a+=-，解得2a =，∴直线l 的方程为20x y --=．综上所述，所求直线l 的方程为20x y --=或140x y +-=． 方法二 设直线l 的方程为(0,0)y kx b k b =+≠≠． 令0x =，得y b =；令0y =，得b x k=-． 由题意，得||||bb k=-，∵0b ≠，∴1k =±． 当1k =时，直线l 的方程为y x b =+， ∵点(8,6)P 在l 上，∴68b =+，2b =-， ∴直线l 的方程为2y x =-，即20x y --=； 当1k =-时，直线l 的方程为y x b =-+， ∵点(8,6)P 在l 上，∴68b =-+，14b =， ∴直线l 的方程为140x y +-=．综上所述，所求直线l 的方程为20x y --=或140x y +-=．方法探究 凡涉及直线与坐标轴所围成三角形的面积或周长等与截距有关的问题，用截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为零．典例2 已知直线l 过点(1,2)P -，且点(4,1)A -，(2,5)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程． 研析 设直线l 的方程为(2)1m y x -=+，即210x my m -++=．由点到直线的距离公式可得=0m =或32m =．故直线l 的方程为10x +=或2380x y -+=．方法探究 设直线方程为00()x x m y y -=-，避免了漏掉斜率不存在的情况（斜率不存在即0m =）． 典例3 已知圆22:68210C x y x y +--+=，求过点(1,1)-的圆C 的切线方程．研析 设所求切线的方程为(1)1m y x +=-，即10x my m ---=．圆的圆心坐标为(3,4)，半径2r ==． 由题意可知2=，解得0m =或2021m =，故所求直线方程为1z =或2120410x y --=．方法探究 过圆上一点00(,)x y 求圆的切线方程，都可能存在切线斜率不存在的情形．为了避免讨论斜率和判断点与圆的位置关系，可直接设切线方程为00()m y y x x -=-．专题二 探讨两类圆方程的求解方法1.求过直线与圆的交点的圆的方程解此类问题的方法是：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，根据点在圆上及其他条件求圆的方程． 典例1 求经过直线0x y +=与圆222480x y x y ++--=的交点，且经过点(1,2)P --的圆的方程．研析 解方程组220,2480.x y x y x y +=⎧⎨++--=⎩得1,1.x y =⎧⎨=-⎩或4,4.x y =-⎧⎨=⎩即直线与圆交于点(1,1)A -和点(4,4)B -．设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，分别将A ，B ，P 的坐标代入，得方程组110,1616440,1420.D E F D E F D E F ++-+=⎧⎪+-++=⎨⎪+--+=⎩解得3,3,8.D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴所求圆的方程为223380x y x y ++--=． 2.求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般先求出两圆的交点坐标，在利用圆的几何性质确定所求圆的圆心坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组求参即可．典例2 求圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点的圆的方程．研析 方法一 由2222460,460.x y x x y y ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩解得111,1.x y =-⎧⎨=-⎩或223,3.x y =⎧⎨=⎩故两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点分别为(1,1)A --，(3,3)B ．线段AB 的垂直平分线的方程为1(1)y x -=--，由1(1),40.y x x y -=--⎧⎨--=⎩解得3,1.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的圆心坐标为(3,1)-4=， ∴所求圆的方程为22(3)(1)16x y -++=．方法二 同方法一求得(1,1)A --，(3,3)B ，设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=(0)r >，由22222240,(1)(1),(3)(3).a b a b r a b r --=⎧⎪--+-=⎨⎪-+-=⎩解得23,1,16.a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩∴所求圆的方程为22(3)(1)16x y -++=．接下来介绍利用过两圆交点的曲线方程来解决上述问题的方法．这里谈的过两圆交点的曲线方程是指过两圆交点的圆的方程及它的特例—直线的方程．经过两点的圆有无数个，这些圆有一共同的性质：圆心都在已知两点连线的垂直平分线上，构成了一个圆的集合，记这个集合为M ．我们把具有某一共同性质的所有的圆的集合成为圆系，它的方程叫做圆系方程．（1）设圆C 过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++=的交点P ，Q ，则与圆C 同心的圆系方程为22111x y D x E y F ++++()222220x y D x E y F λ+++++= ①，其中λ为参数且1λ≠-．该圆系方程不包括圆2C ． 方程①的特例：当1λ=-时，方程①变为121212()()0D D x E E y F F -+-+-= ②,若圆1C 与圆2C 相切，这时点P ，Q 重合为一点，则方程②表示两圆公切线的方程（切点为P ）．（2）若直线l ：0Ax By C ++=与圆C ：220x y Dx Ey F ++++=相交于不同的两点P ，Q ，则过P ，Q 两点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（λ为参数）．典例3 求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，222280x y x y +++-=交点的圆的方程．研析 设所求圆的方程为2221024x y x y +-+-+()222280x y x y λ+++-=(1)λ≠-，即()22252(1)8(3)0111x y y λλλλλλ+-++-+-=+++，可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++．因为圆心在直线0x y +=上，所以15011λλλλ-+-=++，解得2λ=-．将2λ=-代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为226680x y x y ++-+=．。
平面解析几何初步教材分析剖析
平面分析几何初步永乐店中学李建松一、本章地位和作用本章的学习把数学的两个基本对象——形和数有机地联系起来，这就使得坐标法的作用更为明显，这对于人们发现新结论也拥有重要意义．近代数学的巨大发展，在很大程度上应当归功于分析几何．本章的主要学习内容是：在平面直角坐标系中成立直线和圆的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其互相间的地点关系，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，表现数形联合的思想方法．这也为此后学习圆锥曲线打下基础．二、分析几何的基本思想方法分析几何的基本思想：用代数的方法解决几何问题．分析法，就是坐标法，分析几何就是在座标系的基础上，用代数的方法研究几何问题一门学科．用分析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，对“形”进行翻译转变：把点转化为坐标、把曲线转变为方程，把题目中显然的或隐含的解题所需要的全部几何特色，用数式和数目关系表示出来.把“形”翻译为“数”是用坐标法解决几何问题时首要工作.几何问题“翻译”“代数运算”“翻译”代数问题代数问题的解几何问题的解点坐标曲线方程几何特色数式和数目关系教课建议：在平面分析几何初步的教课中，教师应帮助学生经历以下的过程：第一将几何问题代数化，用代数的语言描绘几何因素及其关系，从而将几何问题转变为代数问题；办理代数问题；剖析代数结果的几何含义，最后解决几何问题。
这类思想应贯串平面分析几何教课的一直。
帮助学生不停地领会“数形联合”的思想方法。
三、教课建议第三章直线与方程（一)课时分派（15课时）内容课时数倾斜角与斜率2课时两条直线平行与垂直的判断1课时直线的点斜式方程1课时直线的两点式方程1课时直线的一般式方程1课时两条直线的交点坐标1课时两点间的距离1课时1点到直线的距离 两条平行直线间的距离 1课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题4课时 复习小结2课时(二）分章节教课建议及要求 倾斜角与斜率 2课时要点：要点是斜率的观点，用代数的方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。
高考数学 备考冲刺之易错点系列 专题07 平面解析几何(教师版)
平面解析几何一、高考预测解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．二、知识导学(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+by a x ； 5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)圆的有关问题1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.2.圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程， 其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=. 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） (四) 椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ac e =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.(六)椭圆的参数方程 椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab =； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-by a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
高中数学知识点归纳平面解析几何的性质与运算
高中数学知识点归纳平面解析几何的性质与运算高中数学知识点归纳——平面解析几何的性质与运算一、引言在高中数学学习中，平面解析几何是一门重要的数学分支，它将代数和几何相结合，通过运用坐标系的方法来研究平面上的几何性质和相互关系。
本文将对平面解析几何的性质与运算进行归纳总结。
二、平面解析几何的基本概念1. 坐标系平面解析几何中，常使用直角坐标系来描述平面上的点。
直角坐标系由两个相互垂直的轴组成，分别称为x轴和y轴。
点在坐标系中的位置可由其坐标表示，标有符号的数对(x, y)即表示点的坐标，其中x 表示横坐标，y表示纵坐标。
2. 距离公式在平面解析几何中，计算两点之间的距离是常见的操作。
根据勾股定理，可以得到点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)之间的距离公式：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)3. 斜率公式斜率是平面解析几何中的重要概念，表示直线的倾斜程度。
对于直线上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，可以使用斜率公式计算斜率：斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)4. 中点公式平面解析几何中，中点是指线段的中点，可以通过中点公式求得。
对于线段的两个端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，中点的坐标为：中点M(x, y) = ((x₁+ x₂)/2 , (y₁+ y₂)/2)三、平面解析几何的性质1. 平行性质平面解析几何中，两条直线平行的判断条件之一是它们的斜率相等。
若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，则当k₁= k₂时，两条直线平行。
2. 垂直性质两条直线垂直的判断条件之一是它们的斜率之积为-1。
若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，则当k₁ * k₂ = -1时，两条直线垂直。
3. 距离性质平面解析几何中，根据距离公式可得，点P(x, y)到直线Ax + By +C = 0的距离为：d = |Ax + By + C| / √(A² + B²)4. 判定点是否在直线上对于直线Ax + By + C = 0和点P(x₀, y₀)，若Ax₀ + By₀ + C = 0，则表明点P在直线上。
高一第七章数学知识点总结
高一第七章数学知识点总结在高一的数学学习中，第七章是一个较为重要的章节，主要包括平面几何与向量。
本文将对高一第七章的数学知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握与运用。
一、平面几何1. 平行线与夹角在平面几何中，我们常常需要判断两条直线是否平行，以及计算夹角的大小。
当两条直线的斜率相等时，它们是平行的；当两条直线的斜率相乘为-1时，它们是垂直的。
而夹角的计算可以通过余弦定理或正弦定理进行。
2. 直线与圆的位置关系直线与圆相交有三种情况：相离、相切和相交。
相离时，直线与圆的距离大于圆的半径；相切时，直线与圆的距离等于圆的半径；相交时，直线与圆的距离小于圆的半径。
3. 三角形的性质三角形是平面几何中重要的研究对象，它有很多特殊的性质。
例如，三角形的内角和为180°；等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两边相等；直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二、向量1. 向量的定义与表示向量是有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量的大小可以通过长度（模）表示，而方向可以用箭头所指的方向表示。
同方向的向量有相同的模，而反方向的向量互为相反数。
2. 向量的运算向量的运算包括加减与数乘。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
数乘是指将向量的每个分量乘以一个标量。
3. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积的运算有交换律和结合律，且与数乘满足分配律。
4. 平面向量的表示与运算平面向量的表示有坐标表示和分量表示两种。
坐标表示是指将向量的起点放在坐标原点，用终点在坐标系中的坐标表示向量；分量表示是指将向量分解为水平和垂直分量，然后用分量表示向量。
综上所述，高一第七章的数学知识点主要包括平面几何和向量。
在学习平面几何时，我们需要掌握平行线与夹角、直线与圆的位置关系以及三角形的性质。
而向量则需要了解向量的定义与表示、向量的运算和平面向量的数量积。