2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件(人教版必修4)

• 【题后总结】求两向量数量积的关键是求出它们的坐标，求解过程熟练运用了方程的思想，加减消元法求出a，b.
• 1．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求a·b的值．
2a＋b＝－4，3，解：由 a－2b＝3，4， a＝－1，2，解得 b＝－2，－1.
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos θ＜0 且 cos θ≠－1，所以 a· b＜0 且 a 与 b 不反向.9 分 1 由 a· b＜0 得 1＋2λ＜0，故 λ＜－， 2 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 1 所以 λ 的取值范围为(－∞，－2).12 分
∴a· b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.
• a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
已知在△ABC 中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－ → 1)，AD 为 BC 边上的高，求|AD|与点 D 的坐标．
→ → 【思路点拨】AD 为 BC 边上的高，隐含着BD、 BC共线， → → AD⊥BC.
• 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
• 1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算．(重点) • 2．能够用两个向量的坐标来判断向量的垂直关系．(难点) • 3．增强用向量法与坐标法来处理向量问题的能力．(易混点)
• 一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 • 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝ x x ＋y y
1 的取值范围为－2，2∪(2，＋∞)．
• 【题后总结】对于两向量夹角为钝角(或锐角)求参数范围的题型．可先根据夹角余弦值的符号列不等式求出参数范围，再排除夹角为 180°(或0°)的情况．
• 3．将上例中a与b的夹角改为锐角，试求λ的值范围．
解：因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cos θ＞0，且 cos θ≠1，所以 a· b＞0，且 a，b 不同向． 1 由 a· b＞0 得 λ＞－， 2 由 a 与 b 不同向得 λ≠2. 所以 λ
1 2 1 2
数量积
两个向量 a⊥b⇔ 垂直
x1x2＋y1y2＝0
• 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标表示有何区别？ • 提示：若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0.若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即 x1x2＋ y1y2＝0.两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
•
(12分)已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数 λ的取值范围，使得(1)a与b的夹角为直角； • (2)a与b的夹角为钝角； • 【思路点拨】由夹角的坐标公式列方程或不等式求解．
【规范解答】设 a 与 b 的夹角为 θ，|a|＝ 12＋22＝ 5， |b|＝ 1＋λ2，a· b＝1＋2λ.3 分 (1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 cos θ＝0，所以 a· b＝0， 1 所以 1＋2λ＝0，所以 λ＝－ .6 分 2
利用数量积求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； (2)利用|a|＝ x2＋y2计算两个向量的模； x1x2＋y1y2 (3)由公式 cos θ＝ 2 2 2 2直接求出 cos θ 的值； x1＋y1· x2＋y2 (4)在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
∴x－3＝2(y－2)，即 x－2y＋1＝0① → → 又∵AD⊥BC，∴AD· BC＝0，即(x－2，y＋1)· (－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即 2x＋y－3＝0.②
x＝1，由①②可得 y＝1.
→ ∴|AD|＝ 1－22＋1＋12＝ 5， → 即|AD|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1)．
• 2．已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝ 90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．
解：假设存在点 C(0，y)， → → 使∠ACB＝90° ，则AC⊥BC. → ∵AC＝(－1，y－2)，
→ → → BC＝(－4，y＋1)，AC⊥BC， → → ∴AC· BC＝4＋(y－2)(y＋1)＝0， ∴y2－y＋2＝0. 而在方程 y2－y＋2＝0 中，Δ＜0， ∴方程无实数解，故不存在满足条件的点 C.
• 二、三个重要公式
• 平面向量的数量积有两种形式：一种是纯向量形式，另一种是坐标表示形式．进行平面向量的坐标运算可以实现向量问题的代数化，解决时应注意方程思想的应用．
•
• • • • • • • •
已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a，b，a·b.
【思路点拨】解关于a与b的方程，求出a与b的坐标，利用公式求a·b. 解：由a＋b＝(2，－8)， a－b＝(－8,16)，两式相加，得2a＝(－6,8)，所以a＝(－3,4)，两式相减，得2b＝(10，－24)，所以b＝(5，－12)，于是，a·b＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.
• 【借题发挥】借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，这是向量运算的重要应用之一．具体做法就是借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R， b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(这里a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．
→ 解：设 D 点的坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)， → → BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)． → → ∵D 在直线 BC 上，即BD与BC共线， → → ∴存在实数 λ，使BD＝λBC，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
x－3＝－6λ ∴ y－2＝－3λ

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人教新课标A版高中数学(必修4)2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件

二、基础知识讲解
c3o、s向ar量,br的夹角rar brr |a||b|
cos x1x2y1y2
x12y12 x22y22
随堂练习
r
rr
rr
3 、已知向量 a ( 1 ,1 ),2 a b (4 ,2 ),则 a 与 b 的
夹角为 ;
4
三、例题分析
例 1 、已知 A O B 中， O 为原点， A (2 ,2 ),B (,1 ) 且 A B O 是钝角，求的取值范围
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
2、向量的模
r rr |a| aa
rr a•bx 1x 2y 1y2
r |a| x12y12
特别的，若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 uuur |AB| (x2x1)2(y2y1)2
随堂练习
u u u ru u u r u u u r
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等。
三、例题分析例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试判断ΔABC的形状，并给出证明。
u u u r u u u r 变式：在 R t A B C 中， A B ( 2 , 3 ) , A C ( 1 , k ) , 求 k 的值
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
rr a•bx 1x 2y 1y2
随堂练习
rr
1 、已知向量 a (1 ,3 ),b (2 ,5 ),则
rr
rr rr
a b 17 ;(a b )(2 a b ) 8 .

高中数学必修四人教版2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角11ppt课件

平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式．
基础梳理一、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2)，a· b＝__________(坐标形式)．这就是说：(文字语言)两个向量的数量积等于____________．
(b＋c)＝________. 则 a·
3．已知 a＝(－3，4)，b＝(2，－2)，则(a＋b)2＝________.
1．5
29
－7
2.－3
3.5
4．已知向量a，b满足 (a＋2b) · (a－b)＝－6，且 |a|＝1，|b|＝2 ，则a 与b的夹角为________．
(a－b)＝－6，解析：(a＋2b)· 则 a2＋a· b－2b2＝－6，即 12＋a· b－2×22＝－6，a· b＝1， a· b 1 所以 cos〈a，b〉＝＝， |a|· |b| 2 所以〈a，b〉＝60° 答案：60°
∴θ＝45° .
(2)解法一：a－λb＝(4＋2λ，3－λ)，2a＋b＝(6，7)， ∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直， (6，7)＝0. ∴(4＋2λ，3－λ)· 解得 λ＝－9. 解法二：∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直， ∴(a－λb)· (2a＋b)＝0， ∴2a2＋(－2λ＋1)a· b－λb2＝0， 2 2 2 2 a b | | | | 又＝ 4 ＋3 ＝5，＝－2 ＋1 ＝ 5， (－2，1)＝－8＋3＝－5， a· b＝(4，3)· ∴50－5(－2λ＋1)－5λ＝0，解得 λ＝－9.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_课件(人教A版必修4)

栏目导引
第二章
平面向量
小结
1.向量数量积的坐标表示
2.向量模的计算 3.平面内两点间的距离公式. 4.向量垂直的等价条件
栏目导引
第二章
平面向量
栏目导引
2 5 答案： 5
栏目导引
第二章
平面向量
想一想
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？
提示：向量 a 在向量 b 方向的投影为|a|cos 〈a， b〉， a· b 而 cosθ ＝ . |a||b| a·b x1x2＋y1y2 ∴|a|cosθ ＝＝ 2 2 . |b| x2＋y2
两个向量垂直
x1x2＋y1y2＝0 a⊥b⇔_________________
栏目导引
第二章(1 ， 2) ， b ＝ (2 ， 3) ，则 a· b＝ ________．解析：a· b＝1×2＋2×3＝8. 答案：8
栏目导引
第二章
平面向量
2.三个重要公式
栏目导引
第二章
平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
数量积的坐标运算
例1 已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a· b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)· (a－b)．
【解】
(1)∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
∴a· b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
栏目导引
栏目导引
第二章
平面向量
两个向量的夹角问题
例2 已知 a ＝ (1 ， 2) ， b ＝ (1 ， λ ) ，分别确
定实数 λ 的取值范围，使得 (1)a 与 b的夹角为

新课标高中数学人教A版必修四全册课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第十六页，编辑于星期日：十三点十九分。
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和. 即
第十七页，编辑于星期日：十三点十九分。
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即
a b x1 x2 y1 y2 .
第十八页，编辑于星期日：十三点十九分。
第三十三页，编辑于星期日：十三点十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.106到P.107;
2.2. 《习案》作业二十四.
第三十四页，编辑于星期日：十三点十九分。
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量
的坐标.
2. 在△ABC中，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
第五页，编辑于星期日：十三点十九分。
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
设 a、b 为两个非零向量 , e 是与 b 同向的单位向量 .
第六页，编辑于星期日：十三点十九分。
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量 , e 是与 b
同向的单位向量 .
(1) e a a e a cos .
a b 及 a、b 间的夹角 (精确到1o ).
第二十八页，编辑于星期日：十三点十九分。
讲解范例: 例3. 已知 a (1, 3 ),
b ( 3 1, 3 1), 则 a 与 b 的夹角是多少 ?
第二十九页，编辑于星期日：十三点十九分。
讲解范例:
例3. 已知 a (1, 3 ), b ( 3 1, 3 1),
2.平面内两点间的距离公式: (1) 设 a ( x , y), 则

高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

预习新知
目标导航预习导引
导学探究
触类旁通
1
2
3
4
3.两向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
预习新知
目标导航预习导引
导学探究
触类旁通
1
2
3
4
4.向量的夹角公式已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其夹角为 θ,则 cos �� 1 �� 2 +��1 ��2 θ= (0≤θ≤π).
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预新知目标导航预习导引
导学探究
触类旁通
学习目标重点难点
1.会用坐标表示平面向量的数量积; 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角; 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系 . 重点:用坐标表示平面向量的数量积; 难点:用坐标求向量的模及两向量的夹角.
2 +�� 2 �� 2 +�� 2 �� 1 1 2 2
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
知识精要
迁移应用
一、平面向量数量积及模的坐标表示
1.数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用:数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算数量积的一个公式;它实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来. (2)记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”. 2.数量积坐标表示的意义 (1)由数量积坐标表示,可不求向量的模和夹角直接求数量积,使得数量积的计算更为方便、简单. (2)实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.

高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4

思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),且满足条件(8ab)· c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=8(1,1)-(2,5)=(8,8)-(2,5)=(6,3). ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=6×3+3x=18+3x=30. ∴x=4. 答案:C
3π ��· �� -5 2 = =- . |��||��| 5· 10 2
∵θ∈[0,π ],∴θ= 4 .
答案:(1)C (2)
3π 4
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的打“×”. (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x 2-y1y 2=0. ( ) (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二向量垂直的问题【例3】 (1)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于 ( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 (2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别在AB,AD上,且AE=1,则当 DE⊥CF时,AF= . 解析:(1)由已知得a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a· (a-b)=0. ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).

数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)

4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），

则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为，（ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为， 4 求k的值.

高中数学人教A必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

��1 ��2+��1 ��2
2 ��2 1+��1 2 ��2 2 +��2
求解.
-15-
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
题型一题型二题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
-12-
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
题型一题型二题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练 2】已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足( a+c) ∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( ) A. C.
-2-
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI

平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有下表:
��· �� ⇔ cos θ= |��||��|
2 2 ��1 + ��2 ;
��1 ��1 +��2 ��2
2 2
2 ��2 1 +��2 ��1 +��2

2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1 课件(人教A版必修4)

(3)向量垂直的坐标表示：由向量数量积的定义，a·b＝
|a||b|·cosθ＝x1x2＋y1y2，所以 a⊥b⇔a·b＝0(|a|·|b|≠0)⇔x1x2＋ y1y2＝0 .
已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构
成的集合是( )
A．{2,3}
B．{－1,6}
C．{2}
数量积；对于∠ACB的大小，则可以通过模长获得．
[解析] 由题，A→B＝(3，－1)，A→C＝(－1，－3)， ∴A→B·A→C＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴A→B⊥A→C. 而|A→B|＝ 10，|A→C|＝ 10， ∴∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
第二章
平面向量
第二章
2．4 平面向量的数量积
第二章
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
[答案] －12 2
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ 2，a与b的夹角为45°，若λb－a与 a垂直，则λ＝________.
D．{6}
[答案] C
[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)， ∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构成的集合是{2}．
3．向量夹角的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，由数量积的
定义
a·b
a·b＝|a||b|cosθ，得cosθ＝ |a||b| ，
[答案] 2
3．若i，j是平面直角坐标系xOy中的正交基底，且|i|＝|j| ＝1，a＝3i＋4j，b＝7i＋j，则a·b＝________，|a|＝ ________，|b|＝________，向量a与b的夹角θ为________．

高中数学人教A版必修4课件：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

12
12
ab
x12 y12 x22 y22
【点拨】(1)向量垂直的坐标表示
向量垂直与向量平行的条件容易混淆,注意以下特点
坐标表示
记忆口诀
垂直平行
a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 a∥b⇔x1y2-x2y1=0
对应相乘和为0 交叉相乘差为0
(2)向量夹角θ的范围
x1x2+y1y2>0 x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2<0
4.已知向量a,b满足a=(-4,3),a+b与a-b垂直,则|b|的值是________. 【解析】因为a+b与a-b垂直,所以(a+b)·(a-b)=a2b2=0,所以b2=a2=25,所以|b|=5. 答案:5
类型一数量积的坐标运算
【典例】1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)·b=
所以 A EB F ＝ 2. 答案: 2
【方法技巧】关于向量数量积的运算 (1)在计算数量积的过程中,注意数量积运算律的应用, 强调先化简再代入坐标运算. (2)注意平面向量基本定理的应用,利用已知坐标的向量表示未知向量后计算.
(3)在特殊图形中,如等腰三角形、矩形、正方形等可以通过建立直角坐标系,表示出向量的坐标后计算.
【解析】(1)方法一:2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), 所以2a·(b-a)=(2,6)·(1,2)=2×1+6×2=14. 方法二:2a·(b-a)=2a·b-2a2 =2(1×2+3×5)-2(1+9)=14.
(2)方法一: a+2b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13), (a+2b)·c=(5,13)·(2,1)=5×2+13×1=23. 方法二:(a+2b)·c=a·c+2b·c =1×2+3×1&#坐标

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