2017-2018学年北师大版九年级数学下册第二章教学课件：2 二次函数的图象与性质(第3课时) (共17张PPT)
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减
小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
小结
拓展
2.不同点: 只是位置不同
(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0.
2 二次函数的图象与性质（3）
回忆一下 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增 减变化情况: 1)y=ax2
2)y=ax2+c
请说出二次函数y=ax² +c与y=ax² 的平移关系. 当c>0时,向上平移c个单位 y ax2 c 2 y=ax 当c<0时,向下平移 c 个单位
温故引新 看黑板填下表，回答问题： 抛物线 y = 2 x2 开口方向 向上 向上 对称轴 直线x=0 直线x=0 顶点坐标 ( 0,0 ) ( 0,3 )
小结
拓展
3.联系: y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先 沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位
(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
议一议
二次函数y=2(x-1)² 和y=2x² 的图象的关系？
1、它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 2、当x取哪些值时，y的值随x 值的增大而增大？当x取 哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
右 平移_____ 1 个单位就 4、结论:将 y=2x2的图象向______
得到y=2(x-1)² 的图象.
2
3
x
y
y=2(x+1)2
5 4
1 0 -1 1 2 3 x
y
y=2(x+1)2
5 4
y=2x2
y=2(x-1)2
3 2.
1 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 x
二次函数y=2(x-1)2+2与y=2(x-1)2-2的图象和抛物线 y=2x² ,y=2(x-1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点 坐标分别是什么?
想一想,二次函数y=2(x+1)2+2与y=2(x+1)2-2的图 象和抛物线y=2x² ,y=2(x+1)2
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和 性质.
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系 一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)² +k的
图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿
y =2x2+3
上 平移_3 y =2x2+3图象可以由y =2x2的图象向____ __个单 位得到.
做一做 比较函数y =2x2与y =2(x-1)2 的图象 ⑴完成下表,并比较2x2和2(x-1)2的值,它们之间有什么关 系?
x
y 2 x2
y 2 x 1
2
-3 18 32
-2 8 18
-1 2 8
0 0 2
1 2 0
2 8 2
3 18 8
4 32 18
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=2x2和y=2(x-1)2的 图象．
在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2的图象
y
y=2x2
5 4 3 2 1
1 2 3
y=2(x–1)2
4 5 x
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0
时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当 k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它的开
口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表：
5、猜一猜： y=2(x+1)² 的图象是怎么样的？它的图象
与y=2x2 的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
左 平移_____ 猜测：将y=2x2 的图象向_____ 1 个单位就得 到y=2(x+1)² 的图象.
y
5
4 3 2. 1 -3 -2 -1 0 -1
y=2x2
y=2(x-1)2
1
向下
在对称轴的左侧,y随着x 的增大而增大. 在对称轴 的右侧, y随着x的增大而 减小.
最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
+k与y=ax² 的关系 小结 拓展 二次函数y=a(x-h)² 1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
抛物线
顶点坐标 直线x=h 对称轴 位置 由h和k的符号确定 开口方向 向上
在对称轴的左侧,y随着x的 增减性 增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增 大.
y=a(x-h)2+k(a>0) （ -h ， k ）
y=a(x-h)2+k(a<0)
（ -h， k） 直线x=h 由h和k的符号确定
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北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 (章末复习)课件(共85张PPT)
－12b＋c＞0，故 414a－12b＋c＞0，即 a－2b＋4c>0 √ 由抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝－13，知 a＝32b，而当 x＝－1
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
北师版九年级下册数学精品教学课件 第二章二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
C．b＝－9，c＝－5
D．b＝－9，c＝21
解析：y＝x2－3x＋5 化为顶点式为
y＝(x－
3 2
)2＋ 141.
将 y＝(x－3 )2＋11 向左平移 3 个单位长度，
2
4
再向上平移 2 个单位长度，
即为 y＝x2＋bx＋c.则
y＝x2＋bx＋c＝(x＋
3 2
)2＋ 19
4
，
化简后得 y＝x2＋3x＋7，
2
答：对称轴是直线 x = 6,顶点坐标是（6，3）.
问题3
二次函数y 1 (x 6)2 3 2
可以看作是由y 1 x2 2
怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 6
个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个
单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21的图象
O (1)
如果 a > 0，当x< b 时，y 随
2a
x 的增大而减小；当 x > b
2a
时，y 随 x 的增大而增大；当
x x= b 时，函数达到最小值，
2a
最小值为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
y x b
2a
O
x
(2)
如果 a < 0，当 x < b 时，y 随 x
顶点坐标 对称轴
(1,1)
x=1
(0,-1)
y轴
(
1 3
,-6)
直线
x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1 最小值-6
北师大版初中九年级下册数学课件 《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT课件7
解：（1）当h=15时， t2－4t＋3=0 t1=1，t2=3
20t–5t2=15
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
15m
1s
3s
20m 2s
（2）当h=20时， t2－4t＋4=0 t1=t2=2
20t–5t2=20
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，
20t–5t2=20.5
第二章二次函数
二次函数与一元二次方程
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
x y x ______是自变量，____是____的函数。
当y=0时，
ax²+bx+c=0
ax²+bx+c=0
这是什么方程？
一元二次方程与二次函数有什么 关系？
九年级上册中我们学习了 “一元二次方程”
实际问题
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛 物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间 具有关系：h=20t–5t2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到15m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到20m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
探究
下列二次函数的图象与x轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1）y=2x2＋x－3
（2）y=4x2－4x+1
y
（3）y=x2–x+1
o
x
令y=0，解一元二次方程的根
2,2二次函数的图象与性质 第三课时-九年级数学下册课件(北师大版)
2 二次函数的图 象与性质
第3课时
复习回顾：
二次函数 y =ax ²的性质
函数y＝ ax 2
图象
开口 方向
a＞0
向上
顶点坐标 对称轴
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
a＜0
向下
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
续表：
函数y ＝ax 2
增减性
最值
a＞0
当x＞0时，y 随x 的增大而增大 当x＝0时， 当x＜0时，y 随x 的增大而减小 y最小值＝0
总结
函数 y＝ax 2＋c (a≠0)与函数y＝ax 2(a≠0)图象特征：
只有顶点坐标不同，其他都相同．
1 抛物线 y＝ax 2＋(a－2)的顶点在x 轴的下方，则a 的取 值范围是_a_＜__2__且__a_≠__0_．
2 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( D )
A．y＝ 1 x
数的表达式为y＝x 2－1.
总结
平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加 或减的数值．
例4 抛物线 y＝ax 2＋c 与抛物线 y＝－5x 2的形状相同，
开口方向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的
函数表达式是什么？它是由抛物线y＝－5x 2怎样平移
得到的？
导引：由两抛物线的形状、开口方向相同，可确定a 的值； 再由顶点坐标为(0，3)可确定c 的值，从而可确定
＜－1，∴y3＜y2＜y1.
总结
对于在抛物线的对称轴两侧的函数值的大小比较，运用 转化思想．先根据对称性将不在对称轴同侧的点转化为在对 称轴同侧的点，再运用二次函数的增减性比较大小．
1 对于二次函数 y＝3x 2＋2，下列说法错误的是( C )
第3课时
复习回顾：
二次函数 y =ax ²的性质
函数y＝ ax 2
图象
开口 方向
a＞0
向上
顶点坐标 对称轴
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
a＜0
向下
(0，0)
y 轴(直线 x＝0)
续表：
函数y ＝ax 2
增减性
最值
a＞0
当x＞0时，y 随x 的增大而增大 当x＝0时， 当x＜0时，y 随x 的增大而减小 y最小值＝0
总结
函数 y＝ax 2＋c (a≠0)与函数y＝ax 2(a≠0)图象特征：
只有顶点坐标不同，其他都相同．
1 抛物线 y＝ax 2＋(a－2)的顶点在x 轴的下方，则a 的取 值范围是_a_＜__2__且__a_≠__0_．
2 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( D )
A．y＝ 1 x
数的表达式为y＝x 2－1.
总结
平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加 或减的数值．
例4 抛物线 y＝ax 2＋c 与抛物线 y＝－5x 2的形状相同，
开口方向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的
函数表达式是什么？它是由抛物线y＝－5x 2怎样平移
得到的？
导引：由两抛物线的形状、开口方向相同，可确定a 的值； 再由顶点坐标为(0，3)可确定c 的值，从而可确定
＜－1，∴y3＜y2＜y1.
总结
对于在抛物线的对称轴两侧的函数值的大小比较，运用 转化思想．先根据对称性将不在对称轴同侧的点转化为在对 称轴同侧的点，再运用二次函数的增减性比较大小．
1 对于二次函数 y＝3x 2＋2，下列说法错误的是( C )
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
九年级数学北师大版下册课件：第二章 2.1 二次函数(共24张PPT)
第二章 二次函数 2．1 二次函数
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
北师大版九年级数学下册二次函数的图象与性质PPT精品课件3
y
-4 -3 -2
y=-x2
-1 -20 -4 -6 -8 -10
1 234
-12 -14 -16
顶点都是 原点(0,0).
-18
二y=次-3x函2的数图y=象-2形x2状、y=-2x2
与y=-x2一样,仍是 抛物线.
y=-3x2
-20 -22
-24
-26
-28
二次项系数a<0,开口都向下;对 -30
二次函数
y
1 2
x 2，y
3x2 ，y
x2
的共有性质是（C）。
A.图像开口都向上 B.图像都有最低点 C.图像都关于y轴对称 D.y随x的增大而减小
例题讲解 解
例3 . 若抛物线 y (2m 1)x2的图像开口向下，则 的取值范围是（B）.
A. m 0
B. m 1 2
C. m 1 2
1 D. m
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
2
下课了!
1. 中国人只要看到土地，就会想种点 什么。 而牛叉 的是， 这花花 草草庄 稼蔬菜 还就听 中国人 的话， 怎么种 怎么活 。
2. 中国人对蔬菜的热爱，本质上是对土 地和家 乡的热 爱。本 诗主人 公就是 这样一 位采摘 野菜的 同时， 又保卫 祖国、 眷恋家 乡的士 兵。
九年级数学下册 2 二次函数课件 (新版)北师大版
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移 得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10，
a
b
c
4，
4 a 2 b c 7，
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
第二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，
y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图 象与x轴交点的横坐标．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移 得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10，
a
b
c
4，
4 a 2 b c 7，
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
第二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，
y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图 象与x轴交点的横坐标．
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(2)》公开课课件.ppt
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1
二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
二次函数y=ax2+c的图象和性质
北师大版 九年级（下）
2 二次函数的图象与性质（2）
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x
… -3 -2 -1 0
1
2
3…
y=x2 … 9
4
1
0
1
4
9…
y=2x2 … 18 8
2
0
2
8 18 …
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是 什么样?
二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2 y3x2 1
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数y=2x2+1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y2x2 1
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
2017-2018学年北师大版九年级数学下册第二章教学课件：2.2.4 二次函数图象性质四 (共14张PPT)
直接画函数Y=AX²+BX+C的图象
如果画出函数y=3x2-6x+5的图象？
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
y 3x 12 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
描点、连线
函数Y=AX²+BX+C的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利
第二章 二次函数 2.2.4 二次函数的图像性质（四）
二次函数Y=AX²+BX+C的图象
我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图 象,顶点坐标为（h,k）,通过平移抛物线 y=ax2可以得到。 二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式 吗？
怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
2a
4a
的平方
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
这个结果通常 称为求顶点坐
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
标公式.
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线: x b . 2a
它的顶点是
它的顶点是
b 2a
,
4ac 4a
b2
.
它与y=ax²形状相同，只是位置不同，可由y=ax² 平移得到。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质