四川省绵阳市2019届高三第三次诊断性考试 数学(理)试题
绵阳市高中2016级第三次诊断性考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知集合 A={＜31|x x ≤}，N={1,2}，则=N M
A. {1}
B. {1,2}
C. 0
D.[1, 2]
2.已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)1(,则=||z A. 21 B. 2 C. 2
2 D.1 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系。
如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况。
根据该折线图，下列结论中不正确的是
A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大
B.这两年的最大仓铋指数都出现在4月份
C.2018年全年仓储指数甲均饥明显低于2017年
D.2018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显
4.已知变量y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤≥021||0y x y x ，则22y x +的最大值为
A.10
B.5
C.4
D.2
5.将函数)62sin()(π-
=x x f 的图像向左平移6π个单位，得到)(x g 的 解析式为
A. x x g 2cos )(=
B. x x g 2cos )(-=
C. x x g 2sin )(=
D. )3
2sin()(π
+=x x g 6.已知{n a }是正项等比数列，且5814a a a =, 4a 与62a 的等差中项为18, 则=5a
A. 2
B. 4
C. 8
D.16 7.函数2ln )(x x x f =的大致图象为
8.己知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面枳分别为6, 8, 12,则铁球的直径最大只能为 A. 3 B. 2 C. 5 D.4
9.己知双曲线E: 122
22=-b y a
x (a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，以原点O 为圆心,OF1为半径作圆，与双曲线E 相交，若顺次连接这些交点和F1,，F2恰好构成一个正六边形， 则双曲线E 的离心率为 A. 3 B. 2 C. 13+ D.3
10.在5)21(x x
-+的展开式中, 2x 项的系数为 A. -50 B. -30 C. 30 D. 50 11.若+∈R z y x ,,,且 z
y x 1243==，N n n n z y x ∈+∈+),1,(,则 n 的值是 A. 2 B. 3 C. 4 D.
12.已知抛物线C: x y 42=的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两
点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N,在直线0:=++a y x l 上存在一点Q ，使得
090=∠MQN ,则实数a 的取值范围为
A. [-13, 3]
B.[-3, 1]
C. [-3. 13]
D. [-13. 13]
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数⎩
⎨⎧≥≤--=3,x 4),-f(x ＜3,1,12)(x x x f ，则=)9(f 。
14.己知向量)1,(cos ),1,2(sin αα==b a ，若2<<0,∥β
αb a ，则
=α 。
15.在 《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法。
现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如右图所示，财该五面体的体积为 。
16.己知数列{n a }的前n 项和为n S , 3,121==a a ,且)2(2211≥+=+-+n S S S n n
n n ，若，n n n a S )2(7)(λλλ-≥++-对任意*∈N n 都成立，则实数)λ的最小值为 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演其步骤。
第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一）必考题；共60分。
17. (12分）
已知ABC ∆的内角A ， B, C 所对边分别为a 、 b 、c ， 且 c b C a -=2cos 2.
(1)求角A 的大小；
(2)若AB=3, AC 边上的中线SD 的长为13，求ABC ∆的面积。
18. (12分）
甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机， 其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元。
假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货 车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
(1)现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3填中转车数都不小于40的概率；
(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X(单位：元)，求X 的分布列和数学期望E(X)；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由。
19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底而ABCD 是菱形，且 PA=AD=2, 0120=∠=∠BAD PAD ，
E, F 分别为PD ，BD 的中点，且2
6=
EF 。
(1)求证：平面PAD 丄平面ABCD ；
(2)求锐二面角E-AC-D 的余弦值.
20. (12 分） 已知A 焦距为52的椭圆E: 122
22=+b y a
x (a>b>0)的右顶点，点P(0，32), 直线PA 交椭圆E 于点B ，=.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设过点P 且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点(W 在P 、N 之间），若四边形MNAB 的面积是PMB ∆面积的5倍。
求直线l 的斜率k 。
21.（12分）
已知函数))(2ln 2
1)(2R a ax x ax x x f ∈++-=有两个不同的极值点21,x x ，且21＜x x 。
(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证：2
21＜x a x 。
(二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22,[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
在平面直角坐标系xOy 中，以原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8)2cos 1(=+.
(1)求曲线C 的普通方程；
(2) 直线l 的参数方程为t t y t x (sin 1,cos ⎩⎨⎧+==α
α为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为
A ，B,当|FA |•|FB|取最小值时，求直线l 的直角坐标方程。
23. [选修4-5:不等式进讲] (10分）
已知函数|||12|)(m x x x f ++-=.
(l)当m=l 时，解不等式3)(≥x f ；
(2)证明:对任意|||1|)(2,m m x f R x -+≥∈。
2022届四川省绵阳市(三模)高三第三次诊断性考试理科数学试题及答案
绵阳市高中2019级第三次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数()()2i 4i z =--，则z 的共轭复数为（ ） A ．76i --B ．76i -+C ．76i -D ．76i +2．已知集合{}21A x x <，{}2x B x e =<，则A B ⋂=（ ） A ．()1,1-B ．()1,ln 2-C ．()0,ln 2D ．()ln 2,13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．已知α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，若αβ∥，则“m α⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知函数()11xf x x -=+，则（ ）A ．()f x 在()1,-+∞上单调递增B ．()f x 的图象关于点()1,1-对称C ．()f x 为奇函数D ．()f x 的图象关于直线y x =对称6．若抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线:320l y x y p =-+=与抛物线交于A ，B 两点，且3AF BF =+，则AB =（ ） A ．23B ．3C ．2D ．47．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．1C 2D 38．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ）A ．11.5尺B ．13.5尺C ．12.5尺D ．14.5尺9．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-=相切，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3-C ．()6,4-D ．()0,210．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A 、B 、C 三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（ ）A ．12B ．625C ．716D ．4911．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形．将该几何体完全放置在一个球内，则满足条件的球的最小体积为（ ）A ．43πB ．8πC ．323π D ．82312．在给出的①ln 21e <；②329ln 32e >；③0.2ln 3e >．三个不等式中，正确的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1x y C a b-=（其中0a >，0b >）的焦距为5渐近线的斜率为2，则a =______．14．在等边△ABC 中，4AB =，4BC BD =，则AD CA ⋅=______．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，15n n a S +=+，则5S =______． 16．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为棱1AA 上靠近于点1A 的三等分点，点Q 为棱CD 上一动点．若M 为平面1D PQ 与平面11ABB A 的公共点，N 为平面1D PQ 与平面ABCD 的公共点，且点M ，N 都在正方体的表面上，则由所有满足条件的点M ，N 构成的区域的面积之和为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知cos 2cos b A a B ⋅=⋅，且tan 3C =-．（1）求角B 的大小；（2）若3c =，求△ABC 的面积S ． 18．（12分）随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137（1）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（结果保留整数） （2）若用nx y me =模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为0.3337.7x y le =，经计算该模型和第（1）问中模型的2R （2R 为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值 ； （3）你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 参考数据：设ln u y =，其中ln i i u y =．yu ()()61iii x x yy =--∑()()61iii x x u u =--∑3.63e5.94e144 4.78841 5.70 37.71 380参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，已知AD BC ∥，120BAD ∠=︒，22AB BC PA AD ====，△PBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：PB ⊥平面PCD ；（2）求二面角B PA D --的平面角的余弦值． 20．（12分）已知椭圆2222:1x y E a b +=（其中0a b >>）的离心率为22，直线y x m =+与E交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且12x x >，当0m =时，222a AB b=．（1）求椭圆E 的方程；（2）在直线143x =上是否存在点P ，使得AP AB =，AP AB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）函数()()ln 11f x x x a x =-++．（1）若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ，最小值为n ，求m n -的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22,3222,32x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的方程为22x y x y +=+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E 的极坐标方程为θα=，0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程； （2）若E 与l 交于点A ，E 与C 交于点B ，求OA OB的取值范围．23．【选修4—5：不等式选讲】（10分） 已知函数()f x x =．（1）求关于x 的不等式()()121f x f x x -+-≥+的解集； （2）求证：()()()()()()11f a b f a f b f a b f a f b ++≤++++．绵阳市高中2019级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DBCAD ABBAB DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．24．10-15．9116．192三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）∵cos 2cos b A a B ⋅=⋅，由正弦定理得B A A B cos sin 2cos sin ⋅=⋅，即A B tan 2tan =． ……………………………………………………………………2分 ∵tan C =-3，A +B +C =π，∴2tan tan 3tan tan tan[()]tan()31tan tan tan 2A B BC A B A B A B B π+=-+=-+=-==--⋅-，解得tan B =1或-2． ∵tan C =-3，∴C 为钝角，B 为锐角， ∴tan B =1，即4B π=．……………………………………………………………………6分（2）∵tan C =-3，∴310sin C =10cos C =． ……………………………………………………8分 ∵A +B +C =π，∴A =π-(B +C )，∴sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=⋅+⋅ 21023105()=+． ………10分 由正弦定理Cc Aa sin sin =，得sin sin c A a C ⋅=． ∵c =3，∴532310a ==∴△ABC 的面积1123sin 23222S ac B ===． ……………………………12分18．解：（1）∵123456 3.506x +++++==，∴621()17.5i i x x =-=∑， ∴61621()()8414817.5()ii i ii xx y y b xx ==--==≈-∑∑． …………………………………………………3分 又144y =，∴14448 3.524a y bx =-=-⨯=-．∴y 关于x 的线性回归方程为4824y x =-． …………………………………………5分 （2）若利用线性回归模型，可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 48724312y =⨯-=（万辆）．…………………………………………………………7分若利用模型0.3337.71e x y =，则ln 3.630.33y x =+，即 3.630.33e ˆxy+=．∴2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 3.630.337 5.94e e 380y +⨯===（万辆）．…………………………………………9分 （3）∵0.71<0.87，且2R 越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴用模型0.3337.71e x y =得到的预测值更可靠．……………………………………12分 19．解：（1）证明：设点M 为BC 的中点，连接PM ，MA ． ∴PM BC ⊥，且PM =1．在△ABM 中，可得3MA =，且MA BC ⊥， 又MC //AD ，且1MC AD ==， ∴四边形AMCD 为矩形，∴AM //CD ．…………………………………………………………………………2分 在△P AM 中，可得222PA AM PM =+， ∴PM MA ⊥，即PM CD ⊥． 又BC CD ⊥，PMBC M =，直线PM ，BC 均在平面PBC 内，∴平面CD PBC ⊥．……………………………………………………………………4分 又⊆PB 平面PBC ， ∴PB CD ⊥，z yx MA CD P又PB PC ⊥，PC CD C =，∴PB PCD ⊥平面．……………………………………………………………………6分 （2）以M 为坐标原点，分别以MA ，MC ，MP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ．由题意得M (0，0，0)，A 30，0)， P (0，0，1)，B (0，1-，0)，D (31，0)， ∴PA =30，1-)，PB =(0，1-，1-)， 设平面PAB 的一个法向量为n 1=(x ，y ，z )．300x z y z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，， 不妨设3=x n 1=33-，3)．………………………………9分同理可得平面PAD 的一个法向量为n 2=30，3)．∴cos<n 1，n 2>=1212272112⋅==⋅⋅n n n n …………………………………………11分 由图可知，所求二面角的平面角为钝角，∴二面角B -PA -D 的平面角的余弦值为27．……………………………………12分20．解：（1）∵2c e a ==，222a b c =+，∴222a b =．…………………………………2分 ∴222||4a AB b==，由题意得点A 的坐标为(22)，．代入椭圆方程得22221a b+=．联立解得23b =，26a =．∴椭圆E 的方程为22163x y +=．………………………………………………………5分（2）联立22163，，y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理得2234260x mx m ++-=．由221612(26)0m m ∆=-->，解得33m -<<．由韦达定理得1243mx x +=-，① 212263m x x -⋅=．② …………………………7分若存在点P ，使得||||AP AB =，AP AB ⊥，则214()3，P y ．且直线AP 的斜率为2121111141433y y x x k x x --===---，即211423x x =-．③ ………………9分联立①②③得21128170m m ++=，解得1m =-或1711-． ∴存在点P 满足题意，此时1m =-或1711-．………………………………………12分 21．解：（1）()ln f x x a '=-．令()0f x '>，解得e a x >，()0f x '<，解得0e a x <<．∴函数f (x )在区间(0e )，a 上单调递减，在区间(e )，a +∞上单调递增． …………3分当0x →时，f (x )1→；当x →+∞时，f (x )=x [ln x -(a +1)]+1→+∞．∴要使得f (x )有2个零点，则(e )1e 0a a f =-<，解得a >0．………………………………………………………………………………5分（2）()ln [1e]，，f x x a x '=-∈，ln [01]，x ∈．i)当a ≤0时，()0≥f x '恒成立，函数f (x )在区间[1，e]上单调递增， ∴m = f (e)=1-a e ，n = f (1)=-a ．∴m -n =(1-e)a +1．令p (a )= (1-e)a +1，则函数p (a )在区间(0]，-∞上单调递减， ∴函数p (a )最小值为h (0)=1．…………………………………………………………7分 ii) 当a ≥1时，()0≤f x '恒成立，函数f (x )在区间[1，e]上单调递减．∴m = f (1)=-a ，n = f (e)=1-a e ，∴m -n =(e -1)a -1．令h (a )=(e -1)a -1，则函数h (a )在区间[1)，+∞上单调递增， ∴函数h (a )最小值为h (1)=e -2．………………………………………………………9分 iii) 当0<a <1时，由()0f x '>，解得e e ≤a x <，由()0f x '<，解得1e ≤a x <． ∴函数f (x )在区间[1e )，a 上单调递减，在区间(e e]，a 上单调递增．∴n = f (e a )=1- e a ． ①当11e 1≤a <-时，f (1)- f (e)= (e -1)a -1≥0，此时m = f (1)=-a ．∴m -n= f (1)- f (e a )=e a -a -1．令q (a )= e a -a -1，则()e 1a q a '=->0．∴函数q (a )在区间(0)，+∞上单调递增，∴函数q (a )的最小值为1()(1)e 2e 1q q <=--， ∴11e 1e 111e ()=e 1=e e 1e 1e 1q --------．………………………………………………11分 ②当10e 1a <<-时，由f (1)- f (e)= (e -1)a -1<0，∴m = f (e)=1-a e ．∴m -n= f (e)- f (e a )=e a -a e ．令ϕ(a )= e a -a e ，则()e e a a ϕ'=-<0．∴函数()a ϕ在区间(0，1)上单调递减，∴1e 11e ()()e e 1e 1a ϕϕ->=---． 综上，m -n 的最小值为1e 1e e e 1---． ………………………………………………12分 22．解：（1）将直线l 的参数方程消参，得直线l 的普通方程为43x y +=． ∵222cos sin ，，，x y x y ρρθρθ=+== 又22x y x y +=+，∴2|cos ||sin |ρρθρθ=+， ∴曲线C 的极坐标方程为|cos ||sin |ρθθ=+． ……………………………………5分（2）联立[0]2|cos ||sin |πθααρθθ⎧=∈⎪⎨⎪=+⎩，，，解得cos sin .θαραα=⎧⎨=+⎩， ∴点B 的坐标为(cos sin )ααα+，．…………………………………………………7分由题意得直线l 的极坐标方程为4cos sin 3ρθρθ+=． 联立4cos sin 3θαρθρθ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 解得4.3(cos sin )θαρθθ=⎧⎪⎨=⎪+⎩， ∴点A 的坐标为()4()3cos sin ααα+，．………………………………………………8分 ∴()()()443cos sin cos sin 31sin2OAOB ααααα==+++． ∵02πα≤≤，∴02απ≤≤， ∴0sin21α≤≤， ∴11121sin 2α+≤≤，∴24433(1sin 2)3α+≤≤． ∴2433OA OB ≤≤，即OA OB 的取值范围是24[]33，．……………………………………10分 23．解：①当x ≤1时，不等式等价于321≥x x -+，解得23≤x ，综合，23≤x ； 当1<x <2时，不等式等价于1≥x +1，解得x ≤0，综合，无解；当x ≥2时，不等式等价于2x -3≥x +1，解得x ≥4，综合，x ≥4；综上，不等式的解集为2{|4}3≤或≥x x x ．…………………………………………5分 （2）证明：不等式等价于11||||||≤||||||a b a b a b a b ++++++，要证11||||||≤||||||a b a b a b a b ++++++，只要证1||1||||||||||≥a b a b a b a b ++++++， 只要证11||||||≥a b a b ++，只要证||||||≤a b a b ++， 上式显然成立，所以原不等式成立．…………………………………………………10分。
2019年绵阳三诊理科数学Word版+答案解析
秘密★启用前【考试时间:2019年4月21日15:00～17:00】绵阳市高中2016级第三次诊断性考试数 学(理工类)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x1≤x<3},N={1,2},则M∩N=A.{1}B.{1,2}C.φD.[1,2] 2.已知i 为虚数单位,复数z 满足z(1+i)=i,则|z|=A.21B.2C.22D.1 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系.如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况.根据该折线图,下列结论中不正确的是A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B.这两年的最大仓储指数都出现在4月份C.2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D.2018年各月仓储指数的中位数与2017年各月仓储指数中位数差异明显4.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥021||0y x y x ,则22y x +的最大值为A.10B.5C.4D.25.将函数f(x)=sin(2x+6π)的图象向左平移6π个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为A. g(x)=cos2xB. g(x)=-cos2xC. g(x)=sin2xD.g(x)=sin(2x+3π)6.已知{n a }是正项等比数列,且5814a a a =,4a 与62a 的等差中项为18,则=5aA.2B.8C.8D.16 7.函数f(x)=xlnx 2的大致图象为8.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球,若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6,8,12,则铁球的直径最大只能为 A.3B.2C.5 D.49.已知双曲线E:12222=-by a x (a>0，b>0)的两个焦点分别为21,F F ,以原点O 为圆心,1OF 为半径作圆,与双曲线E 相交,若顺次连接这些交点和F 1,F 2恰好构成一个正六边形,则双曲线E 的离心率为 A.3B.2C.13+ D.310.在5)2(x xx -+的展开式中,2x 项的系数为A.-50B.-30C.30D.5011.若+∈R z y x ,,,且zyx1243==，2yx +∈(n,n+1),n∈N,则n 的值是A.2B.3C.4D.512.已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得∠MQN=90°,则实数a 的取值范围为A.[-13,3]B.[-3,3]C.[-3,13]D.[-13,13] 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
【校级联考】四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学(理)试题-644dff7bd6524d24a853b328fa456385
○…………外…………○…………内…………绝密★启用前【校级联考】四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设全集U =R ，集合A ={x|x 2−1>0}，B ={x|0<x ≤2}，则集合(C U A)∩B =（ ） A ．(−1,1)B ．[−1,1]C ．(0,1]D ．[−1,2]2．在复平面内，复数z 对应的点是Z(−1,2)，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．−1+2iB ．−1−2iC ．1+2iD ．1−2i3．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（ ） A ．7200B ．2880C ．120D ．604．已知向量a ⃑=(√2,−√2)，b ⃑⃑=(cosα,sinα)，则|a ⃑−b ⃑⃑|的最大值为（ ） A ．1B ．√5C ．3D ．95．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）○…………线…………※○…………线…………A ．-1 B ．0 C ．√22D ．16．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2437．下列说法中错误的是（ ）A ．先把高二年级的1000多学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150……的学生，这样的抽样方法是系统抽样法B ．正态总体N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1、a 、2、3的平均数是2，则该组数据的众数和中位数均是2 8．A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=1上两个动点，且∠AOB =120°，A ，B 到直线l ：3x +4y −10=0的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2的最大值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．已知四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，等腰直角三角形ABC 的斜边AC 为2，DC =2√2，则这个球的表面积为（ ） A ．25π4B ．8πC ．12πD ．16π10．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则f(x)的单调递增区间为（ ） A ．[−5π12+kπ,π12+kπ]，k ∈Z B ．[−π3+kπ,π6+kπ]，k ∈ZC ．[−5π12+2kπ,π12+2kπ]，k ∈ZD ．[−π12+kπ,5π12+kπ]，k ∈Z11．在数列{a n }中，已知a 1=1，且对于任意的m,n ∈N ∗，都有a m+n =a m +a n +mn ，则∑1a i=2019i=1（ ）201920182019202112．已知定义在R上的函数f(x)关于y轴对称，其导函数为f′(x).当x≥0时，不等式xf′(x)>1−f(x).若对∀x∈R，不等式e x f(e x)−e x+ax−axf(ax)>0恒成立，则正整数a的最大值为（）A．1B．2C．3D．4……○…………装※※请※※不※※……○…………装第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件{3x −2y ≥03x −y −3≤0y ≥0 ，则yx−4的最小值为_____．14．已知等比数列{a n }中，a 2=2，a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+...+a 5a 6=_______．15．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)+f(x +2)=0，且f(1)=−2，则f(2019)+f(2018)的值为__________．16．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆O ：x 2+y 2=5有公共点P(1,−2)，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________． 三、解答题17．槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A ，B 两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（1）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a ≥b 的概率；（2）从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中随机抽取3人，求被抽到B 班同学人数的分布列和数学期望.18．如图，在ΔABC 中，已知点D 在BC 边上，且AD ⊥AC ，sin∠BAC =2√77，AD =1，AB =√7.订…………○……………○……__考号：___________订…………○……………○……（1）求BD 的长； （2）求ΔABC 的面积.19．如图，在棱长为1的正方体PB 1N 1D 1−ABND 中，动点C 在线段BN 上运动，且有BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAD⃑⃑⃑⃑⃑⃑(0<λ≤1).（1）若λ=1，求证：PC ⊥BD ；（2）若二面角B −PC −D 的平面角的余弦值为−5√1122，求实数λ的值. 20．已知点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l ：x =4的距离的比是常数12，点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 1：y =kx 交曲线C 于A ，B 两点，当点M 不在A 、B 两点时，直线MA ，MB 的斜率分别为K 1，K 2，求证：K 1，K 2之积为定值. 21．已知函数f(x)=ax 2+(a −2)x −lnx . （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a 的取值范围. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=4cosθ，过点P(2,−1)的直线l 的参数方程为：{x =2+t y =−1−t（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求线段|MN |的长和|PM |⋅|PN |的积. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)=|x −2|−|x −1|.（1）若正数a，b满足a+2b=f(−1)，求2a +1b的最小值；（2）解不等式f(x)>12.参考答案1．C【解析】【分析】解出集合A，再求出C U A，再利用交集概念求解。
2019届四川省教考联盟高三第三次诊断性考试理科综合试题(详细答案)-精品
12.按 如 图装 置进行 实验 (a、 b电 极 均 为 Cu单 质 ),实 验 开始 观察 到灵 敏 电流计 的指 针 发 生偏 转 。
下列有关说法正确 的是
灵敏 电流计
100mLO.1mol/L Cus04溶 液
100rnL0.31nol/L Cuso4溶 液
A。 b极 电极 反应 为 Cu-2e~=—=Cu2+
距 月球 表 面 1OO km的 环 月卫 星 。若 已知地 球 质量是 月球 质量 的 81倍 ,地 球 半径 为月球半 径
的
A。
4倍 ,地 球半 径 R=6。 4× 106m,根 据 以上信
发 动机点火后对 “嫦 娥 四号 ”进 行加速
息下列说法
正确
的是
B。 “嫦 娥 四号 ”在 近 月 轨 道 上 的运 行 速 度 约 为 2。 4km/s
C。 乙酰胆碱 能使 突触后 膜 K+的 通 透性 明显增 大
D。 乙酰胆 碱 能使 突触 后 膜 的膜 外 电位 由正 变 负
4.下 图表示 叶 肉细胞 光合 作用 和细胞 呼 吸过程 中 H元 素 的转移途 径 。下列叙述 正确 的是
H20」⒐卜匚H彐一卫辶(CH20)堕辶EH彐 -卫辶H20
A。 ① ④过 程 能产 生 ATP,② ③过程需 消耗 ATP
B。 7.8宫 N锄 02与 足量 C02充 分反应转 移 电子 数 目为 O.2NA
C。 1.8g重 水 中所 含 中子 、原 子 的数 目分别 为 NA、 0.3NA D。 CaC03、 KHC03混 合 物粉末 10g中 氧原 子数 目为 0.3NA
9.甲 、乙 、丙 、丁 、戊 、己六 种 有 机 物 的化学 式 如 下 表 所 示 :
四川省绵阳市2019届高三第三次诊断性考试 理科数学 考试时间： 2019年4月21日
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCDAA CDBCB CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．6π 15．2416．332 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由余弦定理cos C =2222a b c ab+−，且2a cos C =2b -c ， 得2a ⋅2222a b c ab+−=2b -c ， 即b 2+c 2-a 2=bc ． ……………………………………………………………3分∴ cos A =2222b c a bc +−=12． ……………………………………………………5分 ∵ A ∈(0，π)，∴ A =3π． ………………………………………………………………………6分 （2）在△ABD 中，AB =3，BDcos A =12． 由余弦定理得13=9+AD 2-3AD ，解得AD =4(负值舍去) . ………………………………………………………9分 ∵BD 为AC 边上的中线，∴D 为AC 的中点，∴ AC =2AD =8．所以S △ABC =12AB ⋅AC sin A=1382⨯⨯= ………………………12分 18．解：（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ， 则32535023()196C P A C ==. …………………………………………………………4分其分布列为于是()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分 设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为u ，则480Y u =+，则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248.则分布列为于是()232236240244248238.85105510E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………11分 由()()E X E Y >知，若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司． …………………………12分19．解：（1）证明：过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连接AO ，BO ．由∠PAD =120º，可得∠PAO =60º．∴ 在Rt △PAO 中，PO =PA sin ∠PAO =2⨯sin60º=2……………2分 ∵ ∠BAD =120º，∴ ∠BAO =60º．又PA =AB ，∠PAO =∠BAO =60º，AO =AO ，∴ △PAO ≌△BAO (SAS )，∴ BO =PO =4分∵ E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF =，∴ EF 是△PBD 的中位线，∴ PB =2EF=2= 可得222PB PO BO =+，所以PO ⊥BO ． …………………………………………………………………5分 ∵ AD ∩BO=O ，∴ PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ． …………………………………………………6分（2）建立如图所示空间直角坐标系O -xyz .A (0，1，0)，P (0，0，，B(0，0)，D (0，3，0)，∴ E (0，32，)，F(，32，0) ． ……………………………………7分 平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0，0，1) ． ………………………………8分 设平面ACE 的法向量为n 2=(x ，y ，z ) ．又AE =(0，12，)，AF=(，12，0)， 由2200AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n得102102y x y ⎧=⎪⎪+=，， 令x =1，得y =-3，z =1.∴平面ACE 的一个法向量为n 2=(1，-3，1) ． …………………………10分 设锐二面角E -AC -D 的平面角大小为θ，则cos θ=|cos ＜n 1，n 2＞|=|1212n n n n ⋅|=5， ∴锐二面角E -AC -D的余弦值为． ……………………………………12分 20．解：（1）∵焦距为，PB BA =，∴ 522=c ，且点B 为线段AP 的中点．∵ 点P (0，)，A (a ，0)，∴ PA =2PB，(2a B ．∴由题意得c =222314a a b+=．① ……………………………………2分 又222a b c =+，即225a b =+．②联立①②解得 2249b a ==，．∴ 椭圆E 的方程为22194x y +=． ……………………………………………4分 （2）由题意，得PBM PAN S S ∆∆=6， ……………………………………………5分 即11sin 6sin 22PA PN APN PB PM BPM ⋅∠=⨯⋅∠， ∴ 3PN PM =，即3PN PM =．设11()M x y ，，12()N x y ，，则PM =(x 1，y 1-)，PN =(x 2，y 2-)，∴ (x 2，y 2-)=3(x 1，y 1-)，∴ x 2=3x 1，即213x x =．于是221110=3x x x x +，即22211()16=3x x x x +．①………………………………………6分 联立22194y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y，整理得072336)49(22=+++kx x k ． ………8分 由22)4(94)720k ∆−⨯+⨯>， 解得289k >． ∴ 49336221+−=+k k x x ，1227294x x k =+． ……………………………………9分 代入①，可解得 2329k =，满足289k >， ∴ 3k =±. ……………………………………………………………11分 即直线l 的斜率k =． ……………………………………………12分 21．解：（1）()ln f x x a x '=−，令()ln g x x a x =−，则()1(0)a x a g x x x x−'=−=>． ① 当a ≤0时，得()g x '>0，则g (x )在(0)+∞，上单调递增，所以g (x )在(0)+∞，上不可能有两个零点． …………………………………3分 ②当a >0时，由()g x '>0，解得x >a ；由()g x '<0，解得0<x <a ．则g (x )在(0)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增．要使函数g (x )有两个零点，则g (a )=a -a ln a <0．解得a >e ． ………………………………………………………………………5分（2）由x 1，x 2是g (x )=x -a ln x=0的两个根，则2211ln ln a x x a x x =⎧⎨=⎩，， 两式相减，得2121(ln ln )a x x x x −=−， 即21212211=ln ln ln x x x x a x x x x −−=−． 要证x 1x 2<a 2，即证22112221()(ln )x x x x x x −<， ……………………………………7分 即证222212111212()(ln )=2x x x x x x x x x x −<−+． 由12x x <，得211x t x =>， 只需证21ln 2t t t<−+.……………………………………………………………9分 设21()ln 2g t t t t =−−+，则22111()ln 1=(2ln )g t t t t t t t t'=−+−+． 令1()2ln h t t t t=−+， ∴ 22211()1(1)0h t t t t'=−−=−−<， ∴ ()h t 在(1，+∞)上单调递减，∴ ()h t <h (1)=0，即()g t 在(1，+∞)为减函数，∴ ()g t <(1)g =0． 即21ln 2t t t<−+在(1，+∞)恒成立． ∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分22．解：（1）由题意，得2(1cos2)2cos 8sin ρθρθθ+==，即22cos 4sin ρθρθ=． …………………………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=．∴ x 2=4y ．即曲线C 的普通方程为x 2=4y ． …………………………………………4分（2）由题可知，直线l 与y 轴交于点F (0，1)即为抛物线C 的焦点．令|FA |=|t 1|，|FB |=|t 2|，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入C 的普通方程x 2=4y 中， 整理得22cos 4sin 40t t αα−−=．由题意得cos 0α≠， 根据韦达定理得1224sin cos t t αα+=，1224cos t t α−⋅=． ……………………………7分 ∴ |FA |⋅|FB |=|t 1t 2|=24cos α≥4．（当且仅当2cos 1α=时，等号成立） ∴ 当|FA |⋅|FB |取最小值时，直线l 的直角坐标方程为1y =． ……………10分23．解：（1）当x ≤-1时，()3f x x =−≥3，解得x ≤-1； ……………………1分当-1<x <12时，()2f x x =−+≥3，解得x ≤-1．与-1<x <12矛盾，舍去．…3分 当x ≥12时，()3f x x =≥3，解得x ≥1； ……………………………………4分 综上，不等式()f x ≥3的解集为(1]−∞，-∪[1+)∞，． …………………5分（2）证明：2()4222f x x x m =−++212122x x x m =−+−++ ≥2122x x m −++ ………………………………………7分≥(22)(21)x m x +−− =21m + =(1)m m ++ ………………………………………………9分 ≥1m m +−．∴ 不等式2()f x ≥1m m +−成立． ……………………………………10分。
四川省绵阳市2019届高三数学下学期第三次诊断性考试试题理(含解析)
四川省绵阳市2019届高三数学下学期第三次诊断性考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x |1≤x ＜3}，N={1，2}，则M ∩N=（ ）A. {}1B. {}1,2C. φD. []1,2【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的定义可得所求结果．【详解】∵{}{}13,1,2M x x N =≤<=，∴{}1,2M N ⋂=．故选B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是弄清两集合交集中元素的特征，进而得到所求集合，属于基础题．2.i虚数单位，复数z 满足z （1+i ）=i ，则|z|=（ ） A. 12C. 1 【答案】B【解析】试题分析：由(1)z i i +=得1z i i =+，所以12i z i ===+，故答案为B ． 考点：复数的运算．3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）A. 2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B. 2017年、2018年的最大仓储指数都出现在4月份C. 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D. 2018年各月仓储指数的中位数与2017年各月仓储指数中位数差异明显【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐一验证各选项.【详解】通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大, 这两年的最大仓储指数都出现在4月份, 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年,所以选项A，B，C的结论都正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%，∴选项D的结论错误．故选：D．【点睛】本题考查折线图，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知变量x，y满足x0y1x y20≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则x2+y2的最大值为（）A. 10B. 5C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示可行域内的点到原点距离的平方，结合图象确定最大值取法，计算即得结果.【详解】作出变量x，y满足120 xyxy≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分），由201x yy+-=⎧⎨=-⎩解得A（3，-1）而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OA=223(1)10+-=，z=x2+y2的最大值为：10．故选：A．【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.5.将函数()πf x sin2x6⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A. ()g x cos2x= B. ()g x cos2x=- C. ()g x sin2x= D.()πg x sin2x3⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．【详解】将函数()sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后所得图象对应的解析式为sin[2()]sin(2)cos 2662y x x x πππ=++=+=． 故选A ．【点睛】解题中容易出现的错误是忽视在横方向上的平移只是对变量x 而言的这一结论，当x 的系数不是1时，在解题时需要提出系数、化为系数是1的形式后再求解．6.已知{a n }是正项等比数列，且a 1a 8=4a 5，a 4与2a 6的等差中项为18，则a 5=（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16 【答案】C【解析】【分析】根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，再根据等比数列通项公式得结果.【详解】设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a 1a 8=4a 5，a 4与2a 6的等差中项为18， ∴a 12q 7=4a 1q 4，a 4+2a 6=36即a 1（q 3+2q 5）=36，解得a 1=12，q =2，则a 5= a 1q 4=8． 故选：C ．【点睛】本题考查等比数列基本量，考查基本分析求解能力，属基础题.7.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】∵函数ln f x x x =（） ，可得()()f x f x -=- ， ()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当0x >时，()'ln 1f x x =+ ，令()'0f x > 得：1x e >，得出函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，排除B ，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据()()f x f x -=-，得出()f x 是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．8.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为（ ）B. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意求出长方体的三条棱的长度，最长棱的一半即为球的直径的最大值．【详解】设长方体三条棱的长分别为,,a b c ， 由题意得6812ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2．故选B ．【点睛】本题考查长方体的有关计算和空间想象能力，解题时要明确当球与长方体的对面都相切时半径最大，故只需求出长方体的最长棱即可，属于基础题．9.已知双曲线E ：()222210,0-=>>x y a b a b的两个焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半径作圆，与双曲线E 相交．若顺次连接这些交点和1F ，2F 恰好构成一个正六边形，则双曲线E 的离心率为（ ）B. 21 D. 3【答案】C【解析】【分析】设双曲线和圆在第一象限的交点为P ，根据正六边形可得点P 的坐标，然后再根据点P 在双曲线上得到,,a b c 间的关系式，于是可得离心率．【详解】由题意得，以原点O 为圆心的圆的半径为1||OF c =．设双曲线和圆在第一象限的交点为(,)P x y ，由正六边形的几何性质可得,22c x y ==，∴点P 的坐标为(2c． 又点P 在双曲线22221x y a b-=上， ∴22223144c c a b-=， 整理得4224840c a c a -+=，∴42840e e -+=，解得24e =+24e =-又1e >，∴24e =+∴1e =．故选C ．【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a ＝－和e=c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．10.在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 230x y ++=B. 30-C. 30D. 50【答案】B【解析】【分析】根据多项式展开式确定含2x 的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果. 【详解】521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的乘积，在这5个因式中， 有2个因式都选x -，其余的3个因式都选1，相乘可得含2x 的项；或者有3个因式选x -，有1个因式选1x ，1个因式选1，相乘可得含2x 的项， 故2x 项的系数为()231552230C C C +-⋅⋅=-，故选：B ．【点睛】本题考查乘法计数原理与加法计数原理以及多项式展开式项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题.11.若x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =12z ，x y z +∈（n ，n+1），n ∈N ，则n 的值是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】【分析】设3412x y z t ===，用t 表示出,,x y z ，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得x y z +所在的范围，进而得到答案． 【详解】设32)4(11x y z t t =>==，则3412log ,log ,log x t y t z t ===， ∴34343434121212log log log log log 12log 122log 4log 3log log log t t t t x y z t t t++==+=+=++． ∵341log 42,0log 31<<<<，∴341log 4log 33<+<；又34log 4log 32+>=，∴344log 4log 35<+<，即(4,5)x y z+∈． ∴4n =．故选C ． 【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的性质以及基本不等式，具有一定的灵活性和难度，解题的关键是用参数t 表示出,,x y z ，考查变换和计算能力．12.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ，使得∠MQN=90°，则实数a 的取值范围为（ ）A. []13,3-B. []3,1-C. []3.13-D. []13.13-【答案】A【解析】【分析】先联立直线与抛物线，根据抛物线定义以及韦达定理得线段AB 中点以及弦长，即得圆方程，再根据直线l 与圆位置关系列不等式，解得结果.【详解】过点F （1，0）且斜率为1的直线方程为：1y x =-．联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ ∴AB 的中点坐标为（3，2），|AB |=x 1+x 2+p=8，所以以线段AB 为直径的圆圆D ：22(3)(2)16x y -+-=，圆心D 为：（3，2），半径为r=4， ∵在圆C 上存在两点M ，N ，在直线l 上存在一点Q ，使得∠MQN =90°，∴在直线l 上存在一点Q ，使得Q 到C （3，2）=∴只需C （3，2）到直线l 的距离小于或等于133a ≤⇒-≤≤ 故选：A ．【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩，则(9)f = ______． 【答案】1【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.【详解】根据题意，21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩，则(9)(5)(1)2111f f f ===⨯-=； 故答案为：1．【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知向量a r =（sin2α，1），b r =（cosα，1），若a r ∥b r ， π02α<<，则α=______． 【答案】6π 【解析】【分析】先根据向量平行坐标关系得sin2α-cosα=0，再根据二倍角正弦公式化简得sinα=12，解得结果.【详解】向量a r =（sin2α，1），b r =（cosα，1），若a r ∥b r ，则sin2α-cosα=0，即2sinαcosα=cosα； 又π02α<<，∴cosα≠0，∴sinα=12，∴6πα=． 故答案：6π． 【点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，财该五面体的体积为______．【答案】24.【解析】【分析】由三视图得到五面体的直观图，然后根据几何体的结构特征，利用分割的方法求得其体积．【详解】由三视图可得，该几何体为如下图所示的五面体ABCEFD ，其中，底面ABC 为直角三角形，且90,4,3BAC AB AC ∠=︒==，侧棱,,DB EC FA 与底面垂直，且2,5DB EC FA ===．过点D 作,DH BC DG BA ∥∥，交,EC FA 分别于,H G ，则棱柱ABC DHG -为直棱柱，四棱锥D EFGH -的底面为矩形EFGH ，高为BA ． 所以211(43)2342423ABC DHG D EFGH ABCEFD V V V --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=五面体． 故答案为：24．【点睛】本题考查三视图还原几何体和不规则几何体体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于基础题．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =1，2a =3，且1122,(2)nn n n S S S n +-+=+≥，若()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立，则实数λ的最小值为______．【答案】332【解析】 【分析】先根据和项与通项关系得12nn n a a +-=，再利用叠加法得n a ，利用分组求和法得n S ， 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =1，2a =3，且1122,(2)nn n n S S S n +-+=+≥， 所以：112n n n n n S S S S +--=+-，故：12(2)nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以12(1)n n n a a n +-=≥所以：112n n n a a ---=， 2112212,,2n n n a a a a ----=⋯-= ，则：1211222n n a a --=++⋯+，故：11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以：1232222nn S n =+++⋯-+=()22121n n ---122n n +=--，所以：21nn n S a n -=--，因为()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立，所以max 27()2nn λ-≥ 设272n nn c -=则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=当4n ≤时1n n c c +>，当5n ≥时1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<<<><>L 即5332c λ≥=故λ的最小值为332． 故答案为：332【点睛】本题考查和项与通项关系、累加法求通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a 、b 、c ，且2a cosC=2b-c ． （1）求角A 的大小；（2）若AB=3，AC 边上的中线BD ABC 的面积．【答案】（1）A=π3；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=12，即得结果，（2）根据余弦定理求AD ，再根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）∵2a cosC=2b-c ，由正弦定理可得：sinAcosC+12sinC=sinB ， ∴sinB=sin（A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ．∴12sinC=cosAsinC ，∵sinC≠0，∴cosA=12， ∴由A ∈（0，π），可得角A=π3；（2）在△ABD 中，AB=3，cosA=12，由余弦定理可得：13=9+AD 2-3AD ，解得：AD=4（负值舍去）， ∵BD 为AC 边上的中线，∴D 为AC 的中点，∴AC=2AD=8，∴S △ABC =12AB•AC•sinA=1382⨯⨯．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18.甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）23196；（2）①见解析，②若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式以及组合数求结果，（2）①先确定随机变量，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式得期望，②先求甲公司日工资数学期望，再与①期望比较大小即得结果【详解】（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ，则P （A ）=325350C C =23196．（2）①设乙公司货车司机中转货车数为t ，则X=6t,t 407t 40,t 40≤⎧⎨->⎩，则X 的所有取值分别为228，234，240，247，254，其分布列为：∴E（X ）=228×110+234×15+240×15+247×25+254×110=241.8． ②设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为μ，则Y=4μ+80， 则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248，则分布列为：E （Y ）=131123223624024451055⨯+⨯+⨯+⨯+248×110=238.8．由E （X ）＞E （Y ），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司．【点睛】本题考查古典概型概率公式以及分布列和数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且2PA AD ==，120PAD BAD ∠=∠=︒，E ，F 分别为PD ，BD 的中点，且EF =.（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求锐二面角E AC D--的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）5 5【解析】【分析】（1）先过P作PO⊥AD，再通过平几知识计算得PO⊥BO，利用线面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD，再根据面面垂直判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面ACE的一个法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）过P作PO⊥AD，垂足为O，连结AO，BO，由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×323∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO3，∵E，F分别是PA，BD的中点，EF=62是△PBD的中位线，66，∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，03），B3，0，0），D（0，3，0），∴E（0，332，），F（3，32，），AEu u u r=（0，132，），AFu u u r=（3，12，0），易得平面ABCD的一个法向量mu r=（0，0，1），设平面ACE的法向量nv=（x，y，z），则13AE y z0231AF x y02nnu u u vvu u u vv⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取x=1，得nr=（1，-3，1），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos＜,m nu r r＞|=m nm n⋅⋅u r ru r r=5，∴锐二面角E-AC-D的余弦值为5．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及基本论证与求解能力，属中档题.20.已知A为焦距为25E：2222x y1ba+=（a＞b＞0）的右顶点，点P（0，3，直线PA交椭圆E于点B，PB BA=u u u r u u u r．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P且斜率为k的直线l与椭圆E交于M、N两点（M在P、N之间），若四边形MNAB 的面积是△PMB面积的5倍．求直线l的斜率k．【答案】（1）2x9+2y4=1；（2）k=±23【解析】【分析】（1）先根据条件得B 点坐标，代入椭圆方程，再与焦距联立方程组解得,,a b （2）根据面积关系得PN 3PM =u u u r u u u r，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理建立等量关系解得斜率. 【详解】（1）由题意，得焦距，∵PB BA =u u u r u u u r，所以点B 为线段AP 的中点，因为点P （0，），A （a ，0）， ∴B（2a， 因为点B （2a）在椭圆E 上，∴224a a +23b=1，即b 2=4，a 2=b 2+c 2=9，∴椭圆E 的方程为2x 9+2y 4=1．（2）由题可得S △PAN =6S △PBM ，即12|PA|•|PN|•sin∠APN=6×12|PB|•|PM|•sin∠BPM， ∴|PN|=3||，∴PN 3PM =u u u r u u u r，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），于是=（x 1，y 1，PN u u u r=（x 2，y 2， ∴3（x 1，y 1=（x 2，y 2，∴x 2=3 x 1，即21x x =3，于是21x x +12x x =103，即21212(x x )x x +=163，①，联立22y kx x y 194⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得（9k 2+4）x 2kx+72=0，由△=（）2-4×（9k 2+4）×72＞0，解得k 2＞89， ∴x 1+x 2=-29k 4+，x 1x 2=2729k 4+， 代入①可解得k 2=329，满足k 2＞89，∴k=±3，即直线l 的斜率k=±3．【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合求解能力，属中档题.21.已知函数()()21f x x axlnx ax 2a R 2=-++∈有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：x 1x 2＜a 2．【答案】（1）（e ，+∞）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据导函数有两个不同的零点，确定实数a 所需满足的条件，解得结果，（2）先根据极值点解得a ，再代入化简不等式x 1x 2＜a 2，设21x x t =，构造一元函数，利用导数研究函数单调性，最后构造单调性证明不等式. 【详解】（1）∵函数()()21f x x xlnx x 2R 2a a a =-++∈，∴x＞0，f′（x ）=x-a lnx ， ∵函数()()21f x x xlnx x 2R 2a a a =-++∈有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． ∴f′（x ）=x-a lnx=0有两个不等根， 令g （x ）=x-a lnx ，则()g'x 1x a =-=x xa -，（x ＞0）， ①当a ≤0时，得g′（x ）＞0，则g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴g（x ）在（0，+∞）上不可能有两个零点．②当a ＞0时，由g′（x ）＞0，解得x ＞a ，由g′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ， 则g （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增， 要使函数g （x ）有两个零点，则g （a ）=a -a ln a ＜0， 解得a ＞e ，∴实数a 的取值范围是（e ，+∞）． （2）由x 1，x 2是g （x ）=x-a lnx=0的两个根，则2211lnx x lnx x a a =⎧⎨=⎩，两式相减，得a （lnx 2-lnx 1）=x 2-x 1），即a =2121x x lnx lnx --，即证x 1x 2＜221221(x x )x (ln )x -， 即证22221121x (x x )(ln )x x x -<=2112x x 2x x -+， 由x 1＜x 2，得21x x =t ＞1，只需证ln 2t-t-120t+<，设g （t ）=ln 2t-t-12t +，则g′（t ）=221lnt 1t t -+=112lnt t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，令h （t ）=2lnt-t+1t ，∴h′（t ）=2211t t --=-（11t-）2＜0， ∴h（t ）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t ）＜h （1）=0，∴g′（t ）＜0，即g （t ）在（1，+∞）上是减函数，∴g（t ）＜g （1）=0， 即ln 2t ＜t-2+1t（1，+∞）上恒成立，∴x 1x 2＜a 2．【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合论证求解能力，属难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线C 的普通方程；（2）直线l 的参数方程为x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线l 的直角坐标方程． 【答案】（1）x 2=4y ；（2）y=1 【解析】 【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ将极坐标方程化为普通方程，（2）将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及参数几何意义求|FA|•|FB|，最后根据三角函数有界性确定最值，解得结果.【详解】（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos 2θ=8sinθ，得ρ2cos 2θ=4ρsinθ， ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x 2=4y ，即曲线C 的普通方程为x 2=4y ． （2）由题意可知，直线l 与y 轴交于点F （0，1）即为抛物线C 的焦点，令|FA|=|t 1|，|FB|=|t 2|，将直线l 的参数方程x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩代入C 的普通方程x 2=4y 中，整理得t 2cos 2α-4tsinα-4=0，由题意得cosα≠0，根据韦达定理得：t 1+t 2=24sin αcos α，t 1t 2=24cos α-， ∴|FA||FB|=|t 1||t 2|=|t 1t 2|=24cos α≥4，（当且仅当cos 2α=1时，等号成立）， ∴当|FA|•|FB|取得最小值时，直线l 的直角坐标方程为y=1．【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线参数方程，考查综合分析求解能力，属中档题.23.已知函数f （x ）=|2x-1|+|x+m|． （l ）当m=l 时，解不等式f （x ）≥3；（2）证明：对任意x ∈R ，2f （x ）≥|m+1|-|m|． 【答案】（1）{x|x ≤-1或x ≥1}；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式放缩论证.【详解】（1）当m=1时，f （x ）=|2x-1|+|x+1|， ①当x≤-1时，f （x ）=-3x≥3，解得x≤-1， ②当-1＜x ＜12时，f （x ）=-x+2≥3，解得x≤-1，与-1＜x ＜12矛盾，舍去， ③当x≥12时，f （x ）=3x≥3，解得x≥1，综上，不等式f（x）＜3的解集为{x|x≤-1或x≥1}；（2）2f（x）=|4x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|≥|2x-1|+|2x+2m|≥|2x+2m-2x+1| =|2m+1|=|（m+1）+m|≥|m+1|-|m|，∴对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．【点睛】本题考查绝对值定义解不等式以及绝对值三角不等式应用，考查综合论证与分析求解能力，属中档题.。
四川绵阳2019高三4月第三次诊断性考试-数学(理)word版
四川绵阳2019高三4月第三次诊断性考试-数学（理）word 版数学〔理科〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.总分值150分.考试时间120分钟. 本卷须知1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么343V Rπ=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=- 第I 卷〔选择题，共60分〕【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 复数z 满足z •(1－i)=2i (其中i 为虚数单位)，那么z 的值为(A) –1－i (B) -1+i( C) 1-i (D) 1+i2. 集合，，那么=(A)(B)(C)(D)3. 假设函数/(X)=在R 上连续，那么实数a 的值为(A) -1(B )O(C) (D) 1(A)(B)(C) (D)5.两非零向量a,b,那么是“a 与b 共线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.设f(X)是定义在R 上周期为4的奇函数，当时，，那么f(5)的值为(A)4 (B)-4 (C)2 (D)-27.正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15=45,M为a5,a11的等比中项，那么M的最大值为(A)3(B)6(C)9(D)368.点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为，那么(A)且m与圆C相切〔B)且/W与圆C相切(C)且m与圆C相离〔D)且w与圆C相离9.某运输公司有7辆载重量为8吨的J型卡车与4辆载重量为10吨的5型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为(A)1200元(B)1320元(C)1340元〔D)1520元10.函数在一个周期内的图象如下图.那么的图象可由函数y=cosx的图象〔纵坐标不变〕(A)先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(B)先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(C)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位(D)先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11.双曲线C:(a>09b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,假设，那么C的离心率为(A)(B)(C)2(D)12.形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0,1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个，那么该数是“波浪数”的概率为(A)(B)(C)(D)第II卷〔非选择题，共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.13.抛物线的焦点坐标为.________14.假设展开式中常数项为60,那么实数a=________15.正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，那么A、B两点的球面距离为________16.对于定义在区间D上的函数f(X),假设存在闭区间和常数c，使得对任意,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，那么称函数f(x)x1为区间D上的“平顶型”函数.给出以下说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的选项是________.(填上你认为正确结论的序号〕【三】解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(此题总分值12分〕向量.(I)当m//n时，求的值；(I I)在锐角ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，，函数，求的取值范围.18.(此题总分值12分〕某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I)求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II)记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.19. (此题总分值12分〕如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE(II)求点A1到平面BDD1的距离；(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.20. (此题总分值12分〕函数的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-2=0(I)用a表示b,c；(II)假设函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.21. (此题总分值12分〕在ΔABC中，顶点A,B,C所对三边分别是a,b,cB(-1,0),C(1,0),且b,a,c 成等差数列.(I)求顶点A的轨迹方程；(II)设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.22. (此题总分值14分〕数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项和，对于，总有成等差数列. (I)求数列{a n}的通项a n；(II)设数列的前n项和为T n,数列{T n }的前n 项和为R n,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小绵阳市高2018级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分、BCDBACACABAD【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分、13、(410-，) 14、±2 15、arccos3116、①④【三】解答题：本大题共6小题，共74分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、解：〔I〕由m//n，可得3sinx=-cosx，于是tanx=31-、∴922)31(31312tan31tancos2sin3cossin-=--⋅+-=-+=-+xxxxxx、…………………………4分〔II〕∵在△ABC中，A+B=π-C，于是CBA sin)sin(=+，由正弦定理知：CAC sinsin2sin3⋅=，∴23sin=A，可解得3π=A、………………………………………………6分又△ABC为锐角三角形，于是26ππ<<B，∵)(xf=(m+n)·n=(sinx+cosx，2)·(sinx，-1)=sin2x+sinxcosx-2=22sin2122cos1-+-xx=23)42sin(22--πx，∴232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ、……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23， ∴0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-、即]232223()8(--∈+，πB f 、………………………………………………12分 18、解：〔I 〕设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i=0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j=0，1，2)，那么“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0、 ∴P(A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0)=P(A 1B 0)+P(A 2B 1)+P(A 2B 0)=P(A 1)·P(B 0)+P(A 2)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 0) =202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C367=、 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367、……4分〔II 〕由题设可知：ξ=0，1，2，3，4、361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ， 61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C P ξ， 3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 91364)32()21()4(22==⋅==ξP 、∴ξ的分布列为：∴E ξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、………………………12分19、解法一：〔I 〕证明：连结AD 1交A 1D 于F ，那么F 为中点，连结EF ，如图、 ∵E 为中点， ∴EF//BD 1、又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴BD 1//面A 1DE 、……………………………………………………………3分 〔II 〕在Rt △ABD 中，AB=2AD=2，可得BD=5，∴252111=⨯⨯=∆DD BD S BDD ，212111111=⨯⨯=∆DD D A S DD A ， 设A 1到面BDD 1的距离为d ，那么由1111DD A B BDD A V V --=有1113131DD A BDD S AB S d ∆∆⋅=⋅⋅， 即212312531⋅⋅=⋅⋅d ，解得552=d ，即A 1到面BDD 1的距离为552、……………………………………………8分〔III 〕连结EC 、 由AB AE 21=，有32=AE ，34=EB ， 过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D 1H ， 由面AA 1D 1D ⊥面ABCD 且DD 1⊥AD ， ∴DD 1⊥面ABCD 、由三垂线定理知：D 1H ⊥EC ， ∴∠DHD 1为D 1-EC-D 的平面角、 Rt △EBC 中，由34=EB ，BC=1，得35=EC 、又DH ·EC=DC ·BC ，代入解得56=DH ，∴在Rt △DHD 1中，65561tan 11===∠DH DD DHD 、∴65arctan 1=∠DHD ，即二面角D 1-EC-D 的大小为65arctan、…………12分 解法二： 〔I 〕同解法一、………………3分〔II 〕由面ABCD ⊥面ADD 1A ，且四边形AA 1D 1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，DC ⊥DA 、于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如下图的空间直角坐标系、 由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B(1，2，0)， ∴=(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)、设面BDD 1的一个法向量为n 1)1(11z x ，，=，那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n 、 ∴点A 1到面BDD 1的距离552||||111=⋅=n n B A d 、…………………………8分A 1 D 1 AE B CH〔III 〕由〔II 〕及题意知：E(1，32，0)，C(0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC 、 设面D 1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ，那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =、 又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)，设D 1-EC-D 的大小为θ，那么6161616611||||cos 1212=⨯=⋅=DD n θ，得61616arccos=θ、 即D 1-EC-D 的大小为61616arccos、………………………………………12分20、解：〔I 〕)0()(2>+-='a x bxa x f ， 由题，1)1(='f ，得-a+b=1、∴b=a+1、又切点(1，a+c)在直线x-y-2=0上，得1-(a+c)-2=0，解得c=-a-1、………………………………………………………………4分 〔II 〕g(x)cx b xax ---=ln 1ln )1(+++--=a x a xax ， ∴222))(1()1(11)(x a x x x a x a x x a x a x g --=++-=+-+='2， 令0)(='x g ，得x=1，或x=A 、………………………………………………8分 i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0，∴g(x)在(0，1]上递增、 ∴g(x)max =g(1)=2、于是a ≥1符合条件、………………………………………………………10分 ii)当0<a<1时，当0<x<a 时，0)(>'x g ；a<x<1时，g '(x)<0，∴g(x)在(0，a)上递增，g(x)在(a ，1)上递减、 得g(x)max =g(a)>g(1)=2，与题意矛盾、 ∴0<a<1不符合题意、综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1、………………………………………12分 21、解：〔I 〕由题知⎩⎨⎧=+=，，a c b a 22得b+c=4，即|AC|+|AB|=4〔定值〕、由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆〔除去左右顶点〕，且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3、 ∴顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x 、………………………………4分〔II 〕由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-3)=0、 ∴Δ=(8km)2-4(3+4k 2)×4(m 2-3)>0， 整理得：4k 2>m 2-3、①令M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x设MN 的中点P(x 0，y 0)，那么，2210434)(21k km x x x +-=+=2021210433)(21)(21k m kx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分 i)当k=0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m 、……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x ky 121-=+，由P(x 0，y 0)在直线l 上，得2243421433k m k m +=++，得2m=3+4k 2、②把②式代入①中可得2m-3>m 2-3，解得0<m<2.又由②得2m-3=4k 2>0，解得23>m 、∴223<<m 、验证：当(-2，0)在y=kx+m 上时，得m=2k 代入②得4k 2-4k+3=0，k 无解、 即y=kx+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证y=kx+m 不过右顶点、 ∴m 的取值范围为(223，)、………………………………………………11分综上，当k=0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-； 当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)、……………………………12分22、解：〔I 〕由题意，得22nn n a a S +=〔n ∈N*〕、于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112nn n n n a a a a a-+-=+++， 即a n+1+a n =(a n+1+a n )(a n+1-a n )， 由题，a n >0，a n+1+a n ≠0，得a n+1-a n =1，即{a n }为公差为1的等差数列、 又由21112a a S +=，得a 1=1或a 1=0〔舍去〕、∴a n =1+(n-1)·1=n(n ∈N *)、……………………………………………5分〔II 〕证法一：由〔I 〕知na n 11=，于是n T n131211+⋅⋅⋅+++=， 于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R =)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n =113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n =11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-nn n n n n n =nnn -+⋅⋅⋅+++)131211( =n(T n -1).………………………………………………………………10分 法二：①当n=2时，R 1=T 1=11a =1，2(T 2-1)=2()1211-+=1， ∴n=2时，等式成立、②假设n=k 〔k ≥2〕时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ，当n=k+1时，kk k T R R +=-1=kkT T k +-)1(=k T k k-+)1(=ka T k k k --+++)1)(1(11=kk T k k -+-++)11)(1(1 =k T k k --++1)1(1=)1)(1(1-++k T k 、∴当n=k+1时，等式也成立、综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N*均成立、…………………………10分 〔III 〕由〔I 〕知，∑∑==-=ni n i i i a 13131、 由分析法易知，112++->k k k ，当k ≥2时，11123-⋅<k k kkk k 2112⋅-⋅+=)11(112++-+⋅-<k k k k1111+⋅---+=k k k k1111+--=k k ，∴333131211n +⋅⋅⋅+++)121()4121()311(1nn --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n 111222+--+=n n 、 即22211113+<+++∑=-ni i a n n、………………………………………14分。
四川省绵阳市2019届高三文数第三次诊断性考试试卷
第1页，总25页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………四川省绵阳市2019届高三文数第三次诊断性考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知集合 ，,则 （ ）A .B .C .D .2. 下列函数中，既是奇函数，又在 上是增函数的是（ ） A .B .C .D .3. 已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为 ， ， ，则铁球的直径最大只能为（ ） A .B .C .D .4. 中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是 年和 年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）A .年 月至 月的仓储指数比年同期波动性更大答案第2页，总25页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………B . 年、年的最大仓储指数都出现在 月份C . 年全年仓储指数平均值明显低于 年D . 年各月仓储指数的中位数与年各月仓储指数中位数差异明显5. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，则 的解析式为（ ）A .B .C .D .6. 已知变量 ， 满足 则 的最大值为（ ）A .B .C .D .7. 若，且 ， ， ，则 的值是（ ）A .B .C .D .8. 已知双曲线 ：的两个焦点分别为，，以原点 为圆心，为半径作圆，与双曲线 相交．若顺次连接这些交点和 ，恰好构成一个正六边形，则双曲线 的离心率为（ ） A . B . C .D .9. 函数的图象在处的切线斜率为（ ）A .B .C .D .10. 已知 为虚数单位，复数 满足，则（ ）A .B .C .D .11. 已知抛物线 ：的焦点为 ，点 ，直线 与抛物线 交于点 （ 在第一象限内)，与其准线交于点 ，若，则点 到 轴距离为（ ）。
四川省绵阳市2019届高三文数第三次诊断性考试试卷
四川省绵阳市2019届高三文数第三次诊断性考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合M={x|1≤x<3}，N={1,2},则M∩N=（）A．{1}B．{1,2}C．∅D．[1,2] 2．（2分）已知i为虚数单位，复数z满足z⋅(1+i)=i，则|z|=（）A．12B．√2C．√22D．13．（2分）中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是（）A．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B．2017年、2018年的最大仓储指数都出现在4月份C．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D．2018年各月仓储指数的中位数与2017年各月仓储指数中位数差异明显4．（2分）函数f(x)=e x cosx的图象在x=0处的切线斜率为（）A．0B．1C．e D．e25．（2分）将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为（）A．g(x)=cos2x B．g(x)=−cos2xC．g(x)=sin2x D．g(x)=sin(2x+π3)6．（2分）下列函数中，既是奇函数，又在(0,+∞)上是增函数的是（）A．f(x)=sinx B．f(x)=e x+e−x C．f(x)=x3+x D．f(x)=xln|x|7．（2分）已知变量x，y满足{x≥0,|y|≤1,x+y−2≤0,则x2+y2的最大值为（）A．10B．5C．4D．28．（2分）已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为 6 ， 8 ， 12 ，则铁球的直径最大只能为（ ） A ．√3B ．2C ．√5D ．49．（2分）已知双曲线 E ： x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，以原点 O为圆心， OF 1 为半径作圆，与双曲线 E 相交．若顺次连接这些交点和 F 1 ， F 2 恰好构成一个正六边形，则双曲线 E 的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√3+1D ．310．（2分）在 ΔABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若 A =2π3,a =2√10 ，且 ΔABC 的面积 S =a 2+b 2−c 212，则 c = （ ）A ．2√3B ．4√3C ．2√33D ．4√3311．（2分）已知抛物线 C ： x 2=2py(p >0) 的焦点为 F ，点 A(1,0) ，直线 FA 与抛物线 C 交于点 P （ P 在第一象限内)，与其准线交于点 Q ，若 PQ⇀=√2FP ⇀ ，则点 P 到 y 轴距离为（ ） A ．2√2−1B ．2√2−2C ．3√2−1D ．3√2−212．（2分）若 x,y,z ∈R + ，且 3x =4y =12z ，x+yz ∈(n,n +1)， n ∈N ，则 n 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）函数 f(x)={2x −1,−1≤x <3,f(x −4),x ≥3,则 f(9)= ．14．（1分）已知 3sin2α=2cosα ， α 是第二象限的角，则 tanα= ．15．（1分）已知 ΔABC 的面积为 √32，且 AB⇀⋅BC ⇀=3 ，则 ∠B = ． 16．（1分）在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为 ．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，na n+1−(n+1)a n=1+2+3+⋅⋅⋅+n．（1）（5分）求证：数列{a nn}是等差数列；（2）（5分）若b n=1an，求数列{b n}的前n项和S n．18．（10分）目前有声书正受着越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额（金额为整数）情况如下图．有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有38的“年轻用户”是“爱付费用户”．（1）（5分）完成下面的2×2列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？（2）（5分）若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率．K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．19．（10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=AD=2，∠PAB=∠PAD=120°，E为PD的中点，AE⊥EC．（1）（5分）求证： PB// 平面 EAC ； （2）（5分）求三棱锥 B −ACE 的体积．20．（10分）已知 A 是焦距为 2√5 的椭圆 E ： x 2a +y 2b2=1(a >b >0) 的右顶点，点P(0,2√3) ，直线 PA 交椭圆 E 于点 B ， B 为线段 PA 的中点． （1）（5分）求椭圆 E 的方程；（2）（5分）设过点 P 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点，若 PN⇀=3PM ⇀ ，求直线 l 的斜率 k ．21．（10分）已知函数 f(x)=alnx +1x−1(a ∈R) ，对于任意的 x ∈(1,+∞) ， f(x)≥0 恒成立．（1）（5分）求 a 的取值范围；（2）（5分）设 g(x)=bex −1 ，当 a 取最小值且 b ≤32 时，试比较 f(x) 与 g(x) 在(0,+∞) 上的大小，并证明你的结论．22．（10分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为 ρ(1+cos2θ)=8sinθ ． （1）（5分）求曲线 C 的普通方程；（2）（5分）直线 l 的参数方程 {x =tcosα,y =1+tsinα （ t 为参数），直线 l 与 y 轴交于点 F ，与曲线 C 的交点为 A ， B ，当 |FA|⋅|FB| 取最小值时，求直线 l 的直角坐标方程．23．（10分）已知函数 f(x)=|2x −1|+|x +m| ．（1）（5分）当 m =1 时，解不等式 f(x)≥3 ；（2）（5分）证明：对任意 x ∈R ， 2f(x)≥|m +1|−|m| ．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵M={x|1≤x<3},N={1,2}，∴M∩N={1,2}．故答案为：B．【分析】利用交集的运算即可得结果.2．【答案】C【解析】【解答】∵z⋅(1+i)=i，∴z=i1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i2=12+i2，∴|z|=√(12)2+(12)2=√22．故答案为：C．【分析】由已知利用复数的乘除运算，得到z=12+i2，利用复数的求模公式计算，即可得结果.3．【答案】D【解析】【解答】对于A，由图可得2017年1月至4月的仓储指数变化平缓，而2018年1月至4月的仓储指数的波动较大，所以A符合题意．对于B，由图可得2017年、2018年的最大仓储指数都出现在4月份，所以B符合题意．对于C，由图可得4月份两年的仓储指数相同，9月、11月、12月的仓储指数2018年比2017年低，其余个月份都是2018年的低，并且有明显的差异，所以2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年，所以C符合题意．对于D，由图中的数据可得两年的仓储指数的中位数都在51.5左右，差别不大，所以D不正确．故答案为：D．【分析】由已知折线图，得到仓储指数变化情况，再利用平均数，中位数的求法，即判断可得结果. 4．【答案】B【解析】【解答】∵f(x)=e x cosx，∴f′(x)=e x cosx−e x sinx=e x(cosx−sinx)，∴f′(0)=e0(cos0−sin0)=1，∴函数f(x)的图象在x=0处的切线斜率为1．故答案为：B．【分析】先求导，得到f′(0)=1，即可求出函数f(x)的图象在x=0处的切线斜率. 5．【答案】A【解析】【解答】将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的解析式为y=sin[2(x+π6)+π6]=sin(2x+π2)=cos2x．故答案为：A．【分析】由已知利用三角函数的变换，得到y=cos2x，即可求出g(x)的解析式.6．【答案】C【解析】【解答】对于A，函数为奇函数，但在(0,+∞)无单调性，所以A不合题意．对于B，由于f(−x)=e−x+e x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以B不合题意．对于C，函数f(x)=x3+x为奇函数，且在R上单调递增，所以C符合题意．对于D，函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，所以f′(x)=1+lnx，所以函数f(x)在(0,1e )上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，不合题意．故答案为：C．【分析】由已知利用函数的单调性与奇偶性分别判断各选项，即可得结果. 7．【答案】A【解析】【解答】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．由题意得x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方，结合图形可得，可行域内的点A(3,−1)到原点的距离最大，且最大距离为|OA|=√32+(−1)2=√10，所以x2+y2的最大值为10．故答案为：A．【分析】先画出不等式组表示的平面区域，再结合图形得到可行域内的点A(3,−1)到原点的距离最大，即可求出x2+y2的最大值.8．【答案】B【解析】【解答】设长方体三条棱的长分别为a,b,c，由题意得{ab=6 bc=8ac=12，解得{a=3b=2c=4．再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2．故答案为：B．【分析】先设出长方体的三条棱长，由题意列式，得到各棱长，再结合题意即可求出铁球直径的最大值.9．【答案】C【解析】【解答】由题意得，以原点O为圆心的圆的半径为|OF1|=c．设双曲线和圆在第一象限的交点为P(x,y)，由正六边形的几何性质可得x=c2,y=√3c2，∴点P的坐标为(c2,√3c2)．又点P在双曲线x2a2−y2b2=1上，∴c24a2−3c24b2=1，整理得c4−8a2c2+4a4=0，∴e4−8e2+4=0，解得e2=4+2√3或e2=4−2√3．又e>1，∴e2=4+2√3，∴e=√3+1．故答案为：C．【分析】先由已知得到点 P 的坐标，再代入双曲线方程，得到e 4−8e 2+4=0，即可求出离心率.10．【答案】D【解析】【解答】∵S =a 2+b 2−c 212及 S =12absinC,a 2+b 2−c 2=2abcosC ， ∴12absinC =2abcosC 12 ，整理得 sinC =13cosC ． 又 sin 2C +cos 2C =1 ，∴sinC =√1010．由正弦定理得 a sinA =csinC ，∴c =asinC sinA =2√10×√1010√32=4√33． 故答案为：D ．【分析】先由已知整理得到sinC =13cosC ，可得sinC =√1010，再利用正弦定理列式，即可求出c 的值.11．【答案】B【解析】【解答】由题意得抛物线的焦点为 F(0,p 2) ，准线方程为 x =−p2 ，设准线与y 轴交于点F 1 ．过点 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 P 1 ，则 PP 1∥FF 1 ，∴|QP||FP|=|QP||QP 1|=√2 ，∴∠PQP 1=45° ,∴直线 FA 的倾斜角为 135° ， ∴k FA =p2−00−1=−p 2=−1，解得 p =2 ． 又由 PP 1∥FF 1 得 |QP||QF|=|PP 1||FF 1|=√22+1，即 |PP 1|2=√2√2+1，∴|PP 1|=2√2(√2−1)=4−2√2 ． 设 P(x,y) ，则 y +1=4−2√2 ， ∴y =3−2√2 ，∴x 2=4(3−2√2)=4(√2−1)2，又点 P 在第一象限，∴x =2(√2−1)=2√2−2 ，即点 P 到 y 轴距离为 2√2−2 ． 故答案为：B ．【分析】由已知抛物线，过点 P 作抛物线准线的垂线，再利用 PQ →=√2FP →列式，得到|PP 1|=4−2√2，可得点P 的横坐标，即可求出点 P 到 y 轴距离.12．【答案】C【解析】【解答】设 3x =4y =12z =t(t >1) ，则 x =log 3t,y =log 4t,z =log 12t ， ∴x+y z =log 3t+log 4tlog 12t =log 3t log 12t +log 4t log 12t=log 312+log 412=2+log 34+log 43 ． ∵1<log 34<2,0<log 43<1 ， ∴1<log 34+log 43<3 ；又 log 34+log 43>2√log 34⋅log 43=2 ， ∴4<log 34+log 43<5 ，即 x+yz∈(4,5) ． ∴n =4 ． 故答案为：C ．【分析】先由已知指数式转化为对数式，得到x+yz =2+log 34+log 43，再利用基本不等式得到x+yz ∈(4,5)，即可求出 n 的值.13．【答案】1.【解析】【解答】由题意得 f(9)=f(9−4)=f(5)=f(5−4)=f(1)=2×1−1=1 ．故答案为：1．【分析】由已知分段函数，分别代入求值即可得结果.14．【答案】−√24【解析】【解答】∵3sin2α=2cosα=6sinαcosα，又α是第二象限的角，cosα<0，∴sinα=13，∴cosα=−√1−sin2α=−√1−(13)2=−2√23，∴tanα=sinαcosα=132√23=−√24．故答案为：−√24．【分析】由已知可得sinα=13，利用同角三角函数基本关系式，即可求出结果.15．【答案】5π6【解析】【解答】∵ΔABC的面积为√32，∴SΔABC=12acsinB=√32①．∵AB⇀⋅BC⇀=3，∴accos(π−B)=−accosB=3②．由①②两式得tanB=−√33，又0<tanB<π，∴∠B=5π6．故答案为：5π6．【分析】由已知ΔABC的面积和AB→⋅BC→=3分别列式，得到tanB=−√33，即可求出角B的大小. 16．【答案】24【解析】【解答】由三视图可得，该几何体为如下图所示的五面体ABCEFD，其中，底面 ABC 为直角三角形，且 ∠BAC =90°,AB =4,AC =3 ，侧棱 DB,EC,FA 与底面垂直，且 DB =2,EC =FA =5 ．过点 D 作 DH ∥BC,DG ∥BA ，交 EC,FA 分别于 H,G ，则棱柱 ABC −DHG 为直棱柱，四棱锥 D −EFGH 的底面为矩形 EFGH ，高为 BA ．所以 V 五面体ABCEFD =V ABC−DHG +V D−EFGH =(12×4×3)×2+13×32×4=24 ．故答案为： 24 ．【分析】由已知三视图得到该几何体为五面体，分割为直棱柱ABC −DHG 和四棱锥D −EFGH ，利用 V 五面体ABCEFD =V ABC−DHG +V D−EFGH ，即可求出该五面体的体积.17．【答案】（1）解：∵na n+1−(n +1)a n =1+2+3+⋅⋅⋅+n =n(n+1)2 ，∴na n+1n(n+1)−(n+1)a n n(n+1)=a n+1n+1−a n n =12 ， 又 a 1=1 ，∴数列 {a nn} 是以 1 为首项，公差为 12 的等差数列． （2）解：由（1）知 a n n =1+12(n −1)=n+12，∴a n =n(n+1)2．∴b n =1a n=2n(n+1)=2(1n −1n+1) ，∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=2(1−1n+1)=2nn+1 ． 【解析】【分析】（1）由已知整理化简，得到 a n+1n+1−a n n =12，即可证明数列 {a n n} 是等差数列； （2）由（1）得到 a n =n(n+1)2 ，可得 b n =2(1n −1n+1) ，利用裂项相消法进行数列求和，即可求出数列 {b n } 的前 n 项和 S n .18．【答案】（1）解：根据题意可得 2×2 列联表如下：由表中数据可得K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(24×30−40×6)30×70×64×36≈4.76>3.841，所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关．（2）解：由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为A1，A2，A3，A4，1人为“非年轻用户”，记为B．则从这5人中随机抽取2人的基本事件有：(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B)，(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,B)，(A3,A4)，(A3,B)，(A4,B)，共10个基本事件．其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有：(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A2,A3)，(A2,A4)，(A3,A4)，共6个．所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P=610=35．【解析】【分析】（1）由已知统计图完成2×2列联表，由表中数据可得K2≈4.76>3.841，即可判断相关关系；（2）由已知分层抽样可知“年轻用户”与“非年轻用户”的人数，利用列举法即可求出抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.19．【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接EO．∵E为PD的中点，O为BD的中点，∴EO为ΔPBD的中位线，∴PB//EO，且EO=12PB．又EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB//平面EAC．（2）解：在 ΔPAB 中， PA =AB =2 ， ∠PAB =120° ， 由余弦定理得 PB 2=PA 2+AB 2−2PA ⋅ABcos120°=12 ， ∴PB =2√3 ． ∴EO =√3 ．∵AE ⊥EC ，且 O 为 AC 的中点， ∴AC =2EO =2√3 ．在 ΔABO 中， BO =√AB 2−AO 2=1 ．在平面 PAD 内，作 PF ⊥AD ，交 DA 的延长线于 F ． ∵平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD =AD ,∴PF ⊥ 平面 ABCD ．即 PF 为点 P 到平面 ABCD 的距离． ∵点 E 为 PD 的中点，∴点 E 到平面 ABCD 的距离 ℎ 是 PF 长度的一半．在 ΔPFA 中， PF =PAsin60°=2×√32=√3 ，∴V B−ACE =V E−ACB =12V P−ABC =12×(13×S ΔABC ×√3)=12．【解析】【分析】（1）先作辅助线，得到 PB//EO ，即可证明 PB// 平面 EAC ；（2）先由余弦定理得到 PB =2√3 ，勾股定理得到BO=1，再作辅助线，可证 PF ⊥ 平面ABCD ，得到 PF 为点 P 到平面 ABCD 的距离，利用 V B−ACE =V E−ACB =12V P−ABC 即可得结果.20．【答案】（1）解：由题意得焦距 2c =2√5 ，∴c =√5 ．又点 B(a2,√3) 在椭圆 E 上，∴a 24a 2+3b 2=14+3b2=1 ，解得 b 2=4 ， ∴a 2=b 2+5=9 ．∴椭圆 E 的方程为 x 29+y 24=1 ．（2）解：根据题意得直线 l 的方程为 y −2√3=kx ，即 y =kx +2√3 ． 由 {y =kx +2√3,x 29+y 24=1,消去 y 整理得 (9k 2+4)x 2+36√3kx +72=0 ．∵直线 l 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点，∴Δ=(36√3k)2−4×(9k 2+4)×72>0 ，解得 k 2>89．设 M(x 1,y 1) ， N(x 1,y 2) ， 则 x 1+x 2=−36√3k9k 2+4 ， x 1x 2=729k 2+4 ． ∵PN ⇀=3PM ⇀ ，且 PM ⇀=(x 1,y 1−2√3) ， PN ⇀=(x 2,y 2−2√3) ， ∴(x 2,y 2−2√3)=3(x 1,y 1−2√3) ，∴x 2=3x 1 ，即 x 2x 1=3 ．∴x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2−2=103， ∴(x 1+x 2)2x 1x 2=163． ∴(−36√3k 9k 2+4)2729k 2+4=163 ，解得 k 2=329 ，满足 k 2>89 ，∴k =±4√23．即直线 l 的斜率 k =±4√23．【解析】【分析】（1）由已知得到 c =√5 ，利用 点 B(a2,√3) 在椭圆 E 上， 可得 b 2=4， a 2=9，即可求出椭圆 E 的方程；（2）先根据题意得直线 l 的方程，再与（1）椭圆方程联立，得到 x 1+x 2=−36√3k9k 2+4， x 1x 2=729k 2+4，利用 PN →=3PM →列式，得到 k 2=329 ，即可求出直线 l 的斜率 k . 21．【答案】（1）解：∵f(x)=alnx +1x−1(x >0) ， ∴f ′(x)=a x −1x 2=ax−1x2 ．①当 a ≤0 时，得 f ′(x)<0 ，则 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递减． 又 f(1)=0 ， ∴f(x)≥0 不恒成立．②当 a >0 时，由 f ′(x)=0 ，解得 x =1a．（ⅰ）当 1a>1 ，即 0<a <1 时，可得 f(x) 在 (1,1a ) 上单调递减，在 (1a,+∞) 上单调递增，要使得 f(x)≥0 恒成立，则 f(x)min =f(1a )=aln 1a+a −1=−alna +a −1≥0 ．令 ℎ(a)=−alna +a −1(0<a <1) ， 则 ℎ′(a)=−lna −1+1=−lna >0 ， ∴ℎ(a) 在 (0,1) 上单调递增， 又 ℎ(1)=0 ，所以 ℎ(a)<0 恒成立，不合题意． （ⅱ）当 0<1a≤1 ，即 a ≥1 时， f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增． 由 f(1)=0 ，得 f(x)≥1 恒成立． 综上可得 a ≥1 ．∴实数 a 的取值范围为 [1,+∞) ． （2）解： f(x)>g(x) ．证明如下：由（1）得当 a 取最小值时 f(x)=lnx +1x −1 ；当 b ≤32 时， g(x)≤32e x −1 ．故只需证 lnx +1x −1>32e x −1 ，即证 xlnx +1>3x2ex 即可．令 p(x)=xlnx +1(x >0) ，则 p ′(x)=lnx +1 ．由 p ′(x)>0 ，解得 x >1e ；由 p ′(x)<0 ，解得 0<x <1e ，∴p(x) 在 (0,1e ) 上单调递减，在 (1e ,+∞) 上单调递增．故 p(x)≥p(1e )=1−1e．令 q(x)=3x 2e x (x >0) ，则 q ′(x)=3(1−x)2e x． 由 q ′(x)>0 ，解得 0<x <1 ；由 q ′(x)<0 ，解得 x >1 ． ∴q(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减． 故 q(x)≤q(1)=32e． 又 1−1e −32e =2e−52e>0 ，故 p(x)>q(x) 成立． ∴f(x)>g(x) ．【解析】【分析】（1）先求导，得到f′(x)=ax−1x2，再分两种情况讨论a，①当a≤0时，f(x)在(1,+∞)上单调递减，f(x)≥0不恒成立；②当a>0时，可得当a≥1时f(x)≥1恒成立，即可求出a的取值范围；（2）先判断f(x)>g(x)，再利用分析法证明xlnx+1>3x2e x，令p(x)=xlnx+1(x>0)，q(x)=3x2e x(x>0)，分别求导并利用导数研究函数的单调性，得到p(x)>q(x)成立，即可证明结论.22．【答案】（1）解：由题意，得ρ(1+cos2θ)=2ρcos2θ=8sinθ，∴ρ2cos2θ=4ρsinθ．把ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式得x2=4y．∴曲线C的普通方程为x2=4y．（2）解：由题可知，直线l与y轴交于点F(0,1)即为抛物线C的焦点．将直线l的参数方程{x=tcosα,y=1+tsinα代入C的普通方程x2=4y中，整理得t2cos2α−4tsinα−4=0．设点A,B对应的参数分别为t1,t2，由题意得cosα≠0，则t1+t2=4sinαcos2α，t1⋅t2=−4cos2α，∴|FA|⋅|FB|=|t1|⋅|t2|=|t1t2|=4cos2α≥4，当且仅当cos2α=1，即α=0时等号成立，∴当|FA|⋅|FB|取最小值时，直线l的直角坐标方程为y=1．【解析】【分析】（1）由已知得到ρ2cos2θ=4ρsinθ，把ρcosθ=x,ρsinθ=y代入，即可求出曲线C的普通方程；（2）先将直线l的参数方程代入C的普通方程中，得到t2cos2α−4tsinα−4=0，由|FA|⋅|FB|=|t1|⋅|t2|=|t1t2|=4cos2α≥4，即可求出直线l的直角坐标方程.23．【答案】（1）解：当m=1时，f(x)=|2x−1|+|x+1|．①当x≤−1时，不等式为f(x)=−3x≥3，解得x≤−1；②当−1<x<12时，不等式为f(x)=−x+2≥3，解得x≤−1．与−1<x<12矛盾，舍去；时，不等式为f(x)=3x≥3，解得x≥1．③当x≥12综上不等式f(x)≥3的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞)．（2）证明：2f(x)=|4x−2|+|2x+2m|=|2x−1|+|2x−1|+|2x+2m|≥|2x−1|+|2x+2m|≥|(2x+2m)−(2x−1)|=|2m+1|=|(m+1)+m|≥|m+1|−|m|．∴不等式2f(x)≥|m+1|−|m|成立．【解析】【分析】（1）由已知得到f(x)=|2x−1|+|x+1|，利用绝对值不等式的解法，分三种情况讨论x，即可求出解集；（2）由已知得到2f(x)=|4x−2|+|2x+2m|，利用绝对值三角不等式进行整理化简，即可证明不等式.。
四川省绵阳市2019届高三第三次诊断性考试 数学(理)Word版
绵阳市高中2016级第三次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知集合 A={＜31|x x ≤}，N={1,2}，则=N MA. {1}B. {1,2}C. 0D.[1, 2]2.已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)1(,则=||z A. 21 B.2 C. 22 D.1 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系。
如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况。
根据该折线图，下列结论中不正确的是A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B.这两年的最大仓铋指数都出现在4月份C.2018年全年仓储指数甲均饥明显低于2017年D.2018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显4.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥021||0y x y x ，则22y x +的最大值为A.10B.5C.4D.25.将函数)62sin()(π-=x x f 的图像向左平移6π个单位，得到)(x g 的 解析式为A. x x g 2cos )(=B. x x g 2cos )(-=C. x x g 2sin )(=D. )32sin()(π+=x x g 6.已知{n a }是正项等比数列，且5814a a a =, 4a 与62a 的等差中项为18, 则=5aA. 2B. 4C. 8D.167.函数2ln )(x x x f =的大致图象为8.己知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面枳分别为6, 8, 12,则铁球的直径最大只能为 A. 3 B. 2 C. 5 D.49.己知双曲线E: 12222=-b y ax (a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，以原点O 为圆心,OF1为半径作圆，与双曲线E 相交，若顺次连接这些交点和F1,，F2恰好构成一个正六边形， 则双曲线E 的离心率为 A. 3 B. 2 C. 13+ D.310.在5)21(x x-+的展开式中, 2x 项的系数为 A. -50 B. -30 C. 30 D. 50 11.若+∈R z y x ,,,且 z y x 1243==，N n n n z y x ∈+∈+),1,(,则 n 的值是 A. 2 B. 3 C. 4 D.12.已知抛物线C: x y 42=的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N,在直线0:=++a y x l 上存在一点Q ，使得090=∠MQN ,则实数a 的取值范围为A. [-13, 3]B.[-3, 1]C. [-3. 13]D. [-13. 13]二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。