线性偏微分方程通解
第七章 一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。
令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。
方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。
因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。
2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。
给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。
偏微分方程的特解与通解
偏微分方程的特解与通解偏微分方程是数学分析中重要的分支之一，主要研究的是多元函数的微分方程。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数不仅仅是一个变量的函数，而是多个变量的函数，因此处理方式也有所区别。
在偏微分方程的研究中，解方程是一个非常重要的任务，因为只有通过解方程，才能深入研究该方程的性质。
对于偏微分方程，通解与特解是两个重要的概念。
通解是指偏微分方程的一般解，它可以表示任意形式的解。
在求解通解时，我们需要确定方程中的关键参数，并通过这些参数来构造一个变量形式的通解。
这里需要注意的是，通解是通过一组通用的参数来构造的，因此它并不包含所有的解，但是可以用来表示所有的解。
特解则是指偏微分方程的某个具体解，它是由特殊条件所决定的。
在研究偏微分方程的特解时，我们需要根据方程的特殊条件，来构造一个与之相应的特解。
需要注意的是，特解不一定是唯一的，但是它是满足特殊条件下的一个最简单的解。
为了更好地理解偏微分方程的特解与通解，我们以下面的偏微分方程为例：$$\frac{\partial u}{\partial t} +3u = 0$$这是一个一阶常系数线性偏微分方程，该方程的通解可以写成如下的形式：$$u(x,t)=Ce^{-3t}$$其中 $C$ 是一个任意常数。
这是因为我们可以通过通解形式的一般参数来表示方程的所有解。
接着，我们来研究该方程的特解。
假设该方程的特殊条件为$u(x,0)=1$，那么我们可以通过构造如下的特解：$$u(x,t)=e^{-3t}$$可以看出，该特解满足特殊条件，并且是一个最简单的解。
需要注意的是，该特解并不包含所有的解，但是可以用来表示所有满足特殊条件的解。
当然，上述例子只是一个最简单的示例，在实际应用中偏微分方程往往更为复杂，需要通过更加深入的研究才能得出相应的特解与通解。
此外，在进行偏微分方程的解析研究时，还需要注意方程的边界条件与初值条件，以充分考虑方程的全部情况。
总结而言，偏微分方程的特解与通解在研究偏微分方程时有着重要的作用。
高数通解的求法
高数通解的求法
高等数学中的通解是指在特定条件下求得的一个方程或方程组的所有解的集合。
通解的求法取决于不同类型的方程或方程组。
对于常微分方程：
通常的方法是使用分离变量、变量替换、积分因子、常数变易等技巧来求解。
例如，对于一阶线性常微分方程, 可以使用积分因子法来求解。
首先，将方程化为标准形式，然后计算积分因子，最后进行积分得到通解。
对于偏微分方程：
常见的方法有分离变量法、特征线法、变量替换法、变换域法、Laplace 变换等。
例如，对于二阶齐次线性偏微分方程，可以通过变量分离法将方程转化为两个常微分方程，然后分别求解得到通解。
对于线性代数中的方程组：
通常使用高斯消元法、克拉默法则、矩阵求逆等方法来求解。
例如，对于一个线性方程组，可以将其转化为增广矩阵形式，然后利用高斯消元法将其化简为简化行阶梯形矩阵，并通过回代法求解得到通解。
总的来说，通解的求法涉及不同的数学领域和技巧，具体的求解方法
需要根据具体问题的类型来确定。
在实际应用中，需要综合运用数学知识和技巧来解答问题。
偏微分方程(1)
对于固定时刻 t0 , G( x at0 )
只是自变量x的函数。
考虑时刻 t0 1, 由于 G( x at0 ) G( x a a(t0 1))
这说明弦上点x在时刻 t0 的振幅和弦上点x+a在时刻 t0 1 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 t0 的振幅在时刻 t0 1
2 2i u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
例1.化标准形式并求通解 例2.化标准形式
uxx uxy 2u yy 0.
auxx 2auxy au yy bux cu y u 0. uxx 4uxy 5u yy ux 2u y 0.
新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(2)当 0 时，特征线 ( x, y ) c.
令 ( x, y ), ( x, y ).
其中 ( x, y )是与 ( x, y )线性无关的任意函数，这样以 , 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新 变量方程（1）化为标准形 u
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
偏微分方程的解法
例 7.6 求解如下定解问题：
utt − a uxx = f (x, t),(−∞< x < ∞, t > 0) ut (x,0) =ψ (x) u(x,0) = ϕ(x),
2
本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为: 解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
d’Alembert公式 公式
考察泛定方程的通解: 考察泛定方程的通解: 泛定方程 作一变换: 作一变换: x ' =
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
x + at ,则有 f1 ( x + at ) = f1 ( x ') .这表明在相对于
运动的坐标系中来看, 原来坐标轴以速度 a 运动的坐标系中来看,通解中的第一部分贡献是和 时间无关的;回到原来坐标系中观察, 时间无关的;回到原来坐标系中观察,则第一部分贡献的波形随时间变 轴正向移动.同理, 化以速度 a 沿 x 轴正向移动.同理,通解中第二部分可以看作另外一列 反向传播的行波的贡献. 反向传播的行波的贡献.
其中 F
( x )、G ( y ) 是任意两个独立的函数.
1 2
如果指定 F
( x ) =0，
特解. G ( y ) = 0 ; 则 u ( x, y ) = xy 2 − x 2 y 是原方程的一个特解 特解
一般地，一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。
9Leabharlann 原方程满足初始条件的 解可以表示为: 故原方程满足初始条件的特解可以表示为: 满足初始条件
1 1 x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ]+ ∫ ψ ( x ') dx ' 2 2a x − at
偏微分方程的解法
（4）
的通解．
显然，方程（4）是可分离变量方程．分离变量后，得 dy P ( x )dx y 两边积分，得 ln y P ( x )dx ln C 即
ye
P ( x ) dx ln C
Ce
P ( x ) dx
(5-1)
这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式． 注意 在用上式进行具体运算时，其中的不定积分 P ( x )dx
3
dy ． 例1 求 微 分 方 程 2 xy 的 通 解 dx 解 分离变量，得 dy 2 xdx, y dy 两边积分，得 2 xdx
y
得
ln y x 2 C
y e
即
x 2 c1
e e ,
c1
x2
y e c1 e x2．
y Ce
x2
因为 e c1 仍是任意常数 ， 令C eC1 0 , 得方程的通解为
代入公式（5-2），得
2 5 dx 2 x 1 ye dx C ( x 1) e 5 2 ln( x 1 ) 2 ln( x 1 ) 2 e dx C ( x 1) e 2 dx x 1
5 2 2 ( x 1) ( x 1) dx C ( x 1)2
将上式中的任意常数C 换成函数C(x) ，即设原方程的通解为
y C ( x)( x 1)2
1 dy 将y和 代入原方程,得 C ( x ) ( x 1) 2 . 3 dx 2 C ( x ) ( x 1) 2 C . 两边积分，得 3 再代入（8）式，即得所求方程的通解为
(7)
由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特 解与对应的齐次方程的通解之和．
各类微分方程的解法
各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。
例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。
2. 积分因子法。
积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。
其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。
3. 特征方程法。
特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。
其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。
4. 变量替换法。
变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。
例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。
二、偏微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。
例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。
2. 特征线法。
特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。
例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。
3. 分析法。
分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。
线性偏微分方程的解法-分离变量法
由 2.1.1 中 例 题 （ 1 ） 可 知 ， 当 f (x,t ) ≡ 0 时 ， 定 解 问 题 的 本 征 函 数 族 为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发 或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数
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1 1 x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x−at ψ (ξ )dξ 2 2a
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第11章 线性偏微方程通解
当函数 ϕ ( x ) 是二次连续函数，ψ ( x ) 是一次连续可微函数时, 此式即为无界弦自由振动的解,称之为达朗贝尔(D.Alembert) 公式. 无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解。
q1 ( p ) = α ( p ) + iβ ( p ),
u ( x, y ) = c1e
px +α y + iβ y
+ c2 e
px +α y − iβ y
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第11章 线性偏微方程通解
达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
根据达朗贝尔公式即得位移为
1 1 u ( x, t ) = ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 2
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第11章 线性偏微方程通解
例2. 设初始位移为零，即ϕ ( x ) = 0 ，且初速度 ψ (x) 也只在区间 ( x1 , x 2 ) 上不为零 ⎧ψ 0 , x ∈ ( x1 , x2 ) ψ ( x) = ⎨ x ∉ ( x1 , x2 ) ⎩0,
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px + q1 ( p ) y
+ c2 xe
px + q1 ( p ) y
（注明：上式中的第二项乘以
x 是为了保证两根线性独立）
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第11章 线性偏微方程通解
q 2 ( p ) = α ( p ) − iβ ( p )
(iii) b2 − 4ac < 0, 双曲型，上述方程有两个共轭虚根
u ( x, y ) = F ( y + λ1 x ) + G ( y + λ2 x ) = F [( y + α x ) + iβ x ] + G[( y + α x ) − iβ x ]
2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程
如果方程具有更一般的形式
∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u a 2 +b + c 2 + d + e + fu = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y
1 t ξ2 a −τ dτ ∫ (ξ + aτ )d ξ = dτ [ + aτξ ] x + a (( tt −τ )) x− ∫0 x − a ( t − τ ) 2 a ∫0 2 t xt 2 at 3 = ∫ [ x ( t − τ ) + aτ ( t − τ )]d τ = + 0 2 6
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第11章 线性偏微方程通解
其中 a, b, c, d , e, 代入方程得
2
f
均为实常数．我们可以令
2
u ( x , y ) = e px + qy
ap + bpq + cq + dp + eq + f = 0
双曲型，上述方程有两个不同的实根
第11章 线性偏微方程通解
由公式(11.3.2), 可作出
Φ ( x)
+Φ ( x) 和 −Φ ( x)
两个图形，让它们以速度 a 分别向左、右两个方向移动， 两者的和就描画出各个时刻 的波形，由此即得出位移分布.
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x1
x2
图 11.2
x
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aλ 2 + bλ + c = 0
实根 λ1 , λ2
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(*)
(i) ∆ = b2 − 4ac > 0 ，对应于双曲型方程,（*）有两个不同的
u ( x, y ) = F ( y + λ1 x) + G ( y + λ2 x)
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第11章 线性偏微方程通解
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第11章 线性偏微方程通解
例3. 求解定解问题
⎧utt − a2uxx = x + at, ⎨ ⎩ u(x,0) = 0,
【解】由公式(11.4.20)有
1 u ( x, t ) = 2a
t x + a ( t −τ )
(−∞< x <+∞,t > 0) ut (x,0) = 0
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第11章 线性偏微方程通解
容易得知，偏微分方程的判别式 ∆ = 4a 2 > 0 ，该方程为 双曲型．由
λ2 −a2 = 0
泛定方程的通解为
λ1 = a, λ2 = −a
u ( x, t ) = F1 ( x + at ) + F2 ( x − at )
其中 F1 , F2 是任意两个二次可微函数．可由初始条件确定。 由初始条件得到
u ( x, 0) = F1 ( x) + F2 ( x) = ϕ ( x)
a F1′( x ) − aF2′( x ) = ψ ( x )
1 x 将上式积分得到 F1 ( x ) − F2 ( x ) = ∫ ψ (ξ )dξ + c a x
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⎧ ⎪ 0 ( x ≤ x1 ) ⎪ 1 x + at ⎪ 1 Φ ( x) = ∫x − at ψ (ξ )d ξ = ⎨ 2 a ( x − x1 )ψ 0 ( x1 ≤ x ≤ x 2 ) 2a ⎪ ⎪ 1 ⎪ 2 a ( x 2 − x1 )ψ 0 ( x 2 ≤ x ) ⎩ 这里 Φ 指的是（图11.1）的曲线。
第11章 线性偏微方程通解
非齐次偏微分方程的求解
1. 纯强迫振动定解问题 冲量原理法求解 欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的）
f ( x, t )所引起振动的定解问题：
⎧utt − a2uxx = f (x, t), ⎨ ⎩ u(x,0) = 0,
(−∞< x < +∞, t > 0) ut (x,0) = 0
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第11章 线性偏微方程通解
根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列 前后相继的瞬时冲量 f ( x,τ ) ∆τ (0 < τ < t ) 所引起的振动
⎧vtt − a2vxx = 0 (−∞< x < +∞,τ < t <τ +∆τ ) ⎨ ⎩v (x,τ ) = 0,vt (x,τ ) = f (x,τ ) 的解 v ( x, t ;τ ) 的叠加. 而这种用瞬时冲量的叠加
振动，求此振动过程中的位移. 【解】根据达朗贝尔公式，初始速度
ϕ ( x)
u0
ψ ( x ) = 0，而初始位移 ϕ (x )
x1 + x 2 处达到最大值 u 0 且在 x = 2
如图所示。故得解： 只在区间 ( x1 , x 2 ) 上不为零，
x1
图 11.1
x2
x
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第11章 线性偏微方程通解
其中 x 0 , c 均为常数．其中C 可以通过上式令 代入确定，即为
x = x0
c = F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )
联立求解得到 1 1 x 1 F1 ( x) = ϕ ( x) + ∫x0 ψ (ξ )dξ + 2 [ F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )] 2 2a 1 1 x 1 F2 ( x) = ϕ ( x) − ψ (ξ )dξ − [ F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )] 2 2a ∫x0 2 进而得到定解问题的解
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第11章 线性偏微方程通解
假设方程的行波解具有下列形式 u ( x, y ) = F ( y + λ x ) 代入方程即得
aλ F′′( y + λ x) + bλF′′( y + λ x) + cF′′( y + λ x) = 0
2
需要求方程的非零解，故
F ′′( x + λ x) ≠ 0
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程
为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单 二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
系数
a, b, c 为实常数．
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（说明：小写字母 a , b, c 表示它是实常数，而不是的函数）
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