第一章随机事件及其概率1
合集下载
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
概率论与数理统计第1章随机事件及其概率
骰子朝上的点数为 i ,第二颗骰子朝上的点数为 j . (3) (i) S1 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 ),( 次品,正品 )} ;
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
概率论第一章
例如：在检查某些圆柱形产品时， 例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径 都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、 长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
第一章 随机事件和概率
第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
第1章 随机事件及其概率
(b )
如果一组事件中任意两个事件都互斥， 如果一组事件中任意两个事件都互斥，则称该组 事件两两互斥 或简称该组事件互斥 由定义可知， 两两互斥， 互斥.由定义可知 事件两两互斥，或简称该组事件互斥 由定义可知， 任意两个不同基本事件都是互斥的． 任意两个不同基本事件都是互斥的．
3．事件的互逆 ．
一、引言
自然界和社会上发生的现象 是多种多样的。
有一类事在一定的条件下 必然发生(或不发生),例如 必然发生(或不发生),例如 向上抛一石子必然下落。 向上抛一石子必然下落。
而另一类则在观测之前无法 预知确切结果, 预知确切结果,即呈现出 不确定型.
即可能发生也可能不发生， 即可能发生也可能不发生，这类现象在自然 界和日常生活中十分普遍，比如，抛一枚硬币， 界和日常生活中十分普遍，比如，抛一枚硬币， 可能出现有国徽的一面， 可能出现有国徽的一面，也可能出现有数字的一 掷一颗骰子，可能会出现‘ ’ 面；掷一颗骰子，可能会出现‘1’点，也可能不 出现‘ ’点而出现其它点数； 出现‘1’点而出现其它点数；随便走到一个有交 通灯的十字路口，可能会遇到红灯， 通灯的十字路口，可能会遇到红灯，也可能会遇 到绿灯或黄灯. 到绿灯或黄灯 但人们长期观测发现这类现象在大量重复实 验和观察下却呈现出某种规律型即统计规律性 验和观察下却呈现出某种规律型即统计规律性 概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计 规律性的一门学科
(a)
则称事件A和事件 相等， 和事件B相等 如果 A⊆ B，同时 B⊆ A，则称事件 和事件 相等， 记为A=B，即，A与B含有相同的样本点 记为 ， 与 含有相同的样本点
所示.显然，对任何事件A， 所示 显然，对任何事件 ，总有 A ⊆ Ω
2．事件的互斥 ．
随机数学基础东南大学曹振华1-5章
3名党员的分配数为3!,另12名新生的分配数为
142 84 44
12 ! 4!4!4!
于:是 P (A )3 !1!21!5 2 5 0 .27 . 47 4 !4 !4 ! 5 !5 !5 ! 91
§4. 条件概率
(一) 定义:
设试验E的样本空间为 , A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率,记为P(B|A).
随机事件
“在一定条件下可能发生也可能不发生事情 ”
叫做随机事件,简称事件. 如E1中,“出现正面”; E3中，“出现偶 数
点”; E5中{1000<t<3000}(小时).
随机事件：样本空间中样本点的集合
基本事件:由单个样本点组成 如:{H},{T}.
复合事件:多个样本点组成 如:E3中 {出现正面次数为偶数}.
明确所有可能的结果; (3) 一次试验只出现一个结果，且试验前
不能确定出现哪个结果。
样本空间
随机试验中，每一个可能结果称为该试验
的一个样本点,记为.
全体样本点组成的集合称为该试验的样本
空间，记为。
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.
1={H,T} 1=H ,2=T
E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. 2={HHH, THH，
推广：
(1 )P (A B C ) P (A ) P (B ) P (C ) P (A )B P (A) C P (B) C P (A)B . C
(2) P ( A1 A2 An )
n
P ( A i ) P ( A i A j )
i 1
1 i j n
P (Ai A jAk )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.事件的积（交）
AB
A和B同时发生 A B发生 A B 将事件A 的和 B共有基本事件合在一起组成的一个新 事件，称为A和 B的和事件，记为A B ，可读成A 交 B或A 乘 B . 有时也可记为 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径
是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ,Ａ＝“长度合 格”,Ｂ＝“直径合格”．则 C A B AB
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
24
80 完备事件组
若事件A1,A2,……An为两两互不相容 的事件，并且A1+A2+,……+An=Ω， 称A1,A2,……An构成一个完备事件组。
25
事件的运算规律 由集合的运算律，易给出事件间的运算律. 设
A, B,C 为同一随机试验 E 中的事件，则有 (1)交换律 A B B A,
A
B
A B 或AB
23
7.事件的逆（对立事件） 事件 A不发生
称必然事件和事件 A 的差 A 为 A 的逆事件，记
为 A ，若B是A的逆事件，则B A A
显然，A A B A时, A, B互逆
A
A
A
如果 A 和 B互逆，则也可称 A 和 B互为对立事件
A B A (B A) B ( A B)
A B A AB A B B AB
A B C A(B C) A B C
28
例1.1 设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：
（1） A发生而B与C都不发生： ABC 或 A B C 或 A (B UC).
概率论与数理统计 第一章
随机事件及其概率
1
序言
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
2
第一章 概率论的基本概念
第一节 样本空间、随机事件 第二节 概率、古典概型 第三节 条件概率、全概率公式 第四节 独立性
3
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
试验 n 5
n 50
n 500
序号 rn ( A) fn( A) rn ( A) fn( A) rn ( A) fn( A)
1 2
2 0.4 3 0.6
22 在 25
1 2
0.44 处波0动.50较大
251 249
0.502 0.498
3 4
随n1的增大0.,2频率 f2n1(A)呈0现.4出2 稳定256性
（7） A，B至少有一个发生而C不发生： ( A U B)C.
（8） A，B，C
A U B UC 或 ABC.
29
• 例1.2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验 （每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取 到合格品（i=1,2,3）。试用事件的运算符号表示 下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一 次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三 次中至多有一次取到合格品。
11
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
12
同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. (3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.
(A B) A B.
注： 上述各运算律可推广到有限个或可数个事 件的情形. A1 A2 An A1 A2 An A1A2 An A1 A2 An
27
(6) 吸收律 若A B ,则AB A, A B B
(7) 替换律
AB A ( A B) B (B A)
5
1.0
25 0.50 247
0.512 0.494
5
1 在 1 处0波.2动较小24 在01.48处波动 25最 1 小0.502
6
2 2 0.4
18 02.36 262 0.524
7
4
0.8
27 0.54 258 0.516
38
从上述数据可得 (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得
（2） A，B都发生而C不发生： ABC 或 AB C.
（3） A，B，C至少有一个事件发生： AU B UC.
（4） A，B，C至少有两个事件发生： (AB) U(AC) U(BC).
（5） A，B，C恰好有两个事件发生： ( ABC) U( AC B) U(BC A).
（6） A，B，C恰好有一个事件发生： ( ABC) U(B AC) U(C AB).
结果有可能出现正面也可能出现反面.
5
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
6
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
个发生 A∪B
AB
AB
将事件 A的基本事件和 B的基本事件合在一起组成的 一个新事件，称为 A 和B 的和事件，记为A B ，可
读成 A并 B或 A加B.有时也可记为 A B .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径
是否合格所决定,因此 C=“产品不合格”是A=“长度
不合格”与B=“直径不合格”的并，即 C A B
A B B A; (2)结合律 ( A B) C A (B C ),
( A B) C A (B C ); (3)分配律 ( A B) C ( A C ) (B C ),
26
(4) 自反律 A A;
(5) 对偶律 (A B) A B,
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
15
事件之间的关系和运算
B事件之间Leabharlann 关系A1．事件的包含
A B
设 A、B 为两个事件，如果 A 中的基本事件都是 B
的基本事件，则称 A 包含于B ，记为A B，或 B包 含 A，记为 B A . （事件A发生必然导致事件B发生）
事件 A 发生
事件B 发生
13
样本空间与随机事件
随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生,而在大量试 验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然 事件）。通常用大写字母A、B,…表示。 基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本 结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成， 每个基本结果称样本点。
9
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机 试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
10
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语. 它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观 事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格”
所以 A B
16
2.事件的相等
若两个事件A和B 相互包
含，则称这两个事件相等。
记为 A B .
即A与B中的样本点完全相同
A B且B A
A B
A 和 B同时发生或者同时不发生
AB A =B
17
3.事件的和（并） A和B两个事件至少有一
36
一、概率的统计意义
定义 若在相同条件下进行 n 次试验，其中A发生的
次数为 rn( A)，则称
fn ( A)
rn ( A) n
为事件A 发生的
频率.
显然 0 rn ( A) n 0 fn( A) 1;
37
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
实例 设 Ｃ＝“长度合格但直 径不合格” ,Ａ＝ “长度合 格”,Ｂ＝ “直径合格”.
则C A B
AB
A B
22
6.事件的互斥（互不相容）
事件 A 、B不可能同时发生
若事件 A 和 B没有共同的基本事件，则称A 和 B互斥，
也称互不相容，记为
A B 或AB.
注意 基本事件是两两互斥的 .
其结果可能为: 正品 、次品.
7
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女. 实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.
8
说明 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规 律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
k 1
20
和事件与积事件的运算性质
A A A, A , A A, A A A, A A, A .
21
5.事件的差 事件A 发生而事件 B不发生
从事件 A 中将属于事件 B 的基本事件除去,剩下的基本 事件组成的新事件称为 A 和 B的差事件,记为A B .
14
样本空间：随机试验的全体基本事件组成的集合称
为样本空间。记为。
随机事件中有两个极端情况：