《轴对称》参考案例

轴对称

轴对称（一）

教学目标

（一）教学知识点

1．在生活实例中认识轴对称图．

2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．

（二）能力训练要求

1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．

2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．

（三）情感与价值观要求

通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．

教学重点

轴对称图形的概念．

教学难点

能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．

教学方法

启发诱导法．

教具准备

师：1．天安门、蝴蝶、窗花、脸谱等图片．

2．多媒体课件．

3．投影仪．

生：剪刀、小刀、硬纸板．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

[师]我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．

轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！

从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．

Ⅱ．导入新课

[师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征． [生甲]这些图形都是对称的．

[生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．

[师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

[生丙]我们的黑板、课桌、椅子等．

[生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．

[师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看一下下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形．

（演示多媒体课件）

观察

如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），?再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．

观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？

（学生讨论、探究）

[生甲]窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．

[生乙]不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图12．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．

[生结论]这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．

[师]太好了!我们把这样的图形叫做轴对称图形．

即（点击课件、屏幕显示）：

如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?对称．

[师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．（屏幕显示）

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，?将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．（学生操作、讨论，教师指导）

[生]我们经过操作、讨论、交流得知：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．

[师]很好，由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．

接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条，?大家请看屏幕．

（点击课件）

你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论．

学生讨论得出结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）

有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．

[师]大家回答得很好，看屏幕．

（演示折叠过程）

(1) (2) (3) (4) (5)

接下来，大家想一想，你发现了什么？

（屏幕显示）

[生甲]这些图形都是轴对称图形．

[生乙]可是轴对称图形指的是一个图形，而这些图形每组都是两个图形，

能不能说两个图形成轴对称呢？

[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，?把一个图形沿着

某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这

条直线对称，?这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）

好，接下来我们做练习来巩固所学内容．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P30练习

下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？（图略）（学生口答）

[生甲]图（1）是轴对称图形，它的对称轴是过蝴蝶头和尾的直线．

[生乙]图（2）也是轴对称图形．它的对称轴是过第一架飞机头和尾的直线． [生丙]图（3）是轴对称图形．它的对称轴是中间那条竖直的线．

[生丁]图（4）不是轴对称图形．图（5）是轴对称图形，它有四条对称轴． [师]大家回答得很好，看来同学们已能判断轴对称图形并找出它的对称轴了．

（二）P31练习

下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．

答案：图（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是．?其对称轴及对称点如图．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．Ⅴ．课后作业

（一）课本习题12．1─1、2、6、7、8题．

（二）预习课本P31～P33内容．

Ⅵ．活动与探究

课本P31思考．

成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？

过程：（学生操作）在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，?再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．

结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．

轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．

轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，?如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

§12．1．2 轴对称（二）

教学目标

（一）教学知识点

1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．

2．探究线段垂直平分线的性质．

（二）能力训练要求

1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．

2．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．（三）情感与价值观要求

通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，?并使学生具有一些初步研究问题的能力．

教学重点

1．轴对称的性质．

2．线段垂直平分线的性质．

教学难点

体验轴对称的特征．

教学方法

引导发现法．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

[师]上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现

实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那

么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？

[生]如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两

旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

[师]很好，那么我们今天继续来研究轴对称的性质．

Ⅱ．导入新课

[师]大家观看大屏幕，再思考．

如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、?B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

（学生思考并做小范围讨论）

[生甲]图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直． [师]能说明理由吗？AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？

[生乙]△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN 对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点． [师]这位同学回答得非常好，分析得也很有道理．对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

[师]下面大家来画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．

学生画完后，用投影仪演示同学们所画的图形．

[师]我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，?对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．

归纳图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，?那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂

直平分线．

下面我们来探究线段垂直平分线的性质．

[探究1]

如下图．木条L 与AB 钉在一起，L 垂直平分AB ，P 1，

P 2，P 3，…是L 上的点，?分别量一量点P 1，P 2，P 3，…到

A 与

B 的距离，你有什么发现？

学生活动：

1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线L ，在L 上取P 1、P 2、P 3…，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…

2．作好图后，用直尺量出AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…讨论发现什么样

的规律．

探究结果：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP 1=BP 1，AP 2=BP 2，…

[师]能用我们已有的知识来证明这个结论吗？

学生讨论给出证明．

证法一：利用判定两个三角形全等．

如下图，在△APC 和△BPC 中，

PC PC PCA PCB Rt AC BC =??∠=∠=∠??=?

?

△APC ≌△BPC ? PA=PB. 证法二：利用轴对称性质．

由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线L 对折，线段PA 与PB 是重合的，?因此它们也是相等的．

带着探究1的结论我们来看下面的问题．

[探究2]

如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？

学生活动：

1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB ，取其中点P ，过P 作L ，在L 上取点P 1、P 2，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2．会有以下两种可能．

2．讨论：要使L 与AB 垂直，AP 1、AP 2、BP 1、BP 2应满足什么条件？

探究过程：

1．如上图甲，若AP 1≠BP 1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 不可能重合，

也就是∠APP 1≠∠BPP 1，即L 与AB 不垂直．

2．如上图乙，若AP 1=BP 1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 恰好重合，就有

∠APP 1=∠BPP 1，即L 与AB 重合．当AP 2=BP 2时，亦然．

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[?探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．

[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．?所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P34练习 1、2．

1．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？

答：AB=AC=CE．理由：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等．AB+BD=DE．?因为AB=CE，BD=DC，所以AB+BD=DC+CE，即AB+BD=DE．2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

答：是．因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以A、M?都在BC的垂直平分线上，所以直线AM是线段BC的垂直平分线．（二）阅读课本P31～P33，然后小结．

Ⅳ．课时小结

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，?了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

Ⅴ．课后作业

（一）课本习题12．1─3、4、9题．

（二）预习课本P34～P35内容．

§12．1．3 轴对称（三）

教学目标

（一）教学知识点

探索作出轴对称图形的对称轴的方法．

（二）能力训练要求

1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程．

2．掌握轴对称图形对称轴的作法．

3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．

（三）情感与价值观要求

通过提问、思考、归纳、探究来激发学生学习数学的兴趣，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力，培养创新精神．

教学重点

轴对称图形对称轴的作法．

教学难点

探索轴对称图形对称轴的作法．

教学方法

引导发现法．

教具准备

多媒体课件、投影仪．

教学过程

Ⅰ．提出问题，引入新课

[师]有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，?你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？

（学生思考，教师提示）

[师]大家不妨回忆，我们上节研究的主要结论是什么？

[生]轴对称图形的性质．

如果两个图形关于某条直线对称，?那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

[师]这位同学回答得很好．大家想想，既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么，轴对称图形的对称轴如何来作呢？

[生]只要我们找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．

[师]好极了．这就是我们这节课要研究的第一个问题，大家请看大屏幕．（播放课件）

问题：如何作出线段的垂直平分线？

提示：由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到线段两端点距离相等的两点即可．

[师]下面同学们按我们分好的组来讨论．

[生]我们用折纸的方法，根据折叠的过程中线段重合，说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．所以这个问题利用此性质就能完成．

[师]这位同学分析得很详细，我们曾证明过这一性质．现在我们利用这一性质，?来作出线段的垂直平分线．

Ⅱ．导入新课

[师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么我们必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．

下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．

[师生共析]

[例]如图（1），点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：线段AB[如图（1）]．

求作：线段AB 的垂直平分线．

作法：如图（2）

1．分别以点A 、B 为圆心，以大于

12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 和D 两点；

2．作直线CD ．

直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．

[师]在上述作法中，为什么要以“大于

12AB 的长”为半径作弧？ [生]如果以12

AB 长为半径作弧，两弧只有一个交点，正好是线段AB 的中点．?这样就找不到到端点A 、B 距离相等的两点，也就作不出线段AB 的垂直平分线．

[生]如果以小于

12

AB 长为半径，两弧就没有交点，这样找不到到A 、B 两端点距离相等的点，也就作不出线段AB 的垂直平分线了．只有以大于12长为半径作弧才可以作出线段AB 的垂直平分线．

[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线，请与同伴进行交流．

[生]从作法的第一步可知

AC=BC ，AD=BD ．

∴C 、D 都在AB 的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．

∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．

[师]这种作图方法用到直尺和圆规，?我们把这种用直尺和圆规辅助作图的方法叫尺规作图法．

我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

[师]同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么．

[生]是为了作出轴对称图形的对称轴．

[师]那怎么作出一个轴对称图形的对称轴呢？

[生]我们只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴．

[师]我们来看下面的例题．

（演示课件）

[例]下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．

作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．

2．作出线段AA′的垂直平分线L．

则L就是这个五角星的一条对称轴．

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

[师]现在同学们自己画一个轴对称图形，再按照上

述方法，作出这个轴对称图形的对称轴．

（投影仪演示学生作图）

[生甲]

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P35练习 1、2、3

1．画出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的一样吗？

答案：略

2．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

答案：角是轴对称图形．

角的对称轴是角的平分线所在直线．

3．如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．

答案：与A成轴对称的是图形D（或B）．

（二）阅读课本P34～P35，小结．

Ⅳ．课时小结

本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，?作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．

Ⅴ．课后作业

课本P36习题─5、10、11、12题．

备课资料

参考例题

[例1]如下图，已知直线L和两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA=PB．分析：PA=PB，则P点在线段AB的垂直平分线上，P点又在直线L上，故P?点为线段AB的垂直平分线与直线L的交点．

解：作出线段AB的垂直平分线L′，L′与直线L的交点即为P，使PA=PB． [例2]画出下图甲中的各图的对称轴．

分析：根据对称图形的性质可知：这几个图形的对称轴分别有3条、2条、1条、?3条．

解：如下图乙所示

方法总结：当对称轴的条数超过1条时，各对称轴往往交于一点．

[例3]如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，?要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？

（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？

分析：（1）到A、B两点距离相等，?可联想到“线段垂直平分线上的点到两边距离相等”．

（2）要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．解：（1）如图（1），取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A、B的距离相等．

（2）如图（2），画出点A关于河岸EF的对称点A′，连A′B交EF于P，则P到A、B?的距离和最短．

方法总结：?“垂线段最短”“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个重要方法．