青岛二中第二章 章末整合-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第一册课件(共16张PPT)
人教B版(2019)高中数学必修第一册第二章《2.2.1不等式及其性质》第2课时教案
第二章等式与不等式《2.2.1不等式及其性质》教学设计第2课时教学目标1．掌握不等式5个性质与5个推论．2．掌握用综合法、反证法、分析法证明不等式．3．熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式．教学重难点教学重点：1．掌握不等式5个性质与5个推论．2．掌握用综合法、反证法、分析法证明不等式．3．熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式．教学难点：正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．课前准备PPT课件．教学过程一、整体概述问题1：阅读课本第61~63页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节将要研究不等式的性质及其推论以及证明不等式的方法．（2）起点是不等式的性质及部分推论，目标是掌握不等式的性质及其推论，正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．进一步提升逻辑推理素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1．温故知新复习不等式的性质及两个推论：性质1如果a>b，那么__________．性质2如果a>b，c>0，那么__________．性质3如果a>b，c<0，那么__________．性质4 如果a>b，b>c，那么__________．性质5 a>b⇔__________．推论1 如果a+b>c，那么__________．推论2如果a>b，c>d，那么__________．师生活动：学生回答．预设的答案：a+c>b+c；ac>b c；ac<bc；a>c；b<a；a>c－b；a+c>b+d．问题：推论2是同向不等式的可加性，那么有没有类似的与乘法有关的性质呢？设计意图：通过复习所学不等式的性质及推论，自然想到不等式有没有其它性质．2．探究新知知识点1 不等式的性质推论师生活动：教师引导，学生回答．根据不等式性质2与性质4可得：推论3如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．证明根据性质2有a>b，c>0⇒ac>bc．c>d，b>0⇒bc>bd．再根据性质4可知ac>bd．很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．设计意图：从同向不等式的可加性出发，类似地推证出同向同正不等式可乘的性质，有利于提高学生的合情推理以及推理论证能力．师生活动：教师引导，学生回答．多次使用推论3的结论还可以得到：推论4如果a>b>0，那么a n>b n（n∈N，n>1）．问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？师生活动：师生一起猜想，得到结论后，教师给出证明．推论5如果a>b>0证明 假设a b ≤，即a b <或a b =．根据推论4和二次根式的性质，得a <b 或a =b ． 这都与a >b 矛盾，因此假设不成立，从而a b >．【思考】证明推论5中不等式的方法具有什么特征？师生活动：师生一起探讨：可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 教师总结：这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：三、初步应用例1（1）已知a >b >0，0<c <d ，求证：ab c d＞ （2）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ．证明：若ab >cd ，a b c d >师生活动：教师引导，学生回答．教师写出规范解答．预设的答案：证明 ：（1）因为0<c <d ，根据（2）的结论，得110c d＞＞． 又因为a >b >0，所以根据推论3可知11••a b c d ＞，即a b c d＞ ． （2）法一）由题设知ab >cd >0ab cd >又a ＋b ＝c ＋d ．则22((a b c d -=++-++0=>，即22>0>0>>法二）因为ab >cd >0>>又a ＋b ＝c ＋d ，所以a b c d ++>++即22>．0>0>>方法总结：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法中，最重要的推理形式为p ⇒q ，其中p 是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等．设计意图：通过本例让学生熟悉综合法的证明方法和格式．例2 你能证明不等式5273＜+吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？师生活动：教师引导，学生回答．直接证明5273＜+并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们完成．预设的答案：法一）假设不等式5273＜+两边平方得1020+≥5，所以2125≥，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．法二）师生一起分析，教师写出规范解答：要证5273＜+，只需证明22＜(．展开得10+221<20，即21<5，这只需证明225＜．即21<25．因为21<25成立，所以5273＜+成立．教师总结：上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p ，只需证明q ”，这可以表示为p ⇐q ，其中p 是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．5273＜+的证明过程也可简写为：因为5273＜+⇐ 22＜(⇐ 21<5⇐21<25．又因为21<25成立，所以结论成立．设计意图：通过本例让学生熟悉分析法的证明方法和格式． 例3 已知m >0，求证：1133m m ++＞ 师生活动：教师引导，学生回答．预设的答案：证明 ：因为m >0，所以3+m >0，从而11313033m m m m m +⇐++⇐+＞（）＞＞， 又因为已知m >0，所以结论成立．设计意图：通过本例让学生进一步熟悉分析法的证明方法和格式． 练习：教科书P 54练习A 5四、归纳小结，布置作业1．板书设计：2.2.1不等式及其性质1．不等式的基本性质（1）对称性：a＞b⇔b＜a．（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc．（5）加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．（7）乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0（n∈N，n≥2）．（8）开方法则：a＞b＞0反证法例1综合法例2分析法例32．总结概括：回顾本节课，你有什么收获？（1）不等式的性质推论（2）证明不等式的方法师生活动：学生总结，老师适当补充．作业：教科书P55练习B 42．已知x>0，y>0，且x+y>2．求证：1xy+，1yx+中至少有一个小于2．参考答案：证明：假设1xy+，1yx+都不小于2，即12xy+≥，12yx+≥．∵x，y>0，∴1+x≥2y，1+y≥2x．∴2+x+y≥2（x+y），即x+y≤2，与已知x+y>2矛盾．∴1xy+，1yx+中至少有一个小于2．。
《新教材》高中数学人教B版选择性第一册课件第二章平面解析几何章末整合
例2若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距
离为1,求该直线的方程.
解 设过两条直线交点的直线方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y10=0.
2021
第二章
章末整合
内
容
索
引
01
知识网络系统构建
02
题型突破深化提升
知识网络系统构建
题型突破深化提升
专题一
用待定系数法求直线或圆的方程
例1过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(
A.2 6
B.8
C.4 6
)
D.10
答案 C
解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得
- 2 -6
1
× = -1,
3
- 2 -8
2 + 4- = 20,
= -11,
整理得 8 + 6 + = -100,解得 = 3,
3- = -36,
= -30.
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
专题二
用图示法解决圆中的最值或范围问题
+2
例 3 已知实数 x,y 满足 x +y =1,求
+ 3 + + 10 = 0,
= -2,
新教材高中数学第二章平面解析几何2-1坐标法新人教B版选择性必修第一册
公式,得|AB|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 = √32 + 62 =3√5.
规律方法
1.点A(x1,y1)与点B(x2,y2)之间的距离公式还可以变形为
|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,O为原点时,|OA|=
轴上只能在 x 轴上,
5+
所以 =0,即
2
若点 D 在 x
y=-5,所以 C(-3,-5).
7+
轴上,则 2 =0,即
-2+
轴上,所以 2 =0,即
(-3,-5)或(2,-7).
y=-7,此时点 E 的纵坐标不为零,点 E 只能在 y
x=2,此时 C(2,-7).综上可知,符合题意的点 C 的坐标为
3
.
解析 |x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴
上点x与-2之间的距离.所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距
离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的
距离之和最小,最小值为3.
探究点二
距离是( D )
B.√13
A.4
C.√15
解析 因为C为AB的中点,
所以
-2
2
5-3
2
= 1,
= 4,
解得
故 P(4,1),|OP|=√17.
= 1,
= ,
D.√17
探究点三
坐标法在平面几何图形中的应用
第二章-2.2.4-均值不等式及其应用高中数学必修第一册人教B版
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
教材帮|必备知识解读
知识点1 均值不等式
例1-1 已知, ∈ ，且 > 0,则下列结论恒成立的是( D
2
2
A. + > 2
1
C.
B. + ≥ 2
1
+ >
)
2
D.
+
≥2
【解析】对于A,当 = 时，2 + 2 = 2,所以A错误；
需要的代数式）
∵ > 1,∴ − 1 > 0,
∴≥2
−1
当且仅当 − 1 =
9
⋅
−1
+ 2 = 2 × 3 + 2 = 8,
9
,即
−1
故当 = 4时，min = 8.
= 4时取等号.
（3）若,是正数，则
【解析】
1 2
+
2
1 2
+
2
1 2
+ +
2
1 2
4
) 的最小值是 ___.
列不等式恒成立的是( AD
1
A.
≥
1
4
1
B.
1
+
)
≤1
【解析】由 + = 4，得 ≤
由 ≤ 2得 ≤ 4，∴
1
≥
1
D. 2 2
+
C. ≥ 2
+
2
4
2
= = 2，故C错误；
新教材高中数学第二章平面解析几何章末总结课件新人教B版选择性必修第一册
+ 2 = 4,
得൞
1 =
1 =
4 5
, 2
5
൞
2 5
, 2
5
4 5
,
5
2 5
−
,
5
=−
=
∴ || =
=
4 5
5
(
+
4 5 2
)
5
2 5
5
+(
+
2 5 2
)
5
(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2
= 4.
方法归纳
（1）判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性
（2）解圆锥曲线的性质问题时,一般要灵活地应用圆锥曲线的定义、方程及
其图形.
4.
2
已知双曲线： 2
−
2
2
= 1(＞0, ＞0)的左、右焦点分别为1 , 2 ,点是右
支上一点,连接1 与轴交于点,若|1 | = 2||(为坐标原点）, 1 ⊥ 2 ,
则双曲线的渐近线方程为(
[解析] 设(−, 0),则直线的方程为 = 3( + ),即 3 − + 3 = 0,
因为直线 3 − + 3 = 0恰好与圆 2 + 2 = 2 相切,
所以圆心(0,0)到直线 3 − + 3 = 0的距离等于半径,即
则|| = + =
3
= 4则 = 8,
2
因为直线过点（2,1）,所以
所以直线的方程为
4
2
1
+ = 1,所以 = 4, = 2,
第二章-2.2.1-不等式及其性质高中数学必修第一册人教B版
【解析】假设，都不小于2,即,,, , ,两式相加，得,解得，这与已知矛盾， 假设不成立.故, 中至少有一个小于2.
【学会了吗|变式题】
3.若,,，求证： .
【答案】方法1 （作差法） .
, ,,,, ,, ., .又, ,即 .
方法2 （作商法） ., .,, ,, .又,, .
【解析】由题图可知，第一个广告牌的面积 ,第二个广告牌的面积,由题图可知，，且,所以 , 即 .
13.体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式（以下 ）.方式一：小明一半的时间以的速度行走，剩余一半时间换为以 的速度行走，平均速度为 ；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程换为以 的速度行走，平均速度为 .
【解析】,, , ,即 .
例13 (2024·山东省青岛市段考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 .
③①②
知识点5 倒数法则
例5-7 (2024·上海市吴淞中学调研)若， ，则一定有( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为，所以,所以 .又，所以 ,所以 .
方法帮|关键能力构建
题型1 用不等式（组）表示不等关系
例8 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元的价格销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价、减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每件提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为 元/件，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？