第二章 插值法
(4) 向前向后差分之间的关系是 m yk m m yk （2.32）
n 1
n 1
第二章
插值法与数值微分
(5) 差分与差商的关系是
m y0 m ym f [ x0 , x1 ,, xm ] m m!h m!hm
（2.33）
定理2 各阶差分均可表示成函数值的线性组合，即
m m m j m yk (1) yk m j , yk (1) yk j j 0 j 0 j j
2.1 拉格朗日插值
1 线性插值
给出函数值 y0
f ( x0 ) , y1 f ( x1 ), 如何构造一个插值函数
( x ), 使 ( x) 满足插值条件（2.2）呢？
第二章
插值法与数值微分
p1 ( x) a bx
最简单的方法是过点 ( x0 , y0 ),( x1, y1 ) 作一条直线。
p2 ( x),
这时 p2 ( x)
就称为抛物线插值或二次插值。 二次插值的几何意义见图2.2。
y
y f ( x)
o
x0
x1
x2 x
图2.2
第二章
若记
插值法与数值微分
( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) l0 ( x) , l1 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
1 i j li ( x j ) 0 i j
（2.18）
pn ( x)
则满足插值条件(2.15)的n次插值多项式 可表示为 其中
pn ( x) li ( x) yi
i 0 n
（2.19）
第二章
插值法与数值微分
( x x0 )( x x1 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 )( xi x1 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn ) ，
2 yk (yk ) yk 1 yk yk 2 2 yk 1 yk
类似地，可定义高阶差分，如m阶差分定义为
m yk (m1 yk ) m1 yk 1 m1 yk
（2.27）
第二章
yk yk yk 1
插值法与数值微分
由（2.26）定义的差分叫做向前差分，类似把差分
因此有
pn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 )
f [ x0 , x1 ,, xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
（2.25）
pn ( xi ) yi (i 0,1, 2,, n)
（2.17）
第二章
插值法与数值微分
当 xi (i 0,1, 2,, n) 互不相同时，可唯一确定出系数
ai , 这就得到了n次插值多项式 pn ( x), 我们把 pn ( x)
称为n次插值多项式。 设n次多项式 li ( x) 具有性质
第二章
所以 x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2
（2.14）
就是满足插值条件(2.10)的二次插值多项式。
把 l0 ( x) 叫做点 x0 的二次插值基函数，
把 l1 ( x) 叫做点 x1 的二次插值基函数，
把 l2 ( x) 叫做点 x2 的二次插值基函数。
m
m
j
（2.34）
其中
m m(m 1)(m j 1) j! j
定理3 函数值可表示成各阶差分的线性组合，即
yk m m j yk j 0 j
m
（2.35）
第二章
插值法与数值微分
例 1 取节点 x0 0, x1 2 和 x0 0, x1 2, x2 1， 对函数 y log2 (1 x) 分别建立线性插值多项式和二次插值多项式。
中国计量学院理学院数学系
计算方法课件：
由何满喜、尚绪凤制作
第二章
插值法与数值微分
第二章
插值法与数值微分
对函数 y f ( x) ， x [a, b] ，设有数据 yi f ( xi ) i 0,1, 2,, n （2.1）
这里 xi [a, b] ，且当 j i 时 x j xi (i 0,1, 2,, n) 。
求 ( x) 的方法就叫插值法。
第二章
插值法与数值微分
若 ( x) 取为代数多项式，那么 xi (i 0,1, 2,, n) 互不相同时,根据插值条件(2.2)可以唯一确定一个 n次代数多项式,这样的插值函数称之为多项式插值. 多项式插值一般都记为p(x), n次插值多项式记为
pn ( x).
设函数值 f ( xi ) (i 0,1, 2,, n) 为已知，那么对 f ( x) 定义1阶均差如下：
f [ xi , x j ] f ( x j ) f ( xi ) x j xi
（2.21）
均差也叫差商。 f ( x) 的2阶均差定义为：
f [ xi , x j , xk ] f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
同理定义 f ( x) 的k阶均差如下：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] (2.22) f [ x0 , x1 ,, xk ] xk x0
第二章
插值法与数值微分
均差具有对称性，例如 f [ xi , x j , xk ] f [ x j , xi , xk ]
（2.28）
称为 f ( x) 在点 xk 处的向后差分。
差分有以下性质：
(1)设 a, b 为常数，则 (axk byk ) axk byk （2.29）
(2) ( xk yk ) yk xk xk 1yk xk yk yk 1xk （2.30）
(3) xi yi xn yn x0 y0 yi 1xi （2.31） i 0 i 0
称为区间[a,b] 上的线性插值。线性插值的几何意义是用直线来 近似代替函数f(x), 见图2.1。
第二章
插值法与数值微分
y
y f ( x)
c
x0
图2.1
x1
x
第二章
插值法与数值微分
线性插值 p1 ( x) 还可以用以下方法得到。
记
x x0 x x1 l0 ( x) , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
（2.12）
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
则二次多项式 l0 ( x), l1 ( x), l2 ( x) 具有性质 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0, l0 ( x2 ) 0
l1( x0 ) 0, l1( x1 ) 1, l1( x2 ) 0 （2.13） l2 ( x0 ) 0, l2 ( x1 ) 0, l2 ( x2 ) 1
由（2.14）给出的满足插值条件（2.10）的二次插 值多项式称为二次拉格朗日 Lagrange ） （ 插值多项式。
第二章
3
插值法与数值微分
n次拉格朗日插值
若给定函数值 yi f ( xi ) (i 0,1, 2,, n) 则求一个n次多项式 pn ( x) 使它满足插值条件 （2.15） pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn （2.16） 设
即求一次多项式
（2.3）
使 p1 ( x) 满足 p1 ( x0 ) y0 , p1 ( x1 ) y1 （2.4） 由插值条件(2.4)得到a,b 所满足的线性方程组
a bx0 y0 a bx1 y1
（2.5）
p1 ( x)
求出a,b并代入到(2.3)就得满足插值条件(2.4) 的一次插值多项式 p1( x), 把
要使 pn ( x) 满足插值条件（2.15） ，则有
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 a0 a1 x1 a2 x12 an x1n y1 a a x a x 2 a x n y 2 n n n n 0 1 n
由(2.10)得到a,b,c满足的线性方程组
2 a bx0 cx0 y0 a bx1 cx12 y1 2 a bx2 cx2 y2
（2.11）
第二章
插值法与数值微分
由此可求出a,b,c, 并代入到(2.9)就得到满足插值 条件(2.10)的二次插值多项式
此时称 pn ( x) 为 n 次 Newton 插值多项式。
第二章
定义1 设节点
插值法与数值微分
xk x0 kh (k 0,1,, n),
其中h为步长，且
yk f ( xk ) 为已知,则把f(x)在 xk 处的一阶差分定义为
yk yk 1 yk （2.26）
把 f ( x) 在 xk 处的一阶差分 yk 的一阶差分 (yk ) 定义为 f ( x) 在 xk 处的二阶差分，即有
解 因 y0 log2 (1 0) 0, y1 log2 (1 2) log2 3, y2 log2 (1 1) 1
则过点 ( x0 , y0 ) ， ( x1 , y1 ) 的线性插值多项式为
1 1 log 2 3 p1 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ( x 2) 0 x log 2 3 x 2 2 2
n 1
n 1
第二章
插值法与数值微分
(5) 差分与差商的关系是
m y0 m ym f [ x0 , x1 ,, xm ] m m!h m!hm
（2.33）
定理2 各阶差分均可表示成函数值的线性组合，即
m m m j m yk (1) yk m j , yk (1) yk j j 0 j 0 j j
2.1 拉格朗日插值
1 线性插值
给出函数值 y0
f ( x0 ) , y1 f ( x1 ), 如何构造一个插值函数
( x ), 使 ( x) 满足插值条件（2.2）呢？
第二章
插值法与数值微分
p1 ( x) a bx
最简单的方法是过点 ( x0 , y0 ),( x1, y1 ) 作一条直线。
p2 ( x),
这时 p2 ( x)
就称为抛物线插值或二次插值。 二次插值的几何意义见图2.2。
y
y f ( x)
o
x0
x1
x2 x
图2.2
第二章
若记
插值法与数值微分
( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) l0 ( x) , l1 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
1 i j li ( x j ) 0 i j
（2.18）
pn ( x)
则满足插值条件(2.15)的n次插值多项式 可表示为 其中
pn ( x) li ( x) yi
i 0 n
（2.19）
第二章
插值法与数值微分
( x x0 )( x x1 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x) ( xi x0 )( xi x1 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn ) ，
2 yk (yk ) yk 1 yk yk 2 2 yk 1 yk
类似地，可定义高阶差分，如m阶差分定义为
m yk (m1 yk ) m1 yk 1 m1 yk
（2.27）
第二章
yk yk yk 1
插值法与数值微分
由（2.26）定义的差分叫做向前差分，类似把差分
因此有
pn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 )
f [ x0 , x1 ,, xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
（2.25）
pn ( xi ) yi (i 0,1, 2,, n)
（2.17）
第二章
插值法与数值微分
当 xi (i 0,1, 2,, n) 互不相同时，可唯一确定出系数
ai , 这就得到了n次插值多项式 pn ( x), 我们把 pn ( x)
称为n次插值多项式。 设n次多项式 li ( x) 具有性质
第二章
所以 x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2
（2.14）
就是满足插值条件(2.10)的二次插值多项式。
把 l0 ( x) 叫做点 x0 的二次插值基函数，
把 l1 ( x) 叫做点 x1 的二次插值基函数，
把 l2 ( x) 叫做点 x2 的二次插值基函数。
m
m
j
（2.34）
其中
m m(m 1)(m j 1) j! j
定理3 函数值可表示成各阶差分的线性组合，即
yk m m j yk j 0 j
m
（2.35）
第二章
插值法与数值微分
例 1 取节点 x0 0, x1 2 和 x0 0, x1 2, x2 1， 对函数 y log2 (1 x) 分别建立线性插值多项式和二次插值多项式。
中国计量学院理学院数学系
计算方法课件：
由何满喜、尚绪凤制作
第二章
插值法与数值微分
第二章
插值法与数值微分
对函数 y f ( x) ， x [a, b] ，设有数据 yi f ( xi ) i 0,1, 2,, n （2.1）
这里 xi [a, b] ，且当 j i 时 x j xi (i 0,1, 2,, n) 。
求 ( x) 的方法就叫插值法。
第二章
插值法与数值微分
若 ( x) 取为代数多项式，那么 xi (i 0,1, 2,, n) 互不相同时,根据插值条件(2.2)可以唯一确定一个 n次代数多项式,这样的插值函数称之为多项式插值. 多项式插值一般都记为p(x), n次插值多项式记为
pn ( x).
设函数值 f ( xi ) (i 0,1, 2,, n) 为已知，那么对 f ( x) 定义1阶均差如下：
f [ xi , x j ] f ( x j ) f ( xi ) x j xi
（2.21）
均差也叫差商。 f ( x) 的2阶均差定义为：
f [ xi , x j , xk ] f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
同理定义 f ( x) 的k阶均差如下：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] (2.22) f [ x0 , x1 ,, xk ] xk x0
第二章
插值法与数值微分
均差具有对称性，例如 f [ xi , x j , xk ] f [ x j , xi , xk ]
（2.28）
称为 f ( x) 在点 xk 处的向后差分。
差分有以下性质：
(1)设 a, b 为常数，则 (axk byk ) axk byk （2.29）
(2) ( xk yk ) yk xk xk 1yk xk yk yk 1xk （2.30）
(3) xi yi xn yn x0 y0 yi 1xi （2.31） i 0 i 0
称为区间[a,b] 上的线性插值。线性插值的几何意义是用直线来 近似代替函数f(x), 见图2.1。
第二章
插值法与数值微分
y
y f ( x)
c
x0
图2.1
x1
x
第二章
插值法与数值微分
线性插值 p1 ( x) 还可以用以下方法得到。
记
x x0 x x1 l0 ( x) , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
（2.12）
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
则二次多项式 l0 ( x), l1 ( x), l2 ( x) 具有性质 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0, l0 ( x2 ) 0
l1( x0 ) 0, l1( x1 ) 1, l1( x2 ) 0 （2.13） l2 ( x0 ) 0, l2 ( x1 ) 0, l2 ( x2 ) 1
由（2.14）给出的满足插值条件（2.10）的二次插 值多项式称为二次拉格朗日 Lagrange ） （ 插值多项式。
第二章
3
插值法与数值微分
n次拉格朗日插值
若给定函数值 yi f ( xi ) (i 0,1, 2,, n) 则求一个n次多项式 pn ( x) 使它满足插值条件 （2.15） pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn （2.16） 设
即求一次多项式
（2.3）
使 p1 ( x) 满足 p1 ( x0 ) y0 , p1 ( x1 ) y1 （2.4） 由插值条件(2.4)得到a,b 所满足的线性方程组
a bx0 y0 a bx1 y1
（2.5）
p1 ( x)
求出a,b并代入到(2.3)就得满足插值条件(2.4) 的一次插值多项式 p1( x), 把
要使 pn ( x) 满足插值条件（2.15） ，则有
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 a0 a1 x1 a2 x12 an x1n y1 a a x a x 2 a x n y 2 n n n n 0 1 n
由(2.10)得到a,b,c满足的线性方程组
2 a bx0 cx0 y0 a bx1 cx12 y1 2 a bx2 cx2 y2
（2.11）
第二章
插值法与数值微分
由此可求出a,b,c, 并代入到(2.9)就得到满足插值 条件(2.10)的二次插值多项式
此时称 pn ( x) 为 n 次 Newton 插值多项式。
第二章
定义1 设节点
插值法与数值微分
xk x0 kh (k 0,1,, n),
其中h为步长，且
yk f ( xk ) 为已知,则把f(x)在 xk 处的一阶差分定义为
yk yk 1 yk （2.26）
把 f ( x) 在 xk 处的一阶差分 yk 的一阶差分 (yk ) 定义为 f ( x) 在 xk 处的二阶差分，即有
解 因 y0 log2 (1 0) 0, y1 log2 (1 2) log2 3, y2 log2 (1 1) 1
则过点 ( x0 , y0 ) ， ( x1 , y1 ) 的线性插值多项式为
1 1 log 2 3 p1 ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ( x 2) 0 x log 2 3 x 2 2 2
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第二章 插值法--课堂
考察函数
右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式
，所以
，即
惟一性得证。
定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为
其中 定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证 明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式, 即 n=1的情况
表示互为逆运算。
至于如何实现这些基本运算之
间的联系和转化，途径是多种 多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无群无尽的
§4 埃尔米特插值
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都相等的插值
多项式即为Taylor多项式 其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
二、分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
§6 三次样条插值
一、样条插值的概念
第二章 插值法
项式是唯一存在的。
证明：
yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x ) = Pn ( x ) - Ln ( x ) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = Ln ( x ) p( x ) ( x - x i ) 也是一个插值
sin 50 0 L2 ( 5 ) 0.76543 18
R2 ( x ) = - cos x ( x - )( x - )( x - ) ; 3! 6 4 3 1 cos 3 x 2 2
0.00044 R2 5 0.00077 18
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1 拉格朗日多项式
Pn ( x i ) = y i ,
/* Lagrange Polynomial */
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 a1 x an x 使得
i = 0 , ... , n
证明：
yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x ) = Pn ( x ) - Ln ( x ) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = Ln ( x ) p( x ) ( x - x i ) 也是一个插值
sin 50 0 L2 ( 5 ) 0.76543 18
R2 ( x ) = - cos x ( x - )( x - )( x - ) ; 3! 6 4 3 1 cos 3 x 2 2
0.00044 R2 5 0.00077 18
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1 拉格朗日多项式
Pn ( x i ) = y i ,
/* Lagrange Polynomial */
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 a1 x an x 使得
i = 0 , ... , n
数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
第2章插值法
的n次插值多项式，则对于任何 xa，,b有
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
（2.9）
x
其中 n1(x) n (x xi ) , (a,且b)依赖于 。
证明 点都是
由插i值0 条件
知
的零点，故可设Pn(xi)f(xi)
Rn (xi ) 0(i 0,，1,即插, n值) 节
当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望 根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造
某个简单函数P(x)作为 的近似。
插值法是解决此类问题的一种比较古老的、
然而却是目前常用f 的x方法，它不仅直接广泛地
应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一 步学习数值计算方法的基础。
4
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（图2-3
例1 已知
分别用线性插值和抛物插值
求
的1值0 。1 0,012 11,1 14 1 42
115
15
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解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(
x)
17
现在你正浏览到当前第十七页，共一百零三页。
输入xi,yi,n,x
j=0,1,```,n
P=1
y=0
k=0,1,```,n
k=j?
否 P=P*(x-xj)(xk-xj)
是
输出x,y
图2-4
y=y+P*yk
18
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lk (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
（2.9）
x
其中 n1(x) n (x xi ) , (a,且b)依赖于 。
证明 点都是
由插i值0 条件
知
的零点，故可设Pn(xi)f(xi)
Rn (xi ) 0(i 0,，1,即插, n值) 节
当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望 根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造
某个简单函数P(x)作为 的近似。
插值法是解决此类问题的一种比较古老的、
然而却是目前常用f 的x方法，它不仅直接广泛地
应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一 步学习数值计算方法的基础。
4
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（图2-3
例1 已知
分别用线性插值和抛物插值
求
的1值0 。1 0,012 11,1 14 1 42
115
15
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解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(
x)
17
现在你正浏览到当前第十七页，共一百零三页。
输入xi,yi,n,x
j=0,1,```,n
P=1
y=0
k=0,1,```,n
k=j?
否 P=P*(x-xj)(xk-xj)
是
输出x,y
图2-4
y=y+P*yk
18
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lk (x)
第2章_插值法
56
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
第2章 插值法
2.3.2 均差及其性质
差商的基本性质:
由(3.4)得差商表:
k xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …
0 x0 f(x0) 1 x1 f(x1) 2 x2 f(x2) 3 x3 f(x3) 4 x4 f(x4) ┆ ┆┆
f[x0, x1] f[x1, x2] f[x2, x3] f[x3, x4]
。
1.0
这说明用高次插值多项
式Ln(x)近似f(x)效果并不
0.5
好，因而通常不用高次
插值，而用分段低次插值。
-5
0
5x
二、分段线性插值 所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).
二、分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
yk
0
xk
y=L1(x) y=f(x)
yk+1
xk+1
x
y
1 1 图 2-3
1
0
xk
xk+1
x
几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。
y 1
0
Xk-1
x xk Xk+1
图 2-4
2.2.2 拉格朗日插值多项式
需要指出(2.3)式与（2.5）式是当n=1和n=2时的特殊 情形。
例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=
0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.
§2.3 差商与牛顿插值
2.3.1 插值多项式的逐次生成
插值法
第一节 Lagrange插值
一、问题提出
设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi f ( xi )，i 0,1,n
为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) yi，
i 0,1,n .
这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数，Pn ( x) 称 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
1 2 3 4
0 1 2 3 4
x3
f ( x3 ) f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
评价
优点: Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理 论研究. 缺点: 当增加或减少插值结点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
第二节 Newton插值
一、差商定义及性质
1.差商定义 f ( x ) f ( x ) i j f [ xi , x j ] , i j 为 f ( x) 在 xi , x j 称 两点处的一阶差商.xi x j
( n1) ( ) f ( n1) ( )
f ( x) Pn ( x) (n 1)! 0 ( x)
由此得
. f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Pn ( x) n1 ( x) (n 1)! 定理得证.
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。