安徽省皖南八校2019届高三第二次联考数学(理)试题
5 （2）试确定点 E 的位置,使得二面角 A-C1E-C 的余弦值为 .
5
19. （本小题满分 12 分） 某县大润发超市为了惠顾新老顾客,决定在 2019 年元且来临之际举行“庆元且,迎新年”的抽奖派送
礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案,该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某 班数学兴趣小组提供的方案获得了征用,方案如下,将一个 4×4×4 的正方体各面均涂上红色,再把它分割
3
成 64 个相同的小正方体.经过搅拌后,从中任取两个小正方体,记它们的着色面数之和为 ,记抽奖中奖的 礼金为 .
(1)求 P( =3)
(2)凡是元卫当天在超市购买物品的顾客,均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为 6,设 为一等奖,获得价值 50 元礼品;记抽取的两个小正方体着色面数之和为 5,设为二等奖,获得价值 30 元礼品; 记抽取的两个小正方体着色面数之和为 4,设为三等奖,获得价值 10 元礼品,其他情况不获奖.求某顾客抽奖 一次获得的礼金的分布列与数学期望.
π A.( ,0)
3
π B.(— ,—1)
3
π C.(— ,1)
3
π D.( ,—1)
3
9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2,a,且长为 a 的棱与长为 2的棱所在直线是异面直线,
则三棱锥的体积的最大值为
2 A.
12
3 B.
12
2 C.
6
3 D.
6
10.已知
F 为双曲线
C:
x2 a2
B.{x|x≤-2 或 0≤x＜4}
C.{x|x≤0 或 1≤x＜2}
D.{x|x≤-2 或 x＞4}
3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图 1),图 2 是由弦
图变化得到,它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成。现随机的向图 2 中大正方形
Q,使得 CPQ 30 ,则 y0 的取值范围是
19 A.[— , ]
22
B.[-1,5]
C.[2- 11,2+ 11]
D.[2-2 3,2+2 3]
2
二、填空题：20 分。
y 2x 13.已知实数 x, y 满足条件 2x y 2 ,则ห้องสมุดไป่ตู้z 4x y 的最大值为______。
16.已知函数 f (x) 满足 f (1 x) f (1 x)(x R) ,当 x [0,1] 时, f (x) 2x 1.若曲线 y f (x) 与直
线 y k (x 1) 有五个交点,则实数 k 的取值范围是______。
三、解答题 60 分+选做题 10 分。 17.（本小题满分 12 分）
x 2, x 0
,若存在实数
x1, x2 , x3
,且
x1＜x2＜x3 , 使
f (x1)
f
(x2 )
f (x3 ) , 则
x1f(x
的取值范围是
A.[-2,0]
B.[-1,0]
2 C.[— ,0]
3
1 D.[— ,0]
2
12.圆 C 与直线 2x y 11 0 相切,且圆心 C 的坐标为(2,2),设点 P 的坐标为(-1,y0),若在圆 C 上存在点
A.-4
B.-3
C.-2
D.-8
6.已知函数 f (x) x sin x ,则不等式 f (1 x2 ) f (3x 3)＞0 的解集是
A. (,4) (1,)
B. (,1) (4,)
C. (1,4)
D. (4,1)
7.某几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点 P 与点 Q 在三视图上的对应点分
20.（本小题满分 12 分）
如图,已知椭圆
“皖南八校”高中 2019 届毕业班第二次联考
数学（理科）
一、选择题：60 分。
a-i 1.i 为虚数单位,a∈R，若 z= +i 为实数，则实数 a=
a+i
A. -1
1 B.-
2
C.1 D.2
2.已知集合 U={x|x2≥2x},A={x|log2x≥2},则 CUA=
A.{x|x≤0 或 2≤x＜4}
内
部去投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为 5 和 12,则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为
49 A.
169
30 B.
169
49 C.
289
4.已知{an}为等差数列,若 a3+6=2a5,则 3a6+a10=
A.18
B.24
C.30
60 D.
289
D.32
5.如图,在三角形 ABC 中,AD⊥AB, DC 2BD , AB 2 ,则 AC AB 的值为
1
别为 A,B,则该几何体表面上,从点 P 到点 Q 的路径中,最短路径的长度为
A. 14
B.2 3
C. 10
D.2 2
8.若将函数 f (x) sin(2x ) 的图像向左平移 ( ＞0)个单位,所得图像关于 6
y 轴对称,则当 最小时,函数 g(x) cos( 1 x 2) 1图像的一个对称中心的坐标是 2
y2 b2
1(a＞0, b＞0) 的右焦点,过点
F 向 C 的一条渐近线引垂线,垂足为 A,交另
一条渐近线于点 B,O 为坐标原点.若|OF|=|FB|,则 C 的渐近线方程为
3 A.y=± x
3
B.y=±2x
C.y=± 3x
D.y=±x
ln x , x＞0
11. 已 知 函 数
f (x)
x 1
14.已知 0＜＜＜ 2
,且 tan
1 cos sin
,则 sin[
2(
)] ______。 6
15.记 Sn 为数列 an 的前 n 项和, Sn 1 an ,记 Tn a1a3 a3a5 ....... a2 a n1 2n1 ,则 Tn ______。
在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a 2b 2c cos A .
（1）求角 C； （2）已知△ABC 的面积为 3,b=4,求边 c 的长. 18.（本小题满分 12 分）
π 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB⊥侧面 BB1C1C,BC= 2,AB=BB1=2,∠BCC1= ,点 E 在棱 BB1 上.
最新高考备考数学篇：专题2.3 函数与方程习题及解析
2.【四川省成都市成都第七中学校高 2020 届高三（上）第一次月考数学（文科）试题】
函数 f (x) 2x 2 a 的一个零点在区间（1,2）内，则实数 a 的取值范围为（ ） x
A. 1,3 B. 1,2 C. 0,3 D. 0,2
3. 已知函数 f (x) | lg(x 1) | a x (0 a 1) 有两个零点 x1, x2 ，则有（ ）
0，
若关于
x
的方程
f
x mx
0
至少有两个不同的实数解,则实
1 1 x 2m，x 0，
数 m 的取值范围为（ ）
A. 13，0 2，
B.
1 3
，1
1，
C.
1 ， 3
D.
1 3
，2
2，
10. 【2019 届山东省烟台高三上学期第三次诊断】
已 知 定 义 在 R 的 函 数 f x 是 偶 函 数 , 且 满 足 f x 2 f x 2，在0，2 上 的 解 析 式 为
f x {1 x2, 0 x 1 ,过点 3, 0 作斜率为 k 的直线 l,若直线 l 与函数 f x 的图象至少有 4 个公共点,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14.【2019 年浙江高考真题第 9 题】
已知 a,b R
，函数
f
(x)
x, x 0
1 3
x3
1 2
(a
1)x2
ax, x
，若函数
0
安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第二次联考数学(理)试题(学生版)
“皖南八校"2020届高三第二次联考数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R AC B =（ ） A. [2,)+∞B. (3,)+∞C. [0,3]D. (,2)[2,)-∞⋃+∞ 2.已知12i z i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i -- D. 1355i -+ 3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（ ）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加4.已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e -=，则12,e e 的夹角为（ ）A. 23πB. 34πC. 3πD. 4π 5.函数22sin ()cos x x f x x x=+在[2,2]ππ-上的图象大致为（ ） A. B. C. D.6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层.A. 5B. 6C. 7D. 87.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是,AB AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ）A. 直线EF ，AO 是异面直线B. 直线EF ，1BB 是相交直线C. 直线EF 与1BC 所成的角为30︒D. 直线EF ，1BB8.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（ ） A. ()()()f b f c f a <<B. ()()()f a f c f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f c f a f b <<10.已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A. 9B. 8C.D.11.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的最小值为；②()f x 在[,2]ππ上单调递增；③函数()1y f x =-在[,]-ππ上有3个零点；④曲线()y f x =关于直线x π=对称.其中所有正确结论的编号为（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ）A. 72πB. 86πC. 112πD. 128π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为_______.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则5a =_______.15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.16.点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ︒∠=，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||d AB 的最大值为_______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边，cos2cos22sin (C B A -=sin A -sin )C .（1）求角B 的大小；（2）若1c =，ABC ∆b . 18.如图（1），在平面四边形ABCD 中，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，AB 中点为F ，3AC =，2BD =，90BCD ︒∠=，沿BD 将BCD ∆折起，使C 至C '位置，如图（2）.（1）求证：AC BD '⊥；（2）当平面BC D '⊥平面ABD 时，求直线AC '与平面C DF '所成角的正弦值.19.设椭图2222:1(0)x yC a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3，O 是坐标原点，且1OB F B ⋅=（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程.20.已知函数1()4cos()23x f x x e π=--，()f x '为()f x 的导函数，证明： （1）()f x '在区间[,0]π-上存在唯一极大值点；（2）()f x 区间[,0]π-上有且仅有一个零点.21.11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14πρθ-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，P 是曲线C 上一点，求PAB ∆面积的最大值. 选修4-5：不等式选讲23.已知0,0a b >>，2 3.a b +=证明：（1）2295a b +≥； （2）33814.16a b ab +≤。
安徽省2019届高三上学期第二次联考数学(理)试题含答案
2
2
是“ | m | 7 ”的（
）
t
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
7. 若函数 f ( x) ( 1 )x a 的图象经过一、二、四象限，则 2
A． (0,1)
B
．(
1 ,1)
C.
( 1,1)
D
2
f (a) 的取值范围为 1
．( , ) 2
8. ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 ac sin B 10sin C ，a b 7 ，
)
5
12
16. 如图，在四面体 ABCD 中， AD AB ，平面 ABD 平面 ABC ， AC
．
BC ，且
AD BC 4 . 若 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 1 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值 2
为
．
三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
安徽省高三第二次联考
数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 .
1. 已知集合 A x | x2 4 0 ， B x | 3 2x 6 ，则 A B （
）
3
A． x |
x3
2
B ． x| 2 x 2
C． x | 3 x 2 2
1 积分，以后只要连续
登陆每天所得积分都比前一天多 1 分. 某会员连续登陆两周，则他两周共得
积分．
14. 真方形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， A(0,0) ， B(2,0) ，则向量 AE 在 AC 方向上的投影
安徽省皖江名校联盟2019届高三第二次联考数学(理)试卷(扫描版)
理数参考答案1.【解析】因为集合{|(3)0}(0,3)U A x x x =-<=ð，=(,2]B -∞，所以()(0,2]U A B =ð，选D. 2.【解析】题意得，()()()()4332431173232321313i i i i z i i i +++===+--+，在复平面内对应的点位于第一象限，选A. 3.【解析】略4.【解析】定义域关于原点对称,111()2211x x x e f xe e --=-=-++,所以()()0f x f x -+=，奇函数,减函数显然。
5.【解析】四棱锥P ABCD -的4个侧面都是直角三角形,面积最大值是PCD 的面积,等于26.【解析】可求221111,2,()4(),21222n n n n n n nS q a a a --====-=-，S ，所以5552131S a =-=. 7.【解析】函数()sin cos )4f x x x x π=-=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得sin()24x y π=-的图象，再向左平移3π，得到函数1()sin[()]234g x x ππ=+-＝sin()212x π-的图象．由2222122x k k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得574466k x k πππ-≤≤π+，k ∈Z ． 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57[,]66ππ-，选B ．8.【解析】作出不等式组构成的区域, 1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点(1,0)D -连线的斜率的倒数,由图象知AD 的斜率最大, 由2703x y y +-=⎧⎨=⎩得13x y =⎧⎨=⎩,所以(1,3A ,此时11233z +==．选A ． 9.【解析】几何概型，402(cos sin )44[sin cos ]1)412ABCDx x dxS p x x S πππππ-===⨯-=⨯⎰阴影。
安徽省“八校联考”2019届高三数学(理)试题
安徽省“八校联考”2019届高三数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．请在答题卡上答题.）1.设集合，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】，则故选B2.已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是A. -1+iB. 1+iC. 1-2iD. 1-i【答案】B【解析】【分析】将变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果.【详解】因为，，，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.“”是“直线的倾斜角大于”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.4.已知，则( )A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果.【详解】由，可得，，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】选项A中，与的关系是或，故A不正确．选项B中，与的关系是或与相交但不垂直或．故B不正确．选项C中，与之间的关系是或相交．故C不正确．选项D中，由线面平行的性质可得正确．选D．6.下列命题正确的个数是（）已知点在圆外，则直线与圆没有公共点．命题“”的否定是“” ．已知随机变量服从正态分布，，则．实数满足约束条件，则目标函数的最小值为1．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系判断；由特称命题的否定判断；由正态分布的对称性判断；由特值法判断.【详解】在圆外，，圆心到直线的距离为，即，直线与圆有公共点，不正确；特称命题“”的否定是全称命题，“” ,不正确；服从正态分布，，，由正态分布的对称性可得, 正确；取满足约束条件，而目标函数，不正确，故选A.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查直线与圆的位置关系、特称命题的否定、正态分布的性质以及线性规划的应用，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.7.函数的图象大致为（）【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为．求导，令可得，结合定义域可知令可得，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图可知选D．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法：（1）求导数；（2）解方程；（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间．由此再结合函数的图像即可判断出结果．8.等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的首项，前项和为，，求出，可得，再求数列前10项和．【详解】∵的首项，前项和为，，解得故数列的前项和为故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.10.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图画出几何体的直观图，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求解外接球的半径，即可求解结果.【详解】由三视图可知该几何体如图中的三棱锥,,三棱锥的外接球就是图中长方体的外接球，所以三棱锥外接球的直径,从而,于是，外接球的表面积为,所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为,故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点和另一个点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立的关系即可得到结论.【详解】如图，设抛物线的准线为，作于，双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，设，则，且，满足，将①代入②得，则，即或（舍去），将代入③，得，即，再将代入①得，，即，，解得，所以该双曲线的离心率是，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先，由表示点与点连线斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,从而得到在内恒成立，分离参数后,转化成在内恒成立，从而求解得到的取值范围.【详解】的几何意义，表示点与点连线斜率，实数在区间内，故和在内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,故函数的导数大于1在内恒成立，在内恒成立，由函数的定义域知，，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递增函数，故时，在上取最大值为，，，故选C.【点睛】本题主要考查导数在研究函数性质中的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，解答本题的关键是将不等式问题转化为斜率问题，再转化为不等式恒成立问题.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题.）13.一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：, ，, ，，从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是 __________．【答案】【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6张卡片中抽取2张，共有种结果，满足条件的事件是相乘得到奇函数，共有种结果，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，由函数的奇偶性可得函数, ，为奇函数；函数，为偶函数；为非奇非偶函数，试验发生包含的事件是从6张卡片中抽取2张，共有种结果,事件为“任取两张卡片，将卡片上的函数相乘得到的函数是奇函数”，因为一个奇函数与一个偶函数相乘得到的函数是奇函数，满足条件的事件相乘得到奇函数,共有种结果，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.14.二项式的展开式中的系数为，则________．【答案】【解析】【分析】先利用二项式定理的展开式可得的值,再利用微积分基本定理即可得结果.【详解】二项式的展开式中通项公式：,令 ,则，的系数为,，解得，则，故答案为.【点睛】本题主要考查二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15.在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边交于，若，，则的最小值是________．【答案】【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】中，为边的中点，为的中点，且，，，同理，，又与共线，存在实数，使，即，，解得，，当且仅当时，“=”成立，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．16.不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】令,原不等式等价于，对，；对，，，进而可得结果.【详解】令，则原函数化为，即，由，及知，，即，当时（1）总成立，对，；对，，从而可知，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数与二次函数的性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）由得，所以又（2）设的公差为，由（1）得，且，∴．又，∴，∴．∴∴【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在空间四面体中，⊥平面,,且．（1）证明:平面⊥平面；（2）求四面体体积的最大值，并求此时二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）,【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，从而可得结果；（2）设，则，由棱锥的体积公式求得棱锥的体积，利用导数可得体积的最大值；以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】（1），故即又由、得故有平面⊥平面（2）设，则四面体的体积，故在单增，在单减易知时四面体的体积最大，且最大值是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则设平面的法向量为则由取，得平面的一个法向量为同理可得平面的一个法向量由于是锐二面角，故所求二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查证明面面垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.2018年7月24日，长春长生生物科技有限责任公司先被查出狂犬病疫苗生产记录造假，后又被测出百白破疫苗“效价测定”项不符合规定, 由此引发的疫苗事件牵动了无数中国人的心．疫苗直接用于健康人群，尤其是新生儿和青少年,与人民的健康联系紧密．因此，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取三只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为，求的分布列和数学期望．附：，n＝a＋b＋c＋d.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为，根据古典概型概率公式列方程可求得，进而可求得的值；（2）利用求得，与邻界值比较，即可得到结论；（3）的可能取值为结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）设“从所有试验小白鼠中任取一只，取到‘注射疫苗’小白鼠”为事件A，由已知得，所以（2）所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.（3）由已知的取值为的分布列为数学期望【点睛】本题主要考查独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据离心率，面积的最大值是，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式将用表示，解方程可得的值,即可得结果.【详解】（1）由题意知，当点是椭圆上、下顶点时，面积取得最大值此时，是，又解得，所求椭圆的方程为（2）由（1）知，由得，①当直线与有一条直线的斜率不存在时，，不合题意②当直线的斜率为（存在且不为0）时，其方程为由消去得设则所以直线的方程为，同理可得由,解得故所求直线的方程为【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数（1）若曲线在点处的切线方程是，求实数的值；（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出,求出的值，可得切线斜率，利用曲线在点处的切线方程是列方程可求得；（2）恒成立，可化为，设，则在是减函数，即在上恒成立，等价于对任意恒成立，求出最大值即可得结果.【详解】（1）因为，所以因曲线在点处的切线方程是，又切点为，得所以（2），，所以时，恒成立故函数在上单调递增不妨设，则可化为设则，即在是减函数即在上恒成立，等价于在上恒成立即对任意恒成立由于在是增函数，故最大值是故即实数的取值范围是【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称.（1）以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的极坐标方程;（2）设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,求+的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】⑴建立极坐标系，求出曲线极坐标方程⑵运用极坐标进行计算，求出结果【详解】（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，则，即曲线的极坐标方程为。
2019届高三数学第二次(12月)联考理试题(含解析)人教新目标版
“皖南八校”2019届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，则，故选D.2. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，故选A.3. 已知向量满足，，，则A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，故选B.........................4. 已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，故选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，故选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，故选C.7. 若，展开式中，的系数为-20，则等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.8. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，表面积，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，故选B.11. 已知，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，则原式化为，解得舍去），故，则，即，即，，解得或，则，故选D.12. 已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如图所示，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，故选A.【方法点睛】已知函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 已知的面积为，角的对边分别为，若，，，则___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程故意轴对称，为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.16. 已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如图所示，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知是等比数列，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式和前项和；（Ⅱ）求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；（II）结合（I）的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：（Ⅰ），，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.（Ⅱ）由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣销售份数试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：（I）直接根据二项分布的期望公式求解即可；（II）根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意，∽，故；（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；（Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（I）由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（II）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点作，垂足为点，连接.不妨设，则.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：（向量法）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则由（Ⅱ）可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.则，.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，则.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；（II）方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：（Ⅰ）的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.（Ⅱ）在上，，又,设方程为，由得，令，，则，，，，,，或0，当时，过点（舍），，方程为.21. 已知函数.（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；（II）讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是.求导得.设，则与同号.所以，若，则对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.（Ⅱ）①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，则，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：（I）利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；（II）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：（Ⅰ）由得，的极坐标方程为即，.（Ⅱ）由得，设，，则，.23. 已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（II）利用基本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）时，，由得，不等式的解集为.（Ⅱ）对成立，又对成立，，，即.。
2019皖南八校联考汇总(一、二、三次)
2019皖南八校联考汇总(一、二、三次)篇一：2019皖南八校理数一二三次联考皖南八校2019届高三第一次联考一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．1．在复平面内，复数（4＋5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝｛x｜2－3x－2x2＞0｝，B＝｛x｜y＝ln（x2一1）｝，则A?B＝A．（一2，一1）B．（一?，一2）U（1，＋?）C．（一1，3．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，B＝600，则cosC＝A．一1）D．（一2，一1）U（l，＋?）255 B． CD660.31?1?4．设a?log3,b???,c?log2(log2，则4?3?A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 5．要得到函数f（x）＝cos(3x? A．向左平移?4的图象，只需将函数g（x1x?sin3x的图象25?5???个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位12361236＊6．已知数列｛an｝满足a1＝1，an－1＝2an（n≥2，n?N），则数列｛an｝的前6项和为63127A、63B．127C．D．64327??，则sin?的值为?cos)?22127B、－C、D、－399 A????????8、已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且AE?2EC，点F是BD上靠近D的四等分点，则9、下列函数中，在区间（0,1）上单调递增的有A、0个B、1个C、2个D、3个10、下列命题中是真命题的为A．“存在”的否定是‘不存在”。
安徽皖南八校2019高三上第二次联考数学理试题
考试时间：2018年12月20日星期四“皖南八校”高中2019届毕业班第二次联考数学（理科）1. 选择题：60分。
1.i 为虚数单位,a ∈R ，若z=a-i a+i+i 为实数，则实数a= 5. -1 B.-12C.1D.2 2.已知集合U ={x|x 2≥2x },A={x|log 2x ≥2},则C U A=A.{x|x ≤0或2≤x ＜4}B.{x|x ≤-2或0≤x ＜4}C.{x|x ≤0或1≤x ＜2}D.{x|x ≤-2或x ＞4}3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图1),图2是由弦 图变化得到,它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成。
现随机的向图2中大正方形内 部去投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为5和12,则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为A.49169B.30169C.49289D.602894.已知{an}为等差数列,若a 3+6=2a 5,则3a 6+a 10=A.18B.24C.30D.325.如图,在三角形ABC 中,AD ⊥AB,BD DC 2=2=,则AB AC ∙的值为A.-4B.-3C.-2D.-86.已知函数x x x f sin )(-=,则不等式0)33()1(2＞++-x f x f 的解集是A.),1()4,(+∞--∞B.),4()1,(+∞--∞C.)4,1(-D.)1,4(-7.某几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点P 与点Q 在三视图上的对应点分别为A,B,则该几何体表面上,从点P 到点Q 的路径中,最短路径的长度为 A.14 B.2 3 C.10 D.2 28.若将函数)62sin()(π+=x x f 的图像向左平移ϕ(ϕ＞0)个单位,所得图像关于y 轴对称,则当ϕ最小时,函数1)221cos()(-+=ϕx x g 图像的一个对称中心的坐标是 A.(π3,0) B.(—π3,—1) C.(—π3,1) D.(π3,—1) 9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1,2,a,且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线, 则三棱锥的体积的最大值为 A.212 B.312 C.26 D.3610.已知F 为双曲线C:)0,0(12222＞＞b a by a x =-的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另 一条渐近线于点B,O 为坐标原点.若|OF|=|FB|,则C 的渐近线方程为A.y =±33x B.y =±2x C.y =±3x D.y =±x 11.已知函数⎩⎨⎧≤+=0,20,ln )(x x x x x f ＞,若存在实数321,,x x x ,且321x x x ＜＜,使)()()(321x f x f x f ==,则x 1f (x的取值范围是A.[-2,0]B.[-1,0]C.[—23,0]D.[—12,0] 12.圆C 与直线0112=-+y x 相切,且圆心C 的坐标为(2,2),设点P 的坐标为(-1,y 0),若在圆C 上存在点Q,使得︒=∠30CPQ ,则0y 的取值范围是A.[—12,92]B.[-1,5]C.[2-11,2+11]D.[2-23,2+23] 二、填空题：20分。
导数中的不等式运用
专题09 导数与不等式的解题技巧一．知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝________；⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________．（一）构造函数证明不等式例1．【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在（﹣∞，0）上的函数f （x ），其导函数记为f'（x ），若成立，则下列正确的是（ ）A ．f （﹣e ）﹣e 2f （﹣1）＞0B ．C ．e 2f （﹣e ）﹣f （﹣1）＞0D ．【答案】A【分析】由题干知：，x ＜﹣1时，2f （x ）﹣xf′（x ）＜0．﹣1＜x ＜0时，2f （x ）﹣xf′（x ）＞0．构造函数g （x ）=，对函数求导可得到x ＜﹣1时，g′（x ）＜0；﹣1＜x ＜0，g′（x ）＞0，利用函数的单调性得到结果.练习1．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.【解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以，，，根据单调性有.故，即，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.练习2.设函数，的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．不能确定与的大小【答案】B【解析】令g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，【详解】令g（x）=，则g′（x）==，∵xf′（x）<3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）<0，∴g′（x）<0在（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递减，∴g（）>g（），即>，则有故选B.练习3.定义在[0，+∞）上的函数满足：．其中表示的导函数，若对任意正数都有，则实数的取值范围是（）A．（0，4]B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[4，+∞）D．[4，+∞）【答案】C【解析】由可得，令，则，利用导数可得函数在区间上单调递减，从而由原不等式可得，解不等式可得所求范围．【详解】∵，∴，当且仅当且，即时两等号同时成立，∴“对任意正数都有”等价于“”．由可得，令，则，∴．令，则，∴当时，单调递增；当时，单调递减．∴，∴，∴函数在区间上单调递减，故由可得，整理得，解得或．∴实数的取值范围是．故选C．【点睛】本题难度较大，涉及知识点较多．解题的关键有两个，一是求出的最小值，在此过程中需要注意基本不等式中等号成立的条件，特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二是结合条件中含有导函数的等式构造函数，并通过求导得到函数的单调性，最后再根据单调性将函数不等式转化为一般不等式求解．主要考查构造、转化等方法在解题中的应用．（二）不等式中存在任意问题例2．【安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月)联考数学】已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得.【详解】对于，，使得,等价于，因为是增函数，由复合函数增减性可知在上是增函数，所以当时，，令，则，若时，，，所以只需，解得.若时，，，所以只需，解得.当时，成立.综上，故选D.练习1.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.练习2．函数，，若对，，，则实数的最小值是_________．【答案】14【解析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数f（x），g（x）的最值，将问题转为求f（x）min≥g （x）min即可．【详解】，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需f（x）min≥g（x）min即练习3．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是________．【答案】【解析】存在，使得对任意的，恒成立，即，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由，可求得的范围；【详解】的定义域为，，当时，，，为增函数，所以；若存在，使得对任意的，恒成立，即，，当时，为减函数，，∴，，∴故答案为：.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
皖南八校2019届高三摸底联考数学试题(理).doc
皖南八校 2019 届高三摸底联考数学试题（理）届高三摸底联考数 学 试 题（理）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150 分，考试时间120 分钟。
2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。
3．请将各卷答案填在答题卡上。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 z 的实部为－ 1，虚部为 2，则 5i 等于（）zA ． 2 iB ． 2 iC ．2 iD ． 2 i2．若全集为 实数集 R ， Mx log 1x 2 ，则M 等于（ ）3A ． (,0] 1)B ． ( 1)( ,,99 C ． (,0] [ 1,)D ． [ 1,)993．若动点 P 到定点 F （1，－ 1）的距离与到直线 l : x 1 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线1 1 D ．直线4．设向量 a (1,0,0 ）， b (（ ）, ,0) ，则下列结论中正确的是2 2A ． a bB ． a b 22． a b 与 b 垂直 ． a ∥bCD 5．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 （ ）6． 一位运 的心 跳 了8 次，得到如下表所示的数据：次数1 2 3 4 56 7 8数据 a i （次 / 分 ）39404242434546 47上述数据的 分析中，一部分 算 如右 所示的程序框 （其中 a 是 8 个数据的平均数）， 出的的 是（ ）A ． 6B ．7C ． 8D ． 567． l , m 是两条不同的直 ，a 是一个平面， 下列命 正确的是 （）A ．若 l m, m a, 则 l aB ．若 la, m a,则 lmC ．若 l ∥ a ， l ∥ m,m ∥ aD ．若 l ∥ a ， m ∥ a ， l ∥ m8．古希腊著名的 达哥拉斯学派把 1、 3、610⋯⋯的数称 “三角形数”，而把 1、 4、 9、 16⋯⋯ 的数称 “正方形数”。