正方形的判定方法
3.正方形的判定
正方形的判定应用一、旧知回顾正方形的判定判定方法1：有的平行四边形．．．．．是正方形.判定方法2：有的矩形．．是正方形.判定方法3：有的菱形．．是正方形.判定方法4：对角线的菱形．．是正方形.判定方法5：对角线的矩形．．是正方形.一、基础知识：1. 矩形ABCD加上一个条件：_____ ____，就可以得到正方形ABCD．2. 菱形ABCD加上一条条件：______ ___，就可以得到正方形ABCD．3. 下列条件中，能判定四边形是正方形的有（）．A．四个角都是直角 B．对角线互相平分且垂直C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等、互相垂直，且互相平分4. 下列条件中，不能判定四边形是正方形的是（）．A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．一条对角线平分一组对角的矩形C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直的矩形5. 下列命题中是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形6.下列说法中错误的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B．两条对角线相等的四边形是矩形；C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D．两条对角线相等的菱形是正方形．7．下列命题中错误的是Ａ．平行四边形的对边相等Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形Ｃ．矩形的对角线相等Ｄ．对角线相等的四边形是矩形11．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的题设是（）（A）AO=CO，BO=DO; （B）AO=CO=BO=DO;（C）AO=CO，BO=DO，AC⊥BD; （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BDE FA B C D 二、典例精讲1.已知：分别延长等腰直角三角形OAB 的两条直角边A O 和BO ，使AO=OC ，BO=OD ，求证：四边形ABCD 是正方形。
2.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并给出证明。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定
定义：1、四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2、各边相等且有三个角是直角的四边形叫做正方形。
3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
4、有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
5、有一个角为直角的菱形是正方形。
6、对角线平分且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。
性质
边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
内角：四个角都是90°；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
判定方法
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。
3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。
7.有一个角为直角的菱形是正方形。
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
面积计算公式：S=a×a 或：S=对角线×对角线÷2
周长计算公式: C=4a
正方形是特殊的矩形, 菱形，平行四边形，四边形。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的判定
D
C
结论：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的 平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。 求证:四边形CEDF为正方形
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB ∴ DE=DG 同理：DG=DF ∴ED=DF ∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠DEC= ∠DFC=90 ° 又∵ ∠C=90 ° ∴四边形ADFC是矩形 ∴四边形ADFC是正方形
X
X X
7. 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.
例1.已知：在△ABC中，∠ACB＝90°， CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC， 垂足分别为E、F． 求证： 四边形CFDE是正方形． ∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF（①）． 又∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°， ∴ 四边形CFDE是矩形（②）， ∴ 四边形CFDE是正方形（③）．
C F D
E A
G
B
例7.在正方形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点 B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG， 使顶点G恰好落在射线CD上，连接AC、FC，并过点F作 FH⊥BC，交BC的延长线于点H． ①求证：矩形AEFG是正方形；
②猜想AC、FC的位置关系，并证明你的猜想．
四边形、平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
四边形
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形既是矩形，也是菱形
正方形的定义 正方形的判定方法：
1、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
2、
一内角是直角
正方形的所有判定方法
正方形的所有判定方法正方形是一种具有特殊性质的四边形，它具有以下几个判定方法。
1. 边长相等：正方形的四条边的长度相等。
这是判定正方形的最基本条件，如果一个四边形的四条边长都相等，则可以判定它为正方形。
2. 内角相等：正方形的四个内角度数均为90度。
我们可以通过测量四个内角的度数来判断一个四边形是否为正方形，如果四个角度均为90度，则可以确定该四边形是正方形。
3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等。
正方形的两条对角线相等，可以通过测量两条对角线的长度来判断一个四边形是否为正方形，如果两条对角线长度相等，则可以确定该四边形是正方形。
4. 对边平行：正方形的相对边是平行的。
正方形的相对边是平行的，可以通过测量四条边之间的夹角来判断一个四边形是否为正方形，如果四条边之间的夹角均为90度，则可以确定该四边形是正方形。
5. 对边垂直：正方形的相对边是垂直的。
正方形的相对边是垂直的，可以通过测量四个角度的度数来判断一个四边形是否为正方形，如果四个角度均为90度，则可以确定该四边形是正方形。
6. 对角线相交于中点：正方形的对角线相交于中点。
正方形的两条对角线相交于中点，可以通过测量对角线的交点是否在中点位置来判断一个四边形是否为正方形，如果对角线的交点在中点位置，则可以确定该四边形是正方形。
7. 对边长度和对角线长度的关系：正方形的对边长度和对角线长度有特定的关系。
正方形的对边和对角线之间存在一定的比例关系，可以通过测量对边长度和对角线长度来判断一个四边形是否为正方形，如果对边长度和对角线长度满足特定的比例关系，则可以确定该四边形是正方形。
正方形具有边长相等、内角相等、对角线相等、对边平行、对边垂直、对角线相交于中点以及对边长度和对角线长度的关系等判定方法。
通过观察和测量这些特点，我们可以准确判断一个四边形是否为正方形。
正方形作为一种特殊的几何形状，在数学和几何学中具有重要的地位和应用价值。
正方形的判定
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法：
• 1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形是正方形
（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）
• 2、有一组邻边相等的矩形是正方形 • 3、有一个角是直角的菱形是正方形
判断四边形是正方形有哪些方法？
△CMD≌△ADF
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
证明：
如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那 么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。
１、先说明它是矩形，再说明这个矩形 （邻边相等的矩形是正方形） 有一组邻边相等．
２、先说明它是菱形，再说明这个菱形 （有一个角是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的菱形是正方形） 有一个角是直角．
３、先说明它是平行四边形，再说明有 一组邻边相等，并且一个角是直角。
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形？ • • • • • • 四个角都相等的四边形是正方形； 四条边都相等的四边形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形； 对角线垂直且相等的四边形是正方形; 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形. (×) (×) (√ ) (√ ) (×)
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的 菱形是矩形）．
正方形的判定
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（正方形
）
精品课件
例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
A
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形 )
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,
∴四边形ABCD是矩形.
A
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
B
C
精品课件
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.
求证:四边形ABCD是正方形.
D
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
2
1
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
精品课件
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
的四边形一定是：（A ）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
精品课件
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
正方形的判定
等腰梯形两腰上的正方形
定义：等腰梯形两腰上的正方形是指以等腰梯形的两腰为边长的正方 形
判定条件：等腰梯形的两腰相等，且与上下底垂直
性质：等腰梯形两腰上的正方形具有等边、等角、对角线相等的特点
应用：在几何证明和计算中，等腰梯形两腰上的正方形可以作为特 殊情况下的正方形判定方法
实际应用中的正方形判定
建筑设计中的正方形判定
判定方法：利用角度和边长的关系进行判断 实际应用：在建筑设计时，利用正方形判定确定建筑物的平面布局和结构稳定性 优势：正方形判定能够确保建筑物的美观和功能性 注意事项：在应用正方形判定时，需要考虑实际情况和建筑规范要求
几何证明中的正方形判定
判定定理：一个 四边形是正方形， 当且仅当它是矩 形且所有角都是 直角。
正方形的对角线相等且互相平分 正方形的对角线垂直且互相平分 正方形的对角线将正方形分成四个等腰直角三角形 正方形的对角线长度等于边长乘以√2
正方形的判定方法
边长判定法
定义：如果一个四边形的四条边都相等，则它是正方形。
判定条件：a=b=c=d
证明：假设四边形ABCD是正方形，则有AB=BC=CD=DA。 应用：在几何学中，边长判定法是判断一个四边形是否为正方形的 重要方法之一。
应用：直角三角形斜边上的正方形在几何、建筑等领域有广泛的应用，如建筑设计、机 械制造等
等腰三角形底边上的正方形
等腰三角形底边上的正方形判定定理
证明方法：利用等腰三角形的性质和正方形的性质进行证明
判定定理的应用：在几何证明和实际问题中，可以利用等腰三角形底边上的正方形判定定理进行 证明和求解
注意事项：在应用等腰三角形底边上的正方形判定定理时，需要注意等腰三角形的底边长度和正 方形的边长之间的关系