(完整)极点与极线背景下的高考试题
极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A,B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ；（3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q的轨迹 .自然也会成为高考只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭2 1 1点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 .可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQPA PB .特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ2OR 2 OPPR ，即点P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OPP 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条P图2AB ，或称点 R图 3对称轴 l 上的两点 (不在 上)，若 A,B 关于 调 和共轭，过 B 任作 的一条割线，交 于 P,Q 两点，则 PAB QAB .证明：因 关于直线 l 对称，故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ； 若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于 调和共轭，故 A,B为 上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于 的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于 的极点 P 在直线 q 上 直线 q 关于 的极 点Q 在直线 p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.2. 从代数角度看极点与极线定 义 2 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P(x 0, y 0) 和 直 线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)E(y y 0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线 .x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0x替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得22到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .特别地：22(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；ab a b x 2 y 2 x x y y(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .x 2 y 2(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab22 线是双曲线x 2 y 21，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 aby 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题2 x【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别 交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，y 1 0，y 2 0 ．(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；3(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ， 连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据 极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，2y 1 的左右顶点为 A,B ，5PAO KBN又点 T 对应的极线方程为 951，即myx 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a2 2y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuuuuu uuur uu AP QB AQ PB，证明点 Q 总在某定直线上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y21. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即4 1 ，化简得 2x y 0上.x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2，当点 是什么曲线 . 分析与解：由条件知 线与直线 OP 的交点 . OR 1， 直线 l : x12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极 设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1， 化简得 又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6tx 25t 4t 2 ，消去 t 得 2x 24 4tx 25t 2 4t 2x3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)2(y 1)25 31( x,y 不同时为 0) ，故点 Q10 和 15 ，且长轴平行于 2【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值； 的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FBx 轴的椭圆， 但需去掉坐标原点 F y BP 图8(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线， 得 x 1x 0 2(y 11) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程为 y kx f( ) 的表达式，AB ，故可设点 F,A,B 三 故相应的三极线共点于 P(x 0,点对应的极线方程分 别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代 入 x 2 4y 并 1) ， 把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动， 过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别 相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP2(1 k 2) 4(1 k 2) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 式 得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ， 所 以 ，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的 方程代入抛物线方程得 的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3y 1(4x 23 x 2). x 2kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)k 2 k 4 ， APBk 2k2 23k 2 k 22 3，消去 k 即得22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FAuu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FPuuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 14 uuur 2 FP (x 12) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即同理1参考文献1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.92】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB所以有uuuruuurFP FBuu uuurFP FBx1x2uuur 4FPPFA PFB.。
天下苦极点极线久矣！
天下苦极点极线久矣！天下苦极点极线久矣! 极点与极线作为射影几何的核心内容之一，是研究二次曲线的工具之一，因此颇受高考，模考命题人的青睐. 以极点与极线为背景的高考试题层出不穷，2022年乙卷，2021年乙卷，2020年全国1卷...，就更不用说各地的模考试题了. 可以说，极点与极线是圆锥曲线命题的一个巨大宝库，因此，秉承高考试题研究为宗旨的中学教师就不能不对极点与极线有一个深入的了解，故而本文所做的工作就是做一个文献综述，将我读过的一些重要的文献做一次汇总，希望对有志于深入了解极点与极线的读者有所帮助.好了，不再多说，开始进入本文的正题，文献罗列.要注意的是，相关的文献如汗牛充栋，在此处我只是罗列了一些我认真读过的资料做一介绍，若有不足之处，请多多指正.1.王文彬.极点，极线与圆锥曲线试题的命制.[J].数学通讯，2015(04).王老师这篇文章是目前在这个领域里引用频率较高的文献了.这一篇文献非常适合该领域的入门文章，它从代数和几何两个角度介绍了极点与极线的定义，并罗列了圆锥曲线中极点与极点方程和基本性质，最后介绍了一些试题中的极点极线结构.是我认为入门的不二之选.2.于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题.[J].中学数学研究.2019(01).如果你已经顺利的读完文献1,那么再来读文献2的话，就会有一种拨云见日的感觉，文献1适合入门，但仅仅知道一些常识我认为是不够的.因为很多问题，比如2013年的江西卷，就是在极点极线（焦点和准线）背景下考察斜率定值，那么如何在现存的极点与极线结构下进一步考虑斜率关系，比值关系，面积关系等，这就是文献2所做的工作.所以，文献2就是将调和结构所推出的调和分割性质加以应用，得到了很多更加具体的性质，是我们深入了解极点与极线文献的不二之选.3.曾建国.调和点列：一道2017年北京高考题的背景分析及应用.[J].数学通讯.2017(12).曾老师绝对是这个领域的大家，有很多文献都是他写的.类似于文献2，在这篇文章里，作者用调和点列的基本性质推导出了一个重要的性质，它是极点极线背景下证明线段相等，或者线段被平分的重要理论，类似的问题在2020年北京卷高考题目中再次考查，此处不再详说，各位读者可尽情地在相关文献里一饱眼福，这道题目的景就是2022乙卷的背景.4.曾建国.圆锥曲线一组性质及猜想的简证与推广.[J].数学通讯.2018(07).曾老师的又一篇佳作，用文献3的结论，进一步解决了一个用代数计算可能很难证明的圆锥曲线的统一结论.彰显了几何方法在解决圆锥曲线问题中的巨大功效.5.虞关寿.活跃于数学高考中的帕斯卡六边形定理.[J].中学数学研究.2020(04).如果你想了解为何会有极点极线结构，了解帕斯卡定理就是一个不错的选择.该定理是射影几何中的核心定理之一，当把六边形退化到二次曲线的内接四边形时，就可以可到极点极线的几何定义，这也就是为何将这篇文章罗列的原因.6.李伟健.一个椭圆定点问题与完全四边形调和性.[J].数学通讯.2019.(02).不光是高考会考极点极线，竞赛题目更会考察，本文就从一道预赛题目入手，借助极点极线理论，得到了一个二级结论，又是一个用极点极线去研究试题的范例.说不定，哪次考试可能就考到这个二级结论啦.7.代成红.极点极线背景试题的计算策略.[J].中学数学研究.2022.02.知晓背景虽然有助于找到方向，但最终仍需落在计算上.极点极线背景的试题何时会出现非对称结构，设点或者设线哪个解法更优，如何找到最合适的运算策略，这篇文章从一个最实在的角度予以分析，值得一看.8.田朋朋.三直线斜率等差性质的本质与推广.[J].数学通讯.2019.11近年来在模考卷中出现了很多斜率背景的极点极线问题，本文对它的命制原理做了说明，得到了很多有趣的结论，是我们命制有关试题的一个重要参考.9.田朋朋.从射影几何角度分析北京高考解析几何试题.中学数学研究.2021.04北京卷的解析几何质量极佳，而且几乎年年都有极点极线背景，简直是研究极点极线试题命制的一座宝库，例如2020年的背景在2022年乙卷中再度出现.本文详细论述了其背景，值得我们深入研究.可以料到，在2023高考复习中，大量的极点极线试题也会出现.天下苦极点极线久矣，希望通过本文的介绍，和文末更多的参考资料，能够让各位有志于弄懂极点与极线相关理论的读者乘风破浪，直达沧海!。
高三数学极坐标试题答案及解析
高三数学极坐标试题答案及解析1.以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点B与点A距离的最大值为．【答案】5【解析】点A的直角坐标为（2,2），曲线C是圆心为（2，-2），半径为1的圆，结合图像知，点B与点A的距离的最大值为+1=5.考点:极坐标与直角坐标互化；圆的参数方程；数形结合思想2.设P（x，y）是曲线C：（为参数，∈[0，2））上任意一点，则的取值范围是。
【答案】【解析】,表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设,即和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离,,解得【考点】1.参数方程的应用；2.直线与圆的位置关系.3.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即，反解并代入圆中，得曲线C的普通方程．进而写出参数方程；（2）将直线与圆联立，求的交点的坐标，从而可确定与垂直的直线方程．再利用化直线的直角坐标方程为极坐标方程．（1）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．（2）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为，即．【考点】1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程．4.在极坐标系中，曲线的交点的极坐标为。
【答案】【解析】代入得到，所以，，此时，所以交点的极坐标为.【考点】极坐标方程5.已知曲线的直角坐标方程为. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线上一点，，，将点P绕点O逆时针旋转角后得到点Q，，点M的轨迹是曲线.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）[2，4].【解析】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式“，”转化得到曲线的极坐标方程，设出M，P点的极坐标，利用已知条件得P点坐标代入到中即可；第二问，由曲线的极坐标方程得的表达式，利用三角函数的有界性求的最值.的极坐标方程为，即．（1）曲线C1，α)，则在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1题设可知，．①因为点P在曲线C上，所以．②1由①②得曲线C的极坐标方程为． 6分2（2）由（1）得．因为的取值范围是，所以|OM|的取值范围是[2，4]． 10分【考点】直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值.6.长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；（2）求点P到点D距离的最大值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数，）；（2）取得最大值.【解析】本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P点的横纵坐标，写出曲线的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设，由题设可知，则，，所以曲线的参数方程为（为参数，）． 5分（2）由（1）得．当时，取得最大值． 10分【考点】参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.7.曲线(a为参数)，若以点O(0，0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________．【答案】【解析】解：由消去参数得，，它表示圆心坐标为，半径为的圆，所以其极坐标方程为．【考点】圆的参数方程、标准方程和极坐标方程．8.在极坐标系中，点到直线的距离等于（）．A．B．C．D．2【答案】A【解析】将点化为直角坐标为，将直线化为直角坐标方程为，则所求距离为。
高三数学极坐标系试题答案及解析
高三数学极坐标系试题答案及解析1.曲线关于曲线（为参数）的准线对称，则.【答案】2【解析】曲线的直角坐标方程为，其圆心；消去得曲线的方程为，其准线方程为由题意知，在直线上，所以，解得故答案为2【考点】曲线的参数方程和极坐标方程.2.在极坐标系中，求点M关于直线的对称点N的极坐标，并求MN的长．【答案】【解析】在极坐标系中, 关于直线的对称点为其中极径不变，极角成等差数列；在极坐标系中,求弦长一般用解三角形的方法解决，可利用余弦定理得本题也可将等腰三角形转化为直角三角形进行求解.试题解析：解:关于直线的对称点为 3分6分10分【考点】极坐标中对称点及弦长求法.3.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为 .【答案】.【解析】圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长.【考点】1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化；2.点到直线的距离；3.勾股定理4.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线l的极坐标方程为.（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；（2）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求的值.【答案】（1）点在直线上；（2）.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化以及直线与曲线相交问题，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，先利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再将点化为直角坐标系下的点，将的坐标代入直线方程中判断出点在直线上；第二问，因为直线与曲线相交，所以联立方程，消参得到关于的方程，再化简代入以上得到的结论即可.试题解析：（1）直线即∴直线的直角坐标方程为，点在直线上.（2）直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，【考点】1.极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.直线与曲线的相交问题.5.已知直线的极坐标方程为，则点（0,0）到这条直线的距离是 .【答案】【解析】将极坐标方程为，转化为普通方程得，，由点到直线距离公式可得，则点（0,0）到这条直线的距离是．【考点】极坐标方程．6.已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求与交点的极坐标().【答案】（I）.（II）与交点的极坐标分别为，.【解析】（I）利用“平方关系消元法”，先将参数方程化为普通方程，再利用代入即得.（II）先将曲线的极坐标方程为.化为直角坐标方程为：，通过与的直角坐标方程联立，确定得到直角坐标，再化为极坐标.试题解析：（I）由曲线的参数方程为(为参数),得即为圆的普通方程，即．将代入上式得，，此即为的极坐标方程；（II）曲线的极坐标方程为.化为直角坐标方程为：，由，解得或．∴与交点的极坐标分别为，.【考点】参数方程化成普通方程、点的极坐标和直角坐标的互化.7.极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 .【答案】【】【解析】【考点】简单曲线的极坐标方程．分析：利用半角公式得4ρ =5，2ρ=2x+5，两边平方可得 4（ x2+y2）=4x2+20x+25，化简可得结果．解：∵极坐标方程4ρsin2=5，∴4ρ=5，2ρ-2ρcosθ=5，2ρ=2x+5，两边平方可得 4（ x2+y2）=4x2+20x+25，即 y2=5x+，故答案为 y2=5x+．8.在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则____ _【答案】【解析】略9. (坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的直角坐标方程．【答案】（或【解析】略10.在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程．解答：解：在直角坐标系中，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是 x=1，其极坐标方程为ρcosθ=1，故选 C．11.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线【答案】A【解析】略12.（坐标系与参数方程选做题）已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，则点A到直线ρcosθ=1距离的最大值是___________．【答案】2【解析】略13.极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线【答案】D【解析】14.、在极坐标系中，点的坐标分别为，则＝。
4圆锥曲线的极点与极线(1)
圆锥曲线的极点与极线1、已知点(2)A -，3在抛物线2:2C y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为A 、12 B 、23 C 、34 D 、432、已知(4)A F ，3，为椭圆的22143x y +=右焦点，过点A 的直线与椭圆在x 轴上方相切于点B 则直线BF 斜率为 A 、12- B 、23- C 、1- D 、43-3、对于抛物线2:4C y x =，我们称满足2004y x <的点()00x y ，在抛物线的内部，则直线00:2()l y y x x =+与抛物线C A 、恰有1个公共点 B 、恰有2个公共点 C 、可能有1个公共点也可能有2个公共点 D 、没有公共点4、已知椭圆22:12x C y +=的两个焦点12F F ，，点00(,)P x y 满足2200012x y <+<，则12PF PF +的取值范围为_____，直线0012x x y y +=与椭圆C 的公共点个数是______5、已知椭圆C 的方程为22143x y +=，过直线:4l x =上任意一点Q 作椭圆C 两条切线，切点分别为A B 、，则原点到直线AB 距离的最大值为_______6、设P 是直线:290l x y ++=上的任一点，过点P 作椭圆229x y +=的两条切线PA PB 、，切点分别为A B 、，则直线AB 恒过定点_____7、已知点P 为24x y +=上一动点，过点P 作椭圆22143x y +=的两条切线，切点分别A B 、，当点P 运动时，直线AB 过定点，该定点的坐标是____________8、已知点P 是抛物线2:4C x y =上一个动点，过点P 作圆()2241x y +-=的两条切线，切点分别为A B 、，则线段AB 长度的最小值为_________9、过椭圆221259x y +=内一点(3)M ，2，做直线AB 与椭圆交于点,A B ，作直线CD 与椭圆交于点,C D ，过,A B 分别作椭圆的切线交于点P ，过,C D 分别作椭圆的切线交于点Q ，则PQ 所在的直线方程为_______。
高考数学定比点差法齐次化极点极线问题蝴蝶问题(解析版)
定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题【题型归纳目录】题型一：定比点差法题型二：齐次化题型三：极点极线问题题型四：蝴蝶问题【典例例题】题型一：定比点差法例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF =3FB ，求k【解析】由e =32，可设椭圆为x 24+y 2=m 2(m >0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，F (3m ,0)，由AF =3FB ，所以3m =x 1+3x 21+30=y 1+3y 21+3，⇒x 1+3x 2=43m y 1+3y 2=0 ．又x 124+y 12=m 2(1)x 224+y 22=m 2(2) 按λ配型(2)×9 x 124+y 12=m 2(1)9x 224+9y 22=9m 2(3) 由(1)-(3)得(x 1+3x 2)(x 1-3x 2)4+(y 1+3y 2)(y 1-3y 2)=-8m 2⇒x 1-3x 2=-833m ，又x 1+3x 2=43m ⇒x 1=233m ⇒A 23m 3,±6m 3．又F (3m ,0)⇒k =±2．例2.已知x 29+y 24=1，过点P (0,3)的直线交椭圆于A ，B (可以重合)，求PA PB 取值范围．【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (0,3)，由AP =λPB ，所以0=x 1+λx 21+λ3=y 1+λy 21+λ⇒x 1+λx 2=0y 1+λy 2=3(1+λ) ．由4x 12+9y 12=36(1)4x 22+9y 22=36(2) 配比(2)×λ2 4x 12+9y 12=36(1)4λ2x 22+9λ2y 22=36(3) 由(1)-(3)得：⇒4x 1+λx 2 x 1-λx 2 +9y 1+λy 2 y 1-λy 2 =361-λ2⇒y 1-λy 2 =41-λ 3，又y 1+λy 2=31+λ ⇒y 1=13+5λ6，又y 1∈-2,2 ⇒λ∈-5,-15 ，从而PA PB=λ ∈15,5 ．例3.已知椭圆x 26+y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 若λ=2，求μ的值．【解析】设P x 0,y 0 ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，，由PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 得①F 1-c ,0 满足-c =x 0+λx 11+λ0=y 0+λy 11+λ⇒x 0+λx 1=-c 1+λ y 0+λy 1=0 F 2c ,0 满足c =x 0+μx 21+μ0=y 0+μy 21+μ⇒x 0+μx 2=-c 1+μ y 0+μy 2=0 ②由x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2) ⇒x 02a 2+y 02b 2=1(1)λ2x 12a 2+λ2y 12b2=λ2(3) ③由(1)-(3)得：x 0-λx 1 x 0+λx 1 a 2+y 0-λy 1 y 0+yx 1 b2=1-λ2⇒x 0-λx 1 x 0+λx 1 1-λ 1+λ =a 2⇒x 0-λx 1 =-a 2c 1-λ ，又x 0+λx 1 =-c 1+λ ⇒2x 0=a 2-c 2c λ-a 2+c 2c ，同理可得2x 0=-a 2-c 2c μ+a 2+c 2c⇒a 2-c 2c λ+μ =2⋅a 2+c 2c ⇒λ+μ =2⋅a 2+c 2a 2-c 2=10⇒μ=8．题型二：齐次化例4.已知抛物线C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．【解析】直线PQ :x =my +4,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2由x =my +4，得1=x -my 4则由x =my +4y 2=4x ，得：y 2=4x ⋅x -my 4，整理得：y x 2+m y x -1=0，即：y 1x 1⋅y 2x 2=-1．所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1，则OP ⊥OQ ，即：∠POQ =90°．例5.椭圆E :x 22+y 2=1，经过点M (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A (0,-1)，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线PQ :mx +n (y +1)=1,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则m +2n =1．由mx +n (y +1)=1x 22+y 2=1，得：x 22+[(y +1)-1]2=1．则x 22+(y +1)2-2(y +1)[mx +n (y +1)]=0，故(1-2n )y +1x2-2m y +1x +12=0．所以y 1+1x 1+y 2+1x 2=2m 2n -1=2.即k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=2.例6.已知椭圆C :x 24+y 2=1，设直线l 不经过点P 2(0,1)且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：直线l 过定点．【解析】设直线l :mx +n (y -1)=1．．．．．．(1)由C :x 24+y 2=1，得x 24+[(y -1)+1]2=1即：x 24+(y -1)2+2(y -1)=0．．．．．．(2)由(1)(2)得：x 24+(y -1)2+2(y -1)[mx +n (y -1)]=0整理得：(1+2n )y -1x 2+2m ⋅y -1x +14=0则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=-2m 1+2n=-1，则2m =2n +1，代入直线l :mx +n (y -1)=1，得：l :(2n +1)x +2n (y -1)=2显然，直线过定点(2,-1)．题型三：极点极线问题例7.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过A (-2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆M 的离心率；(2)设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上(P 不与椭圆M 的顶点重合)，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【解析】(1)因为点A (-2,0)，B (0,1)都在椭圆M 上，所以a =2，b =1．所以c =a 2-b 2=3．所以椭圆M 的离心率e =c a =32．(2)由(1)知椭圆M 的方程为x 24+y 2=1，C (2,0)．由题意知：直线AB 的方程为x =2y -2．设P (x 0,y 0)(y 0≠0，y 0≠±1)，Q (2y Q -2,y Q )，S (x S ,0)．因为C ,P ,Q 三点共线，所以有CP ⎳CQ ，CP =(x 0-2,y 0),CQ =(2y Q -2-2,y Q )，所以(x 0-2)y Q =y 0(2y Q -4)．所以y Q =4y 02y 0-x 0+2．所以Q 4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2,4y 02y 0-x 0+2．因为B ,S ,P 三点共线，所以1-x s =y 0-1x 0，即x s =x 01-y 0．所以S x 01-y 0,0．所以直线QS 的方程为x =4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2-x 01-y 04y 02y 0-x 0+2y +x 01-y 0，即x =x 02-4y 02-4x 0y 0+8y 0-44y 0(1-y 0)y +x 01-y 0．又因为点P 在椭圆M 上，所以x 02=4-4y 02．所以直线QS 的方程为x =2-2y 0-x 01-y 0(y -1)+2．所以直线QS 过定点(2,1)．例8.若双曲线x 2-y 2=9与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)共顶点，且它们的离心率之积为43．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线A 1P 与A 2Q 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1-15k 2=0．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为223；由题意知a =3，所以c =22，b =1．所以椭圆的标准万程为x 29+y 2=1．(2)当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：k 1=-k 2≠0，不满足k 1-15k 2=0，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x =ty +n ，由x =ty +n x 29+y 2=1，得：t 2+9 y 2+2tny +n 2-9=0，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以Δ=4t 2n 2-4t 2+9 n 2-9 >0，整理得：t 2-n 2+9>0，设P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9，k 1=y 1x 1+3，k 2=y 2x 2-3．因为k 1-15k 2=0，所以15=k 1k 2=y 1x 1+3y 2x 2-3=y 1x 2-3 y 2x 1+3 =y 1ty 2+n -3 y 2ty 1+n +3 ，整理得：4ty 1y 2+5(n -3)y 1-(n +3)y 2=0，4ty 1y 2+5(n -3)y 1+y 2 =(6n -12)y 2，将y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9代入整理得：t (n -2)(n -3)=(2-n )t 2+9 y 2要使上式恒成立，只需n =2，此时满足t 2-n 2+9>0，因此，直线l 恒过定点2,0 ．例9.如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA QB =PA PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知，点(2,1)在椭圆E 上.因此，2a 2+1b 2=1,a 2-b 2=c 2,c a =22,解得a =2,b =2.所以椭圆的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则|QC ||QD |=|PC ||PD |=1，即|QC |=|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则M (0,2),N (0,-2)，由|QM ||QN |=|PM ||PN |，有|y 0-2||y 0+2|=2-12+1，解得y 0=1或y 0=2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q (0,2).下面证明：对任意的直线l ，均有|QA ||QB |=|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +1，A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立x 24+y 22=1y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=16k 2+8(2k 2+1)>0，所以，x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.因此1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k .易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B (-x 2,y 2).又k QA =y 1-2x 1=k -1x 1,k QB =y 2-2-x 2=-k +1x 2=k -1x 1，所以k QA =k QB，即Q ,A ,B 三点共线.所以|QA ||QB |=|QA ||QB |=|x 1||x 2|=|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立.变式1.已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3 x +3 ，即：y =y09x +3联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 .同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1 =6y 0y 02+9--2y 0y 02+1 -3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1 ，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04 x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02 x -32所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．变式2.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ，A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)椭圆的一个焦点F 1-3,0 ，则另一个焦点为F 23,0 ,由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2．又b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设Q 1,t ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则直线A 1Q :y =t 3x +2 ，与x 24+y 2=1联立，解得M -8t 2+184t 2+9,12t 4t 2+9同理N 8t 2-24t 2+1,4t 4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t 4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9 =-2t 4t 2+3x -4 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为4,0变式3.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】(1)因为椭圆的左焦点为F 1-2,0 ，所以c =2，设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-2=1，又因为椭圆过点M (2,1)，所以2a 2+1a 2-2=1，解得a 2=4,b 2=2所以椭圆方程为：x 24+y 22=1；(2)设直线AB 的参数方程是x =4+t cos αy =1+t sin α ，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24+y 22=1，得：cos 2α+2sin 2α t 2+(8cos α+4sin α)t +14=0．由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，得|AP |(|QP |-|PB |)=(|AP |-|QP |)|PB |，即|QP |(|AP |+|PB |)=2|AP |⋅|PB |，则t Q =2t A t B t A +t B =-288cos α+4sin α，点Q 轨迹的参数方程是x =4-28cos α8cos α+4sin αy =1-28sin α8cos α+4sin α，则8(x -4)+4(y -1)=-28，所以点Q 在定直线2x +y -2=0上题型四：蝴蝶问题例10.在平面直角坐标系中，已知圆M :x +2 2+y 2=36，点N 2,0 ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
2023全国乙卷理科第20题 极点极线
2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。
本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。
【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。
在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。
点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。
即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。
2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。
根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。
在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。
这里，(x1, y1) 是圆的极点。
二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。
意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。
（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。
2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。
易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。
（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。
三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。
圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用
圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用
摘要：本文通过引入极点与极线的定义，另辟蹊径提供高考试题的分析及解法.
关键词：圆锥曲线极点与极线问题高考试题研究
（1）当点P在曲线Ω上时，方程为曲线Ω上过点P的切线方程。
（2）当点P在曲线Ω外时，过点P引曲线Ω的两条切线PA,PB，方程为切点弦AB所在
的直线方程。
（3）过点P（除有心圆锥曲线的中心外）作直线交曲线Ω于A,B两点，方程为曲线在
A,B处的两条切线的交点的轨迹方程。
推论1：过圆锥曲线Ω焦点的直线与曲线Ω相交于A,B两点，分别过点A,B作曲线Ω的
切线，则切线交点的轨迹是与该焦点相应的准线。
推论2：过圆锥曲线Ω准线上任意一点作曲线Ω的切线，切点弦所在的直线必过其准线
相应的焦点。
推论3：过圆锥曲线Ω准线上任意一点A作曲线Ω的切线，切点为B，则以AB为直径的圆恒过曲线Ω相应的焦点F。
下面结合近几年高考试题，探讨圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用。
高考试题以圆锥曲线极点与极线为问题背景，设计变化多端的高考新题，其实它们都有
一个“源头”。
教师在平常教学过程中要有意识地渗透这种化归思想，必能实现事半功倍的效果。
参考文献
宋波有关圆锥曲线切线的一组“殊途同归”的结论[J].中学数学研究，2015，（12），27-30。
极点与极线背景下的高考考试
极点与极线背景下的高考考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB=+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQPA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+=211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有PEFG H MA NB 图P Q A 图2Bl推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ'-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆P Q R 图3R 'ROPlA 图4 P 'R BQQ 'R的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>过点(2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q 总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案22142x y+=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=u u u r u u u r u u u r u u u r ，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.yxO B A 图5K (,)T t mMNBQxyO PA.图6分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为102和153，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=u u u r u u u r(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P .(1)证明FP AB ⋅u u u r u u u r为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--u u u r u u u r ，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=u u u r u u u r. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以2212(1)4(1)2ABP S AB FP k k ∆==++. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别A BPOxy图8F B y F l R Q xyOP.图7相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-u u u r ，12121(,)24x x FP x x +=-u u u r ，2221(,)4FB x x =-u u u r .2212112112112222211111111()()()()244444cos 11()()44x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .同理1214cos x x FP FBPFB FP FB FP+⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
抛物线 ｘ ２ ， ＝ Ｙ 则点 Ｐ 二 ＇ｏ 对应的极线方程 ２ Ｐ （。ｙ ） 为：（ 一ｐｙ ｏ ＝ ０ 二二 （ ＋Ｙ ） ； 若抛物线 犷 二２ｘ 则点 Ｐ 二 ＋０ 对应的极线方 ｐ， （（ｙ） ， 程为：ｏ ＂（ ＋二 ） ０ ＹＹ ｐ二 。 ＝ ． － 命题 ２ 圆锥曲线中极线共点于 尸 则这些极线相 ， 应的极点共线于点 尸相应的极线． 反之亦然． 称为极点 与相应极线对偶性． 如题 １ Ａ 图，Ｂ绕焦点Ｆ转动， Ａ 则 Ｂ相应的极点 Ｐ
中学数学教学
相交， 两个交点的纵坐标为 Ｙ ．２求 ｌ ， Ｙ
２０ 年第 ６ ０６ 期
证Ｙ ２ ． Ｉ＝ Ｙ －厂
作为课本一习题，０１年全 国卷 ２０
ｉ 题以此题为背景命题， ｓ 利用此结论
可迅速证 明该题． （０ １年 全 国 卷 理 科 １ ２０ ９题 ） 设 抛 物 线 Ｙ ２＝
、 Ｙｉ一 Ｙ２）
所以 声＂ 方＝ｘ （ ： １ 一 ２ ｙ 一 Ｙ ）“ ０ Ｆ Ａ ｐｘ 一ｘ ） （ ： １ ．
（） 扫方程为，－１ ｘ 逆用命题 １ Ｂ对 ２ 设Ａ Ｙ ＝ｋ ， 得Ａ
应 的极点为（ｋ 一１ ， ＝ｋ 十１ ２ ， ）把ｙ ｘ 代人 ｘ ＝ 并由 ２ ｙ ４
２ ３ 竞赛中抛头露面， ． 显山露水
２ｘ ｐ ０ 的焦点为 Ｆ 过焦点 Ｆ的直线交抛物线于 ｐ （ ＞ ） ， Ａ， Ｂ两点 ， Ｃ在抛物线的准线上， Ｂ〕 点 且 （平行ｘ轴， 证
明直线 Ａ Ｃ过原点． 下面利用命题 １２ ， 给出例 １ 的证明：
标 （ ２ 为线上点 点 对 的线 为奋 ） ，动， 尸应极 ，直 Ｐ 则 Ａ必（ ２ Ｂ过２卜 １ 设Ｂ 程 一 （ ， 恤１ 方：卜‘ ）用 ， Ａ的 ， 一合 逆 得 Ａ 应极 设 （，一） Ａ 人； Ｂ 的杆可为 夸 ２把Ｂ Ｃ 对 夸 ・ 代
完整)极点与极线背景下的高考试题
完整)极点与极线背景下的高考试题通过对极点与极线的研究，我们可以更好地理解圆锥曲线的特征，从而更好地应对高考试题。
5.从代数角度看极点与极线：设圆锥曲线$\Gamma$的方程为$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，则称点$P(x,y)$和直线$l:Ax+Cy+D(x_0)+E(y_0)+F=0$是$\Gamma$的一对极点和极线。
实际上，在圆锥曲线方程中，以$x^*$替换$x$，以$x=x_0+x^*$替换$x$，以$y^*$替换$y$，以$y=y_0+y^*$替换$y$即可得到点$P(x,y)$的极线方程。
特别地，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}+\frac{y^*}{b^2}=1$；对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}-\frac{y^*}{b^2}=1$；对于抛物线$y=2px$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$yy^*=p(x_0+x^*)$；如果圆锥曲线是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线$y=2px$，则其焦点为$F(0,\frac{p}{2})$，其准线为$x=-\frac{p}{2}$。
y = (3/2)x - 1，代入椭圆方程得到4x^2 + 9y^2 - 48x + 32y + 64 = 0化简得x^2/16 + (y+2)^2/9 = 1所以点Q的轨迹方程为x^2/16) + ((y+2)^2/9) = 1这是一个标准的椭圆方程，所以点Q的轨迹是一个椭圆。