高考数学--导数中二次求导的运用
高考数学--导数中二次求导的运用
【理·2010全国卷一第20题】已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
解析：先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得()()
11ln 11ln f x x x x x x '=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ?
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可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有 ()11g x x
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所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。
应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。
要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。
由上知()1ln f x x x
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，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。我们可以尝试再对()1ln f x x x '=+求导，可得()211f x x x
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求导法则与求导公式
§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+
导数二次求导
1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
2.设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值； （Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞2 21x ax -+。
1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ 先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得 ()()11ln 11ln f x x x x x x '=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ? ?+≤++ ??? ，化简得 2ln x x x ax ≤+，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x ，而x 又大于零，所以两边同乘 1x 可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有 ()11g x x '=-，即当0＜x ＜1时，()g x '＞0，()g x 在区间()0,1上为增函数；当1x =时，()0g x =；当1＜x 时，()g x '＜0，()g x 在区间()1,+∞上为减函数。 所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。 要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。 由上知()1ln f x x x '=+ ，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。我们可以尝试再对()1ln f x x x '=+求导，可得()211f x x x ''=-，显然当0＜x 1≤时，()0f x ''≤；当1＜x 时，()f x ''＞0，即()1ln f x x x '=+在区间()1,+∞上为减函数，所以有当0＜x 1≤时， ()()11f x f ''≥=，我们通过二次求导分析()f x '的单调性，得出当0＜x 1≤时()1f x '≥，则()f x 在区间(]0,1上为增函数，即()()10f x f ≤=，此时，则有(1)()0x f x -≥成立。 下面我们在接着分析当1＜x 时的情况，同理，当1＜x 时，()f x ''＞0，即()f x '在区间()1,+∞上为增函数，则()()11f x f ''≥=，此时，()f x 为增函数，所以()()10f x f ≥=，易得(1)()0x f x -≥也成立。 综上，(1)()0x f x -≥得证。 下面提供一个其他解法供参考比较。 解：（Ⅰ）()1ln f x x x '=+ ，则()ln 1xf x x x '=+ 题设2'()1xf x x ax ≤++等价于ln x x a -≤。
(完整word版)导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
高考数学--导数中二次求导的运用
高考数学--导数中二次求导的运用 【理·2010全国卷一第20题】已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ 解析：先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得()() 11ln 11ln f x x x x x x '=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ? ?+≤++ ??? ，化简得 2ln x x x ax ≤+，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x ，而x 又大于零，所以两边同乘1x 可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有 ()11g x x '=-，即当0＜x ＜1时，()g x '＞0，()g x 在区间()0,1上为增函数；当1x =时，()0g x =；当1＜x 时，()g x '＜0，()g x 在区间()1,+∞上为减函数。 所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。 要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。 由上知()1ln f x x x '=+ ，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。我们可以尝试再对()1ln f x x x '=+求导，可得()211f x x x ''=-，显然当0＜x 1≤时，()0f x ''≤；当1＜x 时，()f x ''＞0，即()1ln f x x x '=+在区间()1,+∞上为减函数，所以有当0＜x 1≤时， ()()11f x f ''≥=，我们通过二次求导分析()f x '的单调性，得出当0＜x 1≤时()1f x '≥，则()f x 在区间(]0,1上为增函数，即()()10f x f ≤=，此时，则有(1)()0x f x -≥成立。
高三数学一轮复习 导数的综合应用
导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0
解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b) 北京华罗庚学校 为全国学生提供优质教育 二次求导问题 导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现． 利用二次求导求函数的单调性 [典例] 若函数f(x)＝ sinx ，0 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 2019高考数学热点难点突破技巧第03讲： 导数中的二次求导问题 【知识要点】 1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径. 【方法讲评】 对函数一次求导得到 难度较 的单调性，得到函数的最值，即可得到 到函数 【例1】(理·2010全国卷Ⅰ第20题)已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明： 化简得， 所以两边同乘可得，所以有，在对求导有 ，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时， ；当＜时，＜0，在区间上为减函数. 所以在时有最大值，即.又因为，所以 . 当时，同理，当时，＞，即在区间上为增函数，则 ，此时，为增函数，所以，易得 也成立. 综上，得证. 方法二：（Ⅰ），则 题设等价于. 令，则. 当＜＜时，＞；当时，，是的最大值点，所以 . 综上，的取值范围是. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即. 当＜＜时， 因为＜0，所以此时. 当时，. 所以 【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.（2）大家一定要理解二次求导的使用情景，是一次求导得到之后，解答难度较大甚至解不出来. （3） 二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数 的单调性. 【例2】设函数 （Ⅰ）若在点处的切线为，求的值；（Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证：在时，＞． 【解析】（Ⅰ）∵∴， ∵在点处的切线为，即在点的切线的斜率为， 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重 §2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算） 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？ 二次求导问题 导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现． [典例] 若函数f (x )＝sin x x ，0 二次求导法解高考导数题 胡贵平（甘肃省白银市第一中学 ，甘肃 白银 730900） 导数是研究函数性质的一种重要工具，用导函数判断原函数的单调性，如果导函数大于零，则原函数为增，导函数小于零，则原函数为减.而当导数与0的大小确定不了时，对导函数或导函数中的一部分再构造，继续求导，也就是二次求导，不失为一种妙法，下面我们结合高考题来看看二次求导数题中的应用. １ （2017年高考课标Ⅱ卷（文）（21））设函数2()(1)e x f x x =-. （I ）讨论()f x 的单调性； (II)当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围. 解：（I ）略. (II)当0x ≥时，()1f x ax ≤+等价于2(1)1x ax x e ≥--. 若=0x ，显然成立，a R ∈. 若0x >时，2(1)1x x e a x --≥，设2(1)1()x x e g x x --=， 2232222(1)(1)1(1)1()x x x x xe x e x x e x x x e g x x x ????-+------+-+????'== ， 令32()(1)1x h x x x x e =--+-+，32()(4)0x h x e x x x '=-++<，所以()h x 在(0,)x ∈+∞内是减函数，易知(0)=0h ，所以当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，所以 22022000 (1)1(101(1)1lim lim (1)1x x x x x x x e e x e x e x x →→=??-------'????==--??）20(21)=1x x x x e =??=--+??，所以1a ≥， 综上所述，a 的取值范围是[)1 +∞，. ２ （2016年高考课标Ⅱ卷（文）（20）） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 解：（I ）略. (II)当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 1x x a x +< -，设(1)ln ()1x x g x x +=-， 2221(ln )(1)(1)ln 2ln 1()(1)(1)x x x x x x x x x g x x x x ++ --+--'==-- ， 令2()2ln 1h x x x x =--，()22ln 22(ln 1)0h x x x x x '=--=-->，所以()h x 在()1,x ∈+∞内是增函数，易知(1)=0h ，所以当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以 []111 1(1)ln (1)ln (11)ln1(1)lim lim (1)ln ln 211x x x x x x x x x x x x x x x →→==++-++??'==+=+=??--??，所以2≤a ，即a 的取值范围是(],2-∞. 3 （2010年高考安徽卷（理）（17））设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈. 2019高考数学热点难点突破技巧第03 讲： 导数中的二次求导问题 【知识要点】 1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导” ，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学” 的新意识和新途径. 【方法讲评】 【例1】（理· 2010 全国卷Ⅰ第20题）已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明： 化简得 ， 所以两边同乘 可得 ，所以有 ，在对 求导有 ，即当 < < 时， > 0， 在区间 上为增函数； 当 时， ；当 < 时， <0， 在区间 上为减函数 . 所以 在 时有最大值，即 .又因为 ，所以 . 综上， 得证. ，则 题设 等价于 . 令 ，则 当 < < 时， > ；当 时， ， 是 的最大值点 当 < < 时， . 的最大值点，所以 当 时，同理，当 也成立 . 综上， Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即. 当< <时 因为< 0，所以此时. 当时所以 【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得 自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.（2）大家一定要理解二次求导的使 用情景，是一次求导得到之后，解答难度较大甚至解不出来. （3） 二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 【例2】设函数 （Ⅰ）若在点处的切线为，求的值；（Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证：在时， > ． 【解析】（Ⅰ）∵ ∴ ， ∵ 在点处的切线为，即在点的切线的斜率 为， ∴ ，∴ ，∴切点为， 将切点代入切线方程，得，所以，； 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 导数中的二次求导题型 1.（2010年全国卷1理科20）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f . （1）若1)(2++≤'ax x x f x ，求a 的取值范围； （2）证明：0)()1(≥-x f x . 2.（2010年新课标全国卷1理科20）设函数21)(ax x e x f x ---=. （1）若0=a ，求)(x f 的单调区间； （2）若当0≥x 时0)(≥x f ，求a 的取值范围. 3.（2013年河北省石家庄一模理科21）设函数)1ln()(2++=x a x x f . （1）若函数)(x f y =在区间[)+∞,1上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数)(x f y =有两个极值点1x ，2x 且21x x <求证：2ln 21)(012+-<< x x f . 4.（2013年山西省太原市一模理科21）已知函数 1()(2)(1)21,()(,x f x a x nx g x xe a R e -=---=∈为自 然对数的底数）. （1）若不等式 ()0f x >对于一切1(0,)2 x ∈恒成立，求a 的最小值； （2）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围. 5.（辽宁省五校第一联合体2013届高三年级考试理科21）已知函数()01ln )(>+=a x a x f . （1）当0>x 时，求证：)11(1)(x a x f -≥-； （2）在区间()e ,1上x x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当21= a 时，求证：()()*112)1()3()2(N n n n n f f f ∈+-+>++++ . 6.（山西省晋中名校2013届高三联合测试）已知函数()R a e ax x f x ∈-=2)(. （1）当1=a 时，试判断)(x f 的单调性并给予证明； （2）若)(x f 有两个极值点1x ，2x ()21x x <. （i ）求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<- x f e .（注：e 是自然对数的底数） 7.设函数2ln )(2+-=x x x x f . （1）求)(x f 的单调区间； （2）若存在区间[]??????+∞?,21,b a ，使)(x f 在[]b a ,上的值域为[])2(),2(++b k a k ，求k 的取值范围. 专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A ， B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图 所示，则一定有 A ．两机关单位节能效果一样好 B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好 C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大 D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C. 因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大． 【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清． 【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B 1．平均变化率 函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()() f x f x x x --，若21x x x ?=-，2()y f x ?=-1()f x ，则平 均变化率可表示为y x ??. 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在 t 到t t +?这段时间内，当t ?无限趋近于0时， s t ??无限趋近的常数. 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？ 【答案】见解析. 【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝1001 5005 -=-， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15101 70504 -=-， ∴h BC >h AB ， ∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多． 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点P (2,8)作曲线3 y x =的切线，则切线方程为 A ．12160x y --= B ．320x y -+=二次求导问题
高考数学 导数及其应用的典型例题
导数中的二次求导问题
高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)
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求导法则及求导公式
二次求导问题
二次求导法解高考导数题
导数中的二次求导问题
2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
2.函数中的二次求导
2021年高考数学专题03 导数及其应用 (原卷版)