导数中的多次求导修订稿

导数中的多次求导

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

导数中的多次求导

【一次求导型】

已知函数()2x f x me x =--.（其中e 为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若曲线()y f x =过点(0,1)P ，求曲线()f x 在点(0,1)P 处的切线方程；

（Ⅱ）若()0f x >在R 上恒成立，求m 的取值范围；

解：（Ⅰ）略

（Ⅱ）由0)(>x f 得20x me x -->，即有2x x m e

+>……………………………………【分离变量】令2()x x u x e +=

， ……………………………………【一次构造】则1()x x u x e

--'=

， ……………………………………【一次求导】令()01u x x '>?<-，()01u x x '-

∴)(x u 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减……………………………………【得单调性】

∴max ()(1)u x u e =-=， ……………………………………【取最值】

∴m e > ……………………………………【结论】

【二次求导型】

设函数()ln ,()(2)(1)2()f x x g x a x f x ==---．

（Ⅰ）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意1(0,),()02

x g x ∈>恒成立，求实数a 的最小值．答案：（Ⅰ）略

（Ⅱ）由题意知(2)(1)2ln 0a x x --->，在1(0,)2x ∈上恒成立，

即(2)(1)2ln a x x -->在区间1

(0,)2

上恒成立，

又10x ->，∴2ln 21x a x >+

-在区间1(0,)2

上恒成立，……………………………………【分离变量】设2ln ()21x h x x =+-，1(0,)2x ∈， ……………………………………【一次构造】则2222(1)2ln 22ln ()(1)(1)

x x x

x x h x x x -+-+'==--， ……………………………………【一次求导】

1(0,)2x ∈， ……………………………………【二次构造】则222222()x m x x x x

-+'=-+=， ……………………………………【二次求导】当1(0,)2x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减， ……………………………………【得单调性】 ∴1()()422ln 202m x m >=-->， …………………………【求最值并与0比较】即()0h x '>在1

(0,)2恒成立，所以()h x 在1(0,)2

单调递增， ……………………【说明原函数单调性】 ∴12ln 1

2()()224ln 21

22h x h <=+=-，

故24ln 2a ≥-，所以实数a 的最小值24ln 2-．

【二次求导型 + 零点存在性定理】

已知函数()(ln )f x x a x =+有极小值2e --．

（Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）若k Z ∈，且()1f x k x <

-对任意1x >恒成立，求k 的最大值．答案：（Ⅰ）1a =

（Ⅱ）当1a =时，()(1ln )f x x x =+，所以设()ln ()11f x x x x g x x x +=

=--，………………【一次构造】则22ln ()(1)

x x g x x --'=-． ……………………………………【一次求导】

……………………………………【二次构造】因为11()10x h x x x

-'=-=>， ……………………………………【二次求导】所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增， ……………………………………【得单调性】

理】

所以要使1

k x <-对任意1x >恒成立，则min 0()(3,4)k g x x <=∈，因为k Z ∈，所以要3k ≤，即k 的最大值为3．

【三次求导型】

已知函数321()13

f x x ax bx =+++，()x

g x e =且函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在0x =处有公共的切线．

（1）求b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；

（3）证明：当12

a ≤时，()()g x f x >在区间(,0)-∞内恒成立．解：（1）1

b =；（2）略；

（3）令332211()()()(1)133

x x h x g x f x e x ax x e x ax x =-=-+++=---- 2()21x h x e x ax '=---

()22x h x e x a ''=--

()2x h x e '''=-

∵(,0)x ∈-∞，()20x h x e '''=-<，

∴()22x h x e x a ''=--在(,0)-∞单调递减

∴min ()(0)120h x h a ''''>=-≥（12

a ≤） ∴2()21x h x e x ax '=---在(,0)-∞单调递增

∴max ()(0)0h x h ''<= ∴321()13

x h x e x ax x =----在(,0)-∞单调递减 ∴min ()(0)0h x h >=

【三次求导型 + 零点存在性定理】

已知函数()ln f x x =，()h x ax =（a R ∈）．

（1）函数()f x 与()h x 的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数m ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()m y f x x

=+的图象在()x e g x x =的图象的下方若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由．

（参考数据：ln 20.6931=，,ln3 1.0986=

1.3956==）.

解：（Ⅰ）略；（Ⅱ）假设存在实数m 满足题意，则不等式ln x m e x x x +<对1(,)2

x ∈+∞恒成立. 即ln x m e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立. ……………………………………【分离变量】令()ln x r x e x x =-， ……………………………………【构造函数】则'()ln 1x r x e x =--， ……………………………………【一次求导】则1()x r x e x

''=-， ……………………………………【二次求导】 21()0x r x e x

'''=+

> ……………………………………【三次求导】因为()r x ''在1(,)2+∞上单调递增， ……………………………………【得到单调性】 121()202r e ''=-<，(1)10r e ''=->，且()r x ''的图象在1(,1)2

上连续，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0r x ''=， ……………………………………【零点存在性定理】

所以当01(,)2

x x ∈时，'()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，'()r x 单调递增，

所以'()0r x >，即()r x 在区间(,)2

+∞内单调递增.

11221111()ln ln 2 1.995252222m r e e ≤=-=+=，所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1.

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+；解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

(完整word版)导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。事实上，。作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念： 1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。即：（或）注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。即：。

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4 x x y = ；（2）1ln 1ln x y x -=+．（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解：（1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。（2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。（3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。（4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = 。（8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。（9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。（11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。（12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。（13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

求导法则及求导公式

§2 求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数）设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）证明令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式１. 基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

高中数学复合函数的求导法则教案

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．

复合函数求导公式,复合函数综合应用

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 5 9 ++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2) ()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2 ,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则

5.简单复合函数的求导法则导学案

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间： §5简单复合函数的求导法则【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】 1.复合函数对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】求下列函数的导数（1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。【巩固提高】 1、求下列函数的导数

（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限（1）求点0P 的坐标（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。【课堂小结】

复合函数的求导法则教案

§1.2.3复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

常用的基本求导法则与导数公式

常用的基本求导法则与导数公式１. 基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3简单的复合函数求导法则【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1 )'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究复合函数的导数求解法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''?= 三．典例分析例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。例2：求下列函数的导数（1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）1 2-= x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西汉中 723000）指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数 []()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算定理1[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 也可导，且：

1.2.2 基本初等函数的导数及导数的运算法则(1)

1．2．2基本初等函数的导数及导数的运算法则(一) 一、教学目标：掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用. 二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数.. 教学难点：商求导法则的理解与应用. 三、教学过程：（一）新课 1．P14面基本初等函数的导数公式（见教材） 2．导数运算法则：（1）．和（或差）的导数法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即(u±v)'＝u'±v'．例1 求y＝x3＋sin x的导数．解：y'＝(x3)'＋(sin x)'＝3x2＋cos x．例2 求y＝x4－x2－x＋3的导数．解：y'＝4x3－2x－1．（2）．积的导数法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即(uv)'＝u'v＋uv'．由此可以得出(Cu)'＝C 'u＋Cu'＝0＋Cu'＝Cu'．也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即(Cu)'＝Cu'．例3 求y＝2x3－3x2＋5x－4的导数．解：y'＝6x2－6x＋5．例4 求y＝(2x2＋3) (3x－2) 的导数．解：y'＝(2x2＋3)'(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)'＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9．

或：692623-+-=x x x y ，9418'2+-=x x y 练习 1．填空： ⑴ [(3x 2＋1)(4x 2－3)]'＝( 6x )(4x 2－3)＋ (3x 2＋1)( 8x )； ⑵ (x 3sin x )'＝( 3 )x 2·sin x ＋x 3· ( cos x )． 2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正： [(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)． [(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)－3x 2(3＋x 2)． 3．求下列函数的导数： ⑴ y ＝2x 3＋3x 2－5x ＋4； ⑵ y ＝ax 3－bx ＋c ； ⑶ y ＝sin x －x ＋1；（4） y ＝(3x 2＋1)(2－x )；（5） y ＝(1＋x 2)cos x ；（6）x x y x 2log 3cos 2-= 例5．已知函数f (x )＝x 2(x －1)，若f ' (x 0)＝f (x 0)，求x 0的值．（3）商的导数例6．求下列函数的导数（1）x x y tan = （2）x x y cos 1sin += （3）x x y 2log sin = 练习：求下列函数的导数（1）32521x x x y +-= （2）x x x y cos tan -= 例7．求函数x x x y cos sin =的导数思考：设 f (x )＝x (x ＋1) (x ＋2) … (x ＋n )，求f '(0)．练习. 函数f (x )＝x (x －1) (x －2)(x －3) …(x －100)在x ＝0处的导数值为( ) A. 0 B. 1002 C. 200 D. 100!

复合函数的求导法则---重点

§复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作 ()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为

x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ ax x a x 22 --的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2 1 sin 22 x ＝1－ 41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1 cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－3 1 或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14 ），

导数求导定积分公式

圆梦教育中心导数和积分知识点总结一、导数: ① ② ③; ④; ⑤⑥; ⑦; ⑧. ( ‘=（v 0）。 1、单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数； 2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?在(a ，b)内的极值； ②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 0;C '=()1 ;n n x nx -'=(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-();x x e e '=()ln x x a a a '=()1 ln x x '=()1l g log a a o x e x '=.)'''v u v u ±=±.)('''uv v u uv +=.)(''Cu Cu =??? ??v u 2''v uv v u -≠)(x f y = 'f )(x 0>)(x f 'f 0)(

二、定积分（1）概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0