2.2导数的求导法则

f
(
x)
sin x 1 cos
x
，求
f
(
4
)
及
f
(
2
)
特别地：(1v)
v v2
例
(5) y
1 1 x2
练习：求下列函数的导数：
1.y x2 (2 x)
2.y 2 x 3 2 x
3.y (3x x ) tan x
5.y 2x ln x 2x 1 ln x x
4.y sin x sin x cosx
(uv) uv uv
例：求 y x2 ln x 的导数
3、常数因子可以提到导数记号外。即：(cu) cu
例：求 y 10sin xex的导数例：y (1 x2 ) ln x 求 y |x1
推广： (uvw) uvw uvw uvw (uvwt) uvwt uvwt uvwt uvwt
2
3.y e2t cos3t 6.y sin ex2 x2
7.
y
arc
tan 1
2
x x
2
8.y arccos x 1 x2
9.y (arcsin x )2 2
10.y ln 1 x 1 x
练习：P69 1,2,3
例：已知 f (x) 可导，求 y f (ex )e f (x) 的导数。
例：求 y xsin x(ln x 1) 的导数。
4、两函数商的导数等于分子的导数乘分母减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方。即：
(u v
)
uv v2
uv
例：求下列函数的导数：
(1) y x 1 x 1
(2) y 1 ln x 1 ln x
arctan x (3) y 1 x2
(4)
练习：P69 4,5,6
6.y x sec x a x arcsin x sin
x
4
公式：
1 x
1 x2
x 1 2x
二、反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
设函数 x ( y)在某区间Iy内单调、可导且( y) 0
则其反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，且
f
'
(x)
1 ' ( y)
或
dy dx
注： f (ex ) 表示 f (u)与 u ex 复合。
[ f (ex )] 表示 f (u)与 u ex复合的导数，即
[ f (ex )] ' f ' (ex )(ex )'
练习:求函数 y f (sin 2 x) 的导数。
四、分段函数求导数
例：f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
2 x
x
2
1
0 x 1 1 x 2
例：求下列函数的导数 y
(1) y cos3 2x
(2) y sin e2x
(3)y log3(arcsin(52x x))
(4) y ln x2 1 (x 2) 3 x2
(5) y xaa axa aax
练习：求导数
1.y 1 ex
4.y exln x
2.y cscex 5.y ln tan x
2.2导数的求导法则一、导数的四则运算法则
1、函数和差的导数等于函数导数的和差。即：
(u v) u v
例：求下列函数的导数：
(1)y x3 x cosx
(2) y ln 2 log2 x sin x
2、两函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。即：
1 dx
dy
三、复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
yx yu ux
即若y f (u) ，u (x)，则 dy dy du
dx du dx
y f [(x)](x)
例：求下列函数的导数。
(1) y (3x2 1)5
(2) y 2sin x
(3) y arctan 1 x
y 2u ln 2 cos x
(3) y arctan 1
y
arctan
x u,u
1
x
y
1 1 u2
1 x
2sin x ln 2 cos x
y
1
1 1 x
2
1 x
链式法则：若y f (u),u (v),v (x)则
yx yu uv vx
dy dy du dv dx du dv dx
dy dy du dx du dx (1) y (3x2 1)5
y f [(x)](x)
y u5,u 3x2 1
y 5(3x2 1)4 (3x2 1)
y 5u4 u 5(3x2 1)4 6x
5(3x2 1)4 6x
(2) y 2sin x
y 2u ,u sin x
y 2sin x ln 2 sin x

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同济大学高等数学2.2求导法则与导数公式

3cos2 x2 (sin x2)(x2)
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；

函数的求导法则

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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明首页上页返回下页结束铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v

2.2导数计算

推广
设 y = f ( u ), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
y = f {ϕ [ψ ( x )]} 的导数为则复合函数 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
∵ y = ln u, u = sin x .
和、差、积、商的求导法则
求导法导数的运算则注意: 注意: [u( x) ⋅ v( x)]′ ≠ u′( x) + v′( x);
u( x) u′( x) [ ]′ ≠ . v( x ) v′( x)
分段函数求导时分段函数求导时, 分界点导数用左右导求导时, 数求. 数求.
例题分析例1 求 y = x3 − 2x2 + sin x 的导数 . 解
1 ⋅ cos x = sin x
u
= cot x
例2 求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 . 解 ∵ y = u10 , u = x 2 + 1
dy dy du ∴ = ⋅ dx du dx
9
d ( u10 ) d ( x 2 + 1) = ⋅ du dx
= 10u ⋅ 2x = 10( x 2 + 1)9 ⋅ 2 x
第二章
导数与微分
导数计算
第二、三、四节第二、
主要内容：主要内容：运算法则及基本方法初等函数的导数
导数的定义
导数的概念
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y dy df ( x) = lim = lim y′, f ′( x), 或 ∆x dx dx ∆x →0 ∆x ∆x→0

2.2函数的求导法则

e5x (5x)
5e5x 20
例. 设 y (ax b)100 (a , b 为常数) 求 y '
解: 设 y u100 u ax b
y' dy du 100u99 a 100a(ax b)99
du dx
例求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
2x
l n2 (tan
1 )'
:
x
tan 1
ln22 x
se c2
1
( 1 )'
xx
tan 1
ln 22 x
s ec2
1 x
1 x2
tan 1
2x
s e c2
1
ln2
x
x2
23
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 2. 设
3. y 2sin x2 , 求 y.
4. y arctan 1 , 求 y ' x
24
1. 求函数 y ( x2 1)10 的导数 . 解 y 10( x2 1)9 ( x2 1)
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
2. 设
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x x2 1
1 x2 1
25
解（3） y 2sin x2 , 求 y.
解
y 2sin x2
(secx) x secx ( x )
secx tan x x secx 1 2x
14
二、反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. [ f 1( x)] 1 f ( y)
15
例
求函数

2.2导数基本公式与求导法则

§2. 2 导数的基本公式与求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且（1）和差法则[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;（2）积法则[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );特别地如果v =C (C 为常数), 则有(Cu )'=Cu '. （3）商法则)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: xx x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='x x2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6．求函数y =arcsin x 的导数解：设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 类似地有: 211)(arccos x x --='.例7．求函数y =arctan x 的导数解：设x =tan y , )2,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211t a n11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x y y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (xx +-='.例8求y =log a x 的导数解：设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且(a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.例9 3x e y =, 求dxdy. 解：函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin x x y +=, 求dxdy.解函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy.解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x xx dx dyx x x cot cos sin 1=⋅=.例12．3221x y -=, 求dxdy . 解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy . 解:])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．xe y 1sin =, 求dxdy . 解:)1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=xx e x e e dx dy xe x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.四、初等函数的导数常用与基本初等函数的导数公式: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) x x 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos x x --='. (15) 211)(arctan x x +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.例16．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .。

2.2求导法则与导数公式

∵
f
(0)
lim
x0
f ( x) f (0) lim 1e2x 0 2 ，
x0
x0 x0
f (0)
lim
x0
f ( x) f (0)
lim
x0
x0
x2 0 0, x0
∴ f ( x) 在点 x0 不可导.
故
f
( x)
2e 2x
,
x
0,
2x, x 0.
分段函数求导的关键是：用定义对分段点求导.
例 3．设 f ( x) x( x1)(x2)( x100) ，求 f (0) .
解法1 (利用乘积的求导法则 )
f ( x) x [(x1)(x2)(x100)] x[(x1)(x2)(x100)] ( x1)(x2)( x100) x[(x1)(x2)( x100)]
f (0)(1)(2)(3)(100)100!.
作业
习题二（P68）
1 ； 2（1）（2）（3）（5）（8）； 3（1）（3）； 5.
2.3 反函数的导数、复合函数的导数
2.3.1 反函数的导数
定理 1 设定义在区间 Iy 上的严格单调的连续函数 x f ( y) ,在点 y 处可导,且 f ( y)0,则它的反函数 y f 1( x) 在对应点 x f ( y) 处也可导，且
例 1．求下列函数的导数:
（1）
y
x
5
x
x
3
1
3
x
cos
x
；
解：
y
x2
5
x2
x 3
3x
cos x ，
y
(
x
2
)

应用高等数学-2.2 导数的运算(2)

求导法则求导.
练习册第二章练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解先用复合函数求导公式，再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'，解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定，求 y' . 解对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0

§2.2 导数的运算法则与基本公式

§2.2 导数的运算法则与基本公式一、导数的和、差、积、商运算法则如果函数()u x 、()v x 在x 处都可导，则它们的和、差、积、商在x 处也可导；(1) [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；(2) [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=+；(3) 2()()()()()()[()]u x u x v x u x v x v x v x '''⎛⎫-= ⎪⎝⎭(()0)v x ≠；推广到多个函数情形：设有n 个函数1()u x 、2()u x 、…、()n u x 都可导，则：(1)1212[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ''''±±±=±±±(2)12121212[()()()]()()()()()()()()()n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++(3)[()]()ku x ku x ''=（k 为常数）定理2.3 设函数1()x f y -=在某个开区间内单调可导，且1[()]0f y -'≠，则反函数()y f x =在对应区间内可导，且11()[()]f x f y -'='.证明：0001011()lim lim lim 11[()]lim x x x y y f x x xx y yx f y y∆→∆→∆→-∆→∆'===∆∆∆∆∆==∆'∆二、基本初等函数的求导公式1.常数的导数：()0c '= （c 为常数）证明：()f x c =00()()()limlim 0x x f x x f x f x xc c x∆→∆→+∆-'=∆-==∆2.幂函数的导数：1()n n x nx -'= （n 为常数）证明：()nf x x =，0()()lim nnx x x xf x x∆→+∆-'=∆110()lim nn n n nnn nx C x C x x C x xx-∆→+∆++∆-=∆ 112210lim[()]n n n n nnnx C xC xx C x ---∆→=+∆++∆ 1n nx -=例1 求4sin y x x =+的导数.解：4(sin )y x x ''=+4()(sin )x x ''=+.34cos x x =+.例2 求5cos y x x =的导数.解：5(cos )y x x ''=55()cos (cos )x x x x ''=+.455cos sin x x x x =-.例3 求2sin xy x =的导数.解：2sin ()xy x''=2222(sin )sin ()()x x x x x ''-=. 24cos 2sin x x x x x-=. 3cos 2sin x x x x-=.例4 求23313y x x=--的导数.解：2333y xx -=--233(3)y x x -''=--.233()()(3)x x -'''=--.134233x x --=--.例5 求232x y x -=的导数.解：312223232x y x x x--==- 3122(32)y x x -''=-.3122(3)(2)x x -''=-.31223()2()x x -''=-.312292x x -=+.例6 求21xy x=+的导数. 解：2()1xy x''=+2222()(1)(1)(1)x x x x x ''+-+=+. 22212(1)x x x x +-⋅=+. 2221(1)x x -=+.3.指数函数x y a =(0,1a a >≠)的导数：()ln x x a a a '=()x xe e '= 001lim lim x x x x y a y a x x∆∆→∆→∆-'==∆∆. 证明：(1)x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-令1xt a ∆=-，有log (1)a x t ∆=+ 当0x ∆→时，有0t →1001lim lim log (1)log (1)x x t t a a t t y a a t t →→'==++. 1011lim ln log log (1)t x x x t a a a a a a e t →===+.4.对数函数log a y x =(0,1a a >≠)的导数：1(log )ln a x x a '= 1(ln )x x'= 证明：log a y x =的反函数为y x a =(0,1a a >≠)，由定理2.3可得111()ln ln y y y a a a x a'==='.例7 求33x xy x e =-+的导数. 解：3(3)x xy x e ''=-+3()(3)()x x x e '''=-+. 233ln3x xx e =-+.例8 求2x y x e =的导数. 解：2()x y xe ''= 22()()x x x e x e ''=+.22x x xe x e=+. (2)x xe x =+.例9 求ln x y x=的导数. 解：2ln (ln )ln ()x x x x x y x x''-⋅''== 122ln 1ln xx x x x x ⋅--==.例10 求22log y x x =的导数. 解：22(log )y x x ''= 2222()log (log )x x x x ''=+. 2212log ln 2x x x x =+. 22log ln 2x x x =+.5.三角函数的导数： 1.(sin )cos x x '=2.(cos )sin x x '=-3.221(tan )sec cos x x x '== 4.221(cot )csc sin x x x '=-=-5.(sec )sec tan x x x '=⋅6.(csc )csc cot x x x '=-⋅证明：1.(sin)cosx x'=2.(cos)sinx x'=-参考前面例题.3.sin(tan)()cosxxx''=2(sin)cos sin(cos)cosx x x xx''-=22222cos sin1seccos cosx xxx x+===.同理可证(请同学自己证明) 4.21(cot )csc sin x x x'=-=- 5.(sec )sec tan x x x '=⋅ 6.(csc )csc cot x x x '=-⋅例11 求sin cos y x x x =+的导数. 解：(sin cos )y x x x ''=+(sin )(cos )x x x ''=+. sin (sin )sin x x x x x ''=+-. sin cos sin x x x x =+-. cos x x =.6.反三角函数的导数： 1.21(sin )1arc x x '=-(11x -<<)2.21(cos )1arc x x '=--( 11x -<<) 3.21(tan )1arc x x'=+ 4.21(cot )1arc x x '=-+证明：sin y arc x =的反函数是sin x y =由定理2.3 1(sin )(sin )y arc x y ''==' (sin )cos ()22y y y ππ'=-<<. 而22cos 1sin 1y y x =-=- 所以21(sin )1arc x x '=-.其余反三角函数求导公式同理可证(请同学自己证明).例12 求2arctan 1x y x =+的导数. 解：22221(1)arctan 21(1)x x x x y x +-⋅+'=+ 2212arctan (1)x x x -=+.。

(2.2) 第二节函数求导法则(少学时简约版).

由于 u( x ),v( x )在点 x 处可导，因此当 x → 0 时
uxxx ux ux, vxxx vx vx.
由于可导必连续，故当 x → 0 时有
v( x + x )→ v ( x ). 于是
lixm 0 fxxxfx
l i x m 0 u x x x u x v x x u x v x x x v x
fxlx im 0fx x x fx
l x i m 0 [u x x v x x x ] [u x v x ]
l x i m 0 u x x x u x l x i m 0 v x x x v x
u x vx.
u( x )- v( x )也在点 x 处可导，且导数为
[ u( x )- v( x )]= u ( x )- v ( x ).
推论 3 常数因子可从求导函数中提出
如果函数 u( x )都在点 x 处可导，为常数，则函数 u( x )也在点 x 处可导，且导数为
[ u( x )]= u ( x ).
量 f( x + x )- f( x )与自变量增量 x 之比
fxxfx x
u x x v x x x u x v x
减一项、加一项
1 x u x x v x x u x v x x
u x v x x u x v x u x x x u x v x x u x v x x x v x
= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x ).
• 定理 2 的结论分定性和定量两个部分定性结果：两可导函数的乘积也是可导的；定量结果：函数乘积的求导法则。需注意的是，这些求导规则都是在 u = u( x )，