普通圆柱螺旋弹簧的最优化设计

设计弹簧时，除选择材料及规定热处理要求外，主要是根据最大工作载荷、最大变形以及结构要求等来确定弹簧的钢丝直径d 、中径D 、工作圈数n 、节距t 或螺旋升角α和高度H 等，通常取弹簧钢丝直径d 、中径D 、工作圈数n 为最优化设计的设计变量，即123x d X x D n x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1） 目标函数可根据弹簧的工作特点和对它的专门要求来建立。

例如，由于因工作特点极易导致疲劳损坏的弹簧，则应以疲劳安全系数最大作为最优化设计的目标；对于受到高速运转机构变载作用的弹簧，则应以其一阶自振频率最大或最小作为最优化设计的目标，使自振频率值远离载荷变化频率值，以避免共振；对于安装空间很紧、要求尽量减少轮廓尺寸的弹簧，则应以其外径或高度最小，从而得到最小安装尺寸作为最优化设计的目标；当价格成为主要问题时，也可以以弹簧的成本最小作为目标；还有按满应力原则建立目标函数的。

对于一般弹簧，通常以质量或钢丝的体积最小作为最优化设计的目标，这时目标函数可表达为：22()4f X d Dn πρ= （2）式中，ρ为弹簧钢丝材料的密度，67.6410ρ-=⨯kg/mm 3将ρ值及式（1）代入式（2），得以弹簧工作部分（除支撑圈外）的质量为目标的函数表达式：42123()0.1885110f X x x x -=⨯ （3）约束条件可根据对弹簧功能的要求和结构限制列出：（1）根据对弹簧刚度的要求范围：min max k k k ≤≤（438Gd k D n=），得约束条件 411min 323()08Gx g X k x x =-≤ （4） 412max 323()08Gx g X k x x =-≤ （5） 式中G 为弹簧材料的剪切弹性模量。

（2）根据弹簧钢丝的产品尺寸规格，给出弹簧钢丝直径d 的限制范围：min max d d d ≤≤，从而得约束条件3min 1()0g X d x =-≤ （6）41max ()0g X x d =-≤ （7）（3）根据弹簧安装空间对其中径D 的限制而有5min 2()0g X D x =-≤ （8）62max ()0g X x D =-≤ （9）（4）根据对工作圈数n 的规定范围：min max n n n ≤≤而有7min 3()0g X n x =-≤ （10）83max ()0g X x n =-≤ （11）（5）根据旋绕比（弹簧指数）D C d =的范围：418D d≤≤，得 291()40x g X x =-≤ （12） 2101()180x g X x =-≤ （13） （6）根据弹簧在最大载荷下不碰圈的要求：0max b H H δ-≥式中，0H ——弹簧自由高度，当支撑圈数22n =且弹簧两端磨平时0 1.5H nt d =+； t ——节距，(0.280.5)t D ≈-，计算时可取0.4t D =；max δ——弹簧在最大工作载荷max F 下的变形量，3max max 48F D n Gd δ= b H ——弹簧并紧高度，当支撑圈数22n =且弹簧两端磨平时，( 1.5)b H n d ≈+得约束条件：3max 23111323418()0.40F x x g X x x x x Gx =+-≤ （14） （7）根据弹簧的强度条件：[]max max 38F D K d ττπ=≤ （15） 式中，max τ——在最大工作载荷max F 作用下或在压并状态下钢丝截面内侧所产生的最大扭转应力；K ——曲度系数：0.16410.615 1.66()44C d K C C D-=+≈- []τ——许用扭转应力，视弹簧材料及受载情况而定。

对于用碳素弹簧钢丝制成的1类弹簧：[]0.3b τσ=；对于2类弹簧：[]0.4b τσ=；对于3类弹簧：[]0.5b τσ=。

进行预压处理后[](0.50.6)b τσ=-。

碳素钢以外材料的[]τ值可查有关手册或图书，亦可按上式选取。

b σ——弹簧钢丝抗拉强度极限，与材料品质及钢丝直径d 有关，设计手册中列表给出。

利用表中数据通过线性回归分析，可建立弹簧钢丝的b d σ-回归方程，其形式为b A Bd σ=-式中，A ，B 为线性回归分析所求得的已知常数。

将0.161.66()d K D≈及[]0.40.4()b A Bd τσ==-代入式（15），得 0.84max 2.844.230.4()0F D A Bd d--≤ （16） 由此得约束条件3.84 2.840.841211max 2()0.40.44.230g X Bx Ax F x =-+≤ （17）（8）根据压缩弹簧的稳定性条件：0 1.50.5 1.5()c H nt d d b n b D D D+===+≤ 得约束条件 11332() 1.50.50c x g X x b x =+-≤ （18） 式中，c b ——临界高径比，根据弹簧的支撑方式不同而异；当两端固定时 5.3c b =当一端固定另一端可转动时 3.7c b =当两端均可转动时 2.6c b =（9）根据弹簧的疲劳强度要求给出约束条件当弹簧承受交变载荷并在min F 及max F 之间作交替变化时，在钢丝截面内侧产生的相应扭转应力分别为：0.84max max max 3 2.848 4.23F D F D K d dτπ== 0.84min min min3 2.848 4.23F D F D K d d τπ== 对于min τ为常数的弹簧，其疲劳强度安全系数为[]0min max0.75S S τττ+=≥ 式中，[]S ——许用安全系数，当弹簧的设计计算及材料试验数据精确性较高时，取[]S =1.3~1.7；当精确性较低时，取[]S =1.8~2.2。

0τ——弹簧材料的脉动疲劳极限，可按表选取将0τ=0.33b σ及b A Bd σ=-代入上式，经整理后得约束条件[] 2.8411min 140.84max 2max0.33()()0.7504.23A Bx x F g X S F x F -=--≤ （19） （10）根据承受高速交变载荷的弹簧不发生共振的要求，弹簧的自振频率f 应远离其受载的载荷变化频率f ，它们之间应满足下列关系：对阀门弹簧 10r f f ≥对减振弹簧 2r f f ≤ （20） 弹簧的一阶自振频率(Hz):f == 式中，k ——弹簧刚度：438Gd k Dn =； m ——弹簧工作部分的质量；ρ——弹簧钢丝材料的密度，67.6410ρ-=⨯kg/mm 3。

对于圆截面钢丝弹簧，其一阶自振频率为 当两端固定时 523.5610d f nD =⨯ 当一端固定另一端可转动时 521.7810d f nD =⨯ 当支撑一质量c m 时 f =式中弹簧钢丝直径d 、中径D 的单位均为mm ，工作圈数n 为整数。

将有关弹簧的自振频率值代入式（20），则可得约束条件。

综合上述各式，可得到以工作部分质量为目标函数的圆柱螺旋压缩弹簧最优化设计的数学模型为：min 42123()0.1885110f X x x x -=⨯s.t. ()0u g X ≤举例：要求：设计一个普通圆柱螺旋拉伸弹簧，要求其体积最小。

已知该弹簧在一般载荷条件下工作，并要求外径不超过22φmm ，弹簧的许用应力为[]637.5τ=MPa 。

当弹簧拉伸变伸量1λ=7.5mm 时，拉力1P =180N ；拉伸变形量217λ=mm 时，拉力2P =340N （最大载荷）。

1. 确定设计变量取弹簧钢丝直径d 、中径D 、工作圈数n 为最优化设计的设计变量，即123x d X x D n x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2. 确定目标函数以质量最轻作为追求的目标，建立优化设计目标函数：22222123()()(2)44f X d D n n x x x ππρρ=+=+ （2）式中，ρ为弹簧钢丝材料的密度，67.6410ρ-=⨯kg/mm 3；2n 为弹簧支撑圈数，取22n =。

根据要求，只需要优化2123()f X x x x =3. 建立约束条件（1）弹簧刚度的约束 由已知条件可知，弹簧刚度为121234018016.8177.5P P k λλ--===--N/mm ；而438Gd k D n=(其中79G GPa =)，可得约束条件431123()7895()16.8g X x x x ==(2)根据弹簧的强度条件，取最大拉力2P =340N ，得约束条件：0.84 2.84221()1438.2637.50g X x x =-≤（3）根据旋绕比的范围，得约束条件： 312()180g X x x =-+≤412()40g X x x =-≤（4）根据弹簧安装空间的要求，得约束条件： 512()22g X x x =+≤程序编写：（1）所求目标函数：function f=myfun(x)f=x(1)^2*x(2)*x(3);（2）约束函数：function [c,ceq]=nonlcon(x)c(1)=1438.2*x(2)^0.84/x(1)^2.84-637.5; ceq=7895*x(1)^4/(x(2)^3*x(3))-16.8;（3）主程序clearclcx0=[5;10;10];A=[-14 1 0;4 -1 0;1 1 0];b=[0;0;22];lb=zeros(3,1);x = fmincon(@myfun,x0,A,b,[],[],lb,[],@nonlcon)。