2017圆的学案.doc
高考数学二轮复习第二部分专项二专题五1第1讲直线与圆学案
专题五分析几何第 1讲直线与圆年份卷别考察内容及考题地点卷Ⅱ圆的方程、直线与圆的地点关2018系·T19(2)卷Ⅲ直线与圆的地点关系· T 6卷Ⅰ圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质·T15卷Ⅱ圆的弦长问题、双曲线的几何性质·T92017直线与圆的地点关系、点到直线卷Ⅲ的距离、椭圆的离心率·T10直线与圆的方程、直线与抛物线的地点关系·T20卷Ⅱ圆的方程、点到直线的距离应用·T42016卷Ⅲ直线与圆的地点关系·T16直线的方程命题剖析1.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热门，需要点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考察．2．直线与圆的方程有时独自命题，独自命题时有必定的深度，有时也会出此刻压轴题的地点，难度较大，对直线与圆的方程 (特别是直线 )的考察主要表此刻圆锥曲线的综合问题上 .(基础型 )两条直线平行与垂直的判断若两条不重合的直线 l 1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1∥ l 2? k1＝ k2，l 1⊥ l2? k1k2＝－ 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率能否存在．2个距离公式|C1－ C2|(1)两平行直线l 1： Ax＋ By＋C1＝ 0， l2： Ax＋By＋ C2＝ 0 间的距离d＝22.A ＋ B(2)点 (x0， y0)到直线 l ：Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离公式 d＝|Ax0＋ By0＋ C|22.A ＋ B[ 考法全练 ]1．若平面内三点A(1，－ a)， B(2， a2)， C(3 ，a3 )共线，则 a＝() A．1± 2或 0 B.2－ 5或02C. 2± 5D.2＋ 5或 022分析：选 A. 因为平面内三点23a 2＋ aA(1，－ a)，B(2，a )，C(3，a )共线，所以 k AB ＝ k AC ，即 2－ 1a 3＋ a＝，即 a( a 2－2a － 1)＝ 0，解得 a ＝ 0 或 a ＝ 1± 2.应选 A.3－ 12．若直线 mx ＋ 2y ＋ m ＝ 0 与直线 3mx ＋ (m －1)y ＋ 7＝ 0 平行，则 m 的值为 ( )A ． 7B ．0或 7C ．0D ．4分析： 选 B.因为直线 mx ＋2y ＋ m ＝0 与直线 3mx ＋ (m － 1)y ＋ 7＝ 0 平行，所以 m(m － 1)＝3m ×2，所以m ＝ 0 或 7，经查验，都切合题意．应选B.3．两条平行线l 1， l 2 分别过点P(－1，2)，Q(2，－ 3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但一直保持平行，则l 1， l 2 之间距离的取值范围是()A ． (5，＋ ∞)C ．( 34，＋ ∞)分析： 选 D. 当直线PQ 与平行线l 1， l 2 垂直时， B ．(0，5]D ． (0， 34]|PQ|为平行线 l 1， l 2 间的距离的最大值，为 （－ 1－ 2） 2＋ [2－（－ 3） ]2＝ 34，所以 l 1， l 2 之间距离的取值范围是 (0， 34]．应选D.64．已知点 A(1，2)，B(2， 11)，若直线 y ＝ m － m x ＋ 1(m ≠ 0)与线段 AB 订交，则实数 m的取值范围是 ()A ．[－2，0)∪[3，＋ ∞)B ．(－ ∞，－ 1]∪(0，6]C ．[ －2，－ 1]∪ [3， 6]D ．[－2，0)∪(0， 6]6分析： 选 C.由题意得，两点 A(1，2)，B(2，11)散布在直线 y ＝ m － m x ＋ 1(m ≠ 0)的双侧( 或此中一点在直线上)，所以 m － 6－2＋12 m － 6－ 11＋1 ≤ 0，解得－ 2≤m ≤－ 1 或m m3≤m ≤6，应选 C.5．( 一题多解 )已知直线 l ：x －y － 1＝ 0，l 1：2x － y －2＝ 0.若直线 l 2 与 l 1 对于直线l 对称，则直线 l 2 的方程是 ________．分析：法一 ： l 1 与 l 2 对于 l 对称，则 l 1 上随意一点对于 l 的对称点都在l 2 上，故 l 与 l 1的交点 (1， 0)在 l 2 上．又易知 (0，－ 2)为 l 1 上的一点，设其对于l 的对称点为 (x ， y)，则x － y － 2－1＝ 0，22x ＝－ 1，y ＋ 2 ，解得y ＝－ 1.x ×1＝－ 1即 (1， 0)， (－ 1，－ 1)为 l 2 上两点，故可得 l 2 的方程为 x －2y － 1＝ 0.法二： 设 l 2 上任一点为 (x ， y)，其对于 l 的对称点为 (x 1 ，y 1)，则由对称性可知x ＋ x 1 y ＋ y 12 －2－1＝0，y －y 1× 1＝－ 1，x 1＝ y ＋ 1， 解得y 1＝ x － 1.因为 (x 1， y 1)在 l 1 上，所以 2(y ＋1) －(x －1)－ 2＝ 0，即 l 2 的方程为 x － 2y － 1＝0.答案： x － 2y － 1＝0圆的方程 (综合型 )圆的 3 种方程(1)圆的标准方程： (x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2.(2)圆的一般方程： x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0(D 2＋ E 2－ 4F>0)．(3)圆的直径式方程： (x － x 1)(x － x 2)＋ (y － y 1)( y － y 2)＝ 0(圆的直径的两头点是 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2))．[典型例题 ]在平面直角坐标系xOy 中，曲线 Γ： y ＝x 2 －mx ＋ 2m(m ∈ R )与 x 轴交于不一样的两点 A ， B ，曲线 Γ与 y 轴交于点 C.(1)能否存在以 AB 为直径的圆过点 C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过 A ， B ， C 三点的圆过定点． 【解】由曲线 Γ： y ＝ x 2－ mx ＋ 2m(m ∈R )，令 y ＝0，得 x 2－ mx ＋ 2m ＝ 0.设 A(x 1， 0)，B(x 2， 0)，则可得 ＝m 2－ 8m>0， x 1＋ x 2＝ m ， x 1x 2＝ 2m. 令 x ＝ 0，得 y ＝ 2m ，即 C(0， 2m)．(1)若存在以 AB 为直径的圆过点→ →C ，则 AC · BC ＝ 0，得 x 1x 2＋ 4m 2＝ 0，即 2m ＋ 4m 2＝ 0，所以 m ＝ 0 或 m ＝－ 1 .2由 >0 得 m<0 或 m>8，所以 m ＝－ 1， 2117此时 C(0，－ 1)， AB 的中点 M － 4， 0 即圆心，半径r ＝ |CM |＝ 4 ，1 217故所求圆的方程为x ＋ ＋ y 2＝416.(2)证明：设过 A， B 两点的圆的方程为x2＋ y2－ mx＋ Ey＋ 2m＝ 0，将点 C(0， 2m)代入可得 E＝－ 1－ 2m，所以过 A， B， C 三点的圆的方程为x2＋ y2－ mx－ (1＋ 2m)y＋ 2m＝ 0，整理得 x2＋y2－ y－ m(x＋2y－ 2)＝ 0.22x＝ 0，2，x ＋ y－ y＝0，可得x＝5令或4 x＋ 2y－ 2＝ 0，y＝ 1y＝，52 4故过 A， B，C 三点的圆过定点 (0， 1)和5，5 .求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的地点关系，数形联合直接求出圆心坐标、半径，从而求出圆的方程．(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件建立系数知足的方程(组 )求得各系数，从而求出圆的方程．[ 对点训练 ]1．圆 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 1 对于直线 y＝x 对称的圆的方程为()A ． (x－ 2)2＋( y－1) 2＝ 1B．( x＋ 1) 2＋ (y－2) 2＝ 1C．( x＋ 2) 2＋ (y－1) 2＝ 1D． (x－ 1)2＋( y＋2) 2＝ 1分析：选 A. 由题意知圆心的坐标为(1，2)．易知 (1，2)对于直线y＝ x 对称的点为 (2，1)，所以圆 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 1对于直线 y＝ x 对称的圆的方程为(x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1，应选 A.2．已知△ ABC 三个极点的坐标分别为A(1， 0)， B(0，3)， C(2，3)，则△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()521A. 3B.3254C.3D. 3分析：选 B. 设外接圆圆心为 P.因为△ ABC 外接圆的圆心在线段BC 的垂直均分线上，即直线 x＝ 1 上，可设圆心P(1 ，p)，由 PA＝ PB 得 |p|＝ 1＋（ p－3）2，解得 p＝23，所321221以圆心坐标为 P 1，231＋233，所以圆心到原点的距离 |OP|＝3＝1＋9＝3 .故选 B.3．经过原点且与直线x＋y－ 2＝ 0 相切于点 (2， 0)的圆的标准方程是()A ． (x－ 1)2＋( y＋1) 2＝ 2 B．( x＋ 1) 2＋ (y－1) 2＝ 2 C．( x－ 1) 2＋ (y＋1) 2＝ 4 D． (x＋ 1)2＋( y－1) 2＝ 4分析：选 A. 设圆心的坐标为 (a， b)，则 a2＋ b2＝ r 2①， (a－ 2)2＋ b2＝ r 2②，b＝ 1③，a－ 2联立①②③解得 a＝1， b＝－ 1， r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2.应选 A.直线与圆、圆与圆的地点关系(综合型 )直线与圆的地点关系的判断(1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较： d＜ r ? 订交； d＝ r ? 相切；d＞r? 相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来构成方程组，利用鉴别式关系：＞0?订交；＝0?相切；＜0?相离．来议论地点圆与圆的地点关系的判断(1)d＞ r1＋ r2? 两圆外离．(2)d＝ r1＋ r2? 两圆外切．(3)|r 1－ r 2|＜ d＜ r 1＋ r2? 两圆订交．(4)d＝ |r1－ r2 |(r 1≠ r 2)? 两圆内切．(5)0 ≤d＜ |r 1－ r 2|(r 1≠ r 2)? 两圆内含．[典型例题 ]命题角度一圆的切线问题(2018 永·州模拟 )自圆 C： (x－ 3)2＋ (y＋ 4)2＝ 4外一点 P(x， y)引该圆的一条切线，切点为 Q， PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点P 的轨迹方程为 ()A ． 8x－ 6y－ 21＝ 0B ． 8x＋6y－ 21＝0C．6x＋ 8y－ 21＝ 0 D ．6x－ 8y－ 21＝0【分析】由题意得，圆心 C 的坐标为 (3，－ 4)，半径 r ＝ 2，如图．因为 |PQ|＝ |PO|，且 PQ⊥ CQ，222所以 x2＋ y2＋ 4＝ (x－3)2＋(y＋ 4)2，即 6x－8y－ 21＝ 0，所以点P 的轨迹方程为6x－ 8y－ 21＝ 0，应选 D.【答案】D过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x0， y0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程 kx＝x0.(2)过圆外一点 (x0， y0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k，切线方程为y－ y0＝ k(x－ x0)，即 kx－ y＋y0－ kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以考证．命题角度二直线与圆订交问题在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C 与 y 轴相切，且过点 M(1， 3)，N(1 ，－3)．(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线l 与圆 C 交于A， B 两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－ 2.求证：直线l 恒过定点，并求出定点的坐标．【解】(1) 因为圆 C 过点M(1，3)， N(1，－3)，所以圆心 C 在线段MN的垂直均分线上，即在x 轴上，故设圆心为C( a， 0)，易知a>0，又圆 C 与 y 轴相切，所以圆 C 的半径 r ＝ a，所以圆 C 的方程为 (x－ a)2＋ y2＝ a2.因为点 M(1，3)在圆 C 上，所以 (1－ a)2＋ ( 3)2＝ a 2，解得 a ＝ 2.所以圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 4. (2)记直线 OA 的斜率为 k(k ≠ 0)，则其方程为 y ＝ kx.（ x －2） 2＋ y 2＝ 4，联立，得 消去 y ，得 (k 2＋ 1)x 2－ 4x ＝ 0，y ＝ kx ，4解得 x 1＝ 0， x 2＝ k 2＋ 1.4 4k所以 A k 2＋ 1，k 2＋ 1 .2 OB 的方程为 y ＝－ 2由 k ·k OB ＝－ 2，得 k OB ＝－ ，直线k x ，k2 4k 2－ 8k 在点 A 的坐标顶用－k 代换 k ，得 B k 2＋ 4，k 2＋ 4 .424当直线 l 的斜率不存在时，＝ 4k 2l 的方程为2 2＋ ，得 k ＝ 2，此时直线x ＝ .k ＋ 1 k 43当直线 l 的斜率存在时，24 ≠ 24k 2 ，即 k 2≠ 2.k ＋ 1 k ＋ 44k － 8kk 2＋ 1－k 2＋4则直线 l 的斜率为4－ 4k 2＝22k ＋ 1 k ＋ 44k （ k 2＋ 4）＋ 8k （ k 2＋ 1） 3k （ k 2＋ 2） 3k4（ k 2＋ 4）－ 4k 2（ k 2＋ 1） ＝4－ k 4 ＝ 2－ k 2.故直线 l 的方程为 y － 24k ＝ 3k 2 x － 24＋1 .k ＋ 1 2－ k k 3k44 ， 0即 y ＝ 2－k 2 x － 3 ，所以直线 l 过定点 3 .综上，直线 l 恒过定点，定点坐标为4，0 .3直线与圆订交问题的求法(1)弦长的求解方法①依据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系22 ＋ l 2R ＝d (此中 l 为4弦长， R 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离 )．②依据公式 l ＝ 1＋ k 2|x 1－ x 2 |求解 ( 此中 l 为弦长， x 1 ，x 2 为直线与圆订交所得交点的横坐标， k 为直线的斜率 ) ．③求出交点坐标，用两点间距离公式求解．(2)定点、定值问题的求解步骤①设：设出直线方程，并代入圆的方程整理成对于x(或 y)的一元二次方程．②列：用参数表示出需要证明的直线或许几何式子．③解：判断直线能否过定点或对表示出的代数式进行化简求解．[ 对点训练 ]1． (2018 黄·山模拟 )已知圆 O： x2＋ y2＝ 1，点 P 为直线x＋y＝1 上一动点，过点 P 向圆42O 引两条切线 PA， PB， A， B 为切点，则直线AB 经过定点 ()A.1， 1B.1， 1 2 442C.3，0 D.3 40，4分析：选 B.因为点 P 是直线x＋y＝ 1 上的一动点，所以设P(4－ 2m， m)．因为 PA， PB 42是圆 x2＋ y2＝ 1 的两条切线，切点分别为A，B，所以 OA⊥ PA，OB⊥ PB，所以点 A，B 在以OP 为直径的圆 C 上，即弦 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦．所以圆心 C 的坐标是 2－ m，m，2且半径的平方 r 2＝（ 4－ 2m）2＋ m2，42m2（ 4－ 2m）2＋ m2所以圆 C 的方程为 (x－ 2＋m) ＋ y－2＝4，①又 x2＋ y2＝ 1，②所以②－①得， (2m－ 4)x－ my＋ 1＝ 0，即公共弦 AB－ 4x＋ 1＝ 0，所在的直线方程为(2x－ y)m＋ ( － 4x＋ 1) ＝ 0，所以由得2x－ y＝ 0x＝1，41， 1 1，所以直线y＝AB过定点4 2.应选 B.22．已知圆 C 经过点 A(0， 2)， B(2， 0)，圆 C 的圆心在圆 x2＋ y2＝ 2 的内部，且直线3x ＋4y＋ 5＝ 0 被圆 C 所截得的弦长为2 3.点 P 为圆 C 上异于 A，B 的随意一点，直线 PA 与 x 轴交于点 M，直线 PB 与 y 轴交于点 N.(1)求圆 C 的方程；(2)若直线 y＝ x＋ 1 与圆 C 交于→→A1， A2两点，求 BA 1· BA2；(3)求证： |AN| ·|BM |为定值．解： (1)易知圆心 C 在线段 AB 的中垂线 y＝ x 上，故可设 C(a， a)，圆 C 的半径为r.因为直线 3x ＋ 4y ＋5＝ 0 被圆 C 所截得的弦长为 2 3，且 r ＝ a 2＋（ a － 2） 2， 所以 C(a ， a)到直线 3x ＋ 4y ＋ 5＝0 的距离 d ＝|7a ＋5|＝ r 2－ 3＝ 2a 2－ 4a ＋ 1， 5所以 a ＝ 0 或 a ＝ 170.22又圆 C 的圆心在圆 x ＋ y ＝ 2 的内部，(2)将 y ＝ x ＋ 1 代入 x 2＋ y 2＝ 4 得 2x 2＋2x － 3＝ 0.设 A 1(x 1， y 1)， A 2(x 2，y 2)，3则 x 1＋ x 2＝－ 1， x 1 x 2＝－ 2.→→所以 BA 1· BA 2 ＝ (x 1－ 2)(x 2－ 2) ＋y 1 y 2＝ x 1x 2－ 2(x 1＋ x 2)＋ 4＋ (x 1＋ 1)( x 2＋ 1)＝ 2x 1x 2－ (x 1 ＋x 2)＋ 5＝－ 3＋ 1＋ 5＝ 3.(3)证明： 当直线 PA 的斜率不存在时， |AN|· |BM |＝ 8.当直线 PA 与直线 PB 的斜率都存在时，设P(x 0，y 0 )，0－22x 0直线 PA 的方程为 y ＝yx 0 x ＋ 2，令 y ＝ 0 得 M 2－y 0 ， 0 .直线 PB 的方程为 y ＝ y 0 (x － 2)，令 x ＝ 0 得 N 0， 2y 0.x 0－2 2－ x 02y 02x 0所以 |AN| |BM · |＝ 2－ 2－x 0 2－2－ y 0y 0 x 0x 0y 0 ＝ 4＋ 4 x 0－ 2＋ y 0－ 2＋ （x 0－2）（ y 0－ 2）2 2y 0－ 2y 0＋ x 0－ 2x 0＋ x 0y 0＝4＋4×（ x － 2）（ y － 2）＝ 4＋ 4× 4－ 2y 0－ 2x 0＋ x0y 0（ x 0－ 2）（ y 0－2）4－ 2y 0－ 2x 0＋ x 0y 0 ＝4＋4×＝ 8，4－ 2y 0－ 2x 0＋ x 0y 0故 |AN| ·|BM |为定值 8.一、选择题1． (2018 高·考全国卷Ⅲ)直线 x＋ y＋ 2＝0 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x－ 2)2＋ y2＝ 2 上，则△ ABP 面积的取值范围是 ()A．[2， 6]B．[4，8]C．[ 2， 3 2]D．[2 2，3 2]分析：选 A. 圆心 (2， 0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|＝ 2 2，所以点 P 到直线的距离 d1∈2[ 2，3 2]．依据直线的方程可知A，B 两点的坐标分别为A(－ 2，0)，B(0，－ 2)，所以 |AB|＝22，所以△ ABP 的面积12，3 2]，所以 S∈[2，6]，即△ ABP S＝ |AB |d1＝ 2d1.因为 d1∈ [2面积的取值范围是 [2， 6]．2．圆 C 与 x 轴相切于 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于A、B 两点，且 |AB|＝ 2，则圆 C 的标准方程为 ()A ． (x－ 1)2＋( y－2)2＝ 2B．( x－ 1) 2＋ (y－2) 2＝ 2C．( x＋ 1) 2＋ (y＋2)2＝ 4D． (x－ 1)2＋( y－2)2＝ 4分析：选 A. 由题意得，圆 C 的半径为1＋ 1＝2，圆心坐标为 (1，2)，所以圆 C 的标准方程为 (x－ 1)2＋ (y－2)2＝ 2，应选 A.3．半径为 2 的圆 C 的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为 ()A ． (x－ 1)2＋( y＋2) 2＝ 4B．( x－ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 2C．( x－ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 4D． (x－ 2 2) 2＋ (y＋ 2 2)2＝ 4分析：选 C.设圆心坐标为 (2，－ a)(a>0)，则圆心到直线x＋y＝ 22的距离d＝ |2－ a－2 2|2＝2，所以 a＝ 2，所以该圆的标准方程为(x－2) 2＋ (y＋ 2)2＝ 4，应选 C.4．(2018 湖·南湘东五校联考)圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上到直线 3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于2的点有 ()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个分析：选 B.圆 (x－ 3)2＋( y－3)2＝ 9 的圆心为 (3， 3)，半径为 3，圆心到直线3x＋ 4y－ 11＝0 的距离 d＝|3×3＋4×3－11|＝2，所以圆上到直线3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离为2的点有 2 32＋ 42个．应选 B.5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线 l ： ax＋ y－ 1＝0 与过定点Q 的直线 m： x－ay＋ 3＝ 0 订交于点 M，则 |MP |2＋ |MQ |2＝ ()10A. 2B.10C．5 D ．10分析：选 D. 由题意知 P(0， 1)， Q( －3， 0)，因为过定点P 的直线 ax＋ y－ 1＝ 0 与过定点 Q 的直线 x－ ay＋ 3＝ 0 垂直，所以 MP⊥ MQ ，所以 |MP |2＋ |MQ |2＝ |PQ|2＝ 9＋ 1＝ 10，应选D.6． (2018 ·州模拟郑 )已知△ ABC 的三个极点坐标分别为A(－ 2， 3)， B(－ 2，－ 1)， C(6，－1) ，以原点为圆心的圆与此三角形有独一的公共点，则该圆的方程为()A ． x2＋ y2＝1B．x2＋ y2＝ 37C．x2＋ y2＝ 4D． x2＋ y2＝1 或 x2＋ y2＝ 37分析：选 D.如图，易知 AC 所在直线的方程为 x＋ 2y－4＝ 0.点 O到直线 x＋ 2y－ 4＝ 0 的距离 d＝|－4|＝452＋ 32＝55>1，OA＝（－ 2）13，OB＝（－ 2）2＋（－ 1）2＝5，OC＝ 62＋（－ 1）2＝ 37，所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有独一的公共点，则公共点为(0，－ 1)或 (6，－ 1)，所以圆的半径为 1 或 37，则该圆的方程为x2＋ y2＝ 1 或 x2＋ y2＝ 37.应选 D.二、填空题7． (2018 南·宁模拟 )过点 ( 2， 0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－ x2订交于 A， B 两点， O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ________．分析：令 P( 2， 0)，如图，易知 |OA|＝ |OB|＝ 1，1所以 S△AOB＝2|OA|· |OB|· sin∠ AOB11＝2sin∠ AOB≤2，当∠ AOB＝ 90°时，△ AOB 的面积获得最大值，此时过点O 作 OH⊥AB 于点 H，则|OH|＝22，2|OH|21于是 sin ∠ OPH ＝＝ ＝ ，易知 ∠OPH 为锐角，所以 ∠ OPH ＝ 30°，3则直线 AB 的倾斜角为150°，故直线 AB 的斜率为 tan150°＝－3 .答案：－338．已知动直线 l 0：ax ＋ by ＋ c －2＝ 0(a>0，c>0) 恒过点 P(1， m)，且 Q(4，0)到动直线l 0的最大距离为 3，则 1 ＋2的最小值为 ________．2ac分析： 动直线 l 0： ax ＋ by ＋ c － 2＝ 0(a>0， c>0)恒过点 P(1， m)，所以 a ＋ bm ＋ c － 2＝ 0. 又 Q(4， 0)到动直线 l 0 的最大距离为 3，所以（ 4－ 1） 2＋（ 0－ m ） 2＝ 3，解得 m ＝ 0.所以 a ＋ c ＝ 2.又 a>0，c>0 ，所以 12 1 (a ＋ c) 1 ＋ 2 ＝ 1 5 c ＋ 2a ≥ 1 5c 2a 9＋ ＝ 2 ＋ ＋ 2·＝ ，当且2a c 2 2a c 2 2a c 2 22a c4仅当 c ＝ 2a ＝4时取等号．3答案： 949． (2018 桂·林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)设圆 C 知足：①截 y 轴所得弦长为2；②被 x 轴分红两段圆弧，其弧长的比为3∶ 1；③圆心到直线l ： x － 2y ＝ 0 的距离为 d.当d 最小时，圆 C 的面积为 ________． 分析： 设圆C 的圆心为C( a ， b)，半径为 r ，则点C 到x 轴， y 轴的距离分别为|b|， |a|.由题设知圆 C 截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为22r ＝ 2b ，又圆 C 截 y 轴所得的弦长为2，所以90°，知圆 C 截r 2 ＝ a 2＋ 1，从而得 x 轴所得的弦长为2b 2－ a 2＝ 1.又点 2r ，故C(a ， b)到直线 x －2y ＝ 0 的距离 d ＝|a －2b|，所以 5d 2＝ (a － 2b)2＝ a 2＋ 4b 2－ 4ab ≥a 2＋ 4b 2－ 2(a 2＋b 2)5＝2b 2－ a 2＝ 1，当且仅当a ＝ bd 获得最小值，此时，即 a 2＝ b 2＝ 1 时等号建立，此时2b 2－ a 2＝ 12r ＝ 2，圆 C 的面积为 2π.三、解答题10．已知点 P(2，2)，圆 C ：x 2 ＋y 2 －8y ＝ 0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点．(1)求 M 的轨迹方程；(2)当 |OP|＝ |OM |时，求 l 的方程及 △POM 的面积．解： (1)圆C 的方程可化为x2＋ (y－ 4)2＝ 16，所以圆心为C(0，4)，半径为 4.→→设 M(x， y)，则 CM ＝ (x， y－ 4)， MP＝ (2－ x， 2－y)．→→由题设知 CM ·MP ＝ 0，故 x(2－ x)＋ (y－ 4)(2－ y)＝ 0，即 (x－ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 2.因为点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是 ( x－ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 2.(2)由 (1) 可知 M 的轨迹是以点N(1， 3)为圆心，2为半径的圆．因为 |OP|＝ |OM|，故 O 在线段 PM 的垂直均分线上．又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM.因为 ON 的斜率为3，所以 l 的斜率为－1 3，故 l 的方程为y＝－13x＋83.又 |OM |＝ |OP |＝ 22，O 到 l 的距离为410，|PM |＝410，所以△ POM 的面积为1655 5.11．(2018 高·考全国卷Ⅱ )设抛物线 C：y2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线l与 C 交于 A， B 两点， |AB|＝ 8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．解： (1)由题意得F(1， 0)，l 的方程为y＝ k(x－1)(k＞0)．设 A(x1， y1)， B(x2， y2)．y＝k（ x－ 1），由得 k2x2－ (2k2＋4)x＋ k2＝ 0.y2＝ 4x＝ 16k2＋16＞ 0，故 x1＋ x2＝2k2＋ 4.2k24k ＋ 4k由题设知4k2＋ 4k2 ＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.所以l的方程为y＝x－1.(2)由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3，2)，所以 AB 的垂直均分线方程为y－ 2＝－ (x－ 3)，即 y ＝－ x＋ 5.设所求圆的圆心坐标为(x0， y0)，则y0＝－ x0＋ 5，（ x0＋ 1）2＝（ y0－ x0＋ 1）2＋ 16，2x0＝ 3，x0＝11，解得或y0＝ 2y0＝－ 6.所以所求圆的方程为 (x－ 3)2＋ (y－ 2)2＝ 16 或 (x－ 11)2＋ (y＋ 6)2＝144.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2＋ y2－ 12x－14y＋ 60＝0 及其上一点 A(2，4)．(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 订交于 B，C 两点，且 BC＝ OA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t， 0)知足：存在圆→ → →M 上的两点 P 和 Q，使得 TA＋TP＝TQ ，务实数 t 的取值范围．解： (1)圆 M 的标准方程为 (x－ 6)2＋( y－7)2＝ 25，所以圆心 M(6， 7)，半径为 5.由圆心 N 在直线 x＝6 上，可设 N(6， y0)．因为圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y0<7，于是圆 N 的半径为 y0，从而 7－ y0＝ 5＋ y0，解得 y0＝ 1.所以，圆 N 的标准方程为 (x－ 6)2＋ (y－ 1)2＝ 1.4－ 0(2)因为直线l∥ OA，所以直线l 的斜率为＝2.设直线 l 的方程为y＝2x＋ m，即 2x－y＋ m＝0，则圆心 M 到直线 l 的距离d＝|2× 6－ 7＋ m||m＋ 5|＝5.5因为 BC ＝OA＝ 22＋4222BC2＝ 2 5，而 MC ＝ d ＋2，（m＋ 5）2所以 25＝＋ 5，解得 m＝ 5 或 m＝－ 15.5故直线 l 的方程为 2x－y＋ 5＝ 0 或 2x－ y－ 15＝ 0.(3)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)．因为 A(2， 4)， T(t，→→ →0)， TA＋ TP＝ TQ，x2＝ x1＋2－ t，(ⅰ )所以y2＝ y1＋4.因为点 Q 在圆 M 上，所以 (x－6)2＋ (y － 7)2＝ 25.(ⅱ )22将 (ⅰ )代入 (ⅱ )，得 ( x1－ t－ 4)2＋ (y1－ 3)2＝ 25.于是点 P(x1，y1) 既在圆 M 上，又在圆 [x－ (t＋ 4)] 2＋ (y－ 3)2＝ 25 上，从而圆 (x－6) 2＋ (y－ 7)2＝ 25 与圆 [x－ (t＋ 4)] 2＋ (y－ 3)2＝ 25 有公共点，所以 5－ 5≤ [（ t＋4）－ 6]2＋（ 3－7）2≤ 5＋ 5，解得 2－ 2 21≤ t≤ 2＋ 2 21.所以，实数t 的取值范围是[2－ 2 21，2＋ 2 21] ．。
2017-2018学年高中数学北师大版四教学案：第一章§3弧度制含答案
［核心必知］1．度量角的单位制（1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2）弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角,它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制．2．角度与弧度的互化（1）角度制与弧度制的互化（换算)180°＝π_rad;1°＝错误!rad＝0.017 45 rad；1 rad＝错误!＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l，α为其圆心角，则［问题思考]1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式｜α|＝错误!中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制,2是弧度制,2 rad约为115°。
3．390°可以写成360°＋错误!吗?提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．（1）把112°30′化为弧度；（2)－错误!rad化为度．［尝试解答］(1）∵1°＝错误!rad，∴112°30′＝112。
5°＝112.5×π180rad＝错误!rad.（2）∵1 rad＝错误!°，∴－错误!rad＝－错误!×错误!°＝－75°.1．将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒"单位时，应先将它们统一转化为“度”,再利用1°＝错误!rad化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化．(1）20°；（2)错误!；（3）8 rad解:（1)20°＝20×错误!＝错误!，(2)错误!＝错误!×180°＝165°。
数学中考一轮复习学案 第24节 圆的有关概念与性质（含解析）
第四章图形的性质第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．■知识点二：垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．■知识点三：圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．■知识点四：圆周角定理及推论①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．②圆内接四边形的任意一组对角互补．■考点1.圆的有关概念◇典例：（2017年黑龙江大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ 为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为．【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，在Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理；圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________■考点2.垂径定理及其推论◇典例：（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理，勾股定理【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．◆变式训练1.（2018年山东省烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．2.（2018年浙江省绍兴市）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）■考点3. 圆心角、弧、弦的关系◇典例（2017•牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD ≌△COE，由此可得出结论．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．◆变式训练（2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA■考点4. 圆周角定理及其推论◇典例：1.（2018 年广西梧州市）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=2，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=__________度．【考点】圆周角定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．解：∵OA=2，OB=2，AB=2，∴OA 2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．◆变式训练1.（2018年四川省南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°2.（2017•锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°一、选择题1.（2018年广西柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°2.（2018年内蒙古赤峰市）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A．B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°3.（2018年浙江省衢州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°4.（2018年湖北省襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C． D．25.（2018年四川省甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD二、填空题6.（2018年广东省）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．7.（2018年青海省）如图，A．B、C是错误!未找到引用源。
2017-2018学年高中物理鲁科版2教学案：第四章第1节匀速圆周运动快慢的描述含解析
第1节匀速圆周运动快慢的描述1．匀速圆周运动的特点:任意相等时间内通过的弧长(或角度）相等；线速度方向沿圆周的切线方向。
2．描述匀速圆周运动的物理量有线速度（v）、角速度(ω）、周期（T)［或频率（f)]、转速（n)，其关系式是v＝错误!，ω＝错误!，v＝ωr，ω＝2πn.3．利用关系式分析线速度、角速度或周期的变化时,要用控制变量的思想，在皮带传动或齿轮传动的情况下，各轮边缘线速度相等，同一轮子上各点角速度相等.一、匀速圆周运动1．定义在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。
2．性质匀速圆周运动速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动,也是最简单的一种圆周运动.二、描述圆周运动的物理量物理量线速度角速度周期(T)频率转速（n)(v）（ω)（f)定义做匀速圆周运动的物体通过的弧长s与所用时间t的比值做匀速圆周运动的物体，半径转过的角度φ与所用时间t的比值做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间单位时间内完成圆周运动的次数单位时间内的转动次数大小v＝错误!ω＝错误!T＝错误!＝错误!f＝错误!n＝f＝错误!单位m/s rad/s s Hz r/s方向矢量，沿圆周的切线方向矢量(其方向中学阶段不研究）标量标量标量1．自主思考——判一判(1)匀速圆周运动是速度不变的运动。
（×）（2）匀速圆周运动的加速度等于零。
（×）（3）线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。
(×）（4)角速度是标量，没有方向.(×）(5)匀速圆周运动的周期相同,角速度大小及转速都相同。
（√）2．合作探究—-议一议(1）匀速圆周运动中的“匀速”与以前所学的匀速直线运动中的“匀速"含义相同吗？提示：不相同。
匀速圆周运动中的“匀速”是指“匀速率"。
（2)“由v＝ωr可得v∝r，由ω＝错误!可得ω∝错误!。
”这样理解对吗？提示：不对，应用控制变量方法讨论。
（3)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转,展示自己的球技.如图4。
2016-2017年最新审定人教版数学六年级上册《利用圆设计图案》学案(名校资料)
《利用圆设计图案》学案
一、学习目标
1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。
2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。
3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。
二、重点
利用圆设计图案。
难点
确定圆心与半径。
三、导学问题
先自学教材59页，然后自主完成导学案的自主与合作学习部分，找出疑难问题，准备与组内同学交流。
展示时要结合文字、图形和学具熟练地介绍利用圆设计图案的方法。
自主与合作学习
一、自学例题
1.观察例题图案，想一想图案是怎样画出来的？
2.想办法在纸上画一个圆。
二.探究画法。
1.利用圆规和尺子在练习纸上试一试。
2.思考要完成图形，对圆的大小有要求。
圆的大小由什么决定呢？
3.如何画出圆内的最大的正方形呢？
4.除了确定圆的半径，还要确定什么？
5.如何确定圆心的位置？
6．独立设计图案。
四、参考资料
利用圆规和直尺可以设计出许多漂亮的图案，作图的关键是确定圆心和半径。
有时为了设计方便，还可先添加一些辅助线。
如果能利用圆的对称性（圆有无数条对称轴），再涂上不同的颜色，一幅漂亮而有创意的作品就诞生了。
圆的面积教学案1-面积公式
4.3圆的面积教学案初2017级数学备课组——吴显苹班级：____________姓名：____________一、学习目标：1、掌握圆的面积公式的推导。
2、能够利用公式进行面积计算，并解决实际问题。
3、解决与环形面积有关的实际问题。
二、学习重点：推导圆的面积公式及公式的应用。
三、知识回顾1、填一填。
长方形正方形三角形平行四边形梯形图形面积公式思考：你能说一说平行四边形、三角形、梯形的面积公式是怎么推导的么？2、趣味操作：画一个半径为2cm的圆，并用不同颜色的笔画出圆的周长和面积。
小结1：我发现了，圆的周长是指________________，圆的面积________________。
四、探索新知因为：长方形的面积＝长×宽所以： _____________ ＝_____________ × _____________ 那么圆的面积公式为：__________________例1、圆形花坛的直径是20米,它的面积是多少平方米?分析画图为：针对练习1：1、将一个圆分成若干等份，剪开后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆的______________，宽相当于圆的____________。
2、圆的面积是指___________________。
3、已知一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积是多少平方厘米？画图为：4、填一填。
5、求下面各圆的面积。
6、判断。
（1）圆的半径扩大5倍，圆的面积也扩大5倍。
（ ）（2）半径相等的两个圆，直径、周长也相等，所以面积也相等。
（ ）（3）若圆的面积增加了25平方厘米，它的半径也相应的增加5厘米。
（ ）（4）两个圆的面积比的比值是它们周长比的比值的平方。
（ ）半径（厘米）直径（厘米） 面积（平方厘米） 310 28.26cm r 1=cm d 4=三、与环形面积有关的实际问题例2、光盘的银色部分是一个圆环,内圆半径是 2cm ,外圆半径是6cm ,它的面积是多少？小结2： 我发现了：（1）如果用R 表示外圆的半径，r 表示内圆的半径，则圆环s =_______________________________。
【同步课件】2017-2018学年高一数学人教A版必修2课件：4.2.2 圆与圆的位置关系
数 学
必修② ·人教A版
第四章
圆的方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
1 2 3
自主预习学案
互动探究学案
课时作业学案
第四章 圆的方程
自主预习学案
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第四章 圆的方程
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
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内切 ； d＝|r1－r2|⇔两圆_______
内含 ，d＝0 时为同心圆． 0<d<|r1－r2|⇔两圆_______
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第四章 圆的方程
2．两圆的公切线条数： 一条 公切线；当两圆外切时有 _______ 三条 公切线；相交时 当两圆内切时有 _______ 两条 公切线；相离时有_______ 四条 公切线；内含时____ 无 公切线． 有_______
a＝4 可得 b＝0 a＝0 或 b＝－4
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3
.
∴⊙C 的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
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第四章 圆的方程
互动探究学案
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第四章 圆的方程
命题方向1 ⇨两圆位置关系的判断
[ 解析]
圆 x2＋y2＝m 的半径 r1＝ m，
导学号 09024991
圆 x2＋y2＋6x－8y－11＝0 的圆心坐标为(－3,4)，半径 r2＝6. ∵两圆相内切，两圆心距离 d＝5， ∴6－ m＝5，或 m－6＝5，
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江苏省高考数学一轮复习 突破140必备 专题07 直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆(隐形圆)问题学案
专题07 直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆（隐形圆）问题知识点归纳：一、圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心),(b a ，半径r 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x当04422>-+F E D 时，才能表示圆，圆心)2,2(ED --，半径4422FE D r -+=当04422=-+F E D ，表示一个点)2,2(ED -- 当04422<-+FE D ，不表示任何图形 二、直线与圆的位置关系设圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，直线方程：0=++C By Ax判别方法1：设圆心到直线的距离为d ，若r d >，直线与圆相离；若r d =，直线与圆相切；若r d <，直线与圆相交；判别方法2：将直线与圆联立方程组消元得到一个关于x 或者y 的一元二次方程，若0>∆，直线与圆相交；若0=∆，直线与圆相切；若0<∆，直线与圆相离； 三、圆与圆的位置关系设圆的方程0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 圆21,C C 的圆心距为d ，1C 的半径为1r ，2C 的半径为2r若21r r d +>，两圆相外离；若21r r d +=，两圆相外切；若2121r r d r r +<<-，两圆相交； 若21r r d -=，两圆相内切；若21r r d -<，两圆相内含； 四、圆系方程①设直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 相交，则过两交点的圆的方程为0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ②设圆0:111221=++++F y E x D y x C ，圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则过两交点的圆的方程为022********=+++++++++）（F y E x D y x F y E x D y x λ注：1-≠λ时，表示过两交点的圆；1-=λ时，表示过两交点的直线方程，即圆与圆的相交弦所在的直线方程 以),(b a A ，),(d c B 为直径端点的圆的方程0))(())((=--+--d y b y c x a x五、阿波罗尼斯圆动点P 到两定点B A ,的距离的比值为一定值，即PB PA λ=，且1≠λ的点的轨迹是圆. 当1=λ时，动点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线，将其称之为阿波罗尼斯圆江苏高考中每年都会有圆的试题，填空题和解答题甚至应用题中都有可能出现，考点也不外乎上述的知识点总结，下面我们通过实例来看看每个知识点的考法。
七年级下期中数学与圆有关的比例线段
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案五与圆有关的比例线段[对应学生用书P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线P AB与PCD，则有：P A·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线P A，切点为A，割线PBC，则有P A2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线P A，PB，则P A＝PB，∠OP A＝∠OPB.[对应学生用书P32]相交弦定理求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△P AO中再使用射影定理即可．[证明]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝P A·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.证明：⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫OM ＝ON OA ＝OB ⇒⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BNBM ＝ANPM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN⇒PM ·MQ ＝PN ·NR.割线定理、切割线定理[例2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O的割线，已知AC ＝AB .证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .[思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线， ADE 是⊙O 的割线，∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝ACAE，又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE. ∴∠ADC ＝∠ACE .又∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF＝∠ACE . ∴FG ∥AC .(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．3．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：∵PD ∶DB ＝9∶16，不妨设PD ＝9a ，DB ＝16a (a >0)，∴PB ＝25a . 由切割线定理知P A 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ×25a ，∴a ＝15.∴PD ＝95.在直角三角形P AB 中，P A ＝3，PB ＝5，可知AB ＝4. 答案：9544.如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .解：(1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )， 解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，由(1)可知，CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，AC ＝14， ∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147，∴r ＝12(AC －CD )＝12⎝⎛⎭⎫14－2147＝51414.切线长定理[例3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A 、B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF . [思路点拨] 切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EP PB→CP ∥FB→结论[证明] ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB .∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EPPB .∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°解析：如图，连接OO ′，O ′A . ∵OA 为⊙O ′的切线， ∴∠OAO ′＝90°.又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A . ∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12.∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°.答案：B6.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P.求证：AD＋BC＝AB＋CD.证明：由圆的切线长定理得CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN，∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC)＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)＝AB＋CD，即AD＋BC＝AB＋CD.[对应学生用书P33]一、选择题1．自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm，圆的半径为4 cm，则过此点所引的切线长为()A．16 cm B．4 3 cmC．4 2 cm D．以上答案都不对解析：设切线长为x cm，由切割线定理得x2＝(12－2×4)×12，故x＝4 3.答案：B2．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则()A．OC2＝CA·CB B．OC2＝P A·PBC．PC2＝P A·PB D．PC2＝CA·CB解析：根据OC⊥CP，可知C为过PC点弦的中点，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.答案：D3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .答案：A4.已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B 、A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )A ．20B ．10C ．5D ．8 5解析：∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2， ∴由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ， 即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6；因为TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT . 设PB ＝x ， 则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ＝x (x ＋7)， 所以(4＋x )2－36＝x (x ＋7)， 解得x ＝20，即PB ＝20. 答案：A 二、填空题5．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，AM ＝4，BM ＝9，则弦CD 的长为________． 解析：根据相交弦定理，AM ·BM ＝(CD2)2，所以CD2＝6，CD ＝12.答案： 126.如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析：因为直线PB 是圆的切线，所以∠ABP ＝∠C ，又因为∠ABP＝∠ABD ，所以∠ABD ＝∠C ，又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD AB ＝ABAC，所以AB ＝AD ·AC ＝mn .答案：mn7.如图，P A，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，P A＝7，在劣弧AB上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交P A，PB于D，E，则△PDE的周长是________．解析：由切线长定理知，PB＝P A＝7，且DA＝DC，EC＝EB，所以△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋CE＋PE＝P A＋PB＝14.答案：14三、解答题8.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，求EF的长．解：因为CD⊥AB于G，F为CG的中点，所以G为CD的中点，即CD＝8，FD＝6.又因为AF·FE＝CF·FD，即3×EF＝2×6，所以EF＝4.9.已知：如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，PO＝13 cm，⊙O半径r＝5 cm，求△PDE的周长．解：∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，∴DA＝DC，EB＝EC.∴△PDE的周长为P A＋PB＝2P A.连接OA，则OA⊥P A.∴P A＝PO2－OA2＝132－52＝12 cm.∴△PDE的周长为24 cm.10．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．解：(1)证明：连接AB.∵AC为⊙O1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E . ∴AD ∥EC .(2)设PB ＝x ，PE ＝y ，由相交弦定理，得PB ·PE ＝P A ·PC ， 则x ·y ＝6×2，∴xy ＝12.① ∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ，即9＋x y ＝62.∴9＋x ＝3y .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)．∴DE ＝9＋3＋4＝16. ∵AD 为⊙O 2的切线，∴由切割线定理，得AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.。
《圆》单元教案公开课
《圆》单元教案公开课第一章：圆的引入1.1 教学目标让学生了解圆的定义和特点。
培养学生观察和描述圆的能力。
1.2 教学内容圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为半径运动一周的轨迹称为圆。
圆的特点：圆是对称的，任意一条通过圆心的线都是圆的对称轴。
1.3 教学方法采用问题引导法，让学生通过观察和思考来理解圆的定义。
利用实物模型或图示来展示圆的特点。
1.4 教学活动让学生观察一些生活中的圆形物体，如硬币、轮子等，并描述它们的特点。
引导学生通过实际操作，画出一个圆并观察其对称性。
1.5 作业布置让学生回家后找一些圆形物体，观察并描述它们的特点，并尝试画出一个圆。
第二章：圆的周长和面积2.1 教学目标让学生掌握圆的周长和面积的计算方法。
培养学生运用圆的周长和面积解决实际问题的能力。
2.2 教学内容圆的周长：圆的周长等于半径乘以2π。
圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。
2.3 教学方法采用讲解法和练习法，让学生通过计算和实际问题来理解和掌握圆的周长和面积的计算方法。
2.4 教学活动讲解圆的周长和面积的计算公式。
让学生进行一些计算练习，如给定一个圆的半径，计算其周长和面积。
2.5 作业布置让学生回家后，找一些圆形物体，测量它们的周长和面积，并记录下来。
第三章：圆的性质3.1 教学目标让学生了解圆的性质，如圆的直径、半径、弧等。
培养学生观察和描述圆的性质的能力。
3.2 教学内容圆的直径：圆上任意两点通过圆心的线段称为直径。
圆的半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。
圆的弧：圆上任意两点之间的部分称为弧。
3.3 教学方法采用问题引导法和观察法，让学生通过观察和思考来了解圆的性质。
3.4 教学活动讲解圆的直径、半径和弧的定义。
让学生进行一些实际操作，如画出一个圆，并用直尺和圆规来测量其直径、半径和弧。
3.5 作业布置让学生回家后，找一些圆形物体，观察并描述它们的直径、半径和弧。
第四章：圆的方程4.1 教学目标让学生掌握圆的标准方程和一般方程。
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3.8弧长和扇形的面积
一、学习目标
1.认识扇形，会计算弧长和扇形的面积
2.通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
3.通过对弧长和扇形的面积的运用，培养学生运用数学解决问题的成功经验和方法，树立学习数学的自信心。
二、知识准备
1、学生在理解感知圆和扇形的基础上认识掌握弧长和扇形的面积，为下面学习圆锥的知识作好铺垫。
学生通过对弧长和扇形的理解去获取知识。
2、（1）小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？
（2）我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？ 三、学习内容
活动一 探索弧长计算公式
如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的4
1
,所以铁轨的长度l ≈ （米）.
问题：上面求的是90︒的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？
B
B
A
B
B
请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对
的弧长。
因此弧长的计算公式为
l =__________________________
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
活动二 探索扇形的面积公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形
叫做扇形
问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是圆
面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积。
如果设圆心角是n °
的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S = ___ .
因此扇形面积的计算公式为
S =———————— 或 S =——————————
练习:
四、知识梳理
1、—————————————————————————叫扇形
2、弧长的计算公式是 —————————————扇形面积的计算公式
是————————————————————。
五、达标检测
1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的3
2，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________
4、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B
5、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形的面积和是多
少？
6、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B
点
B
从开始至结束所走过的路径长度是多少？
7、圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．
8、已知如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点。
设弦AB 的长为d ，圆环面积S 与d 之间有怎样的数量关系？
9、如图，正三角形ABC 的边长为2,分别以A 、B 、C 为圆心，1为半径画弧，与△ABC 的内切圆O 围成的图形为图中阴影部分。
求S 阴影。
10、如图，扇形OAB 的圆心角是90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，则12S S 、 两部分图形面积的大小关系是什么？。