重积分计算中的积分限的确定
重积分的积分性质和计算规则
重积分的积分性质和计算规则重积分是高等数学中的一种重要概念，指对于一个二元函数而言，将其在一个二维区域上进行积分的过程。
与单积分类似，重积分也有其特定的积分性质和计算规则。
本文将详细介绍重积分的这些性质和规则，以帮助读者更好地理解和应用重积分的相关知识。
一、积分性质1. 线性性质：重积分具有线性性，即对于常数c与两个可积函数f(x,y)和g(x,y)，有如下式子成立：∬ (c*f(x,y) + g(x,y)) dxdy = c * ∬ f(x,y) dxdy + ∬g(x,y)dxdy2. 可积性与非负性：如果函数f(x,y)在一个有限二维区域上是可积的，那么它在该区域上的积分一定存在；而如果函数g(x,y)在该区域上非负，则其积分也是非负的。
3. 积分次序可交换：如果二元函数f(x,y)在一个矩形区域上是可积的，则对于该区域内的任意两个积分限定，这两个积分的次序可以任意交换而不影响结果，即：∬ f(x,y) dxdy = ∬ ( ∬f(x,y)dy ) dx = ∬(∬f(x,y) dx)dy二、计算规则1. Fubini定理：Fubini定理是重积分中的一个重要定理，可以将对二元函数在一个区域上的重积分转化为两个一元函数相应区域上的积分，即：∬f(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y)dxdy = ∫b∫a f(x,y)dydx = ∫a∫b f(x,y)dydx其中f(x,y)为被积函数，a和b分别为区域在x和y轴上的积分限。
2. 直角坐标系下的计算规则：在直角坐标系下，重积分可以用二重积分的形式表示，即：∬f(x,y)dxdy = ∫c∫d f(x,y)dxdy其中 c 和 d 分别为区域在x和y轴上的积分限，这个积分区域可以是矩形、梯形、三角形等形状。
在进行计算时，通常需先用对x或y的积分公式进行计算，再对另一个变量进行积分。
3. 极坐标系下的计算规则：在极坐标系下，重积分可以用二重积分的极坐标形式表示，即：∬f(x,y)dxdy = ∫α∫β f(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ其中α和β为对应极角的积分限，r是到极点的距离，θ是到x轴的角度。
“穿线法”技巧在高等数学重积分计算中的应用
Ｊ ： 一 一 ｌ ≯ ＝ 昏 ｒ 一 － ＋
即 为 Ｚ的积 分 Ｆ限 ； 由球 面 ｚ ＝ Ｖ４ － ｘ 乙ｙ 穿 出 ， 此Ｂ 口 为 Ｚ的
积分上 限。ｘ ， ｙ的积分限有上 面二重积分穿线法 确定 。
删 ＝
如果选择先对 ｘ 积分 ， 则将图形 向 ｙ轴上投影 ， 在投影 区间［ ０ ， １ ］ 上任选一 点 ， 从 此点沿 Ｙ 轴 方 向穿 线 ， 此线从 ｙ ＝ ｘ 进入 ， 此即为积分 下限 ； 此线从 ｘ ＝ 、 ／ 穿出， 此 即为积分上 限。计 算 。 ＝ｒ
” － ｌ
４ ４ － ， ２ 缸
＝ ＝
２
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ｒ ．
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叫： （ ２ 一曲 出
８ ｐ ４而 １ ｒ ６ ＝ １ ３ ｚ
＝
肛一 争 ＝ Ｊ ： 一 ｙ 一 ３ ＝
【 参考文献 】
［ １ ］ 高等数 学， 徐 玉民、 于新凯主编 ， 科 学 出版社 ， ２ ０ １ １ ． ８ ［ ２ ］ 高等数 学（ 同济第五版） ， 高等教 育出版社 （ 作者单位 ： 河 北省秦皇 岛市燕山大学里仁 学院 ）
二、 “ 穿线法” 在三重积分计 算中的应用
１ ． 计 算 积 分 Ｉ Ⅱ Ｊ 蝴 ， 其 中 Ｑ 为 由 三 个 坐 标 面 和 平
面ｘ ＋ ２ ｙ ＋ ｚ ＝ ｌ 所围成。
分析 ： 首先将 向 ｘ ｏ ｙ面上投影 ， 在投 影区域 中任取一
谈谈三重积分的定限方法
谈谈三重积分的定限方法计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算，而这里的一个关键问题是如何根据积分区域Ω来定限，下面分别介绍一下利用直角坐标，柱面坐标，球面坐标计算三重积分时如何定限的方法。
一、利用直角坐标计算三重积分时如何定限？ 教材中将积分区域Ω表示为:}),()(:),(),,(),(),,{(2121b x a x y x y x y x z y x z y x yy D zz xy ≤≤≤≤∈≤≤=Ω(1)从而将三重积分化为三次积分为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=D z z dz z y x f dxdy dv z y x f xyy x y x ),(),(21),,(),,(=dz y y z z z y x f dy dx x x y x y x ba ⎰⎰⎰)()(),(),(2121),,(这个公式也称为“先一后二”积分公式。
（上述公式是将Ω向xoy 平面投影得到的，将Ω向其他坐标平面投影可得到类似的公式）当积分区域的几何形体较简单时，容易写出Ω的集合表达式（1），但积分的区域的立方图形通常难以画出,因此确定Ω的集合表达式（1）较困难。
为了解决这个困难。
下面介绍一个所谓“求围定顶”的定限法：称（1）式中),(1y x z ，),(2y x z 分别为区域Ω的下顶和上顶，以D xy 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的柱面，位于下顶和上顶之间的部分称为Ω的“围墙”，Dxy的边界曲线称为“围线”，（它是投影柱面与xoy 平面的交线），下面分三种情况来介绍“求围定顶”的定限法。
1.设Ω由曲面),(y x h z =与),(y x g z =围成，不出现“围墙”，此时两曲面的交线在xoy 平面上的投影即为“围线”。
例 1.化三重积分⎰⎰⎰Ωυd z y x f ),,(为三次积分，其中Ω为由曲面2222,2x z y x z -=+=围成的闭区域例：“求围” 由方程组{22222xz y x z -=+=消去z 得两曲面交线在xoy 平面上的投影，即“围线”：122=+y x ，因此1:22≤+y x D xy ，即 .11,11:22≤≤--≤≤--x x y x D xy“定顶” 在Dxy内任取一点代入两曲面方程),(y x h z =，),(y x g z =得到两个z 的值，大者为上顶，小者为下顶。
重积分的积分域和积分限
重积分的积分域和积分限重积分是微积分学习中的一个重要概念。
与单个定积分不同，重积分需要考虑积分域和积分限制。
在本文中，我将探讨重积分的积分域和积分限制，以及如何正确地对重积分进行计算。
一、积分域积分域是指在重积分中对于被积函数的定义域。
它在很多情况下都是一个二维平面上的区域。
积分域可以是一个简单的形状，比如矩形、三角形或者圆形；也可以是一个复杂一些的形状，比如椭圆形、不规则多边形等等。
在对重积分进行计算时，必须要先确定好积分域。
一般来说，我们需要将积分域分解成多个简单的形状，再对每个形状分别计算重积分，最终将它们相加得到最终的结果。
这个方法被称为区域分割法。
要想正确地分割积分域，我们需要先了解一些基本概念，比如重心、边界、顺时针方向等等。
以矩形为例，我们可以通过计算出它的重心来确定如何对它进行分割。
如果我们把矩形分成两个或者多个更小的矩形，最终的计算结果就是每个矩形的贡献之和。
二、积分限制积分限制是指在重积分中对于变量的限制。
一般来说，我们需要对每个变量都进行限制，从而确定积分的范围。
这个限制可以是一个具体的数值，也可以是一个函数。
在对重积分进行计算时，我们需要确定好每个变量的限制，并将它们带入到被积函数中进行计算。
如果限制是一个数值，比如 0 和 1，那么我们可以直接将它们代入到被积函数中。
如果限制是一个函数，比如y=f(x)，那么我们需要计算出这个函数的取值范围，并代入到被积函数中进行计算。
值得注意的是，重积分的积分限制必须是相对应的，在确定积分范围的时候，必须同时对每个变量进行限制。
如果只对一个变量进行限制，那么就不能得到正确的计算结果。
比如，如果只对 x 进行限制，而没有对 y 进行限制，就无法确定被积函数的积分范围，在计算时会出现错误。
三、重积分的计算在确定好积分域和积分限制后，我们就可以对重积分进行计算。
具体来说，我们需要将积分域分割成多个简单形状，并在每个形状上计算被积函数的积分值。
二重积分计算法
0 D
R
x
I 2
2 0
d d 0 1 2
1
1 2
2
1
ln(1 ) ln 2 2 2 2 0
【例3】计算二重积分 e
D
x y
d . 其中D {( x, y ) | | x | | y | 1 }.
分析 首先应画出区域 D的图形,然后根据图形的特点选择适当 的坐标计算。本题可采用直角坐标计算, 即框图中线路1的方法。 注意到 D 既是 X 型区域, 又是Y 型区域，而无论 X 型区域 或 Y 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把D 分割成 两个X 型区域或两个 Y 型区域的和的形式。 不妨把 D分成 两个X 型区域的和 D D1 D2来计算． 解: 积分区域如图所示.
(1, 1)
y x
x
. D
0
.
1
2
将二重积分转化为先对 y 对后 x 的二次积分，得
D
2 2 x x x2 dxdy dx 1 2 dy 2 1 y x y
x x 9 ( x x )dx 1 2 1 4 4
2
4 2
2
3
注：若本题将二重积分转化为先对x 后对 y 的二次积分,
y 2 ( x)
. .
D
y 1 ( x )
o
a
2 ( x ) 1 ( x )
x b
x
f ( x,
D
y )dxdy dx
a
b
f ( x , y )dy
（2）Y-型区域：
y
c y d D : 1 ( y ) x 2 ( y )
三重积分的投影法的上下限
三重积分的投影法的上下限1. 引言三重积分是多重积分的一种特殊形式，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在计算三重积分时，我们需要确定积分的上下限。
本文将介绍三重积分的投影法，即通过对三维区域的投影来确定积分的上下限。
2. 三重积分的基本概念在介绍三重积分的投影法之前，我们先来回顾一下三重积分的基本概念。
三重积分用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
它的一般形式可以表示为：(x,y,z) dx dy dz∭fV其中，f(x,y,z)是被积函数，V是三维区域。
三重积分的计算可以分为两步：确定积分的上下限和计算被积函数。
本文重点介绍如何确定三重积分的上下限。
3. 三重积分的投影法三重积分的投影法是一种确定积分上下限的方法，它通过对三维区域的投影来确定积分的上下限。
具体来说，我们将三维区域投影到三个坐标平面上，得到三个二维区域。
然后，我们分别确定每个二维区域的积分上下限，最后将它们组合起来，得到三重积分的上下限。
3.1 投影到xy平面首先，我们将三维区域投影到xy平面上。
投影后的二维区域记为D xy。
确定D xy的积分上下限的方法如下：•找出D xy在xy平面上的投影边界曲线，记为C xy。
•找出C xy的最低点和最高点，分别记为(x min,y min)和(x max,y max)。
•积分上限为x max，积分下限为x min；积分上限为y max，积分下限为y min。
3.2 投影到xz平面接下来，我们将三维区域投影到xz平面上。
投影后的二维区域记为D xz。
确定D xz的积分上下限的方法与上一步类似：•找出D xz在xz平面上的投影边界曲线，记为C xz。
•找出C xz的最低点和最高点，分别记为(x min,z min)和(x max,z max)。
•积分上限为x max，积分下限为x min；积分上限为z max，积分下限为z min。
3.3 投影到yz平面最后，我们将三维区域投影到yz平面上。
重积分计算方法
重积分计算方法重积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。
在本文中，我将介绍重积分的计算方法，包括定限定积分和变限定积分两种方法。
一、定限定积分方法定限定积分是最基本的计算重积分的方法。
它适用于积分区域为矩形或者更一般的有界闭区域的情况。
定限定积分的思想是将积分区域分割成一系列小矩形，然后对每个小矩形进行积分，最后将这些小矩形的积分结果相加得到整个积分的结果。
具体步骤如下：1. 将积分区域划分成n个小矩形，每个小矩形的面积为ΔSi；2. 在每个小矩形中选择一个点(xi, yi)作为代表，并计算函数f(xi, yi)在该点的值；3. 对每个小矩形进行积分，得到ΔSi中的积分结果ΔFi = f(xi, yi) * ΔSi；4. 将所有小矩形的积分结果相加得到定限定积分的近似结果，即ΣΔFi；5. 当划分的小矩形数量趋于无穷大时，ΣΔFi趋于定积分∬R f(x, y) dA，即ΣΔFi → ∬R f(x, y) dA。
定限定积分方法的优点是计算简单直观，适用于大多数情况。
然而，在积分区域较为复杂或者函数形式较为复杂的情况下，定限定积分的计算可能变得困难。
二、变限定积分方法变限定积分是一种更为灵活的重积分计算方法。
它适用于积分区域为曲线所围成的封闭区域的情况，或者积分区域为矩形等简单形状，但函数形式较为复杂的情况。
变限定积分的思想是通过变量代换和累次积分来计算重积分的结果。
具体步骤如下：1. 找到合适的变换，将原积分区域映射到一个新的积分区域上，使得新的积分区域具有简单的形状；2. 对新的积分区域进行积分计算，得到中间结果；3. 反过来根据变换关系将中间结果转换回原来的积分区域上，得到最终的积分结果。
变限定积分方法的优点是能够简化积分区域的形状和函数的形式，使得计算更为便捷。
然而，变限定积分方法的变量选择和变换关系的确定通常需要一定的技巧和经验。
综上所述，重积分的计算方法包括定限积分和变限积分两种方法。
二重积分计算中的积分限的确定1
二重积分计算中积分限的确定摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.关键词:二重积分累次积分积分限积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。
原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。
本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。
1．高等数学中计算二重积分的方法在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。
(1)画出积分区域(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.(3)用公式化二重积分为累次积分.(4)计算累次积分的值.在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.2．教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限.3．例题解析例1 计算⎰⎰D xydxdy,其中D是由直线xyyx===,1,2所围成的区域.解:作出积分区域D的图形在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对先定下的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:811)81()212(2142212212=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydyxydxdy Dy若我们选择先对y 积分也是可以的。
二重积分定限口诀
二重积分定限口诀二重积分是数学中的重要概念，它在解决面积、体积、质量分布等问题中发挥着重要作用。
在进行二重积分计算时，我们需要确定积分的定限，即确定积分的范围。
为了帮助大家记忆和理解二重积分的定限规则，下面我将介绍一个简单易记的二重积分定限口诀。
我们需要了解二重积分的定限方式。
在二维平面上，我们可以用两个变量（通常用x和y表示）来确定一个点的位置。
而二重积分的定限就是在这个平面上确定一个区域，将该区域分割成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和。
在确定二重积分的定限时，我们需要考虑两个方向，即x轴方向和y轴方向。
根据这个思路，我们可以得出一个简单易记的二重积分定限口诀：右上左下。
右上左下是指在确定二重积分的定限时，首先从右侧开始，然后顺时针方向依次确定上限、左限和下限。
这样的定限方式可以确保我们在对每个小块进行积分时，能够正确地包含整个区域。
下面我将具体介绍一下右上左下的定限方式。
1. 右限：确定右限时，我们需要找到二重积分区域的最右边界。
可以根据题目的给定条件，或者通过观察图形的形状来确定右限的值。
右限一般用变量x来表示。
2. 上限：确定上限时，我们需要找到二重积分区域的最上边界。
同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定上限的值。
上限一般用变量y来表示。
3. 左限：确定左限时，我们需要找到二重积分区域的最左边界。
同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定左限的值。
左限一般用变量x来表示。
4. 下限：确定下限时，我们需要找到二重积分区域的最下边界。
同样地，可以通过给定条件或者观察图形的形状来确定下限的值。
下限一般用变量y来表示。
通过以上四个步骤，我们就可以完整地确定二重积分的定限范围。
在进行具体计算时，可以利用定限口诀来帮助我们记忆和理解。
需要注意的是，定限范围的确定要符合数学规则，不能出现重叠、遗漏或者错误的情况。
在进行二重积分计算时，还需要根据具体题目的要求，选择合适的积分方法和变量代换等技巧。
二重积分定限口诀
二重积分定限口诀二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在给定区域上的面积或体积。
定限是指对二重积分进行限定，确定被积函数的积分范围。
本文将介绍二重积分定限的口诀及其应用。
一、矩形区域定限在矩形区域上进行二重积分定限是最简单的情况。
对于矩形区域的定限，可以使用以下口诀：“先上后下，先左后右。
”具体来说，先确定上下限，即先确定y轴的范围，再确定左右限，即确定x轴的范围。
二、非矩形区域定限对于非矩形区域的定限，一般需要将其分解为多个矩形区域进行计算。
以下是一些常见的非矩形区域定限口诀：1. 分割法将非矩形区域分割成多个矩形区域，分别计算每个矩形区域的积分，然后将结果相加。
2. 区域限定法在非矩形区域内部选择一个矩形区域作为参考，然后通过对该矩形区域进行定限，再通过对非矩形区域进行补偿来计算二重积分。
三、极坐标定限在使用极坐标进行二重积分时，定限的口诀如下：“先大后小，先小后大。
”具体来说，先确定极径的范围，即先确定r的上下限，再确定极角的范围，即确定θ的左右限。
四、其他定限方法除了以上介绍的定限方法外，还有一些特殊的定限方法，如：1. 对称区域定限当被积函数在某个轴上具有对称性时，可以利用对称性简化定限的过程。
2. 参数方程定限当被积函数的定限区域由参数方程给出时，可以通过将参数方程转化为直角坐标系的方程来进行定限。
3. 极坐标与直角坐标的转换有时候，定限区域由极坐标给出，但被积函数在直角坐标系下更容易表达，这时可以通过极坐标与直角坐标的转换来进行定限。
通过以上口诀和方法，可以帮助我们更加方便、快捷地进行二重积分的定限。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的定限方法，可以提高计算的准确性和效率。
总结起来，二重积分定限的口诀包括矩形区域定限、非矩形区域定限、极坐标定限以及其他特殊定限方法。
掌握这些口诀和方法，可以帮助我们更好地理解和应用二重积分定限的概念，解决实际问题。
在实际应用中，根据具体情况进行灵活选择和组合，能够提高计算效率和准确性。
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二重积分计算中积分限的确定
摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.
关键词:二重积分累次积分积分限积分次序
引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。
原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。
本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。
1．高等数学中计算二重积分的方法
在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。
(1)画出积分区域
(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域
化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.
(3)用公式化二重积分为累次积分.
(4)计算累次积分的值.
在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.
2．教学过程中总结的方法
本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限.
3．例题解析
例1 计算⎰⎰
D xydxdy,其中D是由直线x
y
y
x=
=
=,1
,2所围成的区域.
解:作出积分区域D的图形
在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对
先定下
的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和 2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其
左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:
8
11)81()212(21422
1
221
2=-=-
==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydy xydxdy D
y
若我们选择先对y 积分也是可以的。
先把后积分的变量x 的积分限根据积分区域确定下来。
从积分区域图易见x 最小取到1最大取到2。
然后在1=x 和2=x 内画一条和这两条直线平行的直线，只要这条线画在1=x 和2=x 内，则其下边总是和1=y 相交，而上面总是x y =相交。
从而y 这个积分变量的下限为1上限为x 。
于是该二重积分也可转化为下面的二次积分来计算：
81
148
)22(2
1242
1
1
2
1
3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰⎰
⎰⎰
x x dx x x ydy xdx xydxdy D
x 例2 计算
⎰⎰D
xydxdy ，其中D 是由抛物线x y
=2
和直线2-=x y 所围成的区域。
解 首先作出积分区域图
在本题中若我们选择先对x 积分，则根据积分区域图和上面介绍的口诀可以知道该二重积分化为二次积分为：
⎰⎰⎰⎰⎰--+=-+=
=215
221
2
55])2([12dy y y y xdx ydy xydxdy D
y y
在本题中若我们选择先对y 积分，则根据积分区域图我们先把x 的上下限定下来，由图可见x 最小取到0 最大取到4 。
但在0=x 和4=x 这两条直线之间画和他们平行的直线的时候发现在1=x 这条直线的左右两侧情况有所不同：在1=x 的左侧所画直线上下均与抛物线x y =2
相交，而右侧所画直线下面是与直线2-=x y 相交上面是与抛物线相交。
从而本题若选择先对y 后对x 积分则需要将积分区域从直线1=x 处分割成两半来处理：
⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰--+=D
x
x
x
x ydy xdx ydy xdx xydxdy 41
2
10
显然这样计算起来要比上一种方法复杂的多！故当积分区域属这种情况时一般来讲我们会选择先对x 后对y 积分。
还有的情况恰与这种情况相反，那么我们为了简便起见一般会选择先对y 后对x 积分。
比如：
例3：计算
⎰⎰
D
xydxdy ，其中D 解 首先作出积分区域图
在本题中若我们仍然选择先对x 积分，则根据积分区域图易知：积分变量y 的最小取到0最大取到4。
但是在40＝和y y =这两条直线之间画平行于它们的直线的时候会发现在直线1=y 的上下两侧所画直线与区域图的交点所在的曲线有所不同：在直线1=y 的下侧，所画直线左右两端均与抛物线相交。
在直线1=y 的上侧，所画直线左端与直线相交右端与抛物线相交。
于是二重积分转化为累次积分进行计算时要将积分区域沿直线1=y 分割成两块来处理：
⎰
⎰
⎰
⎰⎰-+=41
y
y
y
D
xdx ydy xdx ydy xydxdy
下面我们选择先对y 积分看是否可以起到简化计算的效果：
从积分区域图可以看到积分变量x 最小取到-1最大取到2，在直线1-=x 和2=x 之间画平行于它们的直线时易见该直线上端总是与直线2+=x y 相交下端总是与抛物线2
x y =相交，从而二重积分化为累次积分如下：
2
1
6234215232
2
1
612344121)44(212
--+-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-++=-++==⎰⎰⎰⎰⎰
x x x x dx x x x x ydy xdx xydxdy x x
D
8
5
5
=
以上两个例题是根据积分区域选择积分次序以简化计算，积分次序的选择有时还要
根据被积函数来选择，比如下面这个例题： 例4：计算
dxdy e x D
y ⎰⎰-2
2，其中D 是由直线x y y x ===及1,0所围成的区域。
解 先画出积分区域图
若我们选择先对x 积分，根据积分区域图，积分变量y 最小取到0最大取到1，
在直线10==y y 和之间画平行于他们的直线，该直线左端总是与直线0=x 相交右端总是与直线y x =相交，从而二重积分化为累次积分为：
e
dy e y dx x dy e
dxdy e
x
y y
y y D
31
613122
2
1030
2
1
2
-===---⎰⎰
⎰⎰⎰
本题中若我们选择先对y 积分，则有：
⎰⎰⎰⎰--=1
10
222
2
x
y
y D
dy e dx x dxdy e x 由于2
y e
-的原函数不能用初等函数表出，因此我们无法求出二重积分的值！
综上所述，对于初学者在将二重积分转化为累次积分时，应该依积分区域和被积函数的具体情况选择积分的先后顺序，方能达到简化计算的目的。
参考文献：【1】杜先能 孙国正。
高等数学[M]。
安徽大学出版社，2004
【2】华东师范大学数学系。
数学分析[M]。
高等教育出版社，2004
The integral limit 's ascertaining in double integral 's
calculation
( zhaojuan chenhao)
(Department of Mathematics,Suzhou College,Suzhou,Anhui,234000) Abstract:That dual accumulate points calculates ascertaining that middle accumulate points is restricted to is that a priority also is a difficult point to the beginner. The main body of this article aim at ascertaining the method simple and easy to do that accumulate points is restricted to in introducing that one kind of dual accumulate points secretly schemes against.
Key words:Double Integral;Repteat Integral ;Integral Limit;Integrate Sequence
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