图象的几何变换

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初中数学图与图形的变换精讲

初中数学图与图形的变换精讲

图形与图形的变换1.图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图,会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型.②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断立体模型.③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系.④掌握比较角的大小,估计一个角的大小,计算角度的和与差,进行度、分、秒简单换算.⑤了解角平分线及其性质,了解补角、余角、对顶角;理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.⑥了解两点之间,线段最短;了解经过两点有一条直线,并且只有一条直线.⑦了解垂线、垂线段等概念,垂线段最短的性质,点到直线距离的意义;了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;了解线段垂直平分线及其性质.⑨理解平行线的特征和平行线的识别;了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.⑩理解平行线之间距离的意义;掌握度量两条平行线之间的距离的方法.2.轴对称①认识轴对称.②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质.③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形.④掌握简单图形之间的轴对称关系,并指出对称轴.⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质.⑥掌握利用轴对称进行图案的设计.3.平移和旋转①认识平移,理解对应点连线平行且相等的性质;掌握按要求作简单平面图形平移后的图形;掌握选用平移进行图案设计.②认识旋转(含中心对称);理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.③了解平行四边形、圆是中心对称图形.④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形.⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式.⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,培养学生的数学说理的习惯与能力.【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时,下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1.知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2.基础知识(1)两点之间线段最短;连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图).(3)平行线间的距离处处相等.(4)平移是由移动的方向和距离决定的.(5)平移的特征:①对应线段平行(或共线)且相等;连结对应的线段平行(或共线)且相等;②对应角分别相等;③平移后的图形与原图形全等.(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定.(7)旋转的特征:①对应点与旋转中心的距离相等;对应线段相等,对应角相等;②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度;③旋转后的图形与原图形全等.3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1,小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体,将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································A.B.C .D .【分析】图形的旋转与展开.【解】D .(2)如图6-2,已知□ABCD 的对角线BD =4cm ,将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°,则点D 所转过的路径长为()A .4πcmB .3πcmC .2πcmD .πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合.【解】C .(3)有两个完全重合的矩形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45 ,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②……,则第10次旋转后得到的图形与图①~图④中相同的是()A .图①B .图②C .图③D .图④【分析】图形的旋转与操作.【解】B .(4)如图6-3,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在边AB 上的点C ′处,则折痕BD的长为__________.【分析】图形的折叠与勾股定理应用.【解】35.(5)如图6-4,在68⨯的网格图(每个小正方形的边长均为1个单位长度)中,⊙A 的半径为2个单位长度,⊙B 的半径为1个单位长度,要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切,应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度.【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示,在折纸活动中,小明制作了一张ABC △纸片,点D E 、分别是边AB 、AC 上,将ABC△沿着DE 折叠压平,A 与'A 重合,若=70A ︒∠,则1+2∠∠=()A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2,四边形ABCD 是边长为1的正方形,四边形EFGH 是边长为2的正方形,点D 与点F 重合,点B ,D (F ),H 在同一条直线上,将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止,设点D 、F 之间的距离为x ,正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ,则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是()图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多,复习时可以通过基本练习题的训练,使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能.重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练,重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程,提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。

数字图像处理-知识点总结

数字图像处理-知识点总结

图像分类:根据图像空间坐标和幅度(亮度或色彩)的连续性可分为模拟(连续)图像和数字图像。

模拟图像是空间坐标和幅度都连续变化的图像,而数字图像是空间坐标和幅度均用离散的数字(一般是整数)表示的图像。

图像的数学表示:一幅图像所包含的信息首先表现为光的强度(intensity),即一幅图像可看成是空间各个坐标点上的光强度I 的集合,其普遍数学表达式为:I = f (x,y,z,λ,t) 式中(x,y,z)是空间坐标,λ是波长,t是时间,I是光点(x,y,z)的强度(幅度)。

上式表示一幅运动的(t)、彩色/多光谱的(λ)、立体的(x,y,z)图像。

图像的特点:1.空间有界:人的视野有限,一幅图像的大小也有限。

2.幅度(强度)有限:即对于所有的x,y都有0≤f(x,y) ≤Bm其中Bm为有限值。

图像三大类:在每一种情况下,图像的表示可省略掉一维,即1.静止图像:I = f(x,y,z, λ)2.灰度图像:I = f(x,y,z,t )3.平面图像:I = f(x,y,λ,t)而对于平面上的静止灰度图像,其数学表达式可简化为:I = f(x,y)数字图像处理的基本步骤:1.图像信息的获取:采用图像扫描仪等将图像数字化。

2.图像信息的存储:对获取的数字图像、处理过程中的图像信息以及处理结果存储在计算机等数字系统中。

3.图像信息的处理:即数字图像处理,它是指用数字计算机或数字系统对数字图像进行的各种处理。

4.图像信息的传输:要解决的主要问题是传输信道和数据量的矛盾问题,一方面要改善传输信道,提高传输速率,另外要对传输的图像信息进行压缩编码,以减少描述图像信息的数据量。

5.图像信息的输出和显示:用可视的方法进行输出和显示。

数字图像处理系统五大模块:数字图像处理系统由图像输入、图像存储、图像通信、图像处理和分析五个模块组成。

1.图像输入模块:图像输入也称图像采集或图像数字化,它是利用图像采集设备(如数码照相机、数码摄像机等)来获取数字图像,或通过数字化设备(如图像扫描仪)将要处理的连续图像转换成适于计算机处理的数字图像。

图象平移的概念

图象平移的概念

图象平移的概念图象平移是图像处理中的一个基本概念,指的是将一个图像中的所有像素点沿着指定的方向和距离移动,从而改变图像在平面上的位置。

平移变换是图像处理中最简单的几何变换之一,它对于图像的位置、移动、对齐和配准具有重要的作用。

下面详细介绍图像平移的概念、原理和应用。

图像平移的概念:图像平移是指将一个图像的每个像素点按照指定的距离和方向进行移动,移动后的像素点的位置发生改变,从而得到一个新的平移后的图像。

平移操作并不改变图像的形状和大小,只是改变了图像在平面上的位置。

图像平移的原理:图像平移的原理是对每个像素点进行坐标变换。

假设需要将一个图像平移(x,y)个单位,则原始图像上的像素(i,j)在平移后的位置为(i+x,j+y)。

即将原始图像上的每个像素点的坐标都加上平移的距离,得到平移后的图像。

图像平移的步骤如下:1. 读取原始图像,获取图像的宽度和高度。

2. 创建一个新的图像,用于存储平移后的结果。

3. 遍历原始图像的每个像素点。

4. 对于每个像素点,计算它在平移后的位置,并将原始图像上的像素值赋给相应的位置。

5. 完成遍历后,保存平移后的图像。

图像平移的应用:1. 视觉效果增强:通过平移图像,可以实现一些视觉效果的增强,例如移动背景、改变图像的位置和朝向等,从而使图像更加生动和有趣。

2. 物体配准:图像平移可以用于物体配准,即将两个或多个图像的特征点对齐,从而实现图像的融合和比较,例如医学影像中的图像对准、遥感图像中的图像注册等。

3. 图像拼接:图像平移可以用于图像拼接,即将多个图像拼接在一起,从而实现全景图像的生成。

拼接过程中,需要对每个图像进行平移操作,将它们的重叠区域对齐,从而得到一个完整的全景图像。

4. 图像重建:图像平移可以用于图像重建,即根据已知的一部分图像信息,推测出缺失的部分。

通过平移已有的图像像素,可以填补图像中的空洞,从而还原缺失的图像信息。

5. 目标跟踪:图像平移可以用于目标的跟踪,即通过一系列平移变换,跟踪目标在图像序列中的位置和运动轨迹。

射影几何几何运算

射影几何几何运算
数字图像处理
几何运算
1.引言
几何运算与点运算不同,它可改变图象中物体(像素)之间的空间关系。这种运算可以看成将各像素 在图像内移动的过程。 几何变换是图像处理和图像分析的重要内容,按照变换性质可以分为位置变换、形状变换以及复合变 换。图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法。 几何变换常用于摄像机的几何校正过程,这对于利用图象进行几何测量的工作是十分重要的。在实际
3.几何变换基础
2.欧式几何是几何学的一门分科。又称欧几里德几何。公元前3世纪,古希腊数学家欧 几里德(英文Euclid,希腊文Ε'νκλειδη)把人们公认的一些几何知识作为定义和公理, 在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》, 形成了欧氏几何。在其公理体系中,最重要的是平行公理,由于对这一公理的不同认 识,导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中,分别称为“平面几何” 与“立体几何”。欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。欧式 几何有时就指平面上的几何,即平面几何。三维空间的欧式几何通常叫做立体几何。 数学上,欧式几何是平面和三维空间中常见的几何,基于点线面假设。数学家也用这 一术语表示具有相似性质的高维几何。
称为旋转变换矩阵(因子),θ 为旋转角度。
cos sin 0 sin cos 0 0 1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
图像旋转变换程序
void RotIamge(const Mat &srcImage, Mat &dstImage, double angle) { //弧度 double sita = angle * CV_PI / 180; double a = (srcImage.cols - 1) / 2.0; double b = (srcImage.rows - 1) / 2.0; int srcRow = srcImage.rows; int srcCol = srcImage.cols; double x1 = -a * cos(sita) - b * sin(sita); double y1 = -a * sin(sita) + b * cos(sita); double x2 = a * cos(sita) - b * sin(sita); double y2 = a * sin(sita) + b * cos(sita); double x3 = a * cos(sita) + b * sin(sita); double y3 = a * sin(sita) - b * cos(sita); double x4 = -a * cos(sita) + b * sin(sita); double y4 = -a * sin(sita) - b * cos(sita); int w1 = cvRound(max(abs(x1 - x3), abs(x4 - x2))); int h1 = cvRound(max(abs(y1 - y3), abs(y4 - y2))); dstImage.create(h1, w1, srcImage.type()); ...... }

二次函数几何变换

二次函数几何变换
解析式是否发生改变,联立方程求 与坐标轴的交点
注意问题:
1.是否可取等号问题 2.解析式是否发生变化 3.是否考虑全面
练1.二次函数 y = x2 + bx + c 的顶点坐标为M(1,-4).
(1)求二次函数的解析式 (2)将二次函数的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折,图象的 其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合新图象回答: 当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时,求n的取值范围
△△△ >0 =0 <0 21无 个个交 交交点 点点
3 与非平行于坐标轴的直线交点
y
y=kx+b
x
基础练习
(1)判断直线y x 1
y 与x抛2 物3x线 1
交点情况?
如果有交点,请求y 出交x 点1 坐标。 解:联立 y x2 3x 1
x2 2x 0

△ =4 >0
所以有两个交点,交点坐标为(0,1)和(2,-1)
平移后的抛物线与 直线联立,根据判 别式来进行确定。
n=0
解题思路:
1 列出平移后的函数 解析式。 y=4x+6+n B(-1-n,0) C(3-n,0)
二次函数 几何变换与交点问题
新东方初中数学组 张志安
平移 旋转 翻折
一 平移
抛物线平移问题
例1.将抛物线 y = 2x2 + 4x - 3 向右平移3个单位, 再向上平移5个单位,求平移后所得抛物线的解析式。
方法一:顶点平移
y = 2x2 + 4x - 3 = 2(x +1)2 - 5
顶点坐标为(-1,-5)
y 2x2 - 4x - 2
练1:

微专题六 一次函数的图象与几何变换

微专题六  一次函数的图象与几何变换
微专题六 一次函数的图 象与几何变换
专题解读
一次函数图象的平移规律:左加右减、上加 下减;图象的平移不改变 k 的值.
探究一 一次函数图象的平移
典型例题 1 一次函数 y=kx+b 的图象,如图 所示.
(1) 求这个一次函数的表 达式;
(2) 如果这个一次函数的图象向上平移 m 个单位得到的图象恰与它向右平移 n 个单位得 到的图象完全相同,求 m,n 之间的关系.
解:(1)这个一次函数的表达式为 y=-21x +2;
(2)依题意可得:-12x+2+m=-12(x-n) +2,
化简得:m=21n.
对点自测
1. 直线 y=2x+2 沿 y 轴向下平移 6 个单位 后与 x 轴的交点坐标是( D )
A. (-4,0)
B. (-1,0)
C. (0,2)
D. (2,0)
A. (0,4) B. (0,3) C. (-4,0) D. (0,-3)
解:∵直线 y=-43x+8 与 x 轴,y 轴分别
交于点 A 和点 B, ∴y=0 时,x=6, 则 A 点坐标为:(6,0), 当 x=0 时,y=8, 则 B 点坐标为(0,8); ∴BO=8,AO=6, ∴AB= 82+62=10,
A. (-2,0)
B. (2,0)
C. (-6,0)
D. (6,0)
解:∵直线 l1 经过点(0,4),l2 经过点(3, 2),且 l1 与 l2 关于 x 轴对称,
∴两直线相交于 x 轴上,直线 l1 经过点(3, -2),l2 经过点(0,-4),
把点(0,4)和点(3,-2)代入直线 l1 的表达 式 y=kx+b,则有
2. 如图,直线 l1 与直线 l2 关于 y 轴对称, 4

图像基本运算-幻灯片

C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
代数运算的四种基本形式
C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y ) C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y ) C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
20
3.3代数运算与逻辑运算 (Algebra and Logical Operation) 逻辑运算
主要应用举例: 图像的局部显示 改变图像的灰度级
图像的局部显示
36
3.3.3乘法运算(Multiplication)
改变图像的灰度级
(a) 原图
(b) 乘以1.2 图3.8 乘法运算结果
(c) 乘以2
37
3.3.4除法运算(Division)
除法运算 C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
输 L-1 出


级 L/2
s
=0.04
=0.1 =0.4 =1 =2.5
=10.0
=25.0
0
L/2
L-1
输入灰度级r
不同的s=cr曲线及图像变换结果
加暗、减亮图像
=1.5
原始图像
=0.66
加亮、减暗图像
17
3.2.2非线性点运算(Non-Linear Point Operation)
加暗、减亮图像
32
图像相减——运动检测
33
3.3.2减法运算 (Subtraction )
混合图像的分离
(a)混合图像 (b)被减图像 (c)差影图

图3.6 差影法进行混合图像的分离
34
3.3.2减法运算 (Subtraction )

一次函数的几何变换

)左右平移过程中,纵坐标不变,改变的是横坐标也就是自变量,向左平移自变量变小,因此要加上平移的变大,因此要减去平移的量,简述为“左加右减”.
“左加右减,上加下减;左右平移在括号,上下平移在末稍”.
()关于轴对称(翻折)后,纵坐标不变,横坐标变为相反数.
即关于轴对称后的解析式为18/06/12
x x 2y y =kx +b y
()关于原点对称(绕原点旋转即关于原点对称后的解析式为【方法】口诀:“关于谁,谁不变;另一个,变相反;关于原点都要变”.
()关于直线对称(翻折)
【方法】
①根据两点确定一条直线,结合图形求出对称后直线上两个点的坐标,再用待定系数法求出解析式即可.3y =kx +b 已知直线与直线1y =kx +b 2y =n
【方法】根据两点确定一条直线,结合图形求出对称后直线上两个点的坐标,再用待定系数法求出解析式即可.
直线绕原点逆时针旋转后的解析式为( ).
A. B. C. D. y =3x O 90∘y =− x 13
y =3x
y = x 13
y =−3x。

图像变换

w 可以取不同值,同一点齐次坐标不唯一。
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是:
(1,1.5,0.5),(4,6,2),(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中,蒙娜丽莎的图像被变形,但是中心的 纵轴在变换下保持不变。(注意:角落在右边的图像中被 裁掉了。)蓝色的向量,从胸部到肩膀,其方向改变了, 但是红色的向量,从胸部到下巴,其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量,而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩,其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量,它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。

=
图像的或运算
模板运算:提取感兴趣的子图像

=
图像的与运算
0 1=0 1 0=0 0 0=0 求两个子图像的相交子图
1 1=1
^
= 模板运算:提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例


图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为(xw,yw,w) xw=wx,yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 :

xw yw

wx wy

zw

几何画板 课件设计 函数图象的变换

目录摘要 (2)A BSTRACT (2)引言 (3)第一部分课件的选择 (3)第二部分课件的制作 (5)5678 (9) (10)第三部分学习《几何画板》的体会 (11)参考文献 (12)摘要《几何画板》是一个适用于几何(平面几何,解析几何,射影几何,立体几何)、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件,它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验,也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质,培养其观察能力,问题解决能力,并发展思维能力.它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向.本文讨论了用《几何画板》展示函数图像变换的有关问题.一般的课件只能做出函数的图像,而不能对函数图像进行变换,更不能演示变换的过程,《几何画板》也没有这些功能,本文的主要成果就在于《几何画板》中实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示,并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件.全文由四个部分组成.引言部分简单介绍了《几何画板》这个软件极其在数学教学中的重要性.第一部分说明了课件的选择原则及我所选择的几个课件;第二部分详细介绍了这几个课件的制做过程;第三部分是我学习和使用《几何画板》的体会.关键词:《几何画板》、函数图像变换、旋转、反射、缩放、平移、动画、轨迹、动态几何.AbstractThe Geometer’s Sketchpad is an excellent platform. It is applies to the teaching of geometry (plane geometry ,analytic geometry ,projection geometry and solid geometry),partial physics and this platform not only can help teachers use the modern educational technology in their teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation and solving question, and progressing their ideation. As far as it goes, the platform represents the developing direction of the educative tool software.This paper has discussed how to demonstrate transformation of function images by the Geometer’s Sketchpad. General coursewares can only make the image of function, and can not transform the image of function. And it can not demonstrate the course of transformation either. " The Geometer’s Sketchpad does not have these functions also. The major accomplishment of this paper is that is two things can be done by the Geometer’s Sketchpad :one is transforming the locus and function images, the other is demonstrating the course of the transformation dynamically. And I made some coursewares about the transformation of function images by this method..The paper is composed of four parts: In the introduction I introduce the Geometer’s Sketchpadand stress the necessity of using it in mathematic tuition fee. In the first part, I explain why I choose this several coursewars. In the second part, I introduce in detail the course of making those coursewares. In the last part, I relate my experience of study by using the Geometer’s Sketchpad.Keyword:The Geometer’s Sketchpad, move,dynamic geometry, reflect spin translation, rotate, trace , function image alternate.引言《几何画板》(The Geometer’s Sketchpad)是美国优秀的教育软件,它的中文全名是《几何画板—21世纪的动态几何》.《几何画板》是一个适用于几何(平面几何、解析几何、射影几何、立体几何)教学的软件平台.它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境.它以点、线、圆为基本元素,通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等,构造出其它较为复杂的图形.《几何画板》具有强大的功能,但是它简单易学,接触一段时间就可以掌握它的基本操作,制作较为简单的课件,但是要做出优秀的课件也并非易事,这需要使用者将《几何画板》的功能与数学思想很好地结合起来.《几何画板》是十分好的教学软件,它以“建构主义”为理论指导,将几何图形以动态的方式展现到学生面前,可以使学生更好地理解图形的特点和各种几何关系;它同时又是很好的学具,学生们可以利用所学的知识自己制作课件,这样不仅可以调动他们学习数学的积极性,还可以开阔学生的视野,培养学生的创新能力.计算机辅助教学是现代教育技术的重要组成部分,其在课堂教学中的广泛应用也是教育发展的必然趋势.而《几何画板—21世纪的动态几何》就是比较优秀的数学教学软件.我相信随着计算机辅助教学的不断推广,《几何画板》也将发挥出更加重要的作用.第一部分课件的选择作为优秀的数学教学软件,《几何画板》可以动态地演示几何图形的变化,让学生更直观地看到图形间的联系.而作为新时代的数学教师,就应该掌握这个软件,并将其用于课堂教学的实践.我做的课件是关于函数图像的变换.我之所以选这个题目,是因为以下两方面的原因:首先,函数图像变换是中学数学教学中的重点和难点,有些学生很难想象函数图像变换前后的关系,这就影响了他们理解函数表达式与函数图像之间的对应关系,无法做到数形结合.其次,《几何画板》没有让轨迹、图像运动的功能,它只能做出变换后的图像,而不能实现变换过程的动态演示.函数图像的变换主要有以下四种:平移变换、反射变换、旋转变换、缩放变换.本文的主要内容就是讲如何用《几何画板》将这四种变换以动态的方式展现出来.第一个是平移变换.平移变换是指函数图像保持形状不变,在平面上下左右地移动,其中包括两种基本情况:1.将函数()y f x =的图像向左(或向右)平移k 个单位(k >0时向左,k <0时向右)得()y f x k =+的图像.2.将函数()y f x =的图像向上(或向下)平移k 个单位(k >0时向上,k <0时向下)得()y f x k =+的图像.任意一个平移变换都可以看成是成这两种基本情的复合.因此我们要实现一个平移变换,可将函数图像先沿x 轴方向移动相应的距离再沿y 轴方向移动相应的距离.我制作课件的的思路就是先绘制新函数,然后让函数图像依次沿x 轴、y 轴移动,将这个过程动态地表现出来,并且用追踪轨迹的方法将移动的路线记录下来,让学生了解各因素对函数图像的影响.第二个是反射变换.反射变换是关于一条直线的反射,反射像与原像关于这条直线是对称的,就像镜中的像与原像一样,因此也称镜面反射.《几何画板》有“反射”这一功能,只要标记镜面,并选择要反射的原像,直接用“反射”就可以得到反射像了,但是为了让学生更清楚地看到反射的过程,我想要将反射的过程动态地展现出来,就需要一定的技巧,使轨迹运动起来,而《几何画板》中的轨迹和图像是不能变换和移动的.因此我们考虑以点动带动轨迹的运动.这也是我做的几个课件应用的主要技术.实际上就是先在函数图像上任取一点A ,作这点的反射点B ,然后连接这两点,在所得线段AB 上任取一点C ,选中C 、A 作轨迹,只要移动C 点,就可以移动轨迹.再作C 到A 、C 到B 的移动按钮,改名为“还原” 、“反射”,则可用按钮来控制反射了.改变标记的镜面,可以做出关于任意直线的反射.其中关于x 轴、y 轴、直线y=x 的反射比较特殊,分别可得到()f x -、()f x -、()1f x -的图像.第三个是旋转变换.旋转变换是指以一固定点为中心,将函数图像旋转某个角度.和前两个变换一样,旋转变换也是保形变换,也就是变换前后函数图像的形状保持不变,只是位置改变而已.旋转变换的移动做法类似于反射变换,只是对A 点进行的不是反射变换而改为以固定点为中心旋转某个角度得到B 点,后面的步骤都相同.第四个是放缩变换.放缩变换有两种,一种是以原点为中心进行放缩,另一种是以坐标轴为基本进行放缩.例如:以x 轴为准,将图像放大两倍,实际上就是横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍;如果是以原点为中心,则是横纵坐标一起放缩相同的倍数.至于是放大还是缩小,只要改变放缩系数就可以了,系数大于1就是放大,小于1就是缩小.变换的移动做法也类似于反射变换.这四种变换是基本变换,它们可以复合起来,形成比较复杂的变换,比如先平移、后放缩、再旋转,就得到了一个于原来有联系又不同的新函数.如果将这些变换移动的轨迹记录下来,就得到了一些曲面,比如柱面、锥面等,还能使图形产生立体效果,我在这方面准备了两个课件,一个柱面、一个锥面.第二部分 课件的制作(1).新建坐标系,新建参数a,b,c,并分别建立它们的动画按钮;(2).绘制新函数,以()2f x ax bx c =++为例. (3).新建参数,x y t t ,单位选为厘米,作为沿x 轴和y 轴的平移量.(4).在函数图像上任取一点H ,标记距离x t ,将H 在水平按标记的距离移动,垂直方向移动量为O ,得到H '.连接H 和H ',在线段HH '上任取一点I ,标记距离y t ,将I 在垂直方向按标记距离移动,水平方向上移动距离为O ,得到I ’.连接I 和I ’,在II ’上任取一点J ,选中J 和H 作轨迹,将其改为蓝色粗线显示,所得轨迹会随着J 点的运动而运动.(5).分别作I 到H ,I 到H '再分别作J 到I ,J 到I ’的移动了.(6).选中H ’和H线,在选中新图像作隐藏按钮,改标签为(7)了一个按钮控制整个移动过程.(8).用文本工具作出沿x 方向和沿两个方向移动后的函数表达式,分别为:()()()2x x h x a x t b x t c =-+-+,()()()2x x y t x a x t b x t c t =-+-++,将这两个表达式放在对应图像旁边适合的位置.并且分别建立表达式的隐藏按钮,改标签(9)(10).在蓝色的函数图像上任取两点A ,B ,对它们进行追踪.则它们运动的轨迹就是整个函数图像运动的轨迹.(11).建立清除轨迹按钮:任意画一个点K ,选中K 做两个“显示隐藏”按钮.同时选中这两个按钮,建立“系列”按钮,在“系列按钮”标签中选定“清除所有轨迹”K 点.(12).隐藏不必要的点和线.说明:1.改变a,b,c的值则可改变原函数的形状与位置,h(x)和t(x)的图像也会相应改变;2.修改f(x)的表达式,用此方法还可以实现其它函数图像的平移,这时要注意要调整A,B点的位置,达到比较好的视觉效果,另外,因为h(x)和t(x)的表达式是由文本工具编写的,不能随f(x)的改变而改变,所以要重新编写这两个表达式;t t的值,可以实现任意的移动.3.改变,x yx轴或y轴的平移,方便教师的讲解.我们以关于y=x的对称为例:(1),(2)步同上面的平移变换;(3).作函数图像y=x,并标记为镜面;(4).在函数图像上任取一点B,按标记镜面反射得B’点.连接BB’,在其上任取一点C.选中C和B作轨迹,将其改为蓝色粗线显示,则所得轨迹会随着C点的运动而运动;(5).分别作C到B、C到B’(6).用文本工具作出反射后的函数表达式,并建立隐藏显示按钮,注意自变量改为y,因为图像关于y=x 对称的两个函数互为反函数;(7).隐藏不必要的点线.说明:改变(3)中标记的镜面,可以作出关于任意直线反射的图像.(1).新建坐标系,新建参数a ,建立动画按钮,绘制新函数()()ln f x ax =;(2).新建参数b ,初值设为120︒,并记角度;(3).先作一个小圆A ,对圆上任意点B ,以A 为中心分别将B 按标记角度和︒10旋转得点B ’和点F ,过BFB ’作弧,在弧上任取一点C ,连接AC ,度量∠BAC ,选中度量值标记角度;(4).分别作C 到B 、C 到B ’(5).对函数图像上任意点E ’点,选中E ’E 作轨迹,则(6).追踪E ’点,则易见其轨迹为一段与BFC 弧度相等的弧;(7).度量E 、E ’的坐标值,并建立隐藏按钮;(8)(9)(10).隐藏不必要的点和线.说明:(1).改变(5)中的旋转中心,可以实现以任意点为中心的旋转;(2).一定要将“编辑”中的“参数选项”中角度的单位改为“定向度”,否则当旋转角度大于︒180时,就会出现回转的现象;(3).就这个课件而言也可以不画小圆A 而直接对函数图像上的E 点进行旋转,但这样做就不能将它直接用于其课件,而单做一个控制旋转的小圆以及其操作按钮,就可以通过复制直接用于其它有关旋转的课件,可以节省一些时间和精力.缩放变换中轨迹运动的实现方法与上面的几个课件类似,不同的地方就在于K 点和G 点的做法:(1)x 轴为基准的缩放比例;(2).对于函数图像()()sin f x ax =上任意一点E,以原点为中心,按标记比值缩放,则得到点K;(3).分别度量E点的横纵坐标值,并用计算功能将纵坐标值乘以缩放系数x ,依次选中E点的横坐标值和计算出的值,绘制点,即得G点.图5绘制出()()sin g x x x =的图像,在其上任选一点C ,作线段AB ,将C 分别按AB 、BA 方向平移,得点C ’’ 、C ’,连接CC ’’ 、CC ’,选中线段CC ’’和点C 作轨迹,则得到函数图像前方的部分,选中线段CC ’和点C 作轨迹,则得到函数图像后方的部分.拖动点A 或点B 则可改变观看图形的角度,产生立体的效果,拖动C 点可以看到线段C ’C ’’在图形上运动但始终保持与AB 平行.(1).作线段AB ,在其上任取一点G ,作动画;(2).以A 为心AG 为半径作圆,在圆上任取一点J ,将G 点以A 为心旋转90︒,依次选中点G 、旋转后的点和点A 作弧,在弧上任取一点I ,同法作出H 点;(3).在平面上任取一点F ,标记为中心,分别将I 、J 、H 、K 旋转180︒,得I’、J’、H’、K’,再按20%的比例缩放得I’’、J’’、H’’、K’’,连接II’’、JJ’’、HH’’、KK’’;(4).选中II’’和I 、HH’’和H 作轨迹,则得到锥面,对轨迹设置隐藏显示按钮;选中I’’和I 、H’’和H 作轨迹,则得到后面的边界线;(5).分别建立I 、H 的运动按钮和线段II’’、HH’’次选中隐藏H 和隐藏I(6)(7).隐藏不必要的点和线.图6说明:(1)I点拖到G点处、H点拖到K点处,并显示线段HH’’(2).运动点G,则可看到锥面随边缘不断变化;(3).演示生成过程时,要将锥面轨迹隐藏,而在改变F点位置得到新锥面时要除去对线段HH’’和II’’的追踪,而直接显示锥面.第三部分学习《几何画板》的体会现今,计算机辅助教学手段的使用是教育现代化的一个重要标志,对提高教育质量及教学效率都有重要的意义.它不但可以扩大受教育面,便于及时巩固所学知识,而且为数学教育开辟了更为广阔的天地.《几何画板》作为优秀的教学软件之一,是一个通用的数学,物理教学环境,其丰富的创造功能使用户可以随心所欲的编写自己所需要的教学课件.该软件提供了充分的手段帮助用户实现其教学思想,只要熟悉它的简单使用技巧就可以自行设计和编写应用范例,无需任何编程.所做的课件要体现的并不是编者的计算机软件水平,而是对知识的理解程度、教学思想和教学水平.《几何画板》不仅能够帮助教师扩展系在传统教学中的能力,而且还为新的教学方法提供了可能.在新的教学方法中,强调学生的主体参与,学生课堂的主体,通过学生的参与来帮助学生更好地学习.但是现在普通的课堂,还不能完全体现学生的主体性,在《几何画板》和计算机网络的支持下,教师可以很容易地为每一位学生的比较和抽象创造一种活动的空间和条件,让学生能在活动中进行反身抽象,获得,理解和掌握抽象概念.只有这样学生获得的才是真正的数学经验,而不是数学结论.从这个意义上说,《几何画板》不仅仅是教师教学的工具,更应该成为学生的有利的认知工具.我在北京八中实习期间,用《几何画板》制作了几个关于三角形全等和角平分线性质的课件,用于课堂教学之中,取得了比较好的效果.首先学生们对于多媒体辅助教学的形式就比较感兴趣,其次《几何画板》的动态演示效果能使学生更好地理解知识的内在含义.即便是《几何画板》中很简单的功能,如果与要讲的知识结合得好,也会产生不意想不到的效果.我在实习中讲得最好的一节课就是角平分线性质那一节,虽然我只是用了度量功能,展示无论角的度数怎样变化,分得的两个小角的度数始终是相等的,但是这就比单纯让学生去想象更有说服力,也更加形象,一般的学生都可以接受.其实,在《几何画板》中还有很多其他的功能,比如本文所涉及的图像变换、轨迹、追踪、动画等,都是很好用也很实用的.在讲解一些比较抽象的知识时,如果教师能够做出适合的课件,对于学生的理解是十分有帮助的.当然,《几何画板》也不是万能软件,想要实现一些复杂的变换还需要我们不断学习,不断发掘,拓展它的功能.参考文献1.几何画板与微型课件制作/刘胜利编.—北京:科学出版社,2001;2.如何用几何画板教数学/王鹏远王选勃王玉编写.—北京:人民教育出版社;3.用“几何画板”辅助数学教学/王鹏远编著.—北京:人民教育出版社;。

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实验二、图象的几何变换1.实验目的:1)熟练运用某种编程工具语言实现图象的几何变换方法2)通过实验,进一步增强学生对本课程的理解,并在此基础上使学生进一步掌握图像变换和图像增强的基本概念、基本理论和这些理论在实际图像处理中的应用,特别是要把学到的数字图像处理的各种方法灵活应用到实际中2.实验内容:1)实现图象的平移2)实现图象任意角度的旋转(注意精度)3)编写程序,实现图象的“无级”放大(2,3选一)4)完成本实验内容,具体实验采用VC++6.0其流程图如右图所示:3.实验步骤及源代码:1)首先启动一幅位图如图1所示:图1 启动位图2)设置图像缩放参数。

在资源视图中添加对话框如图,然后进行相关参数设定。

如下图所示:添加对话框类【CDlgGeoTran】,具体代码如下所示:// DlgGeoTran.h : header file/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CDlgGeoTran dialogclass CDlgGeoTran : public CDialog{ // Constructionpublic:CDlgGeoTran(CWnd* pParent = NULL); // standard constructor// Dialog Data//{{AFX_DATA(CDlgGeoTran)enum { IDD = IDD_DLG_GEOTrans };long m_XOffset;long m_YOffset;//}}AFX_DATA// Overridesprotected:virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support // Implementationprotected:DECLARE_MESSAGE_MAP()};// DlgGeoTran.cpp : implementation fileCDlgGeoTran::CDlgGeoTran(CWnd* pParent /*=NULL*/): CDialog(CDlgGeoTran::IDD, pParent){//{{AFX_DATA_INIT(CDlgGeoTran)m_XOffset = 0;m_YOffset = 0;//}}AFX_DATA_INIT}void CDlgGeoTran::DoDataExchange(CDataExchange* pDX){ CDialog::DoDataExchange(pDX);DDX_Text(pDX, IDC_EDIT_XOffset, m_XOffset);DDX_Text(pDX, IDC_EDIT_YOffset, m_YOffset);}3)设置图像缩放参数。

在资源视图中添加对话框如下图,然后进行相应的资源参数设置。

添加对话框类【CDlgGeoZoom】,具体代码如下所示:// DlgGeoZoom.h : header file/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CDlgGeoZoom dialogclass CDlgGeoZoom : public CDialog{public:CDlgGeoZoom(CWnd* pParent = NULL);// standard constructor// Dialog Dataenum { IDD = IDD_DLG_GEOZoom };float m_XZoom;float m_YZoom;// Overridesprotected:virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support// Implementationprotected:DECLARE_MESSAGE_MAP()};// DlgGeoZoom.cpp : implementation fileCDlgGeoZoom::CDlgGeoZoom(CWnd* pParent /*=NULL*/): CDialog(CDlgGeoZoom::IDD, pParent){//{{AFX_DATA_INIT(CDlgGeoZoom)m_XZoom = 0.0f;m_YZoom = 0.0f;//}}AFX_DATA_INIT}void CDlgGeoZoom::DoDataExchange(CDataExchange* pDX){CDialog::DoDataExchange(pDX);//{{AFX_DATA_MAP(CDlgGeoZoom)DDX_Text(pDX, IDC_EDIT_XZoom, m_XZoom);DDV_MinMaxFloat(pDX, m_XZoom, 0.25f, 4.f);DDX_Text(pDX, IDC_EDIT_YZoom, m_YZoom);DDV_MinMaxFloat(pDX, m_YZoom, 0.25f, 4.f);//}}AFX_DATA_MAP}4)设置图像旋转参数。

在资源视图中添加对话框如下图,然后进行相应的资源参数设置。

添加对话框类【CDlgGeoRota】,具体代码如下所示:// DlgGeoRota.cpp : implementation fileCDlgGeoRota::CDlgGeoRota(CWnd* pParent /*=NULL*/): CDialog(CDlgGeoRota::IDD, pParent){m_iRotateAngle = 0;}void CDlgGeoRota::DoDataExchange(CDataExchange* pDX){CDialog::DoDataExchange(pDX);DDX_Text(pDX, IDC_EDIT_Rotate, m_iRotateAngle);DDV_MinMaxInt(pDX, m_iRotateAngle, 0, 360);}5)添加菜单资源项如下图所示。

然后添加消息,具体代码如下所示://图像平移void CCh1_1View::OnGeomTran(){// 平移位图// 获取文档CCh1_1Doc* pDoc = GetDocument();// 指向DIB的指针LPSTR lpDIB;// 指向DIB象素指针LPSTR lpDIBBits;// 锁定DIBlpDIB = (LPSTR) ::GlobalLock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());// 判断是否是8-bpp位图(这里为了方便,只处理8-bpp位图的平移,其它的可以类推)if (::DIBNumColors(lpDIB) != 256){ // 提示用户MessageBox("目前只支持256色位图的平移!", "系统提示" , MB_ICONINFORMATION | MB_OK);// 解除锁定::GlobalUnlock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());return;}LONG lXOffset;LONG lYOffset;// 创建对话框CDlgGeoTran dlgPara;// 初始化变量值dlgPara.m_XOffset = 100;dlgPara.m_YOffset = 100;// 显示对话框,提示用户设定平移量if (dlgPara.DoModal() != IDOK){return;}// 获取用户设定的平移量lXOffset = dlgPara.m_XOffset;lYOffset = dlgPara.m_YOffset;// 删除对话框delete dlgPara;// 更改光标形状BeginWaitCursor();// 找到DIB图像象素起始位置lpDIBBits = ::FindDIBBits(lpDIB);// 调用TranslationDIB()函数平移DIBif (TranslationDIB1(lpDIBBits, ::DIBWidth(lpDIB), ::DIBHeight(lpDIB), lXOffset, lYOffset)) { // 设置标记pDoc->SetModifiedFlag(TRUE);/ 更新视图pDoc->UpdateAllViews(NULL);}else{// 提示用户MessageBox("分配内存失败!", "系统提示" , MB_ICONINFORMATION | MB_OK);}// 解除锁定::GlobalUnlock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());// 恢复光标EndWaitCursor();}// 图像缩放void CCh1_1View::OnGeomZoom(){ // 获取文档CCh1_1Doc* pDoc = GetDocument();// 指向DIB的指针LPSTR lpDIB;// 锁定DIBlpDIB = (LPSTR) ::GlobalLock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());// 判断是否是8-bpp位图(这里为了方便,只处理8-bpp位图的缩放,其它的可以类推)if (::DIBNumColors(lpDIB) != 256){ // 提示用户MessageBox("目前只支持256色位图的缩放!", "系统提示" , MB_ICONINFORMATION | MB_OK);// 解除锁定::GlobalUnlock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());return;}// 缩放比率float fXZoomRatio;float fYZoomRatio;// 创建对话框CDlgGeoZoom dlgPara;// 初始化变量值dlgPara.m_XZoom = 0.5;dlgPara.m_YZoom = 0.5;// 显示对话框,提示用户设定平移量if (dlgPara.DoModal() != IDOK){return;}// 获取用户设定的平移量fXZoomRatio = dlgPara.m_XZoom;fYZoomRatio = dlgPara.m_YZoom;// 删除对话框delete dlgPara;// 创建新DIBHDIB hNewDIB = NULL;// 更改光标形状BeginWaitCursor();// 调用ZoomDIB()函数转置DIBhNewDIB = (HDIB) ZoomDIB(lpDIB, fXZoomRatio, fYZoomRatio); // 判断缩放是否成功if (hNewDIB != NULL){// 替换DIB,同时释放旧DIB对象pDoc->ReplaceHDIB(hNewDIB);// 更新DIB大小和调色板pDoc->InitDIBData();// 设置脏标记pDoc->SetModifiedFlag(TRUE);// 重新设置滚动视图大小SetScrollSizes(MM_TEXT, pDoc->GetDocSize());// 更新视图pDoc->UpdateAllViews(NULL);}else{// 提示用户MessageBox("分配内存失败!", "系统提示" , MB_ICONINFORMATION | MB_OK);}// 解除锁定::GlobalUnlock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());// 恢复光标EndWaitCursor();}// 图像旋转void CCh1_1View::OnGeomRota(){// 获取文档CCh1_1Doc* pDoc = GetDocument();// 指向DIB的指针LPSTR lpDIB;// 锁定DIBlpDIB = (LPSTR) ::GlobalLock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());// 判断是否是8-bpp位图(这里为了方便,只处理8-bpp位图的旋转,其它的可以类推)if (::DIBNumColors(lpDIB) != 256){// 提示用户MessageBox("目前只支持256色位图的旋转!", "系统提示" , MB_ICONINFORMATION | MB_OK);// 解除锁定::GlobalUnlock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());return;}// 缩放比率int iRotateAngle;// 创建对话框CDlgGeoRota dlgPara;// 初始化变量值dlgPara.m_iRotateAngle = 90;// 显示对话框,提示用户设定旋转角度if (dlgPara.DoModal() != IDOK){// 返回return;}// 获取用户设定的平移量iRotateAngle = dlgPara.m_iRotateAngle;// 删除对话框delete dlgPara;// 创建新DIBHDIB hNewDIB = NULL;// 更改光标形状BeginWaitCursor();// 调用RotateDIB()函数旋转DIBhNewDIB = (HDIB) RotateDIB(lpDIB, iRotateAngle);// 判断旋转是否成功if (hNewDIB != NULL){// 替换DIB,同时释放旧DIB对象pDoc->ReplaceHDIB(hNewDIB);// 更新DIB大小和调色板pDoc->InitDIBData();// 设置脏标记pDoc->SetModifiedFlag(TRUE);// 重新设置滚动视图大小SetScrollSizes(MM_TEXT, pDoc->GetDocSize());// 更新视图pDoc->UpdateAllViews(NULL);}else{// 提示用户MessageBox("分配内存失败!", "系统提示" , MB_ICONINFORMATION | MB_OK); }// 解除锁定::GlobalUnlock((HGLOBAL) pDoc->GetHDIB());// 恢复光标EndWaitCursor();}4.实验结果1)图像平移实验结果图2设置平移量图3平移结果2)图像缩放实验结果图4 设定缩放量3)图像旋转实验结果图6 设定旋转角度图7 图像旋转结果5.实验小结本次实验完成了图像位移、图像任意角度的旋转、变换的实验内容,但在精度的控制方面还存在缺陷。

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