高中数学必修3北师大版 概率复习 导学案(Word版含答案)
高中数学 3.1.2 生活中的概率导学案 北师大版必修3
（2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.3，解释该概率的含义；
（3）某种病治愈的概率是0.3，那么，现有10人得这种病，在治疗中前7人没有治愈，后3人一定能治愈吗？
例2．抛一枚硬币（质地均匀），连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于1/2，这种理解正确吗？
作业
布置
1．习题3-1 A3，B组
2.教辅资料
学习小结/教学
反思
探索新知：
1．阅读课本p127“思考交流”，讨论其结果：
2．问题1：抛掷10次硬币，是否一定是5次“正面朝上”和5次“5次反面朝上”?
3.问题2：有四个阉，其中两个分别代表两件奖品，四个人按排序依次抓阉来决定这两件奖品的归属.先抓的人中奖率一定大吗？
4.阅读课本p127-130，你发现了什么问题？
精讲互动
§3.1.2生活中的概率
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.理解概率的意义；
2.能正确利用概率知识解决现实中的生活问题.
重点难点
利用概率知识解决现实中的生活问题
学习
过程
与方
法
自主学习
概率在生活中的应用：
概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的和.
例3．为了增强学生对世园会的了解和认识，某校决定在全校3000名学生中随机抽取10名学生举行一次有关西安世园会的知识问卷，小明认为被选取的可能性为 ，不可能抽到他，所以他就不想去查阅、咨询有关世园会的知识，你认为他的做法对吗？请说明理由.
3.2.2概率模型导学案-高中数学北师大版必修3
§3.2.2 建立概率模型【学习目标】1.建立古典概型,解决简单的实际问题。
2.从多种角度建立古典概型。
一、知识记忆与理解【自主预习】阅读教材P134-P137，完成下列问题 1.建立古典概率模型时，对基本事件的确定有什么要求？2.从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的 来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数 ，问题的解决就变得越简单。
3.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，所有基本事件有哪些？这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是多少？4.课本p139 例2用了几种方法？你是怎样理解的？[预习检测]1.据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率约是（ ）A ．12B ．13C ．14 D ．152.在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 ；3.已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(),x y ,其中,x A y A ∈∈,且x y ≠,计算:(1)点M 不在x 轴上的概率;(2)点M 在第二象限的概率。
二、思维探究与创新[问题探究]1.“有放回”与“不放回”的古典概型 探究一：一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1、2、3、…、10这10个数字,今随机地抽取两个小球, 如果:(1)小球是不放回的; (2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.变式1: 从1、2、3、4、5这5个数字中,不放回地任取两数,求两数都是奇数的概率。
2．“有序”和“无序”问题探究二：将一颗骰子（它的六个面分别标有1，2,3,4,5,6）先后抛掷两次，观察向上的点数.整理 反思（1）求两数之积是6的倍数的概率； （2）设第一次、第二次抛掷向上的点数分 别为y x ,，则12log y x 的概率是多少？变式训练2：任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子. (1) 求出现的点数相同的概率(2) 求出现的点数之和为奇数的概率.[总结归纳]1.熟记古典概型的概率计公式；2.根据需要会建立合理的概率模型，解决一些实际问题。
高中数学北师大版必修三教学案第三章§2第2课时 建立概率模型 Word版含答案
第课时建立概率模型[核心必知]建立不同的古典概型在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．[问题思考]甲、乙、丙三人站队，求甲站在最左边的概率．．若只考虑甲的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：种；＝.．若只考虑最左边位置的站法，基本事件总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：种；＝.．若考虑所有人的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：种；＝.讲一讲.从含有两件正品，和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[尝试解答] 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有个，即(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)．其中小括号内左边的字母表示第次取出的产品，右边的字母表示第次取出的产品．总的事件个数为，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以＝{(，)，(，)，(，)，(，)}．因为事件由个基本事件组成，所以()＝＝.“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．练一练．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上，…，这个数字，今随机地抽取两个小球，如果：()小球是不放回的；()小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解：设事件：两个小球上的数字为相邻整数．则事件包括的基本事件有：()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()共个．()不放回取球时，总的基本事件数为，故()＝＝.()有放回取球时，总的基本事件数为，.故()＝＝.某乒乓球队有男乒乓球运动员名、女乒乓球运动员名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？[尝试解答] 由于男运动员从人中任意选取，女运动员从人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为，，，，女运动员为，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如()表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员，从女运动员中选取的是女运动员，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件.由上表可知，可能的结果总数是个．设女运动员为国家一级运动员，她参赛的可能事件有个，故她参赛的概率为()＝＝.。
高中数学必修3北师大版 第三章§3 模拟方法——概率的应用 学案(Word版含答案)
[核心必知]1．模拟方法在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．2．几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型． (2)说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[问题思考]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．讲一讲1.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？[尝试解答] 如图所示，记事件A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×13＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝13.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．练一练1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1，故易知所求概率为1－(－1)2－(－1)＝23. 答案：23讲一讲2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[尝试解答] 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生须x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．练一练2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16讲一讲3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P (A )＝0.12＝0.05.如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积. 练一练3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率．解：记事件A 为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P (A )＝1333＝127.讲一讲4.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，求弦长超过半径的2倍的概率．[尝试解答] 如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.记“弦长超过半径的2倍”为事件C ，则C 表示的范围是∠AOB ∈(π2，3π2)． 则由几何概型概率的公式，得P (C )＝270°－90°360°＝12.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为P (A )＝事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度. 练一练4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)．解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．因为赢的概率为15，故红色所占角度为周角的15，即P 1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即P 2＝360°3＝120°， 所以绿色的角度P 3＝360°－120°－72°＝168°.再将P 3分成四等份，得P 3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°.【解题高手】【易错题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．[错解] 在AB 上截取线段AC ′，使AC ′＝AC .则P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝AC ′AB ＝22. [错因] 因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB 上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．[正解] 在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°. ∴P (AM <AC )＝67.5°90°＝34.1．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1解析：选C 由几何概型公式得：P ＝2500＝0.004. 2．(辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45解析：选C 设|AC |＝x cm,0<x <12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )>20，则x 2－12x ＋20<0,2<x <10，所以所求概率为P ＝10－212＝23. 3．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( )。
高中数学 3.4 第三章复习导学案 北师大版必修3
P（A）= ；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
5.古典概型和几何概型的区别相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
精讲互动
例1、柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
复习课
主备课人
学习
目标
1．掌握概率的基本性质
2．学会古典概型和几何概型简单运用
重点难点
重点 古典概型、几何概型的相关知识点
难点 古典概型、几何概型的具体应用
学习
过程
与方
法
自主学习
1.本章的知识建构如下：
2.概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；（巧妙的运用这一性质可以简化解题）
4）互斥事件与对立事件的区别与联系：我们可以说如果两个事件为对立事件则它们一定互斥，而互斥事件则不一定是对立事件
（1）取出的鞋子都是左脚的;
（2）取出的鞋子都是同一只脚的
（选作）变式：（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；
（2）取出的鞋不成对
例2、取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
高中数学 3.1.1 概率与频率导学案 北师大版必修3
③每个实验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率.
A. ① B.①②④ C. ①② D. ③④
达标训练
1. 从存放号码分别为1，2，3，，10是的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（1）掷一枚骰子两次，所得点数之和大于12.
（2）如果 ，那么 ；
（3）掷一枚硬币，出现正面向上；
（4）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（5）某电话机在1分钟内接到2次呼叫；
（6）没有水分，种子能发芽.
例2．下列说法正确的是 （ ）.
①频数和频率都反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度；
第三章 概率§3.1.1概率与频率
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.了解随机事件发生的不确定性；
2.了解频率的稳定性和概率的意义，理解频率与概率的关系.
重点难点
频率与概率的关系
学习
过程
与方
法
自主学习
复习：
1．随机事件的有关概念：
（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定其一定会发生；
（2）不可能事件：有些事件我们事先能肯定其一定不会发生；
（3）随机事件：有些事件我们事先无法肯定其会不会发生；
2．随机事件的的记法：通常用来表示随机事件，随机事件简称为.
3. 思考：（1）如何判定一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（2）随机事件说法中“同样的条件下”能否去掉？请举例说明
数学北师大版高中必修3北师大版必修3高中数学：第三章3.1 《随机事件的概率》 学案
第三章 概率3.1 随机事件的概率学生学案——随机事件的概率（一）一．【课标要求】1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
二．【命题走向】本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性预测今后高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主三．【要点精讲】1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。
注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。
最新高中数学北师大版必修3教学案：复习课(三) 概 率 Word版含解析
最新北师大版数学精品教学资料复习课(三)概率统计等问题综合考查．[考点精要]1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．[典例]柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率：(1)取出的鞋不成双；(2)取出的鞋都是左脚的；(3)取出的鞋都是同一只脚的；(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双．[解]用A1，A2；B1，B2；C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，则从6只鞋中取2只所有的取法有：A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C 1C 2，共15种．(1)取出的鞋不成双的所有取法有： A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共12种． 其概率为P 1＝1215＝45. (2)取出的鞋都是左脚的所有取法有： A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，共3种． 其概率为P 2＝315＝15. (3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有： A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，A 2B 2，A 2C 2，B 2C 2，共6种． 其概率为P 3＝615＝25. (4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有： A 1B 2，A 1C 2，A 2B 1，A 2C 1，B 1C 2，B 2C 1，共6种． 其概率为P 4＝615＝25. [类题通法]在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目．[题组训练]1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310 B.15 C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.2．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.[考点精要]1．几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性． 2．几何概型的概率计算公式： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积).[典例] (1)在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内，过一条直径上任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．(3)以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率． [解] (1)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD 上时，|BE |＞|BC |，而劣弧CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概率公式得P (A )＝13.(2)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过等边△BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD 时就是边长，弦长大于|CD |长的条件是圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.(3)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作等边三角形的内切圆，当以小圆上任一点为切点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长时，当且仅当弦的中点在小圆内，小圆半径为12，所以由几何概率公式得P (A )＝π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝14.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[类题通法]三个题目都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能”的含义不同，得到的概率不同．因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性．[题组训练]1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34 B.23 C.13D.14 解析：选A 不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14 C.38D.12解析：选B 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14. 3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率 ，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1解析：选B 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1.1．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是( )A.18 B.78 C.38D.58解析：选B 所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是18，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－18＝78.选B. 2．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( ) A.38 B.13 C.23D.25解析：选D 直线在y 轴上的截距大于1，则b ∈(1,3]，故所求概率P ＝3－13－(－2)＝25.3．从含有a ，b ，c 的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }． 4．有4根木棍长度分别为2,5,7,10，从这4根木棍中任取3根，则所取的3根木棍首尾相接能构成一个三角形的概率为( )A.14B.13C.12D.25 解析：选A 从4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4个，能构成三角形的只有(5,7,10)这一个基本事件，故所求概率P ＝14.5．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离都大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8解析：选D 分别以A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径作圆，圆与菱形ABCD 重合部分的面积为2×π×12×112＋2×π×12×512＝π，而菱形ABCD 的面积为8，所以所求概率为8－π8＝1－π8.6.一只受伤的丹顶鹤向如图所示(直角梯形)的区域上空飞来，其中AD ＝ 2 km ，DC ＝2 km ，BC ＝1 km ，丹顶鹤随机地落在该区域上任意一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是( )A.12－π15 B ．1－π10 C ．1－π6D ．1－3π10解析：选B 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，在Rt △AFD 中，易知AF ＝1，∠A ＝45°. 梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52，扇形ADE 的面积S 2＝(2)2×π×18＝π4，故丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10.7．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，则所有可能的结果如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以所求概率为P ＝412＝13.答案：138．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与抛物线y ＝x 2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与抛物线y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P ＝416＝14. 答案：149．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为________．解析：基本事件为6×6＝36，P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P ＝36×6＝112. 答案：11210．某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．(1)写出所有选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)解：(1)画出树状图如图：则选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝13.11．已知甲袋中有1只白球、2只红球，乙袋中有2只白球、2只红球，现从两袋中各取一球．(1)求两球颜色相同的概率； (2)求至少有一只白球的概率．解：将甲袋中1只白球记为a 1,2只红球记为b 1，b 2；乙袋中2只白球记为a 2，a 3,2只红球记为b 3，b 4，所以“从两袋中各取一球”所包含的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共有12种．(1)设A 表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件A 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共6种．所以P (A )＝612＝12. (2)设B 表示“从两袋中各取一球，至少有一只白球”，所以事件B 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，共8种，所以P (B )＝812＝23. 12．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为( )A ．50人B ．100人C ．150人D ．20人解析：选B 因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×3004 500＝100(人)． 2．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128解析：选C 由算法框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.3．阅读下面的算法框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C S ＝10，i ＝0，i ＝i ＋1＝1，S ＝S －i ＝10－1＝9，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝2，S ＝S －i ＝9－2＝7，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝3，S ＝S －i ＝7－3＝4，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝4，S ＝S －i ＝4－4＝0，满足S ≤1， 输出i ＝4.4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 解析：选B 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6.5.如图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．若向正方形ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率为( )A.32B.34C.12D.14解析：选B 正方形的面积为4，S △EBC ＝12×2×3＝3，所以，质点落在△EBC 内的概率为34. 6．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选B 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m ＝0.3，m ＝50.7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，两张标签上的数字之和为奇数的概率是( )A.25B.35C.1225D.925解析：选C 基本事件的总数为25个，其中两张标签上的数字之和为奇数的情况有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12个，所以所求概率为P ＝1225.8.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 解析：选C 由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x 乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.故x 甲<x 乙．又由方差公式可得s 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6， 因为s 2乙<s 2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定．9．阅读下列程序： 输入x ； If x ＜0 Then y ＝π2x ＋3ElseIf x ＞0 Then y ＝－π2x ＋5Else y ＝0 End If End If 输出y .如果输入x ＝－2，则输出结果y 为( ) A ．3＋π B ．3－π C ．π－5D ．－π－5解析：选B 输入x ＝－2，则x ＝－2＜0成立，则y ＝π2×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3－π.10．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23B.12C.16D.13解析：选D 如图给4块试验田分别标号为A 1，A 2，B 1，B 2.基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)122，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6个基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个．∴P (A )＝26＝13.11．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：选D 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫342＝916.12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4B ．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体平均值为2，总体方差为3解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是________．解析：抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.答案：2514．已知变量x ，y 的回归方程为y ＝bx ＋a ，若b ＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则回归方程为________．解析：因为a ＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为y ＝0.51x ＋6.647 5. 答案：y ＝0.51x ＋6.647 515．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.答案：5616．设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，则方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率为________．解析：已知点(p ，q )组成了边长为6的正方形，S 正方形＝62＝36. 由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，即p 2＋q 2≥1.所以当点(p ，q )落在“正方形内且单位圆外”的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d ＝S 正方形－S 圆＝36－π.所以原方程两根都是实数的概率为1－π36. 答案：1－π36三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． 解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．(本小题满分12分)(广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， ∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．19．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个． 所以所求的概率P ＝1－110＝910. (2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05. 20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)甲班的平均身高为 x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170， 甲班的样本方差为 s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件， 故P (A )＝410＝25.21．(本小题满分12分)目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x (百公里)与相应的油耗y (L)的几组对照数据.(1)(2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L ．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．解：(1)根据表中数据可分别求得：x ＝2.5，y ＝15.6，∑i ＝14x i y i ＝186.4，∑i ＝14x 2i ＝30.所以b ＝186.4－4×2.5×15.630－4×2.52＝6.08.a ＝15.6－6.08×2.5＝0.4. 所以回归方程为y ＝6.08x ＋0.4.(2)把x ＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L ，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.22．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.。
高中数学必修三北师大版 随机事件的概率导学案(Word版含答案)
第1课时随机事件的概率1.了解随机事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、确定事件等基本概念.2.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的定义.3.理解频率与概率的区别与联系.重点:一是事件、随机事件、频数、频率、概率的概念;二是频率与概率的区别与联系.难点:理解频率与概率的关系.在一些赌王争霸的影片中,我们经常看到两个新老赌王掷骰子或梭哈来定输赢,在掷骰子时会存在千术,比如在骰子中灌入铅.请指出下面三个事件分别是什么事件.①当不灌铅时,出现六点向上.②当在六点灌铅时,出现六点向上.③当在六点灌铅时,出现一点向上(注:六点的对面为一点).问题1:(1)在上面的问题中,分别对应着随机事件、不可能事件、必然事件.(2)必然事件:在条件S下(条件S可以是一个条件也可以是一组条件),一定会发生的事件叫作相对于条件S的必然事件,简称必然事件.(3)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件称为相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.(4)确定事件:必然事件与不可能事件统称为相对于S的确定事件,简称确定事件.(5)随机事件:在条件S下,可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件S的随机事件,简称随机事件.问题2:(1)随机事件的频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)= 为事件A出现的频率.(2)随机事件的概率:一般来说,随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上,这个常数可以用来度量事件A发生的可能性的大小,称为事件A的概率,记作P(A).问题3:频率和概率的区别与联系(1)区别:频率随着试验次数的改变而改变,即频率是随机的,且试验前是不确定的,而概率是一个确定的常数,是客观存在的,与试验次数无关,是随机事件自身的一个属性.(2)联系:在相同的条件下,随着试验次数的增加,随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,所以可用频率作为概率的近似值,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,概率是频率的近似值.问题4:不可能事件、必然事件、随机事件的概率若事件A是不可能事件,则P(A)=0;若事件A是必然事件,则P(A)=1;若事件A是随机事件,则P(A)∈[0,1].不可能事件、必然事件和随机事件这三个概念既有区别又有联系.在具体的每次试验中,根据试验结果可以区分三种事件.但在一般情况下,随机事件也包含不可能事件和必然事件,并且将它们作为随机事件的特例.说起概率论起源的故事,就要提到法国的两个数学家.一个叫帕斯卡,一个叫费马.帕斯卡认识的朋友中有两个是赌徒.1651年,法国一位贵族梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题.这两个赌徒说,他俩下赌金之后,约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金.赌了半天,A赢了4局,B赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.那么,这个钱应该怎么分?是不是把钱分成7份,赢了4局的就拿4份,赢了3局的就拿3份呢?或者,因为最早说的是满5局,而谁也没达到,所以就一人分一半呢?通过两人对这个问题的讨论,概率论从此就发展起来了.1.下列现象中,是随机现象的有().①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;②若a为整数,则a+1为整数;③发射一颗炮弹,命中目标;④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】当a为整数时,a+1一定为整数,是必然现象,其余3个均为随机现象.【答案】C2.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品.若用C表示抽到次品这一事件,则对C这一事件发生的说法正确的是().A.概率为B.频率为C.概率接近D.每抽10台电视机,必有1台次品【解析】10台电视机中有1台次品,连续从这10台中抽取,每次抽取一台,10次试验中必会抽到这台次品一次,故C发生的频率为.【答案】B3.某人抛出一枚硬币100次,结果正面朝上有53次,设正面朝上为事件A,则事件A出现的频数为,事件A出现的频率为.【解析】在100次试验中,随机事件A出现了53次,所以事件A的频数是53,频率为=0.53.【答案】530.534.盒中仅有4只白球5只黑球,从中任意取出一只球.(1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?(2)“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少?(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?【解析】(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生,因此它是不可能事件,其概率为0.(2)“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是.(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然发生,因此它是必然事件,它的概率是1.随机事件、不可能事件、必然事件的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.(1)明年春天雨水将会比较充沛;(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯;(3)若x∈R,则x2+1≥1;(4)抛一枚骰子两次,朝上面的数字之和大于12.【方法指导】先回顾事件的分类,再判断事件的类型,进而得出结论.【解析】由题意知:(1)(2)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;(3)中事件一定会发生,是必然事件;(4)中由于骰子朝上面的数字最大是6,两次朝上面的数字之和最大是12,不可能大于12,所以该事件不可能发生,是不可能事件.【小结】事件的分类主要是根据事件发生可能性的大小来确定,有些事件需要进行适当地推理.用频率估计概率(1)填写表中击中靶心的频率.(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率大约是多少?(3)若该射手在一次射击训练中射中靶心的次数为22次,你估计该射手这次训练射击了多少次?【方法指导】(1)频率=;(2)概率可用频率来估计;(3)射击次数=≈.【解析】(1)表中依次填入的数据:0.8,0.95,0.9,0.875,0.88,0.85.(2)由于频率稳定在常数0.88附近,所以射手射击一次,击中靶心的概率约是0.88.(3)设射击了x次,则≈0.88,x≈25次.【小结】随机事件发生的概率是大量试验下的频率的近似值,是一个确定的数,故可用大量试验下的频率来估计.随机试验的结果判断指出下列试验的结果:(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.【方法指导】按照顺序列出所有抽取小球的结果;根据抽取两数作差是有顺序的,因此列出抽取的所有结果作差.【解析】(1)结果:红球,白球;红球,黑球;白球,黑球.(2)结果:1-3=-2,3-1=2,1-6=-5,6-1=5,1-10=-9,10-1=9,3-6=-3,6-3=3,3-10=-7,10-3=7,6-10=-4,10-6=4.即试验的结果为-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4.【小结】在解答本题的过程中,易出现结果重复或遗漏的错误,导致这种错误的原因是没有按一定的顺序列出结果.判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?(1)“抛一石块,下落”;(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;(3)“某人射击一次,中靶”;(4)“如果a>b,那么a-b>0”;(5)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;(6)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”.【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知,事件(1)、(4)是必然事件;事件(2)是不可能事件;事件(3)、(5)、(6)是随机事件.口袋里有10个黑球和若干白球,现不许将球倒出来数,王兰从口袋里随机摸出一个球,记下其颜色,再把它放回口袋中,不断重复上述过程,她总共摸了200次,其中有45次摸到黑球,你估计口袋中的白球个数为多少?【解析】设口袋里有白球x个,则口袋里共有球(10+x)个,于是王兰每次摸一球,记下颜色放回,均匀后再摸一个记颜色,这样摸到黑球的概率P=,实验中摸到黑球的频率为F=,∵P≈F,∴≈,解得x≈34,∴估计口袋中有白球34个.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.(1)从中任取1球;(2)从中任取2球.【解析】(1)条件为从袋中任取1球.结果为红、白、黄、黑,共4种.(2)条件为从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球.结果为(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑),共6种.1.下列说法正确的是().A.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定【解析】A中应是[0,1];B中f(A)=,n为试验次数;D中概率不受试验的影响.【答案】C2.12个同类产品中含有2个次品,现从中任意抽出3个,必然事件是().A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品【解析】A,B都是随机事件;因为只有2个次品,所以“抽出的3个全是次品”是不可能事件;“至少有一个是正品”是必然事件.【答案】D3.将一枚硬币连续抛掷3次记录朝上一面的正反情形,可能出现的结果共有个.【解析】分别为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反),共8种结果.【答案】84.根据上表所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格产品,大约需要抽取多少件产品?【解析】5次抽查的合格频率分别为0.94,0.92,0.96,0.95,0.953,则合格概率估计为0.95.设若想抽到950件合格品,大约抽n件产品,则=0.95,所以n=1000.(2013年·重庆卷)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为().A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6【解析】由茎叶图可知数据落在区间[22,30)的频数为4,所以数据落在区间[22,30)的频率为=0.4.【答案】B。
2021年高中数学第三章概率 学案北师大版必修3
3 ③做 10 次抛硬币的试验，结果 3 次正面朝上，因此正面朝上的概率为 ；
10
④某厂产品的次品率为 2%，但该厂的 50 件产品中可能有 2 件次品．
其中错误说法的序号是①②③.
解析：(1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以 A
不正确；中奖概率为 0.2 是说中奖的可能性为 0.2，当摸 5 张票时，可能都中奖，也可能中
类型一 频率与概率的联系与区别
【例 1】 下列关于概率和频率的叙述正确的有______________． (把符合条件的所有答案序号填在横线上) ①随机事件的概率具有稳定性，是一个具体的数值，而频率不是一个固定的数值 ② 随机事件的频率是一个在区间(0,1)上的随机数字，没有任何规律 ③概率可以看作频率在理 论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前 提下可近似地看作这个事件的概率 【解析】 本题考查概率和频率之间的联系与区别，随机事件的频率，指此事件发生 的次数与试验总次数的比值，它虽然不是一个固定的数值，会在某一个常数附近摆动，但是 随着试验次数的增加，这种摆动幅度越来越小，也逐渐接近概率． 【答案】 ①③ 规律方法 频率与概率的区别与联系：
8 【解】 (1)可以选择 B，猜“不是 4 的整数倍数”．“不是 4 的整数倍数”的概率为
10 6 ＝0.8，而“是大于 4 的数”的概率为 ＝0.6，虽然它们都超过了 0.5，但 0.8>0.6，故乙选 10 择 B 方案并猜“不是 4 的整数倍数”可以尽可能大地获胜． (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案 A.因为方案 A 猜“是奇数”或“是偶数” 的概率均为 0.5，从而保证了该游戏是公平的． (3)可以设计为：猜“是大于 5 的数”或“不是大于 5 的数”，这样也可以保证游戏的 公平性． 规律方法 解决生活中的公平性问题的策略 尽管随机事件的发生具有随机性，但是大量重复这一过程时，可用概率的知识对游戏 的公平性作出决策．解题时注意分析数据总数和某事件包含的数据个数，计算出频率，进而 估计出概率，对结果进行判断．
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3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；（巧妙的运用这一性质可以简化解题）
4）互斥事件与对立事件的区别与联系：我们可以说如果两个事件为对立事件则它们一定互斥，而互斥事件则不一定是对立事件
3.古典概型
（1）正确理解古典概型的两大特点：
1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
4.几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
§3.4第三章复习
授课
时间
第周星期第节
课型
复习课
主备课人
学习
目标
1．掌握概率的基本性质
2．学会古典概型和几何概型简单运用
重点难点
重点古典概型、几何概型的相关知识点
难点古典概型、几何概型的具体应用
学习过程Leabharlann 与方法自主学习
1.本章的知识建构如下：
2.概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）= ；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
5.古典概型和几何概型的区别相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
精讲互动
例1、柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率
（1）取出的鞋子都是左脚的;
（2）取出的鞋子都是同一只脚的
（选作）变式：（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；
（2）取出的鞋不成对
例2、取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
达标训练
1.课本p161复习题三A组：1 2 3 4 5 6
2.教辅资料
作业
布置
1.复习题三A组：7、8、9、10、11
2.教辅资料
学习小结/教学
反思