步步高2015大二轮数学第四篇 高考中档大题规范练(四)

高考中档大题规范练(四)
——概率与统计
(推荐时间：70分钟)
1．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．
其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 其平均数为x 甲＝1015＝23
；
方差为s 2
甲＝
115⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝2
9.
乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为x 乙＝915＝3
5
；
方差为s 2
乙＝
115⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝6
25.
因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2
乙，
所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记事件E ＝{恰有一组研发成功}．
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )共7个． 故事件E 发生的频率为715.
将频率视为概率，
则得所求概率为P (E )＝7
15.
即恰有一组研发成功的概率为7
15
.
2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．
(1)求点P (x ，y )在直线y ＝x －2上的概率； (2)求点P (x ，y )满足y 2<2x 的概率． 解 每枚骰子出现的点数都有6种情况， 所以基本事件总数为6×6＝36(个)．
(1)记“点P (x ，y )在直线y ＝x －2上”为事件A ， 则事件A 有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)， 所以P (A )＝436＝1
9
.
(2)记“点P (x ，y )满足y 2<2x ”为事件B ，
则事件B 有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， 所以P (B )＝1236＝1
3
.
3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3
4.假设两人射击是否击中目标，相互
之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？
解 (1)甲至少一次未击中目标的概率为 P 1＝P 1(1)＋P 1(2)＋P 1(3)＋P 1(4) ＝1－P 1(0)＝1－(23)4(13)0＝65
81.
(2)甲射击4次恰击中2次的概率为 P 2＝C 24(23)2(13)2
＝827
，
乙射击4次恰击中3次的概率为 P 3＝C 34(34)3×14＝2764， 由乘法公式，所求概率
P ＝P 2·P 3＝827×2764＝1
8
.
(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为 P ＝(34)3(14)2＋C 12
(34)2(14)3＝451 024
. 4．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
(1)根据表中数据，面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：
P (
2
≥k ) 解 (1)将2×22
＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20
＝
100
21
≈4.762. 因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．
其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．
用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}． 事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710
.
5．某市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸
福全市”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：
(1)求这50(2)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民的人数，求ξ的分布列． (3)从这50位市民中，先随机选一个人，记他的幸福指数为m ，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n ，求n <m ＋60的概率P .
解 (1)记E (X )表示这50位市民幸福指数的数学期望，则E (X )＝1
50(90×19＋60×21＋30×7
＋0×3)＝63.6.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03(45)0(15)3＝1
125； P (ξ＝1)＝C 13(45)1(15)2＝12125； P (ξ＝2)＝C 23(45)2(15)1＝48125； P (ξ＝3)＝C 33(45)3(15)0＝64125. 所以ξ的分布列为
(3)基本事件的总数为A 250满足条件n <m ＋60的有如下各种情况：
①满足m ＝0时，n ＝0,30的事件数为：A 13A 19，
②满足m ＝30时，n ＝0,30,60的事件数为：A 17A 130，③满足m ＝60时，n ＝0,30,60,90的事件数为：A 121A 149
④满足m ＝90时，n ＝0,30,60,90的事件数为：A 119A 149， 所以P ＝A 13A 19＋A 17A 130＋A 121A 149＋A 119A 1
49
A 250
＝
3×9＋7×30＋21×49＋19×4950×49
＝2 197
2 450. 6．(2014·江苏)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完
全相同．
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P . (2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的
个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数．求X 的分布列和数学期望E (X )．
解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，
所以P ＝C 24＋C 23＋C 2
2C 2
9＝6＋3＋1
36＝518
， 即取出的2个球颜色相同的概率为5
18.
(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.
{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”， 故P {X ＝4}＝C 44
C 49＝1126
；
{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16
C 4
9＝20＋6126＝1363
； 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝11
14.
所以随机变量X 的分布列如下表
因此随机变量X 的数学期望 E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝20
9
.。