2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题三第3讲平面向量

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2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题3_第3讲_平面向量(含答案)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
（2）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是()
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0)
（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．平面向量的三个性质
（1）若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
（2）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
（3）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.
热点一平面向量的概念及线性运算
例1（1）(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()
思维启迪(1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与＝m＋n对应．
思维升华对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
（1）(2014·江苏) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
（2）已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是________．
热点三平面向量与三角函数的综合
例3已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.

2015年高考数学平面向量(理)

平面向量1.【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B)1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1433AB AC -+u u ur u u u r ，故选A.2.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o,则BD CD ⋅=u u u r u u u r （）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a 错误!未找到引用源。

（D ）232a 错误!未找到引用源。

【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=o u u u r u u u r u u u r .故选D.3.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b r r，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ⋅≤r r r rB ．||||||||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+r r r r D ．22()()a b a b a b +-=-r r r r r r【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤r r r r r r r r ，所以选项A 正确；当a r 与b r方向相反时，a b a b -≤-r r r r 不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b a b +-=-r r r r r r ，所以选项D 正确．故选B ．4.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r .若点M ，N 满足3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+u u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，选C.5.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（） A.4πB.2πC.34πD.π【答案】A6.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r，C 2a b A =+u u u r rr ，则下列结论正确的是（）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=r r （D ）()4C a b +⊥B u u u r rr【答案】D【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=u u u r u u u r u u u r r r r r ，则||2b =r ，故A 错误；|2|2||2a a ==r r ，所以||1a =r，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=ou u u r u u u r r r r r r r ，所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，且AD BC ⊥u u u r u u u r ，而22(2)4AD a a b a b =++=+u u u r r r r r r，所以()4C a b +⊥B u u u r rr ，故选D.7.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =u u u r （，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-u u u r =（，-4)，1PC -u u u r =（，t-4)，因此PB PC ⋅u u u r u u u rxy BCAP11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t +≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t=，即12t =时取等号． 8.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x = ；y = ．【答案】11,26-9.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，则OA OB •=u u u r u u u r .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA .10.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的最小值为 .【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=u u u r u u ur 12DC AB =u u u r u u u r ，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AE AB BE AB BC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为2918. BAD C E11.【2015高考浙江，理15】已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r ，则0x = ，0y = ，b =r．【答案】1，2，22.12.【2015高考新课标2，理13】设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．13.【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=L ，则11k =∑(a k g a k+1)的值为【答案】93 【解析】 a k g a k+1(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=+⋅+ (1)(1)(1)coscos (sin cos )(sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=++⋅+(1)(1)(1)(1)(1)(coscos sin sin )(sin cos cos sin )cos cos 6666666666k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++22(1)3231cos sincos cos sin cos cos sin66662626266k k k k k k k ππππππππππ+++=++=++- 3231sin (1cos )sin 264343k k k ππππ+=+++-3321(21)sin cos4626k k πππ++=++ 因为21(21)sin cos 626k k πππ++，的周期皆为6，一个周期的和皆为零，因此11k =∑(a k g a k+1)3312934=⨯=. 14.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-15.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.。

2015届高考数学二轮复习专题训练试题：平面向量(6).pptx

学海无涯
平面向量（6） 1、
2、设 G 是△ABC 重心，且 3、给定两个长度为 1 的平面向量上运动，若
，则 = .
，它们的夹角为
，如图所示，点 C 在
为圆心的圆弧
的取值范围是．
4、已知△ABC 所在平面内一点 P（P 与 A、B、C
都不重合），且满足
ACP 与△BCP 的面积之比为
.
，则△
5、如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是边 BC 上一点，DC＝2BD，则
斜坐标系；在平面斜坐标系
中，若
（其中、分别是斜坐标系轴、轴正方
向上的单位向量，
，为坐标原点），则有序实数对
称为点的斜坐标. 如图所示,在平
面斜坐标系
中，若
斜坐标系中的坐标是
，点
，为单位圆上一点，且
，点在平面
A.
B.
C.
D.
学海无涯
31、已知 A、B 是直线上任意两点，O 是外一点，若上一点 C
（Ⅱ）设抛物线的顶点为，焦点为，构造直线交抛物线于不同两点、，构造直线、
分别交准线于、两点，构造直线、．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点，
恒有
.请你证明这一结论．
学海无涯
（Ⅲ）为进一步研究该抛物线的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点 ”改变为其
它“定点
③
其中，具有性质 P 的映射的序号为
。（写出所有具有性质 P 的映射的序号）
学海无涯 18、在△ABC 中有如下结论：“若点 M 为△ABC 的重心，则
”，设 a，b，c 分别
为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，点 M 为△ABC 的重心.如果的大小为；若 a＝3，则△ABC 的面积为。

2015届高考数学二轮复习专题讲解课件第三讲平面向量(选择、填空题型)

半径，即 3－12＋0＋ 32＋1＝1＋ 7.
[答案] (1)A (2)A (3)1＋ 7
高考专题辅导与测试·数学
第二十六页，编辑于星期五：十点三分。
创新方案系列丛书
在平面向量与解析几何的综合问题中，难点是如何把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解析几何问题，破解难点的方法是先根据平面向量知识把向量表述的解析几何问题的几何意义弄明白，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决．
法二：易知 c 是以 ma，b 为邻边的平行四边形的对角线向量，因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b|＝2|a|，故 m＝2.
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4．(2014·陕西高考)设 0<θ<π2，向量 a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ， 1)，若 a∥b，则 tan θ＝________.
量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a ＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2 是一组基底．
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2．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的三个性质
AD＝5，
则
的值是________．
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1．平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A．32-B．53-C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（）A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB+取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7.(2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ()（A）(7,4)--（B）(7,4)（C）(1,4)-（D）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC=-（C ）4133AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A）232a -（B）234a -（C）234a （D）232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M，N 满足3BM MC =，2DN NC = ，则AM NM ⋅= （）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝()(A )2(B )3(C )4(D )6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16.(2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π(B)2π(C)32π(D)65π【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.平面向量

广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编平面向量1（2015届潮州市）已知)2,1(-A ，)1,(-a B ，)0,(b C -三点共线，其中0,0>>b a ，则ba 21+的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 2（2015届佛山市）已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（）A ．3-B ．3-C ．3D ．3 3（2015届广州市）设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=A .0B .9C .18D .364（2015届广州市）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ． 5（2015届惠州市）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )A ．3B ．7C ．19D ．23 6（2015届揭阳市）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为A ．43 B ．413 C ．49- D ．4 7（2015届茂名市）在△ABC 中,54sin =A ,6=∙AC AB ,则△ABC 的面积为（）. A ．3 B ．125 C ．6 D ．4 8（2015届深圳市）平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．29（2015届湛江市）若平面向量()1,2a =- 与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(- 10（2015届肇庆市）已知向量)4,2(=a ，)1,1(-=b ，则=-b a 2A ．（3，7）B ．（3，9）C ．（5，7）D ．（5，9）答案：D A C 5- B A D A B C。

高考数学复习专题三第3讲平面向量课件理

＝ 17－15sin 2β≤4 2. 又(3)当证明β＝－由π4时tan，α等tan号β成＝立16，得所4sc以ions|βbα＋＝c4|s的cion最sαβ大，值为 4 2 所以 a∥b.
归纳拓展向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．
∴P→A＋3P→B＝52D→A＋(3－4x) D→C，
|P→A＋3P→B|2＝245D→A2＋2×52×(3－4x) D→A·D→C＋(3－4x)2·D→C2
＝25＋(3－4x)2D→C2≥25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.
考点整合
1．向量的概念 (1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±|aa|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的一个方向向量．
解
(1)m·n＝
3sin
x 4cos
4x＋cos
2x 4
＝
3 2 sin
2x＋12·cos
2x＋12＝sin(2x＋6π)＋12.
又∵m·n＝1，∴sin(2x＋6π)＝12.
cos(x＋π3)＝1－2sin2(2x＋6π)＝12，
cos(23π－x)＝－cos(x＋π3)＝－12.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
(1)解因为 a 与 b－2c 垂直，所以 a·(b－2c) ＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此 tan(α＋β)＝2. (2)解由 b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b＋c|＝ (sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2

2015年高考数学试题分类汇编F单元平面向量

数学F 单元平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 2．F1[2015·四川卷] 设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x ,6)共线,则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．B [解析] 由向量a ,b 共线,得2×6－4x ＝0,解得x ＝3,选B.2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ] 已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →＝(－4,－3),则向量BC →＝( ) A ．(－7,－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)2．A [解析] AB →＝(3,1),BC →＝AC →－AB →＝(－4,－3)－(3,1)＝(－7,－4)．2．F1[2015·四川卷] 设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x ,6)共线,则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．B [解析] 由向量a ,b 共线,得2×6－4x ＝0,解得x ＝3,选B.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 6．F2[2015·江苏卷] 已知向量a ＝(2,1),b ＝(1,－2),若m a ＋n b ＝(9,－8)(m ,n ∈R ),则m －n 的值为________．6．－3 [解析] 因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,－8),所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ] 已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →＝(－4,－3),则向量BC →＝( ) A ．(－7,－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)2．A [解析] AB →＝(3,1),BC →＝AC →－AB →＝(－4,－3)－(3,1)＝(－7,－4)．4．F2、F3[2015·全国卷Ⅱ] 向量a ＝(1,－1),b ＝(－1,2),则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．C [解析] 2a ＋b ＝2(1,－1)＋(－1,2)＝(1,0),所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1,－1)＝1. 9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B [解析] 方法一：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0),|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|,又|PB →|≤|PO →|＋1＝3,所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7,故最大值为7,选B.方法二：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,令A (cos x ,sin x ),B (cos (x ＋α),sin (x ＋α)),C (－cos x ,－sin x ),0<α<π,则P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6,sin(x ＋α)), |P A →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7,故选B. F3 平面向量的数量积及应用 4．F2、F3[2015·全国卷Ⅱ] 向量a ＝(1,－1),b ＝(－1,2),则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．C [解析] 2a ＋b ＝2(1,－1)＋(－1,2)＝(1,0),所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1,－1)＝1. 6．A2,F3[2015·北京卷] 设a ,b 是非零向量．“a·b ＝|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] 根据数量积的定义,a ·b ＝||a ·||b cos θ,由a ·b ＝||a ·||b 可得cos θ＝1,根据向量所成角的范围得到θ＝0,所以a ∥b ；若a ∥b ,可得向量a 与向量b 共线,即所成的角为0或π,所以a ·b ＝±||a ·||b ,故选A. 13．H4、F3[2015·山东卷] 过点P (1,3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A ,B ,则P A →·PB →＝________．13.32 [解析] 如图所示,|P A |＝|PB |＝3,|OP |＝2,|OA |＝1,且P A ⊥OA ,∴∠APO ＝π6,即∠APB ＝π3,∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos ∠APB ＝3×3×cos π3＝32.8．F3[2015·陕西卷] 对任意平面向量a ,b ,下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b|≤|a||b| B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b|2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 8．B [解析] 根据数量积的定义知a·b ＝|a||b|cos 〈a ,b 〉,所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a ,b 〉|≤|a||b |,选项A 中的关系式一定成立；如果选项B 中的关系式成立,则|a －b|2≤||a|－|b||2,可得a·b ≥|a||b|,此式只可能在a ,b 共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知,选项C,D 中的关系式是恒成立的．20．F3,H5,H8[2015·四川卷] 如图1-3,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点．是否存在常数λ,使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在,求λ的值；若不存在,请说明理由．图1-320．解：(1)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,－b ),(0,b )．又点P 的坐标为(0,1),且PC →·PD →＝－1,于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2,b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1,A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0, 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1,x 1x 2＝－22k 2＋1.从而OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以,当λ＝1时,－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时,OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD .此时,OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1,使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.13．F3[2015·浙江卷] 已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1,则|b |＝________．13.233 [解析] 令b ＝x e 1＋y e 2(x ,y ∈R ),b ·e 1＝x e 1·e 1＋y e 2·e 1＝x ＋12y ＝1,b ·e 2＝x e 1·e 2＋y e 2·e 2＝12x ＋y ＝1,解得x ＝y ＝23,则b ＝23(e 1＋e 2),所以b 2＝49(e 1＋e 2)2＝49(e 21＋2e 1·e 2＋e 22)＝43,故|b |＝2 33. 7．F3[2015·重庆卷] 已知非零向量a ,b 满足|b|＝4|a|,且a ⊥(2a ＋b ),则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π67．C [解析] 由已知得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0,即a ·b ＝－2a 2,所以cos 〈a ,b 〉＝a ·b|a ||b |＝－2a 24a 2＝－12,所以〈a ,b 〉＝2π3. 9．F3[2015·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB →＝(1,－2),AD →＝(2,1),则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．29．A [解析] 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AC →＝AB →＋AD →＝(1,－2)＋(2,1)＝(3,－1),所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5,故选A.11．F3[2015·湖北卷] 已知向量OA →⊥AB →,|OA →|＝3,则OA →·OB →＝________． 11．9 [解析] 根据题意作出图形,如图所示．设向量OA →,OB →的夹角为θ,则OA →·OB →＝||OA →||OB→cos θ.因为OA →⊥AB →,所以||OB →cos θ＝||OA →,所以OA →·OB →＝||OA →2＝9. 14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2,…,12),则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．14．93 [解析] 因为a k ·a k ＋1＝cosk π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎡⎦⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cosk π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334,所以k ＝011(a k ·a k ＋1)＝12×334＋12k ＝011c os （2k ＋1）π6＋k ＝011s in （2k ＋1）π6＝9 3.F4 单元综合7．F4[2015·福建卷] 设a ＝(1,2),b ＝(1,1),c ＝a ＋k b .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.327．A [解析] c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(1＋k ,2＋k ),因为b ⊥c ,所以b ·c ＝1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝3＋2k ＝0,所以k ＝－32.9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B [解析] 方法一：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0),|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|,又|PB →|≤|PO →|＋1＝3,所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7,故最大值为7,选B.方法二：因为A ,B ,C 均在单位圆上,且AB ⊥BC ,所以A ,C 为直径的端点,令A (cos x ,sin x ),B (cos (x ＋α),sin (x ＋α)),C (－cos x ,－sin x ),0<α<π,则P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6,sin(x ＋α)), |P A →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7,故选B. 13．F4[2015·天津卷] 在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB ＝2,BC ＝1,∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →＝23BC →,DF →＝16DC →,则AE →·AF →的值为________．13.2918 [解析] 根据题意,AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝AB →＋23BC →·AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋16AB →·DC →＋23BC →·AD →＋19BC →·DC →＝1＋13＋13－118＝2918. 15．F4[2015·安徽卷] △ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.15．①④⑤ [解析] 由AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,得a ＝12AB →,b ＝AC →－2a ＝BC →,④正确；|a |＝12|AB→|＝1,①正确；|b |＝|BC →|＝2,②错误；且a 与b 的夹角为120°,故a ·b ＝1×2×cos 120°＝－1,③错误；(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2＝－4＋4＝0,⑤正确．10．[2015·泉州五校联考] 在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AD ⊥AB ,AD ＝DC ＝2,AB ＝3,点M 是梯形ABCD 内(包括边界)的一个动点,点N 是CD 边的中点,则AM →·AN →的最大值是________．10．6 [解析] 以A 为原点,分别以AB →,AD →所在的方向为x 轴、y 轴的正方向,建立平面直角坐标系,可得A (0,0),B (3,0),C (2,2),D (0,2),N (1,2),则直线BC 的方程为y ＝－2x ＋6.由题易知,当AM →·AN →取得最大值时,点M 在线段BC 上,故设M (λ,－2λ＋6)(2≤λ≤3),可得AM →＝(λ,－2λ＋6),AN →＝(1,2),∴AM →·AN →＝λ＋2×(－2λ＋6)＝12－3λ.∵2≤λ≤3,∴当λ＝2时,AM →·AN →取得最大值6.7．[2015·丽水一模] 已知P 是边长为2的正方形ABCD 内的点,若△P AB ,△PBC 的面积均不大于1,则AP →·BP →的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－1,1)C ．0,12 D.12,327．B [解析]以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系(如图所示),则B (2,0),C (2,2)．设P (x ,y ),0<x <2,0<y <2.由△P AB ,△PBC 的面积均不大于1,得0<y ≤1,1≤x <2,则AP →·BP →＝x (x －2)＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1.又(x －1)2＋y 2表示平面区域0<y ≤1,1≤x <2内的点P (x ,y )与点(1,0)间的距离的平方,所以AP →·BP →的取值范围是(－1,1)． 9．[2015·辽宁师大附中模拟] 已知a ,b 是单位向量,且a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1,则|c|的取值范围是________．9．[2－1,2＋1] [解析] 由a ,b 是单位向量,且a·b ＝0,可设a ＝(1,0),b ＝(0,1),c ＝(x ,y )． ∵向量c 满足|c －a －b|＝1,∴（x －1）2＋（y －1）2＝1,即(x －1)2＋(y －1)2＝1.该方程表示圆心为(1,1),半径为1的圆,∴2－1≤|c |＝x 2＋y 2≤2＋1,∴|c |的取值范围是[2－1,2＋1]．4．[2015·湛江调研] 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量OA →＝a ,OB →＝b ,其中a ＝(3,1),b ＝(1,3)．若OC →＝λOA →＋μOB →,且0≤λ≤μ≤1,则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )4．D [解析] 当λ＝μ＝1时,OC →＝λa ＋μb ＝a ＋b ＝(4,4),故可以排除C.当λ＝μ＝0时,OC→＝λa ＋μb ＝(0,0),故可以排除 B.当μ＝13,λ＝12时,OC →＝λa ＋μb ＝12a ＋13b ＝116,32,故可以排除A.故选D.。

【金版学案】2015届高考数学二轮复习第三讲平面向量

【金版学案】2015届高考数学二轮复习第三讲平面向量一、选择题1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：解法一由|a ＋b |＝|a －b |，平方可得a·b ＝0, 所以a ⊥b .故选B. 解法二根据向量加法、减法的几何意义可知|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b .故选B.答案：B2. (2014·卷)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)解析：因为2a ＝(4，8)，所以2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．故选A. 答案：A3．设向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －b )＝0，则a 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案：B4．(2014·某某卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3解析：因为cos a ，b ＝a ·b |a |·|b |，所以cos π6＝3＋3m232＋m 2，解得m ＝ 3.故选B.答案：B5．已知：OA →＝(－3，1)，OB →＝(0，5)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，294D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－294解析：设点C (x ，y )， AC →＝OC →－OA →＝(x ＋3，y －1)，∵AC →∥OB →，∴x ＋3＝0.∴x ＝－3. 又BC →＝OC →－OB →＝(x ，y －5)，AB →＝(3，4)，又∵BC →⊥AB →， ∴3x ＋4(y －5)＝0. ∴y ＝294.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294. 答案：B6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β，若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |＞0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a∘b ＝( )A.12 B ．1 C.32 D.52解析：解法一因为b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ≤cos θ＜1，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，所以b ∘a ＝12.|b ||a |＝12cos θ，所以a ∘b ＝|a ||b |cos θ＝2cos2 θ＜2，且a ∘b ＝2cos2 θ＞1，所以1＜a ∘b ＜2，故有a ∘b ＝32.故选C.解法二 a ∘b ＝|a ||b |cos θ＝k 12，b ∘a ＝|b ||a |cos θ＝k 22，两式相乘得cos2 θ＝k 1k 24，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，k 1，k 2均为正整数，于是22＜cos θ＝k 1k 22＜1，所以2＜k 1k 2＜4，所以k 1k 2＝3，而|a |≥|b |＞0，所以k 1＝3，k 2＝1，于是a ∘b ＝32，选C.答案：C二、填空题 7．(2014·某某卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.答案：228．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．解析：如图，作DF ⊥AB 交AB 延长线于D ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62.由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，故x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32329．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则点D 的坐标为________．解析：平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝OB →－OA →＝OC →－OD →⇒OB →＋OD →＝OA →＋OC →，∴OD →＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)，即点D 坐标为(0，－2)．答案：(0，－2)三、解答题10．已知向量OP →＝(cos x ，sin x ), OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33sin x ，sin x ，定义函数f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当OP →⊥OQ →时，求锐角x 的值．解析：(1)f (x )＝－33sin x cos x ＋sin 2x ＝12－33⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝12－33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．(2)当OP →⊥OQ →时，f (x )＝0，即12－33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0,sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝32，又π3<2x ＋π3＜4π3，故2x ＋π3＝2π3，故x ＝π6.11．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值．解析：(1)∵a 与b 互相垂直，则a·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2 θ＋cos2 θ＝1得sin θ＝±255，cos θ＝±55，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵0＜φ＜π2，0＜θ＜π2，∴－π2＜θ－φ＜π2.∴cos(θ－φ)＝1－sin2（θ－φ）＝31010. ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22.。

2015年_2018年高考真题第五章平面向量

第五章平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →1.A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3.B [法一若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]5.（2017•浙江,15）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________． 5. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=，| ﹣ |=，则x 2+y 2=10（x 、y≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，令z=x+y ，则y=﹣x+z ，则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以z max =×=．综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．6.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m ，n ∈R ），则m+n=________．6. 3 如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos （α+45°）=（cosα﹣sinα）= ．sin （α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B．∵ =m +n （m ，n ∈R ），∴=m ﹣n ，=0+n ，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.8.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]9.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.9.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.]10.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.10.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________.11.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]12.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.12.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017•北京,6）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. A ，为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量，共线且方向相反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．∴ ，为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．故选A ．2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A.3B.2C.D.22. A 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.3.（2017•浙江,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD 交于点O，记I1= •，I2= •，I3= •，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I33. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选C．4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+ ）的最小值是（）A.﹣2B.﹣C.﹣D.﹣14. B 建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0，），B （﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则=（﹣x ，﹣y ），=（﹣1﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ），则 •（ + ）=2x 2﹣2y+2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ，故选B.5.(2016·四川，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋23345.B[由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ，同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心. DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.6.(2016·山东，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－946.B[∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°7.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6 D.88.D[由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]9.(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a29.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]10.(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]11.(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.611.C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]12.(2015·福建，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2112.A [建立如图所示坐标系，则B⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t－1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]13.(2015·重庆，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π 13.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]14.(2015·陕西，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b214.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.515.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,① 同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ① －②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]16.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B. 2 C.1 D.2216.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.]17.(2014·天津，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71217.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________． 18. ∵向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴=+4 • +4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2．19.（2017•山东,12）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与 +λ的夹角为60°，则实数λ的值是________．19. ，是互相垂直的单位向量，∴| |=||=1，且 • =0；又 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（ +λ）=| ﹣|×|+λ|×cos60°，即 +（ ﹣1） •﹣λ= ××，化简得﹣λ=×× ，即 ﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：． 20.（2017·天津,13）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2，=λ﹣ （λ∈R ），且 =﹣4，则λ的值为________．20.如图所示，△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ， ∴ = += += + （ ﹣ ）= + ，又 =λ﹣ （λ∈R ）， ∴ =（ + ）•（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ）•﹣+λ=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．21.(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.21.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]22.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.22.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]23.(2015·浙江，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.23.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 24.（2017•江苏,16）已知向量 =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣ ），x ∈[0，π]．（Ⅰ）若 ∥ ，求x 的值；（Ⅱ）记f （x ）=，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．24.（Ⅰ）∵ =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣）， ∥ ，∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx=，∵x ∈[0，π]， ∴x=，（Ⅱ）f （x ）= =3cosx ﹣ sinx=2 （ cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+ ），∵x ∈[0，π]，∴x+ ∈[ ， ]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x= 时，f （x ）有最小值，最大值﹣225.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sin x ，cosx )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.25.解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.26.(2014·北京，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.26. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝5.]27.(2014·江西，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 27.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]28.(2014·湖北，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.28.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]29.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.29.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD→－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]。

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第3讲平面向量考情解读 1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力．1．平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a |a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.热点一平面向量的概念及线性运算例1 (1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)(2)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0)思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与OC →＝mOA →＋nOB →对应．答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．(2)依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.思维升华对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．(1)(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.答案 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．方法一因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.热点二平面向量的数量积例2 (1)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49(2)(2013·重庆)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72 C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2 思维启迪 (1)图O 的半径为1，可对题中向量进行转化FD →＝FO →＋OD →，FE →＝FO →＋OE →； (2)利用|OP →|<12，寻找OP →，OA →的关系．答案 (1)B (2)D解析 (1)∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2＋0－1＝－89.(2)∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →) ＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA →2.∵AP →＝AB 1→＋AB 2→.∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →. ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →) ＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2，∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．(1)(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________．答案 (1)22 (2)23解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)在△ABC 中，延长AG 交BC 于D ，∵点G 是△ABC 的重心，∴AD 是BC 边上的中线，且AG ＝23AD ，∵AB →·AC →＝|AB →|×|AC →|×cos 120°＝－2，∴|AB →|×|AC →|＝4，∵AG →＝23AD →，2AD →＝AB →＋AC →，∴AG →＝13(AB →＋AC →)，∴AG →2＝[13(AB →＋AC →)]2＝19[AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2]≥19[2|AB →|×|AC →|＋2×(－2)]＝49，∴AG →2≥49，∴|AG →|≥23，∴|AG →|的最小值是23.热点三平面向量与三角函数的综合例3 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得f (x )的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x 值．(2)由夹角公式及a ⊥c 可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围．解 (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34.∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝22，∴A ＝π4.∴f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12， ∵x ∈[0，π3]，∴2x ＋π4∈[π4，11π12]．∴32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 故所求范围为[32－1，2－12]．1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB →＝OB →－OA →(其中O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．2．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直． 3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．4．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系．真题感悟1．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案7＋1解析设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y ) ＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.2．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23 C.56 D.712答案 C解析 ∵AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋μDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →) ＝AB →·AD →＋μAB →·DC →＋λBC →·AD →＋λμBC →·DC → ＝2×2×(－12)＋4μ＋4λ＋2×2×(－12)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝32.①∵CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD → ＝(λμ－λ－μ＋1)CB →·CD → ＝2×2×(－12)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－23，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝13，即λμ－(λ＋μ)＝－23.②由①②解得λ＋μ＝56.押题精练1．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥P A →·PB →，则λ的取值范围是( ) A ．[12，1]B ．[2－22，1]C ．[12，1＋22]D ．[1－22，1＋22]答案 B解析因为CP →·AB →＝(AP →－AC →)·AB →＝AP →·AB →－AC →·AB →＝λAB →·AB →－AC →·AB →＝2λ－1×2×cos π4＝2λ－1，P A →·PB →＝－AP →·PB →＝－λAB →·(1－λ)AB →＝2λ(λ－1)，因为CP →·AB →≥P A →·PB →，所以2λ－1≥2λ(λ－1)，解得2－22≤λ≤2＋22，又因为P 为AB 边上的点，所以0≤λ≤1，所以2－22≤λ≤1，故选B.2．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →最小值是__________．答案－116解析因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP →)2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →最小值是－116. 3．已知向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝(32，32)，x ∈R ，函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最大值；(2)在△ABC 中，设角A ，B 的对边分别为a ，b ，若B ＝2A ，且b ＝2af (A －π6)，求角C 的大小．解 (1)f (x )＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π6)，所以f (x )的最大值为 3.(2)因为b ＝2af (A －π6)，由(1)和正弦定理，得sin B＝23sin 2A .又B ＝2A ，所以sin 2A ＝23sin 2A ，即sin A cos A ＝3sin 2A ，而A 是三角形的内角，所以sin A ≠0，故cos A ＝3sin A ， tan A ＝33，所以A ＝π6，B ＝2A ＝π3，C ＝π－A －B ＝π2.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是a ∥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析设向量a ，b 的夹角为θ，若|a ·b |＝||a ||b |cos θ|＝|a ||b |，cos θ＝±1，则a ∥b ；若a ∥b ，则cos θ＝±1，从而|a ·b |＝||a ||b |cos θ|＝|a ||b |，“|a ·b |＝|a ||b |”是a ∥b 的充要条件．2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，AP →·BP →取最小值时P 点坐标是( ) A ．(－3,0)B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(3,0)答案 D 解析依题意设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时AP →·BP →取得最小值1.此时P 点坐标为(3,0)．3．已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝π3，则|a ＋b |为( ) A ．9B ．7C ．3 D.7 答案 D解析 |a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝5＋2×1×2×12＝7，所以|a ＋b |＝7. 4．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →| ＝12×5×25＝5. 5．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0] 答案 D解析以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤2，BP →·AM →＝(x －2，y )·(1,1)＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值范围是[－2,0]．6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.925答案 C解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 二、填空题7．在Rt △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，D 在边BC 上，BD ＝23，则AB →·AD →＝________. 答案 23解析 ∵Rt △ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，∴∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，∵BD ＝23，BC ＝2，得到BD BC ＝13，∴BD →＝13BC →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AC →＋23AB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(13AC →＋23AB →)＝13AB →·AC →＋23AB →2＝0＋23×12＝23. 8．(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)， ∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.9．已知e 1，e 2为相互垂直的单位向量，若向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的夹角等于60°，则实数λ＝________.答案 2±3解析因为e 1，e 2为相互垂直的单位向量，则不妨设e 1，e 2分别为直角坐标系中x ，y 轴的正方向的单位向量，则向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的坐标为(λ，1)，(1，λ)，因为向量λe 1＋e 2与e 1＋λe 2的夹角等于60°，所以由向量数量积的定义可得cos 60°＝(λe 1＋e 2)·(e 1＋λe 2)|λe 1＋e 2|·|e 1＋λe 2|⇒12＝2λλ2＋1λ2＋1⇒λ＝2±3.10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°.如图所示，点C在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x 、y ∈R ，则x ＋y的最大值是________．答案 2解析设∠AOC ＝α，则∠COB ＝90°－α，∴OC →＝cos α·OA →＋sin α·OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝sin α. ∴x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤ 2. 三、解答题11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值．解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ，即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210，故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 12．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量m ＝(cos B,2cos 2C 2－1)与向量n ＝(2a －b ，c )共线．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝23，S △ABC ＝23，求a ，b 的值．解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，m ∥n ，∴c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴sin C cos B ＝(2sin A －sin B )cos C ，sin A ＝2sin A cos C ，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12，①∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23， ∴ab ＝8，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2. 13．在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →. (1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x·y ，求k 的最小值．解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|. 又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12. 由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t ＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。