3.3模拟方法--概率的应用 学案2 高中数学必修三北师大版

§3 模拟方法——概率的应用
我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．
1．本试验的结果有多少个？ 【提示】 无数个．
2．每个试验结果出现的可能性均等吗？ 【提示】 均等．
3．它与古典概型有何区别？
【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的． 1．模拟方法
模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．
2．几何概型
向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1
的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即
P (点
M 落在G 1)＝G 1的面积
G 的面积
，
则称这种模型为几何概型．
几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．
2．计算步骤
①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；
②计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n 和m .这是计算的难点；
③利用概率公式P (A )＝
m n
计算
.
取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少
于1 m 的概率有多大？
【思路探究】 先确定概率模型为几何模型，再计算．
【自主解答】 如图所示，记A ＝{剪得的两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是
中间一段的长度，为3×1
3
＝1 m ，
故事件A 发生的概率P (A )＝1
3
.
1．解决本题借助图形更容易理解．
2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P (A )＝事件A 构成的区域长度
全部试验结果构成的区域长度
.
函数f (x )＝x 2
－x －2，x ∈[－5,5]，则任取一点x 0，求使f (x 0)≤0成立的概率． 【解】 令f (x )≤0，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，所以当所取的点x 0满足－1≤x 0≤2时，f (x 0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x 0，
使f (x 0)≤0成立的概率为3
10
.
【思路探究】 先利用图形找到点P 所落的区域，再利用面积比求概率．
【自主解答】 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，设ED ＝13AD ，则AE ＝2
3
AD .过E 作MN
∥BC ，则MN ＝2
3BC .
∴S △AMN ＝12MN ·AE ＝12×23BC ×23AD ＝49×12BC ·AD ＝4
9
S △ABC .
设事件A ：“△PBC 的面积小于3”，而点P 落在△ABC 内任一点的概率相同，当点P 落在MN 上时，
S △PBC ＝1
3
S △ABC ＝3.
当点P 落在线段MN 上部时，S △PBC >1
3S △ABC ＝3.
当P 落在线段MN 下部时，S △PBC <1
3
S △ABC ＝3.
∴事件A 的概率只与四边形BCNM 的面积有关，属几何概型．∵S △ABC ＝9，S △AMN ＝4
9
S
△ABC ＝4，
∴P (A )＝S △ABC －S △AMN S △ABC
＝9－49＝5
9.
如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P (A )＝事件A 构成的区域面积
全部试验结果构成的区域面积.
一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．
【解】 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：
区域Ω是长30 m ，宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为
30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m 2
)．
P (A )＝184600＝23
75≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率数为0.31.
1111锥M －ABCD 的体积小于1
6
的概率．
【思路探究】 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．
【自主解答】 如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1.
设M －ABCD 的高为h ， 则13×S ABCD ×h <16. 又S ABCD ＝1，
∴h <1
2，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V
正方体V 正方体＝12.
1．这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为1的正
方体，所求事件须满足V M －ABCD <1
6
，结合体积公式可确定点M 在正方体内的位置，从而解
决问题．
2．体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P (A )＝事件A 构成的区域体积
全部试验结果构成的区域体积
.
在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于1
3
棱长的概率．
【解】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于1
3
棱
长(即大于1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由
几何概型的定义，可得满足题意的概率为P ＝13
3
3＝
1
27
.
选错几何度量致误
在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，
与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．
【错解】 设“AM ＜AC ”为事件A .在边AB 上取AC ′＝AC ，在∠ACB 内任作射线CM
可看作是在线段AC ′上任取一点M ，过点C 、M 作射线CM ，则概率为P (A )＝AC ′AB ＝AC
AB
＝
22
. 【错因分析】 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C 和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件．
【防范措施】 弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键，本题基本事件的度量是∠ACB 的大小而不是线段AB 的长度．
【正解】 设“AM ＜AC ”为事件A ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的
概率为P (A )＝67.5
90
＝0.75.
几何概型的计算步骤：
判断是否为几何概型
↓
确定并计算基本事件空间
↓
计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量
↓
代入公式计算
图3－3－1
1．如图3－3－1所示，在地面上水平放置一个塑料圆盘，某人将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A 区域的概率应为( )
A.12
B.18
C.1
4
D ．1 【解析】 总区域是圆的整个区域，A 对应区域占整个圆的1
2
，所以球落在A 区域的概
率为1
2
，故选A.
【答案】 A
2．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2 m 的概率是( )
A.13
B.12
C.16
D.14 【解析】 把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳上时，灯与木杆两端的距离都大于2 m ，
故所求概率为1
3
.
【答案】 A
3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台即乘上车的概率是________．
【解析】 总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ，
∴P ＝110
.
【答案】 1
10
4．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？
【解】 记D ＝{取出10毫升种子中含有带麦锈病的种子}，
则P (D )＝取出的种子体积所有种子的体积＝10
1 000
＝0.01.
一、选择题
1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A ．0.008
B ．0.004
C ．0.002
D ．0.005
【解析】 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何。