偏导数及其在经济分析中的应用和计算方法
第六章 偏导数3
所以
∂p ∂V ∂T RT R V ⋅ ⋅ = − 2 ⋅ ⋅ = − RT = −1 . ∂V ∂T ∂p V p R pV
本例说明一个问题: 本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记 不能看作分子分母之商. 号,不能看作分子分母之商.
偏导数的几何意义
fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x,y0)在点(x0,y0)处的 是截线z=f(x,y 在点(x
xy 2 2 f ( x, y) = x + y 0 x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
在点(0,0), 有fx(0,0)=0, fy(0,0)=0, (0,0)= (0,0)= 在点(0,0), 但函数在点(0, 0)并不连续 并不连续. 但函数在点(0, 0)并不连续.
∂ z = 6 x 2 y − 9 y 2 −1 , ∂x∂y
2
∂ 2 z = 6 x 2 y − 9 y 2 −1 . ∂y∂x
∂ 2 z 及 ∂ 2 z 在区域 D 内连续 定理 如果二阶混合偏导数 , ∂y∂x ∂x∂y 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
为常数),求证: ),求证 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证: ∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ = −1 . ∂V ∂T ∂p 证
∂p 因为 p = RT , = − RT ; ∂V V V2 RT ∂V = R V= , ; p ∂T p
pV ∂T V = ; , T= ∂p R R
∂ ( ∂z ) = ∂ 2 z = f ( x, y) ∂ ∂z ∂ 2 z , ( ) = 2 = f yy ( x, y ) . yx ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y
偏导数及其在经济中的应用
称 xz 之比
Δx z Δx 的相对改变量 z 0 与自变量x的相对改变量 x
0
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退 出
Δx z z0
Δ x Δx z x 0 x0 Δx z0
x z x
2 z f (x , y ), z x xx 2 y x 2 z f (x , y ), x y xy
x
z 2z z 2z y y x f y x (x , y ), y y 2 f y y (x , y ), y
f (x 0 Δ x , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) 存在,则称 Δx
z f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 处对有x的偏导数,记为 f z f x ( x0 , y0 ) 或 , , z x x x 0 , z x (x 0 , y 0 ). x x x 0 x (x , y ) y y0
一. 偏导数的定义与计算 定义1 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 内有定义，当 y 固定在 y0 ，而 x 在 x0 处有改变量x 时，相应地，函数有改变量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) , 如果 lim
Δ x 0
f (x 0 Δ x , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) Δx
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退 出
边际 f x ( x0 , y0 )的经济含义是:在点 ( x0 , y0 ) 处,当y保持 不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变 f x ( x0 , y0 ) 个单位. 例10 某汽车生产商生产A,B两种型号的小车，其日 产量分别用x,y(单位：百辆)表示，总成本(单位：百 万元)为
8.2-4 偏导数在经济分析中的应用
第八章 多元函数微分学第2节偏导数及其在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应偏导数在经济分析中的应用一、偏边际和偏弹性偏导数在经济分析中的应用——偏边际与偏弹性与一元经济函数边际分析和弹性分析相类似，可建立多元函数的边际分析和弹性分析，称其为偏边际和偏弹性，它们在经济学中有广泛的应用.我们仅以需求函数为例予以讨论.需求函数的边际分析112212(,,)(,,)Q f P P y Q g P P y =⎧⎨=⎩可以求得六个偏导数：1112221212,,,,,Q Q Q Q Q Q P P y P P y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂商品A 的需求函数关于商品B 的价格2P 的偏边际需求.当商品A 的价格1P 和消费者的收入y 固定时，商品B 的价格变化一个单位时商品A 的需求量的近似改变量.商品A 的需求函数关于消费者收入y 的偏边际需求.当1P ，2P 固定时，消费者的收入变化一个单位时商品A的需求量的近似改变量.12Q P ∂∂：1Q y∂∂：同理可得到其他偏导数的经济意义.需求函数的偏弹性1111111101111lim P AAQ Q P Q E E Q P ∆→∆∂===∆∂1122122101121lim P BA Q Q P Q E E P P Q P ∆→∆∂===∆∂其中 111212(,,)(,,)(1,2)i i i Q Q P P P y Q P P y i ∆=+∆-=2211211202122lim AB P Q Q P Q E E P Q P P ∆→∆∂===∆∂2222222202222lim BB P Q Q P Q E E P Q P P ∆→∆∂===∆∂其中 212212(,,)(,,)(1,2)i i i Q Q P P P y Q P P y i ∆=+∆-=1111Q P Q P ∂∂1212Q P Q P ∂∂及11Q P 对的弹性12Q P 对的弹性12Q P 对的交叉弹性亦称为进一步说明：除了上述4种偏弹性，还有需求收入偏弹性 (1,2)i iy i Q y E i Q y ∂==∂偏导数在经济分析中的应用二、应用举例解:15=∂∂XY P Q 1202151510240Y Q =-⨯+⨯=10150.625.240Y X YX X Y Q P E P Q ∂=⨯=⨯=∂则时商品的交叉弹性．，求当，某商品的需求函数为例151********==+-=Y X X Y Y P P P P Q解因为121211211,,Q P Q P P P P ∂∂=-=∂∂221212122222,,Q P Q P P P P P ∂∂=-=-∂∂所以2111211211211,P Q P P E Q P P P ⎛⎫∂==⋅-=- ⎪∂⎝⎭2112112111,P Q E P Q P P ∂==⋅=∂122121211222,P Q P P E Q P P P ∂==⋅=∂222221222222121P Q P P E Q P P P ⎛⎫∂==-=- ⎪∂⎝⎭解A Q A P (1)对 的弹性为A A AAA A Q P E P Q ∂=⋅∂2225025012010A AB B AP P P P P =-⋅+--当 时，()225012025010A A B B P P P P =-+--50,5A B P P ==()2501.120502505010502510AA E =-=-⨯+-⨯-(2)对 的交叉弹性为A Q B P A B AB B A Q P E P Q ∂=⋅∂()210225012010B B B B A P P P P P =-+⋅+--当 时，50,5A B P P ==520212055025AB E =-⋅=-+--THANK YOU。
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用多元函数的偏导数是微积分中重要的概念之一，对于经济学的研究和应用具有重要意义。
本文将从多元函数的偏导数的定义及性质入手，介绍其在经济学中的应用以及相关实例。
一、多元函数的偏导数的定义及性质1. 偏导数的定义：设函数f(x1, x2, ..., xn)是一个n元函数，对于其中的某一个变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他自变量保持不变的情况下，函数f关于xi的变化率。
2. 偏导数的计算：偏导数的计算与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对当前需要求导的变量进行求导。
3. 偏导数的性质：和一元函数的导数类似，多元函数的偏导数也具有线性性、乘法法则和链式法则等性质。
二、偏导数在经济学中的应用1. 边际分析：在经济学中，边际分析是一个重要的分析方法，可以用来研究经济决策中的最优选择。
偏导数在边际分析中起到重要作用，可以表示某个变量对于函数结果的边际变化率，帮助经济学家进行最优决策。
2. 生产函数和边际生产力：生产函数是经济学中用来描述产出与投入之间关系的函数。
偏导数可以用来描述生产要素对于产出的边际贡献，即边际生产力。
通过计算偏导数，可以分析各个要素对于产出的贡献程度，帮助企业进行生产要素的最优配置。
3. 需求弹性和供给弹性：偏导数可以用来计算价格对需求和供给的影响，从而得出需求弹性和供给弹性。
需求弹性和供给弹性的计算可以帮助经济学家分析市场的价格变动对于需求和供给的影响程度，揭示市场运行的规律。
4. 对数生产函数：对数生产函数是一种常用的生产函数形式，通过对数转化使其更便于计算和分析。
在对数生产函数中，偏导数可以用来分析各个生产要素对于产出的弹性，帮助经济学家进行生产要素配置的决策。
三、偏导数在经济学中的实例1. 在边际效应理论中，偏导数用来分析边际效应的大小和方向，帮助经济学家决定某决策或政策对经济变量的影响程度，如某个产品价格变动对市场供给量的影响。
函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析
函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析
龚江涛
（ 武汉理工大学数 学系，湖北 武汉 ４ ３ ８ ０ ０ ０ ）
摘 要 ：本文主要讨论函数的导数和偏 导数在 经济学中的应用． 用一些具体例题来加深理解． 关键词 ：导数 ；偏导数 ；经济学 ；应用 数学在经济学中的运用 由来 已久。 数学当中的 种种 新的方法和新 的思想到 了近代更是大量 的涌 入 到经济学中去， 使得经济学变成了一门更加的严 谨 的学科 。本文的思路就是先给定义， 然后辅 以例 题说 明。 １导数在经济学 中的应用 １ ． １边际分析 产量增加一单位时所增大的成本， 我们把它叫 作边 际成本… ． 若产量从 增至 ＋Ａ 。 那么 ｃ （ ）
Ｌ （ ｘ ， Ｙ ） ＝ （ ５ ＋ ４ ｙ ） 一 Ｉ ２ ０ ０ ＋ ＋ ２ ｙ ＋ ０ ． ０ １ （ ２ ｘ ＋ ｘ ｙ ＋ ｙ ） ｌ
ｆ （ ． Ｙ ） ＝ ４ － ０ ． ０ １ （ ４ ｘ ＋ ｙ ） ＝ ０
（ ， ｙ ） ＝ ２ － ０ ． Ｏ ｌ （ ｘ ＋ ２ ｙ ） ＝ Ｏ
Ａ ｒ ／
一 ｌ ｈ ｎ
＝ ＿ （ ＿ ｓ ） ． ５ ０ Ｌ ５ ｐ 一
：
／ ，
１ 可知 ｐ等于 ２ ５ ・
是正的， 两种物 品中任 意一个降低价格， 都将 使其 中一个需要量 减少， 另一个需要量增加， 所 以它们 是可 以相 互替 代的． 第二种都是负的， 即降低 它们 中任何一个价格 ， 需要量 和 ｙ 都会增大． 我们就
系为： Ｌ （ ｘ ） ＝ ３ ０ ０ － １ ０ ｘ ， 求当 每月产量为 １ ０ ｔ 、 １ ５ ｔ 、
２ ０ ｔ 的边 际利润． 解 ：由边际成本的定义： 边际利润为总利润函 数 的导数 ， 表示产量为 吨时． 总利润的变化率。 依题 知：
第二节 偏导数
第二节 偏导数一、偏导数1、偏增量：设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义.当x 从0x 取得改变量),0(≠∆∆x x 而0y y =保持不变时，函数z 得到一个改变量),(),(0000y x f y x x f z x -∆+=∆,称z x ∆为函数),(y x f 在点),(00y x 对x 的偏改变量或偏增量. 类似地，定义函数),(y x f 对于y 的偏改变量或偏增量)(),(0000y x f y y x f z y -∆+=∆.对于自变量x 、y 分别从0x 、0y 取得改变量y x ∆∆,，函数的相应的改变量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆称为函数),(y x f 的全改变量或全增量.2、偏导数的概念定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义.如果当0→∆x 时，极限xy x f y x x f x z x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(lim lim000000存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记作x y x f y x f x ∂∂'),(,),(0000 或 00y y x x xz==∂∂，0y y x x xz =='同样，如果极限 yy x f y y x f yz y y y ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(limlim00000存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记作y y x f y x f y ∂∂'),(,),(0000 或 0y y x x yz==∂∂，00y y x x yz =='如果函数),(y x f z =在平面区域D 内每一点),(y x 处对x （或y ）的偏导数都存在，则函数),(y x f z =在D 内有对x （或y ）的偏导函数，简称偏导数.记作),(y x f x '，x y x f ∂∂),(，xz∂∂，x z '， ),(y x f y '，y y x f ∂∂),(，yz∂∂，y z '. （3）偏导数的求法例1 求 )2sin(2y x z =的偏导数．解:)2sin(2y x x z =∂∂, )2cos(22y x yz=∂∂ 例2 求函数2236y xy x z ++=的偏导数),(y x f x '与),(y x f y '，并求)2,1(x f '，)2,1(y f '.解：把y 看常数，得),(y x f x '=y x 62+. 把x 看成常数，得),(y x f y '=y x 66+. 于是)2,1(x f '=2×1+6×2=14，)2,1(y f '=6×1+6×2=18.例3 设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂. 证明: 因1-=∂∂y yx x z , x x yz y ln =∂∂, 所以x x xyx y x y z x x z y x y y ln ln 1ln 11+=∂∂+∂∂- y y x x +=z 2= 二、二元函数偏导数的几何意义及与函数连续的关系1、偏导数的几何意义偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.2、偏导数与函数连续的关系一元函数中在某点可导 ====>连续，但是, 多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续. 见教材例4三、高阶偏导数一般地，函数),(y x f z =的偏导数 ),(y x f x ', ),(y x f y ', 还是y x ,的二元函数.如果这两个函数对自变量x 和y 的偏导数也存在，则称这些偏导数为函数),(y x f 的二阶偏导数.记作:⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆x z x y x f x z xx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆x z y y x f y x z xy ),(2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆y z y y x f y zyy ),(22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆y z x y x f x y zyx ),(2或分别简写为 xx z ''， xy z ''， yy z ''， yx z ''. 仿此可以定义二元函数更高阶的偏导数.例如：x y x zy x z x y x zx z y x zx z x ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂3223223322,, 等. 例4求3233y x y x z -=的二阶偏导数.解： 22232232183,66,63xy x yx zy xy x z xy y x xz-=∂∂∂-=∂∂-=∂∂ 222222223183,18,9xy x xy zy x y z y x x yz-=∂∂∂-=∂∂-=∂∂ 例5 设by e u ax cos =，于是,cos by ae x u ax =∂∂ ;sin by be yu ax -=∂∂ ,cos 222by e a x u ax =∂∂ ,cos 222by e b yu ax-=∂∂,sin 2by abe y x u ax-=∂∂∂ .sin 2by abe xy u ax -=∂∂∂ 定理:如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数),(y x f xy ，),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内必有=),(y x f xy ),(y x f yx .例9 证明函数r u 1=,222z y x r ++=,满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂证明: 32211r x r x r x r r x u -=-=∂∂-=∂∂, 52343223131rx r x r r r x u +-=∂∂+-=∂∂； 同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂.∴ 033)(333352223222222=+-=+++-=∂∂+∂∂+∂∂r r r z y x r z u y u x u 四、偏导数在经济分析中的应用-交叉弹性。
偏导数在经济分析中的应用
通 过偏 导数 的定 义可 以得 出 ， 在求多元函数对某个 自变 的偏 导数 时 ， 只需把 其余 自变量 看作常数 ， 然后直 接利用 函数的求导公式及复合函数求导法则来计算。
二、 偏 导数在 经 济分析 中的应用
己 营销 策 略 。即 该 品 牌 电视 机 的销 售 量 Ｑ 是 它 的价 格 Ｐ Ａ 及 其 他 品牌 电视 机 价 格 Ｐ Ｉ ｊ 的 函数 ， 即 Ｑ Ａ ＝ ｆ （ Ｐ Ａ ， Ｐ ｎ ）
—
在 经济 学 中应 用 极 广 。
实例 １ ， 某体育用品公 司的某种产品有下列的生产 函数 ｐ （ ｘ ， Ｙ ） ＝ ２ ４ ０ ｘ ” ４ ｙ 。 ， 其中 Ｐ是 南 ｘ个人力单位和 ｙ 个 资本
） ＝１ ４４・ ３ ２ ・ｌ ０２ ４ ４ ＝３ ６
类似地， 函数 ｚ ＝ ｆ （ ｘ ， Ｙ ） 在点 （ ｙ ｏ ） 处 对 Ｙ的偏 导数 为 ｌ ｉ ｆ （ ｌ ’ ｙ Ｉ 】 ± 垒 ． ｒ （ ， ｙ ｔ 记为：
，
＝
ｄ ｙ
、ｍ
￡ Ｖ
上面的例子的经济意义是 ， 假设所花 费的资本 总数 固定
ｆ （ ｘ ｏ ＋ Ａ ， ｙ 。 ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ， 如果！ ｉ
１ ） ＿ 盟 №上 存在 ， 则
（ ２ ） ＝ ２ ４ ０・ ０ ． ４ ｘ ６ ｙ “ ９ ６ ｘ
Ｏ ｐ ＝２ 函数 ｚ ＝ ｆ （ ｘ ， ｙ ） 在点（ ｘ ｎ ， Ｙ 。 ） 处对 ｘ的偏导数 ， 记为 ：
摘
要： 在经济分析 中， 许 多问题 需要利用 高等数学的知识去研 究、 解决。因此 ， 高等数 学作为一种工具在经济学
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。
在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。
计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。
同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。
因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。
方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。
梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。
如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。
这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用分析
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用分析多元函数的偏导数是研究多元函数变化率的重要工具，其在经济学中有着广泛的应用。
在此篇文章中，我们将讨论多元函数的偏导数的概念、计算方法以及在经济学中的具体应用。
一、多元函数的偏导数概念与计算方法1.1 多元函数的偏导数概念多元函数是指含有多个自变量的函数，其偏导数用于衡量函数在某个自变量上的变化率。
对于一个二元函数 f(x, y)，其在 x 和 y 上的偏导数分别表示为∂f/∂x 和∂f/∂y。
1.2 多元函数的偏导数计算方法计算一个多元函数在某个自变量上的偏导数时，仅将其他自变量视为常数进行求导即可。
对于 n 个自变量的函数 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其在第 i 个自变量上的偏导数表示为∂f/∂xᵢ。
二、多元函数的偏导数在经济学中的应用2.1 优化问题在经济学领域中，许多问题需要找到一个函数的最大值或最小值。
利用多元函数的偏导数可以帮助我们找到这些最值点。
通过求解多元函数在每个自变量上的偏导数，并令其等于零，可以得到函数的稳定点。
这些稳定点就是函数的最值点，可以帮助我们做出经济决策。
2.2 生产函数的边际产出生产函数描述了投入和产出之间的关系。
在经济学中，生产函数的边际产出指的是增加一单位输入所导致的产出变化。
通过对生产函数进行偏导数运算，我们可以求得某一输入变量对产出的影响程度，从而帮助企业做出生产决策、优化资源配置。
2.3 市场需求曲线的均衡分析在市场经济学中，需求曲线表示了消费者对商品的需求情况。
通过对需求函数中价格的偏导数求解，可以得到市场上每单位价格变动所引起的需求变化率。
这可以帮助我们分析市场均衡、价格弹性以及消费者行为的变化。
2.4 市场供给曲线的分析供给曲线描述了产商的供给决策与市场价格之间的关系。
通过对供给函数中价格的偏导数求解，可以得到市场上每单位价格变动所引起的供给变化率。
这可以帮助我们分析市场均衡、价格弹性以及产商的决策行为。
偏导数与全微分的概念与计算
偏导数与全微分的概念与计算在微积分中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在各个科学领域中都有广泛的应用，尤其在物理学、经济学和工程学等领域中更是不可或缺的工具。
本文将介绍偏导数和全微分的基本概念，并探讨它们的计算方法和应用。
一、偏导数的概念与计算在多元函数中，如果我们只关注某一个变量对函数的变化率，而将其他变量视为常数，那么我们就可以引入偏导数的概念。
偏导数表示了函数在某个特定方向上的变化率。
对于一个函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，它的偏导数可以用以下符号表示：$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$其中，$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$表示对于变量$x_i$的偏导数。
例如，对于一个二元函数$f(x, y)$，它的偏导数可以表示为$\dfrac{\partial f}{\partial x}$和$\dfrac{\partial f}{\partial y}$。
计算偏导数的方法与计算普通导数的方法类似。
对于一个以$x_i$为变量的函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，我们只需要将函数中所有不含$x_i$的变量视为常数，然后对$x_i$求导即可。
例如，对于函数$f(x, y) = x^2y + \sin(xy)$，我们先计算$\dfrac{\partial f}{\partial x}$，将变量$y$视为常数，得到：$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy)$同理，计算$\dfrac{\partial f}{\partial y}$，将变量$x$视为常数，得到：$\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\cos(xy)$通过计算偏导数，我们可以了解函数在不同方向上的变化率。
这对于优化问题、最小二乘法等应用非常重要。
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f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数(partial derivative)，记为
z x
，f x x0 x
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数
图合
图 形
形偏
例 6 设u eax cosby ，求二阶偏导数.
解 u aeax cos by, x
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty对y 轴的
斜率.
图示
设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
2.偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
x2 y2
y2
| y|
( x2 y2 )3
| x2
y
| y
2
.
( y2 | y |)
z y
1
1 x2
x2
y2
x x2
y2
y
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z 不存在． y x0
y0
有关偏导数的几点说明：
１. 偏导数u 是一个整体记号，不能拆分; x
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
三、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
y
z x
2z xy
f
xy
(
x,
y),
x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求2z x 2
、 2z yx
、 2z xy
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为 z y
，f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
２. 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x, y) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
解
f
x
(0,0)
lim
x0
|
x0|0 x
0
f y (0,0).
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证： p V T 1.
V T p
证
p
RT V
p V
Байду номын сангаас
RT V2
;
V RT V R; T pV T V ;
p T p
R p R
p V
V T
T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系
1．几何意义
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线M 0Tx 对x 轴的
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
解
z 2x 3y ; x
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2
3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
、 2z y 2
及 3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
6
y2,
2z y 2
2x3
18xy;
2z xy 6x2 y 9 y2 1,
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z.
原结论成立．
例 3 设z arcsin x ，求z ，z . x2 y2 x y
解
z x
1
1 x2
x2
y2
x x2
y2
x
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
经济数学
偏导数及其在经济分析中的应 用和计算方法
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一、偏导数的定义及其计算方法 二、偏导数的几何意义及函数偏
导数存在与函数连续的关系
三、高阶偏导数 四、偏导数在经济分析中的应用
交叉弹性 五、小结 思考题
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
注意：
实际求 z f ( x, y) 的偏导数时，因为始终只
有一个自变量在变动，另一个自变量可看作 常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解.
求解
f
x
把y暂时看作常量而对x求导数
f
y
把x暂时看作常量而对y求导数