八年级三角形知识点归纳
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三角形按角分类 第二章 三角形知识点归纳
一、三角形
1.定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。 “三角形” 用符号“△”表示,顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。三角形基本元素(三条边、三个角、三个顶点)
2.性质:
三角形三个角和为180°
三角形任何两边之和大于第三边;
三角形的任何两边之差小于第三边(两点之间线段最短) ★注:判断三条线段能否组成三角形,只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。
3.三角形的外角及外角的性质
外角:由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角。
三角形的外角和为360°
锐角三角形(三个角都小于90°)
直角三角形(有一个角是90°,记作Rt △ABC )
钝角三角形(有一个角大于90°)
★三角形的角平分线、中线和高线
角平分线:在三角形中,一个角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。三个角的角平分线的交点叫心
∠1=∠2
线段BD是∠ABC的角平分线
中线:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。三条中线交点叫重心
AD=CD
线段BD是△ABC的中线
高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,定点和垂足之间的
线段叫做三角形的高。三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)
AD⊥BC
线段AD是△ABC的高
★重要性质:
1角平分线上的点到角的两边距离相等;中线平分与它相交的边。
2一个三角形有三条角平分线、三条中线,并且都在三角形部,交于一点。
3三种三角形都有三条高线,高线是顶点到对边所在直线的垂线段,所以垂足
有可能在边的延长线上。
★同高等底的两个三角形面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
二、等腰三角形
等腰三角形:两条边想等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰,另外一条边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在直线
等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线重合(简称“三线合一”)
等腰三角形两底角相等(简称“等边对等角”)
等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形)。等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的所有性质。
等边三角形的三个角相等,且都等于60°.
等边三角形有三条对称轴,分别是三个角的角平分线所在的直线。
三、垂直平分线
垂直平分线:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。
垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等;到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
四、命题与证明
定义:对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义。
命题:一般的,对某一件事做出判断的语句(述句)叫作命题。
判断一个语句是否为命题,一看是不是一个完整的句子;二看是否对某件事情做出肯定或否定的判断。
命题的组成:命题通常由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知的事项推断出的事项。
注意:①有一些命题的叙述,其条件和结论并不一定那么明确,我们可以把它改写成“如果……,那么……”的形式,再找出它的条件和结论;②命题的条件
部分一般用“如果……”,“已知……”,“若……”等形式表述,结论一般用“那么……”,“求证……”,“则……”等形式表述。③对于有些命题,条件和结论不一定只有一个,一定要分清它们的条件和结论。
原命题、逆命题、互逆命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做逆命题。
注意:只要将一个命题的条件和结论互换,就可以的到它的逆命题,所以每个命题都有逆命题。(互换条件和结论时,还要注意语句是否通顺)
命题的分类:正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题。
判断一个命题是否是真命题,需要分析题设是否能推出结论;判断一个是否为假命题可以举反例,举反例就是举出符合命题的条件,但不满足命题的结论的例子。
公理、定理及互逆定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其它命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。
以基本定义和公理作为推理的出发点,去判断其他命题的真假,已经判断为真的命题称为定理。
注意:①公理是不需要证明的,它是判断其他命题真假的依据,定理是需要证明;②定理都是真命题,但真命题不一定都是定理。
如果一个定理的逆命题也是定理,那么称它是原来定理的逆定理,这两个定理称为互逆定理。
注意:每个命题都有逆命题,但并非所有的定理都有逆定理。
证明
要判断一个命题是真命题,从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理),得出它的结论成立,从而判定该命题为真,这个过程叫做证明。
推理证明的必要性:判断猜想的数学结论是否正确,仅仅依靠经验是不够的,必须一步一步,有理有据地进行推理。
证明几何命题的一般格式
(1)按题意画出图形。
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论。
(3)在“证明”中写出推理过程。
注意:①有些题目已经画好图形,写好已知和求证,这时只要写出“证明”一
步即可。②在解决几何问题时,有时需要添加辅助线,添加辅助线的过程要写
入证明中,辅助线通常画成虚线。
证明的四个注意
(1)注意:①公理是通过长期实践反复验证过的,不需要再进行推理论证而都承认的真命题:②公理可以作为判定其他命题真假的根据.
(2)注意:定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理,可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题,在教科书中是用黑体字排印的.
(3)注意:在几何问题的研究上,必须经过证明,才能作出真实可靠的判断。
(4)注意:证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”. ①论据必须是
真命题,如;定义、公理、已经学过的定理和已知条件;②论据的真实性不能
依赖于论证的真实性;③论据应是论题的充足理由。
五、三角形全等
全等三角形:能够重合的两个三角形形称为全等三角形;全等用符号“≌”表示,读做“全等于”
两个全等三角形重合时,能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点;互相
重合的边叫做全等三角形的对应边;互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
性质:★全等三角形的对应边相等,对应角相等。
★三角形全等的条件
1 三边对应相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”);
2 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”);
七年级数学下册《三角形》知识点总结
七年级数学下册第五章《三角形》知识点总结 考点一、三角形 1、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。 推论:三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。 推论: ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 4、三角形的面积 三角形的面积=21 ×底×高 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (4)角角边定理:有两角和一边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。
直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 3、全等变换 只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论: 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用: 位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系:可以证明线段的倍分关系。 常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有: 结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。 结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
第十一章三角形知识点归纳
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是
解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形 .正弦定理: 2)化边为角: a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 )化边为角: a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 )化角为边: sin A sin B a ; sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 )化角为边:si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ① 已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中,已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsinA 或a b 时,B 有一个解; ③ bsinA a b 时,B 有两个解。 如:①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B (有一个解) ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径, 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形:1) a b c a sin sin si sin 2R (其中R 是三角形外接圆的半径) b c sin sinC c 2R 沁;求出 sin C 1.正弦定理:在一个三角形中, bsin A
人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点
人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比为1:1的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; 表示:全等用“≌”表示,读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边角,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写(Hypotenuse),L是英文直角边的缩写(leg)。 6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件: 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。 9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法: 1、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)推论 要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定: