高考概率与统计专题复习：统计案例

大题 规范
类型二 线性回归分析（难点）
(2)∵ x ＝9＋10＋152＋11＋8＝10， y ＝23＋25＋350＋26＋21＝25. ∴由公式，求得b^＝2.1，a^＝ y －b^ x ＝4， ∴y关于x的线性回归方程为y^＝2.1x＋4， ∵当x＝7时，y^＝2.1×7＋4＝18.7， ∴该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯(或18杯)．
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事 件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计 值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10 ＝0.25.(11分) 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．(12分)
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
得分点及踩点说明 (1)第一问中的频率分布直方图的每个长方形都要达到相应的高度；否 则，错一个扣1分 (2)第一问中的“评价”是从两个方面：平均数和分散情况，缺一方面 扣1分 (3)第二问中缺少结论或者概率计算错，每一种情况都扣1分
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售 量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计 量的值．
8
x
y
w i＝1 (xi－ x )2
46.6 563 6.8
289.8
表中wi＝ xi， w ＝18i＝81wi.
8
i＝1 (wi－ w )2 1.6
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
113120 Nhomakorabea43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
4
36
39
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
满意度评 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
分分组
频数
2
8
14 10
6
图①
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直
方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体
值，给出结论即可)．
自我挑战
2．(2016·南宁市模拟)某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平
均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别
记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x(℃)与该奶茶店的这种饮料
销量y(杯)，得到如下数据：
日期 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 1月15日
回归方程类型．(2分)
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类型二 线性回归分析（难点）
(2)令w＝ x，先建立y关于w的线性回归方程．
8
wi－ w yi－ y
i＝1
由于^d＝
8
＝110.86.8＝68，
wi－ w 2
i＝1
c^＝ y －^d w ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，
重要结论
4．独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联 表是
y1
y2 总计
x1
a
b a＋b
x2
c
d c＋d
总计 a＋c b＋d n
则K2＝a＋bnc＋add－ab＋c2cb＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
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必记知识
重要结论
上的人数，
即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在
x
－s和
x
＋s之间的人数所占的百分比为
23 36
×100%≈63.89%.
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类型二 线性回归分析（难点）
[例2] (2015·高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投
入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单
用样本估计总体的两种方法 (1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等)估计 总体的频率分布．其频率视为概率． (2)用样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差、标准差)估计总 体的数字特征．注意从图中寻求这些数字方法
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
自我挑战
1．(2015·高考广东卷)某工厂36名工人的年龄数据如下表. 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
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类型二 线性回归分析（难点）
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α
＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
n
β^＝i＝1
ui－ u vi－
n i＝1
ui－ u 2
v
，α^ ＝
v
－^β
u.
(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的
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类型二 线性回归分析（难点）
1根据散点图中的点的分布规律作出判断.2若x，y 线性相关，可直接 求其线性回归方程，若x，y为非线性相关，可通过换元先建立线性回 归方程，然后再转化为非线性回归方程.3利用2中求出的回归方程求 最大预报值.
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类型二 线性回归分析（难点）
平均数 样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之和
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重要结论
(2)方差：s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]．
标准差：s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
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必记知识
重要结论
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
自我挑战
(2)由均值公式知： x ＝44＋40＋9 …＋37＝40，
由方差公式知：s2＝91[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1900. (3)因为s2＝1900，s＝130，
所以36名工人中年龄在 x －s和 x ＋s之间的人数等于年龄在区间[37,43]
平均
9
10
12
11
8
气温x(℃)
销量y(杯) 23
25
30
26
21
(1)若先从这5组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据
的概率；
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类型二 线性回归分析（难点）
自我挑战
(2)请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋^a；并根据 线性回归方程预测当气象台预报1月16日的白天平均气温为7 ℃时奶茶 店这种饮料的销量． 附：线性回归方程y^＝b^x＋^a中，
1．从m个个体中抽取n个个体组成样本，每个个体被抽取的可能性都相 同，在整个抽样中，被抽取的概率为mn . 2．从m个个体中按系统抽样抽取n个个体，其抽样间隔为mn . 3．频率分布直方图
频率 (1)小长方形的面积＝组距×组距＝频率； (2)各小长方形的面积之和等于1； (3)小长方形的高＝频 组率 距，所有小长方形的高的和为组1距.
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必记知识
重要结论
4．回归直线方程过定点( x ， y )． 5．x1，x2，x3，…，xn的平均数为 x ，方差为s2，则bx1＋a，bx2＋a， bx3＋a，…，bxn＋a的平均数为b x ＋a，方差为b2s2. 6．散点在一条直线上时，其相关系数为1或－1.
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类型一 样本频率分布、数字特征（重点）
因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68 x.(6分)
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类型二 线性回归分析（难点）
(3)①由(2)知， 当x＝49时， 年销售量y的预报值y^＝100.6＋68 49＝576.6， 年利润z的预报值^z＝576.6×0.2－49＝66.32.(9分) ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ^z＝0.2(100.6＋68 x)－x＝－x＋13.6 x＋20.12. 所以当 x＝132.6＝6.8，即x＝46.24时，^z取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．(12分)
3．变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，
n
yn)，通过求Q＝ (yi－a－bxi)2最小时，得到线性回归方程y^＝^bx＋^a的
i＝1
方法叫做最小二乘法．
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必记知识
8
i＝1 (xi－ x )(yi－ y ) 1 469
8
i＝1 (wi－ w )(yi－ y ) 108.8