带传动的动力学模型的建立

1.1 带传动的动力学模型对于带传动而言，主要存在三种形式的振动：一是传动系统沿两带轮中心连线方向的振动，即带传动的纵向振动；二是带沿与带的运动方向相垂直的方向的振动，即带传动的横向振动三是带传动的扭转振动。

这三种形式的振动对带传动的传动特性都将产生严重影响，尤其是当激励频率接近带传动系统的固有频率时，带传动系统将产生共振,并可能造成较大的危害。

对于机械系统速度波动的运动规律而言，主要的影响形式是带传动的纵向振动。

图1-1 带传动的振动模型如图1-1所示，r 0、r 1分别为主动轮和从动轮的半径（已知）；J 0、J 1分别为主动轮和从动轮的转动惯量（已知）；k l 为传动带的线性弹性拉伸刚度；θ0、θ1分别为主动轮和从动轮的转角。

在此模型中，只考虑振动对速度波动的影响，所以假设带轮、传动轴及传动带均为线性弹性体，轴承、其它机构及机座为刚体带轮等传动件不存在摆动不计重力对系统的影响。

在主动轮上，电机将已知运动参数输入，经带轮、传动带及传动轴输出给从动轮及等效机构。

带传动系统所具有的动能E 、势能U 可分别表示为：{E =12J 0θ02+12J 1θ12U =k l (r 0θ0−r 1θ1)2分别取主、从动带轮的转角θ0、θ1为广义坐标系，应用拉格朗日动力学方程，则带传动系统的运动微分方程为：{J 0θ0+2k l r 02θ0−2k l r 0r 1θ1=0J 1θ1+2k l r 12θ1−2k l r 0r 1θ1=0 （1.1） 令：{2k l r 02J 0=a ，2k l r 0r 1J 0=b 2k l r 12J 1=e ，2k l r 0r 1J 1=f （1.2） 则式（1.1）可以写成：{θ0+aθ0−b θ1=0θ1+eθ1−f θ0=0 （1.3） 上式是带传动系统振动模型的运动方程。

1.1.2 带传动的固有频率设运动方程（1.3）的解为：{θ0=X 1sin(pt +φ)θ1=X 2sin(pt +φ)（1.4） 式中，振幅X 1和X 2、频率p 与相位角φ都是未知的。

将式（1.4）代入式（1.3）中，整理后可得：{[(a −p 2)X 1−bX 2]sin(pt +φ)=0[−fX 1+(e −p 2)X 2]sin(pt +φ)=0由上式可见，则：{(a −p 2)X 1−bX 2=0−fX 1+(e −p 2)X 2=0（1.5） 而式（1.4）在任何瞬时都可以满足系统振动模型的运动方程即式（1.3），且是微分方程式（1.3）的解。

同时当X 1=X 2=0时，式（1.5）也成立，但式（1.5）只代表带传动系统平衡下的情况，不代表启动、加速、停止情况下的振动情形。

要使X 1和X 2有非零解，式（1.5）的系数行列式必须等于0，则：|a −p 2−b −f e −p2|=(a −p 2)(e −p 2)−bf =0 （1.6） 通过整理可得：p 4−(a +e )p 2+(ae −bf )=0 （1.7）经观察可知，上式为p 2的二次式，为振动模型的频率方程，解出两个根分别为：p 1,22=a+e 2±√(a+e 2)2+(ae −bf )=a+e 2±√(a−e 2)2+bf （1.8） 将式（1.2）代入式（1.8）中，可得固有频率是：{p 1=0p 2=√2k l (r 02J 0+r 12J 1) （1.8.1） 对于带传动系统，代入已知测量出来的数据，皮带的线性拉伸刚度k l ，主动带轮的转动惯量J 0，从动带轮的转动惯量J 1，主、从动带轮的半径值，可以得出带传动系统的固有频率。

1.1.3 带传动系统对外界激励的响应在带传动过程中，始终存在预紧力F 0，考虑到由带轮的偏心、传动系统启动的不平稳等激励因素引起的、作用在主动轮上的等效简谐力矩为M 0sin qt ，则带传动系统振动模型的运动方程可以改成：{θ0+aθ0−b θ1=ℎsin qt θ1+eθ1−f θ0=0 （1.9） 式中，ℎ=M 0J 0，且上式为二阶线性常系数非齐次微分方程组，因此它的特解为稳定的等幅振动，系统按与激振力相同的频率q 作强迫振动。

设其解为：{θ0=Y 1sin qt θ1=Y 2sin qt（1.10） 其中，振幅Y 1、Y 2为未知常数。

然后把式（1.10）代入式（1.9）中，可得：{(a −q 2)Y 1−bY 2=ℎ−fY 1+(e −q 2)Y 2=0（1.11） 通过解上式二元一次方程组，得：{Y 1=(e−q 2)ℎ(a−q 2)(e−q 2)−bf Y 2=fℎ(a−q 2)(e−q 2)−bf （1.12）其中，式中(a −q 2)(e −q 2)−bf =(p 12−q 2)(p 22−q 2)，而将式（1.2）、式（1.12）代入式（1.10）中，可得系统在激励作用下的响应为：{θ0=(2k l r 12−J 1q 2)M 0q 2[J 0J 1q 2−2k l (J 1r 02+J 0r 12)]sin qt θ1=2k l r 0r 1M 0q 2[J 0J 1q 2−2k l (J 1r 02+J 0r 12)]sin qt （1.13） 通过上述结果表明，系统做与激励同频率的简谐振动，其振幅不仅决定激励的幅值，更重要的是与系统的固有频率和激励频率有很大的关系。

又由式（1.12）得，当激励频率q 等于系统的固有频率p 1或p 2时，系统振幅无限增大，即为共振。

1.2 带传动的相对滑动对速度波动的影响带传动是利用弹性环形带和带轮来传递运动和动力的，根据传动原理将其分为摩擦传动和啮合传动。

摩擦传动是传动带以一定的预紧力套在主动轮和从动轮上,依靠传动带与带轮表面之间的摩擦力来传递运动和动力。

啮合传动则是依靠传动带表面的带齿与带轮上的齿槽相啮合而传递运动和动力。

显然此次系统中采用的是摩擦与啮合复合传动。

1.2.1 带传动啮合特性及动态分析同步带传动的带齿与轮齿的啮合是一种在节距相等下的嵌合，其动力是通过齿之间的法向力和轮齿顶部与带齿根部的摩擦力以及带齿的弹性变形来传递的。

同时同步带传动又具有类似链传动的多边形效应，由此使得同步带传动的啮合具有较复杂的性质。

基于以上原因在传动过程中会有振动的产生，这将直接影响到同步带传动的平稳性以及传动精度，一定程度上也影响带的使用寿命。

1.2.2带传动的受力分析摩擦与啮合复合传动带在传动过程中，带与带轮的摩擦力不足以传动功率时，带与带轮之间出现相对滑动，如图所示，带齿与主动带轮开始啮合，在理想传动状态下，带齿与带轮均匀啮合，设每个带齿与带轮啮合产生的法向作用力为Q1、Q2…。

小带轮啮合段的带体承受紧边拉力F1，松边拉力F2和沿包角变化的摩擦力F f三个力作用。

图1-2 带的受力分析设F t为摩擦与啮合复合传动带在工作中的有效拉力，由摩擦与啮合传动原理可知：F t=∑Q i+F f（1.14）由于摩擦与啮合复合传动带是挠性体由受力平衡可知：F t=F1−F2（1.15）在对主动轮围齿内啮合齿进行受力分析时，为便于分析建模，根据实际传动情况，对模型进行以下假设：1)为了简化模型，假设带齿啮合状态处于受力平衡，且带齿与轮齿啮合面间的摩擦力忽略不计；2)带齿在啮合中无弹性回缩现象，不会出现跳齿，磨齿；3)带在传动过程中，带齿的离心力忽略不计。

根据以上假设，如图2．15(a)所示，取啮合中第一个带齿为研究对象，带齿1受轮齿法向力Q1、紧边拉力F1、松边张力T1、带轮侧面的周向摩擦力2F f、带轮径向摩擦力F f、带轮侧面对带的正压力F N，处于静力平衡状态。

前面已作讨论，带齿的垂直截面上，带轮径向摩擦力F f是沿带包角的一个变化量，如2．15(b)所示。

F1、Q1、T1与节圆切线方向的夹角分别为γ0、β、φ；θ为摩擦与啮合复合传动带的楔角。

图1-3 啮入处带体受力图带齿水平与垂直方向受力平衡可得：{F1cosγ0=Q1cosβ+T1cosφ+2F fQ1cosβ+2F N sinθ2=2F f cosθ2+T1sinφ+F1sinγ0（1.16）式中γ0、β、φ为已知量，γ0可根据带的拉力方向；β为带齿啮合角；φ为带齿齿厚所对应的圆心角的一半，设S为节圆与带齿对应的节弧长，Z为小带轮齿数，p b为小带轮节距，即：φ=πSZp bT1=F1sin(β−γ0)sin(β+φ)+2F N sinθ2cosβsin(β+φ)−2F f cosθ2cosβ+sinβsin(β+φ)（1.17）图1-4 带齿谷底受力图带齿1的齿谷bc部分受力如图1-4所示，由于带轮齿顶部与带齿谷底面非接触。

摩擦力为0.但轮槽侧面对带侧面摩擦力F f符合摩擦传动原理。

根据欧拉公式F1F2=e fα1得带齿一得拉力T1与带齿二的拉力T2满足如下关系：T 2=T 1e −2fφ=(F 1sin(β−γ0)sin(β+φ)+2F N sin θ2cos βsin(β+φ)−2F f cos θ2cos β+sin βsin(β+φ))e −2fφ（1.18）其中φ为带齿一与带齿二之间节圆弧所对应的圆心角。

图1-5 带齿二受力图同理对带齿2，3…各齿进行受力分析，如图1-5所示，由力的平衡条件可得：T 3=T 2sin(β−γ0)sin(β+φ)+2F N sin θ2cos βsin(β+φ)−2F f cos θ2cos β+sin βsin(β+φ) （1.19）T 4=T 3e −2fφ…由此递推关系可得出第k 齿两侧的张力为：T k−1′=F 1sin(β−γ0)sin(β+φ)e −2(k−1)μφ[sin(β−φ)sin(β+φ)](k−2)+[2F N sin θ2cos βsin (β+φ)−2F fcos θ2cos β+sin βsin (β+φ)]1−[e −2μφsin(β−φ)sin(β+φ)](k−1)1−[e −2μφsin(β−φ)sin(β+φ)] （1.20） T k =F 1sin(β−γ0)sin(β+φ)e −2(k−1)μφ[sin(β−φ)sin(β+φ)](k−1)+[2F N sin θ2cos βsin (β+φ)−2F f cos θ2cos β+sin βsin (β+φ)]1−[e −2μφsin(β−φ)sin(β+φ)]k 1−[e −2μφsin(β−φ)sin(β+φ)] （1.21）其中，式中的k ≥2。

在带传动系统中进行啮合传动时。

啮合齿数可引入取整函数来近似表达在传动过程中。

啮合传动合力为：F t =(T 1−T 2)+F f （1.22）2.1带传动的动态性能分析带传动系统工作中的动态性能是对带的寿命研究的重要部分。