第六讲 指数函数——指数与指数幂的运算

第六讲 指数函数 ——指数与指数幂的运算

知识点一、根式

1

n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。0的任何次方根都等于0

2、两个等式：A 、n>2时，且n N +

∈

时，n a =

B 、n

a =；n

a a a a a ≥⎧==⎨

-<⎩

知识点二、分数指数幂

1

、正数的正分数指数幂的意义：0,,,1)m n

a a m n N n +=>∈>

2

、正数的负分数指数幂的意义：10,,,1)m

n m n

a

a m n N n a

-+==

>∈>

3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 知识点三、分数指数幂的运算性质

1、对任意的有理数r ，s 均有如下性质：

A 、(0,,)r s r s a a a

a r s Q +⋅=>∈ B 、()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ C 、()(0,0,)r r r a

b a b a b r Q =⋅>>∈ D 、()(0,0,)r a a r a b r Q r b b =

>>∈ E 、(0,,)r

a r s a a r s Q s

a -=>∈ 2、简化过程：①先括号内，再括号外；②先乘除，后加减；③有根号的，按从内到外的顺序计算；④采用同一种形式；⑤结果要最简。

巩固习题

1、如果0,0,,a b m n >>都是有理数，下列各式错误的是（ ） A 、()m n mn a a --= B 、m

n

m n a a

a --⋅= C 、()n n n a

a b b

-=⋅ D 、m n m n a a a ++=

2、,x y R ∈时，下列各式恒成立的是（ ）

A

6x y =- B

22x y =+ C

x y =- D

x y =+ 3、下列各式运算错误的是（ ）

A 、2

2

23

78

()()a b ab a b -⋅-=- B 、233

23

33

()()a b ab a b -÷-= C 、32

23

66

()()a b a b -⋅-= D 、32

233

1818

[()()]a b a b ⋅-=-

4、计算1221

2

1

(2)()2()48n n n n N +++-⋅∈⋅的结果为（ ） A 、416

B 、252n +

C 、226

2n n -+ D 、271()2n -

5、计算1020.52

31(2)2(2)(0.01)54

--+⋅- 6

7、若102,103m n

==，求32

10m n -的值。 8

9、已知112

2

3a a

-+=，求下列各式的值。

（1）1

a a -+ （2）2

2

a a -+ （3）

332

2112

2

a a a a

--

--

10已知11

()212

x f x =+-，试判断()f x 的奇偶性。

知识点四、指数函数的概念。

1、一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠叫做指数函数，定义域为R ，值域为(0,)+∞

2、在x y a =表达式中，任何部位发生改变后都不是指数函数：1x y a +=，1x y a =+等叫“类指数函数”

知识点五、指数函数的图象

（1）一般地，(0,1)x y a a a =>≠的图象分两种情况，即1a >和01a <<的图象。

作法：对x y a =的图象的作法有三个关键点：(1,),(0,1),(1,)a a

- 例题1、如图是指数(1) x y a =(2)x y b =(3)x y c =(4)x y d =的图象， 试比较a 、b 、c 、d 的大小关系（ ）

A 、1c a d b <<<<

B 、1a c b d <<<<

C 、1d b c a <<<<

D 、1b d a c <<<<

例题2、函数1

1(0,1)x y a

a a +=+>≠中，无论a 取什么值，恒过一个定点，此定点的坐标为____________。

例题3、比较下列各组数的大小

0.230.2644()______()33-- 2233

35()______()46

233(0.3)______(2.3)-- 例题4、若01,1a b <<<-，则函数x

y a b =+的图象不过（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

例题5、已知1010()1010x x x x

f x ---=+，求()f x 的值域

巩固习题：

1、2()(1)x f x a =-在R 上是减函数，则a 满足的条件为（ ）

A 、1a >

B 、a <

C 、a >

D 、1a <<2、已知

111

()()1222

b a <<<，则（ ） A 、1a b >> B 、01b a <<< C 、1b a >> D 、01a b <<<

3、()x f x a =在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，()f x 在[0,1]上为增函数，则a=（ ） A 、

12 B 、2 C 、4 D 、14

4、若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图象在第一、三、四象限，则有（ ）

A 、1a >且0b <

B 、1a >且0b >

C 、01a <<且0b >

D 、01a <<且0b < 5、不等式28

21

()

33

x x -->的解集是_____________________________________。

6、已知0.7

0.9

0.8

0.8,0.8, 1.2a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系为_____________________________________。 7、函数382

(0)x

y x -=-≥的值域为_____________________________________。

8、若1x y >>，01a <<，那么正确的结论是（ ） A 、x

y

a a > B 、1x

a > C 、1x

a

-< D 、x y a a -->

9、若10.225x

≤≤，则实数x 的取值范围为_____________________________________。

10、函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x

f c 的大小关系为__________。

11、求21

21

x x y -=+的定义域和值域

12、若关于x 的函数123

()3

5x

a a

+=

-有负根，求a 的取值范围。