四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期半期考试数学试题 Word版含答案
成都七中2019—2020学年度下期高2022届半期考试
高一数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.
的值为︒105sin 2
23.+A 4
26.+B 2
21.+C 4
2-6.
D
2．已知等差数列{}n a 中，4,774==a a ，则公差d 的值为
2
1.
A 1
.B 1-C.2
1-
D.
3．已知21
cos sin =
-x x ，则x 2sin 的值为 2
1.
A 4
1.B 4
3.
C 2
3.
D
4．若01
1<<b
a ，则下列结论中不正确的是
22.b a A <2
.b ab B <2.>+b
a a
b C b
a b a D +>+.
5．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且︒
︒
===45,1202C B b ，,则边c 的大小是
2.A
3.B 2.C 6
.D
6．等差数列{}n a 中，24010=S ,那么74a a +的值是
60.A 24.B 36
.C 48
.D
7. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，161216a a =，则
3
6
S S 的值为
8
9.
A 9.
B 7
-9.或C 8
789.或D
8. 的结果为化简
︒
︒︒
︒-50sin 40sin 5sin 5cos 22 1.A 2
1.
B 2C.1
-D.
9. 在31
tan tan ,120=
=∆︒
B A
C ABC 中，，的值为则B A tan tan 3
34.
A 3
32.
B 4
33C.2
33D.
10. 已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若482=⋅a a ，且
2
1
375=
-a a ，则5S 的值为 64.A 62
.B 06C. D.58
11. 有一块半径为2，圆心角为︒
45的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为
22.+A 2
-2.B 2
-22C.2
2D.2+
12. 实数c b a 、、满足0122
=+-+=b c a a 且012
=++b a ，则下列关系成立的是
c a b A >>.b a c B >>.a c b >>C.a
b D.>>c
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分
13. 已知直线l 斜率的取值范围是()
1,3-，则l 的倾斜角的取值范围是
14. 已知()απαπ-=⎪⎭⎫
⎝⎛+cos 22cos ，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛-απ4tan 15. 不等式()0622≥---x x x 的解集是
16. 已知正数y x ,满足2=+y x ，若2
12
2+++≤y y x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 解关于x 的不等式 ()R a ax x ∈>++,0222
18. （本小题满分 12分）在ABC ∆内，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、且
()B a c B c A b cos cos cos -=-
（1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为33，13=b ，求c a +的值．
19. （本小题满分 12 分）在等差数列{}n a 中，38,269573-=+-=+a a a a .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为t 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S
20. （本小题满分12分）已知函数()()0cos 2cos sin 322
>+=ωωωωx s x x x f 的周期为
3
π （1）求函数()x f 的单调递增区间和最值;
（2）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈6,0πx 时，函数()()12+-=m x f x g 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.
21. （本小题满分 12 分）已知数列{}n a 满足λ+==+n n a a a 3,111（λ为常数）．
（1）试探究数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+
λ21n a 是否为等比数列，并求n a ；
（2）当2=λ时，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ21n a n 的前n 项和n T ．
22. （本小题满分 12 分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*
∈=+N n a S n n ,413
（1）求{}n a 的通项公式;
（2）求证：
15
1
41433221->+++++n S S S S S S S S n n。
四川省成都市第七中学2019_2020学年高一数学下学期半期考试试题
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期半期考试试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 的值为︒105sin223.+A 426.+B 221.+C 42-6.D2．已知等差数列{}n a 中，4,774==a a ，则公差d 的值为21.A 1.B 1-C.21-D.3．已知21cos sin =-x x ，则x 2sin 的值为 21.A 41.B 43.C 23.D4．若011<<ba ，则下列结论中不正确的是22.b a A <2.b ab B <2.>+ba ab C ba b a D +>+.5．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且︒︒===45,1202C B b ，,则边c 的大小是2.A3.B 2.C 6.D6．等差数列{}n a 中，24010=S ,那么74a a +的值是60.A 24.B 36.C 48.D7. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，161216a a =，则36S S 的值为 89.A 9.B 7-9.或C 8789.或D8. 的结果为化简︒︒︒︒-50sin 40sin 5sin 5cos 22 1.A 21.B 2C.1-D.9. 在31tan tan ,120==∆︒B AC ABC 中，，的值为则B A tan tan 334.A 332.B 433C.233D.10. 已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若482=⋅a a ，且21375=-a a ，则5S 的值为 64.A 62.B 06C. D.5811. 有一块半径为2，圆心角为︒45的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为22.+A 2-2.B 2-22C.22D.2+12. 实数c b a 、、满足0122=+-+=b c a a 且012=++b a ，则下列关系成立的是c a b A >>.b a c B >>.a c b >>C.ab D.>>c二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分13. 已知直线l 斜率的取值范围是()1,3-，则l 的倾斜角的取值范围是14. 已知()απαπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+cos 22cos ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ4tan 15. 不等式()0622≥---x x x 的解集是16. 已知正数y x ,满足2=+y x ，若2122+++≤y y x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 解关于x 的不等式 ()R a ax x ∈>++,022218. （本小题满分 12分）在ABC ∆内，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、且()B a c B c A b cos cos cos -=-（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为33，13=b ，求c a +的值．19. （本小题满分 12 分）在等差数列{}n a 中，38,269573-=+-=+a a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为t 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S20. （本小题满分12分）已知函数()()0cos 2cos sin 322>+=ωωωωx s x x x f 的周期为3π （1）求函数()x f 的单调递增区间和最值;（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,0πx 时，函数()()12+-=m x f x g 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分 12 分）已知数列{}n a 满足λ+==+n n a a a 3,111（λ为常数）．（1）试探究数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+λ21n a 是否为等比数列，并求n a ； （2）当2=λ时，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ21n a n 的前n 项和n T ．22. （本小题满分 12 分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*∈=+N n a S n n ,413（1）求{}n a 的通项公式;（2）求证：15141433221->+++++n S S S S S S S S n n Λ。
【35套精选试卷合集】成都七中初中2019-2020学年数学高一下期末模拟试卷含答案
高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等比数列{}n a 中，已知54=a ，则53a a = (A) 10(B) 25(C) 50(D) 752．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若︒===120,4,6C b a ，则ABC ∆ 的面积是 (A)12(B) 6(C) 312 (D) 363．一个球的外切正方体的全面积为26cm ，则此球的体积为 (A) 334cm π(B)386cm π (C) 361cm π(D)366cm π 4．已知{}n a 为等比数列，则下列结论中正确的是(A)2221322a a a +≥(B)1322a a a +≥ (C)若13a a =，则12a a =(D)若31a a >，则42a a >5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若aAb B cos cos =，则ABC ∆的形状 一定是(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)6．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰Rt A B O '''∆，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是 (A)2 (D) 127．若∈c b a ,,R ，且0<<a b ，则下列四个不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4()3()2()1(<+>+><+；；；．其中正确的是(A) (1) (2)(B) (2) (3)(C) (1) (3)(D) (3) (4)8．下列命题正确的是(A) 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行(B) 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 (C) 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行(D) 若一条直线和两个相交平面都平行，则此直线与这两个平面的交线平行 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足10n n S S +⋅<的正整数n 的值为(A)10 (B)11 (C)12 (D)13 10．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是（第6题图）SNSC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：（1）AC EP ⊥； （2）//EP BD ； （3）SBD EP 面//；（4）SAC EP 面⊥． 中恒成立的个数为 (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =()n *∈N ，则2a = ▲ .12．在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++= ▲ ． 13．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2,60,45=︒=︒=a B A ，则b = ▲ ．14．已知正数,x y 满足：220x y +=，则xy 的最大值为 ▲ ． 15．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， 侧视图为直角三角形，则该几何体的表面积是 ▲ ．16．已知正方形ABCD 的边长为1，沿对角线AC 把ACD ∆折起,，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 ▲ ． 17．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a a =，21a =，211n na a +=+， 则109a a += ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数1)(2+++=a ax x x f ()R a ∈．（Ⅰ）当5=a 时，解不等式：0)(<x f ；（Ⅱ）若不等式0)(>x f 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．正视图俯视图侧视图（第15题图）19．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．(Ⅰ) 求证:平面⊥11B BDD 平面OC C 1； (Ⅱ) 求二面角1C BD C --的正切值．20．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足222c ab b a =++． (Ⅰ) 求角C 的度数； (Ⅱ) 若10=+b a ，求ABC ∆周长的最小值．21．（本小题满分15分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ， 其中底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AB BC ⊥， 且26AP AB AD BC ====，M 在棱PA 上， 满足2AM MP =．（Ⅰ）求三棱锥M BCD -的体积；（Ⅱ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）证明：//PC 面MBD ．22．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足11121n n a a a +==+，()n *∈N ． （Ⅰ）求证：数列{}1+n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列}{n c 的通项公式为n c n 2=，求数列}{n n c a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅲ）若数列{}n b 满足12111444(1)()n n b b b b n a n ---*=+∈N …，且42=b ．证明： 数列{}n b 是等差数列，并求出其通项公式． 参考答案AB DCPM（第21题图）1A1B1C1DABCDO（第19题图）一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BDCAABCDCB二．填空题11．2 12．42 13．6 14．50 15．323+π 16．4π17．8541+ 三．解答题18．（本小题14分）解：（Ⅰ）当5=a 时065)(2<++=x x x f得23-<<-x ，所以不等式的解集为()2,3--．-------- 7分（Ⅱ）01)(2>+++=a ax x x f 的解集为R∴ 0)1(42<+-=∆a a ------------------- 10分 ∴222222+<<+-x ．------------------- 14分19、（本小题14分）解：(Ⅰ) ∵在正方体1111ABCD A B C D -中, 点O 是BD 中点 ，又11BC DC = , BC DC = ,∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥ ------------------- 2分1111,,,C O CO O C O C OC CO C OC =⊂⊂Q I 平面平面OC C BD 1平面⊥∴ ------------------ 5分∵⊂BD 平面11B BDD , ∴平面⊥11B BDD 平面OC C 1．-------------- 7分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ---------------11分 则22,11==OC C C ∴在1Rt C OC ∆中,11tan C CC OC OC∠==故二面角1C BD C --． ---------------14分20、（本小题14分）解：（Ⅰ）∵222c ab b a =++由余弦定理得 212cos 222-=-+=ab c b a C -------------- 5分 ∵0180C <<o o∴C=120° -------------- 7分（Ⅱ）∵2222()100c a b ab a b ab ab =++=+-=-------------- 9分2100()752a b +≥-= ------------- 11分∴c ≥ 当5a b ==时取等号 ------------- 13分则ABC ∆周长的最小值为10a b c ++=+分21、（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意1123M BCD BCD V S MA -∆=⋅= ----------5分（Ⅱ）取AD 中点N ，连,CN PN ，易知//AB CN ,PCN ∠或∴其补角就是PC 与AB 所成角------7分在PCN ∆中，∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD∴PA BC ⊥ 9PC =，又∵6,CN AB PN ===∴2cos 3PCN ∠=， ∴异面直线PC 与AB 所成角余弦值为23---------- 10分 （Ⅲ）连AC 交BD 于Q ，连MQ∵//AD BC ，∴2AQ ADQC BC==, 又∵2AMMP=则AQ AM QC MP = ∴//MQ PC ---------- 13分又∵,PC MBD MQ MBD ⊄⊂面面，∴//PC 面MBD ． ---------- 15分22、（本小题15分）解：（Ⅰ）()121*n n a a n +=+∈N Q ．()1+1=21n n a a ++，----------3分{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12n n a +=∴．即()21*n n a n =-∈N ． --------------4分（II ）12-=n n a Θ，n c n 2=，∴()122-=nn n n c a∴n n n c a c a c a c a S ++++=Λ332211()()[]n n n ++++-⨯++⨯+⨯+⨯=ΛΛ3212232221232-----6分设 nn A 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=Λ ① 则()132********+⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n A Λ ②①-②得 132221212121+⨯-⨯++⨯+⨯+⨯=-n nn A Λ()1221212+⨯---=n nn ()2211-⨯-=+n n∴()2211+⨯-=+n n A∴()()14212+-+⨯-=+n n n S n n -------------- 9分 （Ⅲ）n n b n b b b a )1(44411121+=---ΛΘ， 122n n b b b n nb =L (+++)-∴4，12[()]n n b b b n nb 2+++-=L ∴，①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+L ．②②－①，得112(1)(1)n n n b n b nb ++-=+-，--------------11分 即1(1)20n n n b nb +--+=， ③21(1)20n n nb n b ++-++=．④④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=， *211()n n n n b b b b n +++-=-∈N ∴，{}n b ∴是等差数列． --------------13分∵21=b ，42=b ， ∴n b n 2=． --------------15分 （注：没有证明数列{}n b 是等差数列，直接写出n b n 2=，给2分）高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一上半期期中数学试题Word版含解析
四川省成都市第七中学2019-2020学年上半期期中高一数学试题一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1. 已知集合则A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴故选：C点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 函数的定义域为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得：，解得：∴函数的定义域为故选：A3. 下列函数为上的偶函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】是非奇非偶函数，是偶函数，是奇函数，是奇函数，故选：B4. 集合集合则集合之间的关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得：，即，而∴故选：D5. 下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，，错误；对于B，，错误；对于C，，正确；对于D，，错误.故选：C6. 下列各组函数中，表示同一组函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】，两个函数的定义域不同，故A中两个函数不是同一个函数；，两个函数的定义域不同，故B中两个函数不是同一个函数；，两个函数的对应法则不同，故C中两个函数不是同一个函数；两个函数的定义域与对应法则都相同，故D中两个函数是同一个函数；故选D7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.则一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】v=0，即=0，得O=100，∴一条鲑鱼静止时耗氧量是100个单位；故选：A8. 设A. B. C. D.【答案】B【解析】由指数函数的图象与性质可知：，由对数函数的图象与性质可知：∴故选：B9. 函数的图象可能为A. B. C.D.【答案】C【解析】由题意易知：函数为偶函数，且，排除A，B当a时，在上单调递增，图象应该是下凸，排除D∴选C点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．10. 方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】设，又方程的一根在区间内，另一根在区间内，∴即解得：故选：B11. 函数在的最大值为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】，对称轴为时，在上单调递减，最大值为不适合题意；②时，最大值为，解得不适合题意；综上，的值为故选：D12. 已知函数，函数有四个不同的零点且满足：，则的取值范围为A. B. C. D.【解析】作出函数的图象：由图象易知：，，∴，∴，∴，令t=，则在上单调递增，∴故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上13. 已知：则__________.【答案】2【解析】∵∴故答案为：214. 若幂函数的函数图象经过原点则__________.【答案】2【解析】∵幂函数的函数图象经过原点∴，∴.....................【答案】(-1,1)【解析】令，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据同增异减，可得的单调递增区间为故答案为：16. 已知为上的偶函数，当时，.对于结论（1）当时，；（2）函数的零点个数可以为4,5,7；（3）若，关于的方程有5个不同的实根，则；（4）若函数在区间上恒为正，则实数的范围是.说法正确的序号是__________.【答案】(2)(3)【解析】对于（1），∵为上的偶函数，当时，.∴时，；所以（1）错误；对于（2），，令，则，解得：，从而，若，则可得到，，五个零点；若，同上也是五个根；若，则可得到，或0，进而得到，七个零点；若等于其它值，只有四个零点；∴（2）正确；对于（3），由代入，解得：，经检验适合题意；对于（4），当时，，解得：,即，或，由特例不难发现不适合题意，故（4）错误综上：正确的序号是(2)(3)点睛：解决复合函数零点问题的一般方法为：利用函数图象由外向内依次求解，此外，还需要认真画图动态观察，一些重要数据还需认真求解.三.解答题（17题10分其余每小题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 计算下列各式的值：【答案】(1) （2）4【解析】试题分析：分别根据指数幂和对数的运算法则进行计算即可．试题解析：18. 已知函数（1）解不等式（2）求证：函数在上为增函数.【答案】(1) {x|}.（2）见解析【解析】试题分析：(1)分成两段解不等式组即可；(2)利用单调性定义加以证明.试题解析：解：（1）当时，由，得解得又，当时，由，得解得综上所述，原不等式的解集为{x|}.（2）证明：设任意，且.则由，得，由，得所以，即.所以函数在上为增函数.点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.19. 已知集合（1）求集合（2）已知集合若集合,求实数的取值范围.【答案】(1) ，（2）【解析】试题分析：（1）利用指对函数的图象与性质化简两个集合；（2）集合,分两种情况进行考虑.试题解析：（1）（2）点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.20. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。
2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒=（ ） A ．0B ．12C ．12-D 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222a b c tanB -+=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 3．已知110a b <<，给出下列三个结论：①22a b <；②2b a a b+>；③2lg lg a ab >.中所有的正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．12B ．11C ．10D ．95．如图，点A 、B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为(45,−35)，∠AOC =α，若|AB |=1, 则sinα的值为（ ）………○………………○……※※请※………○………………○……A ．−3+4√310B ．3+4√310C ．4+3√310D ．−4+3√3106．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（ ）A B C D 8．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅-=有一个根为1，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2010210S S -=，则3020S S -的最小值为（ ） A ．40B ．30C ．20D ．1010．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，则且当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，则m 的值为（ ）A ．58B ．12C ．58和12D ．58和12-11．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42xg x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ） A ．10,⎛⎫ ⎪B ．1,⎛⎫-∞ ⎪ C ．7,0⎛⎫-⎪ D ．7,⎛⎫-∞-⎪12．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦L ，求整数n 的值是（ ）A ．120B ．121C ．122D ．123第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 14．已知正数a ，b 满足a b >，且1ab =，则12aba a a b-+-的最小值为______. 15．已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos 3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则39S =______.16．定义11222n nn a a a H n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均值”12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为__________． 三、解答题17．已知函数2()cos cos 444x x x f x =+． （1）若()1f x =，求2πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．18．ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4csinC =(b +a)(sinB −sinA). （1）试问a ，b ，c 是否可能依次成等差数列？为什么？ （2）当cosC 取得最小值时，求ca .○…………装…………请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………19．已知等差数列{}n a 满足：42a =-，253a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n nnb b a +-=，求数列{}n b 的通项公式. 20．已知等比数列{}n a 的公比(1,)q ∈+∞，前n 项和为n S ，若3248S a +=，且223a -是1a 与3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，记数列{}n a 的前n 项和n T ，若存在*n N ∈使1n nT m a <+成立，求实数m 的取值范围. 21．如图，某机械厂欲从2AB =米，AD =ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()fθ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11221n n n S a ++=-+（*n N ∈），且25a =.（1）证明n na +12⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()nn 3n b =log a +2，且n 2222123n1111T =++++b b b b L 证明2n T <； （3）在（2）小问的条件下，若对任意的*n N ∈，不等式参考答案1．B 【解析】 【分析】由两角差余弦公式计算． 【详解】原式=1cos(7515)cos602︒-︒=︒=． 故选：B. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理及同角基本关系式即可得出． 【详解】∵()222a b c tanB -+=，∴222a c b ac tanB+-=．∴cos B 22222a c b ac tanB+-==，∴sin B =B ∈（0，π）． ∴B 3π=或23π． 故选D ． 【点睛】本题考查了三角函数求值、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】代入,a b 的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项.【详解】不妨设2,1-=-=b a ，满足110a b<<.代入验证①()()2212-<-成立，代入②2152122--+=>--成立，代入③()2lg 10lg 2-=<错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查利用特殊值进行实数比较大小，还考查对数的运算，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，只是公比不同，然后由等比数列前n 项和公式计算可得． 【详解】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{},{}n n a b ，它们都是等比数列，111a b ==，数列{}n a 的公比为12q =，数列{}n b 的公比为212q =，设需要n 天能打穿墙， 则1212()()n n a a a b b b +++++++L L 111()121221112212nnn n ---=+=+---， 10n =时，19112110251025120022n n -+-=-≈<，11n =时，110112120492049120022n n -+-=-≈>，因此需要11天才能打穿． 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的应用，掌握等比数列的前n 项和公式是解题关键． 5．A 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A 的坐标,由A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合sin 2α+cos 2α=1，即可解得sinα的值． 【详解】半径r ＝|OB |=√(45)2+(−35)2=1，由三角函数定义知，点A 的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B 的坐标为（45，−35），|BC |=1， ∴1=√(45−cosα)2+(−35−sinα)2，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又sin 2α+cos 2α=1，∴解得sin α=−3+4√310或−3−4√310，又点A 位于第一象限，∴0<α<π2，∴sin α=−3+4√310， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.【详解】{}n a Q 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7．B 【解析】设2BC m = ，则2222224746022424m m m BC m m m +-+-+=⇒===⨯⨯选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 8．A 【解析】 【分析】把1x =代入方程，由降幂公式降幂后由诱导公式及两角和的余弦公式变形后可得． 【详解】由题意21cos cos cos02C A B --=，21cos cos cos sin 22C CA B -==， 2cos cos 1cos 1cos()1cos cos sin sin A B C A B A B A B =-=++=+-，∴cos()1A B -=，因为,A B 是三角形内角，∴0A B -=，即A B =． 因此ABC ∆是等腰三角形． 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断．利用降幂公式，诱导公式，两角和与差的余弦公式变形即可得． 9．A 【解析】 【分析】由等比数列性质把和式用10S 和q 表示，求比值302020102S S S S --后用基本不等式可得最小值．【详解】∵{}n a 是正项等比数列，∴302020102S S S S --20201010101010(1)21q S q q S S q ==+--20101010111111q q q q -+==++--10101121q q =-++-24≥=，当且仅当1010111q q -=-，即102q =时等号成立． ∴3020S S -的最小值为41040⨯=．故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查基本不等式求最值，解题时可把10S 作为一个整体，表示出302020102S S S S --后容易观察到用基本不等式求最小值．10．B 【解析】 由图可知，143124T πππ=-=，解得πT =,于是2πT πω==，得2ω=.因为22?sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以2π2k π,k Z 32πϕ+=+∈，又2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.()()22sin 44m?sin 2cos 44m?sin 212266366g x mf x x x x x sin x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222[2]216sin x m m π⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭.因为5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是220,?63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,16x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.①当0m <时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符； ②当01m ≤≤时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221m +， 由已知得23212m +=，解得12m =. ③当1m >时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值4m 1-. 由已知得34m 12-=，解得58m =,矛盾. 综上所述：12m =. 故选B.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ 11．C 【解析】 【分析】先求得()0<g x 的解集12x <，接着用分类讨论方法解不等式()0f x <，只要12x ≥时，()0f x <即可．【详解】由()420xg x =-<得12x <， 因此对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，只要12x ≥时，()0f x <即可， ()()()23f x m x m x m =-++，∴0m <，()0f x =2x m ⇒=或3x m =--，由23m m =--得1m =-，当10m -≤<时，23m m ≥--，()0f x <⇒2x m >或3x m <+，∴122m <，14m <，∴10m -≤<满足题意，当1m <-时，23m m <--，()0f x <⇒2x m <或3x m >--，∴132m --<，72m >-，∴712m -<<-， 综上，702m -<<． 故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法． 12．C 【解析】 【分析】由已知得210n n n a a a +-=>，确定数列{}n a 是递增数列，1{}n a 是递减数列，且10na >，已知式变为11111n n n a a a +=-+，即11111n n n a a a +=-+，1111n n n a a a =-++，求和得1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--，利用单调性估值1111n a a +-，2n ≥时，1311a a -≤1111n a a +-11a <，然后可求得1212[]111n n a a a a a a ++++++L ． 【详解】∵()11n n n a a a +=+2n n a a =+，∴210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，从而数列1{}n a 是递减数列，且10na >， 又由()11n n n a a a +=+得11111n n n a a a +=-+， 即11111n n n a a a +=-+，1111111n n n n n a a a a a +-==-+++，∴1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--， ∴1212[]111n n a a a a a a ++++++L 1111[()]n n a a +=--，又1111112n a a a +-<=， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，2n ≥时，111311112621n a a a a +-≥-=，此时1212[]111n n a a a a a a ++++++L 2n =-， 由2120n -=，得122n =． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的递推关系式，考查裂项相消法求和、数列的单调性，考查学生的创新意识． 13．2 【解析】试题分析：x=1时，a-6+2a =0（1）1a =-3，-32x -6x+9<0,得x<-3,或x>1,与题不合。
2019-2020学年成都七中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年成都七中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数为上的减函数，则满足的实数的取值范围是()A. B.C. D.2.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()．A. B. − C. ± D. −3.已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β.②若m//α，n//α，则m//n，③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β.④若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β，其中真命题有()A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④4.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，则实数m的取值范围是()A. [1,√2)B. [1,√2]C. (1,√2)D. [1,+∞)5.如果直线y=2x−1和y=kx互相垂直，则实数k的值为()A. 2B. 12C. −2 D. −126.设x，y满足约束条件{x+3y≤3x−y≤1x+y≥1，则z=x+2y的最大值为()A. 3B. 2C. 1D. 527. 已知{a n }是等差数列，a 1=−9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 8. 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a =bcosC +csinB ，且sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 9. 已知函数f(x)={ln(−x),x <0x e x−1．x ≥0，若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则m 的取值范围是( )A. −1≤m <45B. m ≤−1或m >1C. m =−1或m >1D. m =−1或0<m <1 10. 若f(x)=4sin(2x +2π3)在[−π12,θ]上的值域为[−2,4]，则θ的值是( ) A. 0 B. π12 C. π6 D. π4 11. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，则( )A. a,b,c 依次成等差数列B. a,b,c 依次成等比数列C. a,c,b 依次成等差数列D. a,c,b 依次成等比数列12. 在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚．现有直径为2m 的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚．设正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于______ ．14. (理科做)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，则直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系为(1)(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R))的值；(I)求f(3π8(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．17.在四棱锥P−ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．(Ⅰ)求证：BE//平面APD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面PBD．18.如图，鱼雷快艇在A处发现正北方向上有一敌舰在B处以30nmile/ℎ的速度朝正东北方向行驶，此时立刻发射鱼雷，鱼雷速度50nmile/ℎ，且经过th后在C处击中敌舰，求鱼雷发射方向与正北方向的夹角α的正弦值．(n≥2,n∈N)，首项为a1>1．19.已知数列{a n}满足a n=4a n−1−6a n−1−1(1)若a1>a2，求a1的取值范围；(n∈N∗)，当2<a1<3时，求证：数列{b n}是等比数列；(2)记b n=a n−3a n−2(3)若a n>a n+1(n∈N∗)恒成立，求a1的取值范围．20.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=3×2n−3，其中n∈N∗．(I)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)数列{b n}为等差数列，T n为其前n项和，b2=a5，b11=S3，求T n的最值．21.在平面内，已知圆P经过点F(0,1)且和直线y+1=0相切．(1)求圆心P的轨迹方程；(2)过F的直线l与圆心P的轨迹交于A、B两点，与圆M：(x−1)2+(y−4)2=4交于C、D两点，若|AC|=|BD|，求三角形OAB的面积．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查函数单调性的应用，绝对值不等式.属于中档题．解：因为函数为上的减函数，且满足，那么：，解不等式有：．故选．2.答案：B解析：如图，∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤，当∠AOB=时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d=．设AB方程为y=k(x−)(k<0)，即kx−y−k=0．由d==，得k=−.(也可k=−tan∠OPH=−).3.答案：B解析：解：α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，①，若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可得α//β，故①正确；②，若m//α，n//α，可得m//n或m，n相交或异面，故②错误；③，若m⊂α，m⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故③正确；④，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，若α⊥β，可得m⊥β，若α、β相交，则m⊥β不成立，故④错误．可得①③正确，②④错误．故选：B．由垂直于同一直线的两个平面平行，可判断①；由线面平行的性质和线线的位置关系可判断②；由面面垂直的判定定理可判断③；由面面垂直的性质定理可判断④．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的性质，利用函数的零点求参数的取值范围，属于中档题．首先把三角函数式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步利用函数的零点转化成求方程的根，最后通过求y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，求出参数的范围．解：已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，即方程f(x)=0在[0,π2]上有两个实根．即：设函数y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，y2=(sinx+cosx)2−2sin2x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，x∈[0,π2]，π4≤2x+π4≤5π4，根据函数的图象求得：1≤m<√2，故选：A．5.答案：D解析：解：∵直线y=2x−1和y=kx互相垂直，∴2k=−1，解得k=−12．故选：D利用直线垂直的条件求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．6.答案：D解析：解：x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≤1x +y ≥1的可行域如图：当目标函数经过图中A 时使得z 最大；由{x +3y =3x −y =1得到A(32,12)， 所以z 最大值为32+2×12=52；故选：D ．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 7.答案：B解析：试题分析：，令，所以前5项和最小 考点：等差数列求和求通项点评：本题还可求出前n 项和，再求其取得最值的条件 8.答案：C解析：本题考查三角形形状的判定，考查正弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．由a =bcosC +csinB ，利用正弦定理化边为角，求得B =π4；由sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC 再由正弦定理化角为边，求得A =π4，则答案可求．解：由a =bcosC +csinB ，由正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ，即sin(B +C)=sinBcosC +sinCsinB ，∴sinBcosC +cosBsinC =sinBcosC +sinCsinB ，得cosBsinC =sinCsinB ，∵sinC ≠0，∴sinB =cosB ，即tanB =1．又B ∈(0,π)，∴B =π4；又sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ， 由正弦定理得a 2=b 2+c 2−√2bc ，即√2bc =b 2+c 2−a 2，又b 2+c 2−a 2=2bc ⋅cosA ，∴√2bc =2bc ⋅cosA ，得cosA =√22， 又A ∈(0,π)，∴A =π4．则C =π−π4−π4=π2．即△ABC 的形状为等腰直角三角形．故选：C ． 9.答案：D解析：解：作出函数f(x)的图象如图：令t =f(x)，由图可知，当t <0或t >1时，方程f(x)=t 有1解；当t =0或t =1时，方程f(x)=t 有2解；当0<t <1时，方程f(x)=t 有3解．若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则方程t 2+mt −m(m +1)=0必有两个不等的实数根，∴△=m 2+4m(m +1)>0，解得m >0，或m <−45．不妨设这两个根为t 1<t 2且t 1<t 2，则{t 1=0t 2=1或{t 1<00<t 2<1或{0<t 1<1t 2>1， 令g(t)=t 2+mt −m(m −1)，则{m(m −1)=01+m −m(m −1)=0或{m(m −1)>01+m −m(m −1)>0或{m(m −1)<01+m −m(m −1)<0， 解得0<m <1或m =−1．故选D ．作出f(x)的函数图象，得出方程f(x)=t的解得个数，从而确定关于t的方程t2+mt−m(m+1)=0的解得分布情况，根据二次函数的性质列出不等式解出m的范围．本题考查了方程的解与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．10.答案：D解析：解：因为f(x)=4sin(2x+2π3)；且x∈[−π12,θ]⇒2x+2π3∈[π2,2θ+2π3]；∵值域为[−2,4]，则2θ+2π3=5π6⇒θ=π4；故选：D．根据x的范围求出2x+2π3的范围；再结合正弦函数的图象和性质即可解题本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力，需要熟练掌握三角函数的图象和性质．11.答案：B解析：解：因为sin A、sin B、sin C依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．12.答案：C解析：解：设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=30°，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α．要使S△ABD最大，只需DF最大．在△CFD中，CFsin30∘=DFsin(150∘−α)．∴DF=CF⋅sin(150°−α)sin30∘．∵CF为定值，∴当α=60°时，DF最大．故圆面与阴影面所成角的大小为60°．故选：C．设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD的面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α，进而可知要使S△ABD最大，只需DF最大．利用正弦定理求得DF的表达式，利用正弦函数的性质求得圆面与阴影面所成角的大小．本题考查解三角形的实际应用、正弦定理、立体几何的应用，考查三角形、正弦定理、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．13.答案：725解析：根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cosθ−5sinθ=1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2θ的值，然后根据θ的范围求出2θ的范围即可判断出cos2θ的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2θ即可求出cos2θ的值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．本题的突破点是将已知的两等式两边平方．解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．∴5cosθ−5sinθ=1，∴cosθ−sinθ=15．∴两边平方得：1−sin2θ=125，∴sin2θ=2425．∵θ是直角三角形中较小的锐角，∴0<θ<π4,0<2θ<π2．∴cos2θ=√1−sin 22θ=725． 故答案为 725．14.答案：√55 解析：解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =BC =2AA 1=2，则A(2,0，0)，C 1(0,2，1)，B 1(2,2，1)，C(0,2，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，−1)，设直线AC 1与B 1C 所成角为θ，则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√9⋅√5=√55． ∴直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为√55． 故答案为：√55． 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：相交2解析：解：圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −2=0，可化为(x +1)2+(y +1)2=4，其圆心坐标C 1(−1,−1)，半径为2，圆C 2：x 2+y 2−4x −2y +1=0，可化为(x −2)2+(y −1)2=4，其圆心坐标C 2(2,1)，半径为2， 又|C 1C 2|=√(2+1)2+(1+1)2=√13<2+2=4，．则两圆的位置关系为：相交，故它们的公切线有2条．故答案为：相交；2．依题意可求得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径，计算两圆心之间的距离即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系的判定，分别求得两圆的圆心坐标与半径是判断的关键，属于中档题．16.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=1+cos2x2+12sin2x=√22(√22sin2x+√22cos2x)+12 =√22sin(2x+π4)+12∴f(3π8)=√22sinπ+12(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2∴2kπ−3π4≤2x≤2kπ+π4，即kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)时，f(x)单调递增．∴f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)解析：本题考查二倍角的正弦与余弦，考察辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的单调性，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角的正弦与余弦和辅助角公式将f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)化简为：f(x)=√2 2sin(2x+π4)+12.即可求f(3π8)的值；(Ⅱ)由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2即可求得f(x)的单调递增区间．17.答案：证明：(1)取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，∴EF//CD，且EF=12CD=1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，∴EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，∴BE//AF，BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE//平面PAD(2)平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD在直角梯形ABCD中，BD=BC=√2,DC=2，∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．解析：(1)取PD 的中点F ，连结EF ，AF ，证明EF//CD ，EF//AB ，推出BE//AF ，通过直线与平面平行的判定定理证明BE//平面PAD ．(2)证明DB ⊥BC.PD ⊥BC ，然后证明BC ⊥平面PBD ．本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力． 18.答案：解：由题可得，在△ABC 中，∠ABC =135°，AC =50t ，BC =30t ，由正弦定理，得30t sinα=50t sin135∘，得sinα=3√210． 解析：根据示意图，直接利用正弦定理即可得到答案．本题主要考查解三角形的实际应用，属于基础题．19.答案：(1)解：∵a 2=4a 1−6a 1−1， ∴由a 1>a 2，即4a 1−6a1−1−a 1<0，∴a 12−5a 1+6a 1−1>0，∵a 1>1，∴a 12−5a 1+6>0，(2分)∴a 1>3或1<a 1<2；(4分)(2)证明：由b n =a n −3a n −2=4a n−1−6a n−1−1−34a n−1−6a n−1−1−2=12⋅a n−1−3a n−1−2=12b n−1(6分) ∵b 1=a 1−3a 1−2≠0 ∴{b n }是等比数列，且b n =(12)n−1⋅b 1(10分) (3)解：由(1)有a 1>3或1<a 1<2.于是b 1=a 1−3a 1−2>0， 由(2)可知b n =(12)n−1⋅b 1，又b n =a n −3a n −2，得a n =11−b n +2，(12分) 故a n+1−a n =11−b n+1+2−11−b n+1+2=b n+1−b n (1−b n+1)(1−b n ) =⋯=−(12)n b 1[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]<0.(14分) 所以[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]>0，从而0<b 1<2n−1或b 1>2n 恒成立．因此0<b 1<1，(16分)即0<a 1−3a 1−2<1，则a 1的范围为a 1>3.(18分)解析：(1)先求出a 2，利用a 1>a 2，a 1>1，即可求出a 1的取值范围；(2)由b n =a n −3a n −2，代入条件，利用等比数列的定义，即可证明； (3)利用a n+1−a n >0，确定b 1的范围，即可确定a 1的范围．本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ) 由S n =3×2n −3，(i)当n =1时，a 1=S 1=3×2−3=3，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3×2n −3)−(3×2n−1−3)=3×2n−1(∗)其中，n =1时，a 1=3也满足(∗)式，所以，对任意n ∈N ∗，都有a n =3×2n−1；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，b 2=a 5=3×24=48，b 11=S 3=3×23−3=21，由等差数列的通项公式得，{b 2=b 1+d =48b 11=b 1+10d =21，解得{b 1=51d =−3， 所以b n =54−3n ；可以看出b n 随着n 的增大而减小，b 1=51>0，令b n =0，解得n =18，所以T n 有最大值，且T 18(或T 17)为前n 项和T n 的最大值，且T 18=18(b 1+b 18)2=9×(51+0)=459．解析：(Ⅰ) 运用数列的递推式：(i)当n =1时，a 1=S 1，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项公式；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，运用等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，讨论b n 随着n 的增大而减小，可得所求和的最大值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的前n 项和的最值，注意分析数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)设圆心P(x,y)，由圆P 经过点F(0,1)且和直线y +1=0相切，可得√x 2+(y −1)2=|y +1|，两边平方化简得x 2=4y ；(2)显然直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，由于l 过焦点F(0,1)，所以直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由于|AC|=|BD|，所以N 点也是线段AB 的中点，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、N(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，由{x 2=4y y =kx +1得x 2−4kx −4=0，所以x 1+x 2=4k ， ∴x 0=2k ，y 0=2k 2+1，即N(2k,2k 2+1)，∵k MN =−1k ，即(2k 2+1)−42k−1=−1k ， 整理得2k 3−k −1=0，即(k −1)(2k 2+2k +1)=0，∴k =1，∵|AB|=y 1+y 2+2=(x 1+1)+(x 2+1)+2=8，原点到直线AB 的距离为d =√2=√22， ∴S △OAB =12⋅|AB|⋅d =2√2． 解析：本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和两点距离公式，考查三角形的面积的求法，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题．(1)设圆心P(x,y)，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，平方后化简整理可得P 的轨迹方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得N 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求得k ，|AB|，再由三角形的面积公式计算可得所求值．。
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）
17.已知函数������(������)
=
√3������������������
������ 4
������������������
������ 4
+
������������������2
���4���.
(1)若������(������) = 1，求������������������ (2������ − ������)的值；
A. 40
B. 30
C. 20
D. 10
10. 已知函数 f x 2sin x ( 0, ) ，过点 A( , 0) ，B( , 2) ，则
2
12
3
当 x [ , 5 ] ，且 g x 2mf x sin(4x ) 的最大值为 3 ，则������的值为（ ）
12 12
6
2
5
A.
1
B.
C. 5 和 1
D. 5 和- 1
8
2
82
82
11.已知 f x m x 2m x m 3, g x 4x 2，若对任意 x R, f x 0或g x 0 ，则������的取
值范围是（ ）
A. (0, 1是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4. 我国古代数学典籍≪九章算术≫第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的 墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半， 则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为 1200 尺，则需要几天时 间才能打穿（结果取整数）（ ）
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题参考答案
成都七中2019-2020学年度下期高2021届半期考试数学答案一、选择题：（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13.214.2√215.78612 16. 167[]73，三、解答题17.解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12. ⋯⋯2分由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12.令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3，sin θ＝12.cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12. ⋯⋯5分(2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3， ⋯⋯7分B ＋C ＝2π3，所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2， ⋯⋯8分所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)．所以f (B )的取值范围是(1，32)．⋯⋯10分18.（1）解：∵ 4csinC =(b +a)(sinB −sinA) ，∴ 4sin 2C =sin 2B −sin 2A ，∴ 4c 2=b 2−a 2 .假设 a ， b ， c 依次成等差数列，则 b =a+c 2，则 4c 2+a 2=(a+c 2)2，即 15c 2+3a 2=2ac ，又 15c 2+3a 2≠2ac ，从而假设不成立，故 a ， b ， c 不可能依次成等差数列. ⋯⋯6分 （2）解：∵ 4c 2=b 2−a 2 ，∴ c 2=b 2−a 24. ∵ cosC =a 2+b 2−c 22ab ，∴ cosC =a 2+b 2−b 2−a 242ab =5a 2+3b 28ab.∴ cosC =5a 2+3b 28ab≥2√5a 2×3b 28ab=√154，⋯⋯9分当且仅当 5a 2=3b 2 ，即 b =√153a 时，取等号. ⋯⋯10分∵ c 2=b 2−a 24=(√153a)2−a 24=a 26，∴ c a=√66. ⋯⋯12分19.解412511325=1=a a d a a a d a d =+⎧⎨+=+⎩⇒由题意得：，-1⋯⋯4分（2）解：解： b n+1−b n =(2−n)2n ，有 {b 2−b 1=1×21b 3−b 2=0×22……b n −b n−1=(3−n)×2n−1(n ≥2) 累加整理b n =1+1×21+0×22+⋯+(3−n)×2n−1，(n ≥2) ①⋯⋯8分 2b n =2+1×22+0×23+⋯+(3−n)×2n ，(n ≥2) ② ② − ① 得 b n =1−2+1×221−2n−21−2+(3−n)2n =(4−n)2n −5(n ≥2)b 1=1 满足上式，故 b n =(4−n)2n −5 . ⋯⋯12分20．【答案】 （1）{a 1+2a 2+a 3=48a 1+a 3=4a 2−6∴{a 2=9q =3∴a n =3n ⋯⋯4分(2)因为b n =3n(3n −1)(3n+1−1)=12(13n −1−13n+1−1) . ⋯⋯5分 所以S n =b 1+b 2+⋯b n = 12(12−132−1+132−1−133−1+⋯+13n −1−13n+1−1)=12(12−13n+1−1)⋯⋯7分又因为存在 使S n<1a n+m 成立，所以12(12−13n+1−1)<13n+m 有解，即(12(12−13n+1−1)−13n )min<m ,令f (x )=14−12(3x+1−1)−13x ，则函数y =f (x )在[1,+∞)上单调递增⋯⋯10分所以，当x =1时，f (x )=−748 ， 所以，m >−748⋯⋯12分21.解:过点 F 作 FM ⊥BE ，垂足为 M . 在 RtΔFME 中, MF =2,∠EMF =π2,∠FEM =θ 所以 EF =2sinθ,ME =2tanθ 故 AF =BM =EF −EM =2sinθ−2tanθ所以 f(θ)=12(AF +BE)×AB =12×(2sinθ−2tanθ+2sinθ)×2=4sinθ−2tanθ⋯⋯3分据题意， AF <BE ，所以 θ<π2且当点 E 重合于点 C 时， EF =EB =2√2,FM =2,θ=π4 所以函数 f(θ)=4sinθ−2tanθ的定义域为 [π4,π2)⋯⋯5分（2）解:由（1）可知， f(θ)=4sinθ−2tanθ=4(sin 2θ2+cos 2θ2)2sin θ2cos 2θ2−22tanθ21−tan 2θ2=2(tan θ2+1tan θ2)−(1tan θ2−tan θ2)=3tan θ2+1tan θ2≥2√3tan θ2×1tan θ2=2√3⋯⋯9分当且仅当 3tan θ2=1tan θ2时，不等号取等号又 θ∈[π4,π2),θ2∈[π8,π4) 故 tan θ2=√33,θ2=π6,θ=π3BE =2sinθ=4√33,AF =2sinθ−2tanθ=2√33答：当 BE,AF 的长度分别为4√33米，2√33米时，裁剪出的四边形 ABEF 的面积最小，最小值为 2√3 平方米. ⋯⋯12分 22、【答案】（1）解：在 中令 ，得 即，∵解得当 时，由 ，得到则1131(1)222n nn na a +++=+又 ，则数列 12n na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以 为首项，为公比的等比数列，，即⋯⋯4分（2）解： ，则 ，当 时 ，当时，，=2−1n综上，⋯⋯8分（3）解：当 恒成立时，即（ ）恒成立设 （），当 时， 恒成立，则满足条件；当 时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是⋯⋯12分。
2019-2020学年四川省成都市高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年四川省成都市高一（下）期中数学试卷一、选择题1. sin15∘cos15∘＝（）A.1 4B.√34C.12D.√32【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由正弦的倍角公式变形即可解之．【解答】因为sin2α＝2sinαcosα，所以sin15∘cos15∘=12sin30∘=14．2. 不等式3+5x−2x2>0的解集为（）A.(−3, 12) B.(−∞, −3)∪(12, +∞)C.(−12, 3) D.(−∞, −12)∪(3, +∞)【答案】C【考点】一元二次不等式的解法【解析】把不等式化为一般形式，求出解集即可．【解答】解：不等式3+5x−2x2>0可化为2x2−5x−3<0，即(2x+1)(x−3)<0，解得−12<x<3，所以原不等式的解集为(−12, 3)．故选C.3. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9＝10，则S12等于（）A.30B.45C.60D.120【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】由等差数列的性质可得：S12=(a1+a12)×122=6×(a4+a9)=60．4. 已知sin(π2−α)=35，则cos(π+α)的值为( )A.4 5B.−45C.35D.−35【答案】D【考点】三角函数的化简求值【解析】利用诱导公式先求出cosα=35，cos(π+α)=−cosα，由此能求出结果．【解答】解：∵sin(π2−α)=35，∴cosα=35，∴cos(π+α)=−cosα=−35．故选D.5. 若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.ac >bdB.ac<bdC.ad>bcD.ad<bc【答案】D【考点】不等式性质的应用不等式比较两数大小【解析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=−3，d=−1，则ac =−1，bd=−1，∴A，B不正确；a d =−3，bc=−13，∴C不正确，D正确．故选D．6. 在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角D.等腰或直角三角形【答案】A【考点】正弦定理【解析】由已知及余弦定理即可解得b＝c，从而得解．【解答】∵a2b=cos C，又∵cos C=a 2+b2−c22ab，∴a2+b2−c22ab =a2b，整理可得：b2＝c2，∴解得：b＝c．即三角形一定为等腰三角形．7. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45∘，塔底C的仰角15∘，则井架的高BC为（）A.20√2mB.30√2mC.20√3mD.30√3m【答案】B【考点】正弦定理任意角的三角函数【解析】由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC的长度．【解答】由题意得，∠BAC＝45∘−15∘＝30∘，∠ABC＝α＝45∘，且AC＝60m，在△ABC中，由正弦定理得，BC sin∠BAC =ACsin∠ABC，即BCsin300=60sin450，解得BC＝30√2(m)，8. 已知x，y∈(0, +∞)，且满足1x +12y=1，那么x+4y的最小值为（）A.3−√2B.3+2√2C.3+√2D.4√2【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】∵x，y∈(0, +∞)，且满足1x +12y=1，那么x+4y＝(x+4y)(1x +12y)=3+4yx+x2y≥3+2√4yx⋅x2y=3+2√2，当且仅当x＝2√2y＝1+√2时取等号．∴最小值为3+2√2．9. 已知{a n}是等比数列，且a5=12，4a3+a7＝2，则a9＝（）A.2B.±2C.8D.18【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．【解答】在等比数列{a n}中，由a5=12，得a3a7=a52=14，又4a3+a7＝2，联立解得：a3=14．则q=a5a3=1214=2，∴a9=a5q2=12×4=2．10. 已知sinα−2cosα=√102，则tan2α＝（）A.4 3B.−34C.34D.−43【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】∵sinα−2cosα=√102，∴sin2α−4sinα⋅cosα+4cos2α=52，化简得4sin2α＝3cos2α，∴tan2α=sin2αcos2α=34，11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a2，则cb+bc最大值为（）A.2B.√2C.2√2D.4【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知可得：12a×a2=12bc sin A，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2−2bc cos A，bc+cb=2sin A+2cos A＝2√2sin(A+π4)，即可得出．【解答】由已知可得：12a×a2=12bc sin A，可得2bc sin A＝a2＝b2+c2−2bc cos A，∴bc +cb=2sin A+2cos A＝2√2sin(A+π4)≤2√2，当且仅当A=π4时取等号．12. 给出以下三个结论：①若数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1(n∈N∗)，则其通项公式为a n＝2⋅3n−1；②已知a>b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，则a2+b2a−b的最小值为2√2；③若正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，且不等式(x+2y)a2+2a+2xy−34≥0恒成立，则实数a的取值范围是(−∞, −3]∪[52, +∞)．其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】①根据数列的前n项和求出通项公式，判断①错误；②根据一元二次不等式恒成立以及特称命题求得ab的关系，再利用换元法求出a2+b2a−b的最小值，判断②正确；③利用基本不等式求出xy的最小值，再转化为关于a的不等式，求出实数a的取值范围，判断③正确．【解答】对于①，数列{a n}的前n项和为S n＝3n+1(n∈N∗)，∴S n−1＝3n−1+1(n≥2)，∴a n＝S n−S n−1＝3n−3n−1＝2⋅3n−1(n≥2)，又a1＝S1＝4，∴通项公式为a n={2⋅3n−1,n≥24,n=1，①错误；对于②，a>b时，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴{a>0△=4−4ab≤0，∴a>0，且ab≥1；又存在x0∈R，使ax02+2x0+b＝0成立，可得△＝0，∴ab＝1，∴a>1；∴a2+b2a−b =a2+1a2a−1a=a4+1a3−a>0；∴(a4+1a3−a )2=a8+1+2a4a6+a2−2a4=a4+1a4+2a2+1a2−2=(a2+1a2)2a2+1a2−2，令a2+1a2=t，则t>2，∴(a4+1a3−a )2=t2t−2=(t−2)2+4(t−2)+4t−2=(t−2)+4+4t−2≥2√(t−2)⋅4t−2+4＝8，当且仅当t＝4时“＝”成立；∴(a4+1a3−a )2的最小值为8，即a2+b2a−b的最小值为√8=2√2，②正确；对于③，正实数x，y满足x+2y+4＝4xy，可得x+2y＝4xy−4，∴不等式(x+2y)a2+2a+2xy≥34恒成立，即(4xy−4)a2+2a+2xy≥34恒成立，变形可得2xy(2a2+1)≥4a2−2a+34恒成立，即xy≥2a 2−a+172a2+1恒成立，∵x>0，y>0，∴x+2y≥2√xy，∴4xy＝x+2y+4≥4+2√xy，即2(√xy)2−√2⋅√xy−2≥0，解不等式可得√xy≥√2，或√xy≤−√22（舍负）可得xy≥2，要使xy≥2a 2−a+172a+1恒成立，只需2≥2a2−a+172a+1恒成立，化简可得2a2+a−15≥0，即(a+3)(2a−5)≥0，解得a≤−3或a≥52，∴实数a的取值范围是(−∞, −3]∪[52, +∞)，③正确．综上，正确的命题是②③．二、填空题在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，c＝1，B=π3，则b的值为________．【答案】√7【考点】余弦定理【解析】由余弦定理可得b2＝a2+c2−2ac cos B，代入计算即可得到所求值．【解答】a＝3，c＝1，B=π3，由余弦定理可得b2＝a2+c2−2ac cos B＝9+1−2×3×1×12=7，可得b =√7．数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a na n +2，则数列{a n }的通项公式a n =________．【答案】 2n +1 【考点】 数列递推式 【解析】 由a 1=1，a n+1=2a n a n +2，两边取倒数可得：1a n+1=12+1a n，即1a n+1−1a n=12，再利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：由a 1=1，a n+1=2a n a n +2，两边取倒数可得：1a n+1=12+1a n，即1a n+1−1a n=12，∴ 数列{1a n}是等差数列，首项为1，公差为12． ∴1a n=1+12(n −1)，解得a n =2n+1．故答案为：2n+1．已知0<α<3π4，且sin (α−π4)=35，则cos 2α＝________．【答案】−2425【考点】二倍角的三角函数 【解析】将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin α−cos α的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出2sin αcos α的值大于0，由α的范围，得到sin α大于0，cos α大于0，利用完全平方公式求出sin α+cos α的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值． 【解答】 ∵ sin (α−π4)=√22(sin α−cos α)=35，∴ sin α−cos α=3√25， ∴ (sin α−cos α)2＝1−2sin αcos α=1825，即2sin αcos α=725>0， ∵ 0<α<3π4，∴sinα>0，cosα>0，即sinα+cosα>0，∴(sinα+cosα)2＝1+2sinαcosα=3225，∴sinα+cosα=4√25，则cos2α＝cos2α−sin2α＝(cosα+sinα)(cosα−sinα)=4√25×(−3√25)=−2425．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f(2)＝2，f(xy)＝xf(y)+yf(x)，a n=f(2n)2n (n∈N∗)，b n=f(2n)n(n∈N∗)，考查下列结论：①f(1)＝1；②f(x)为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是________．【答案】②③④【考点】抽象函数及其应用【解析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．【解答】令y＝−1，有f(−x)＝−f(x)+xf(−1)，代入f(−1)＝0得f(−x)＝−f(x)，故f(x)是(−∞, +∞)上的奇函数．故②正确，（3）若a n=f(2n)2n(n∈N∗)，则a n−a n−1=f(2n)2n −f(2n−1)2n−1=f(2n)−2f(2n−1)2n=2f(2n−1)+2n−1f(2)−2f(2n−1)2n=f(2)2=22=1为常数，故数列{a n}为等差数列，故③正确，④∵f(2)＝2，f(xy)＝xf(y)+yf(x)，∴当x＝y时，f(x2)＝xf(x)+xf(x)＝2xf(x)，则f(22)＝4f(2)＝8＝2×22，f(23)＝22f(2)+2f(22)＝23+2×23=3×23，…则f(2n)＝n×2n，若b n=f(2n)n(n∈N∗)，则b nb n−1=f(2n)nf(2n−1)n−1=(n−1)f(2n)nf(2n−1)=(n−1)⋅n⋅2nn⋅(n−1)⋅2n−1=2为常数，则数列{b n}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题已知不等式ax2+x+c>0的解集为{x|1<x<3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c>0的解集为A，不等式3ax+cm<0的解集为B，且A⊂B ，求实数m 的取值范围． 【答案】∵ 不等式ax 2+x +c >0的解集为{x|1<x <3}， ∴ 1、3是方程ax 2+x +c ＝0的两根，且a <0， 所以{a <01+3=−1a 1×3=ca ；解得a =−14，c =−34； 由（1）得a =−14，c =−34，所以不等式ax 2+2x +4c >0化为−14x 2+2x −3>0，解得2<x <6，∴ A ＝{x|2<x <6}，又3ax +cm <0，即为x +m >0， 解得x >−m ，∴ B ＝{x|x >−m}， ∵ A ⊂B ，∴ {x|2<x <6}⊂{x|x >−m}， ∴ −m ≤2，即m ≥−2， ∴ m 的取值范围是[2, +∞)． 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a 、c 的值； （2）由（1）中a 、c 的值求解不等式ax 2+2x +4c >0，再根据真子集的定义求出m 的取值范围． 【解答】∵ 不等式ax 2+x +c >0的解集为{x|1<x <3}， ∴ 1、3是方程ax 2+x +c ＝0的两根，且a <0， 所以{a <01+3=−1a 1×3=ca；解得a =−14，c =−34；由（1）得a =−14，c =−34，所以不等式ax 2+2x +4c >0化为−14x 2+2x −3>0， 解得2<x <6，∴ A ＝{x|2<x <6}，又3ax +cm <0，即为x +m >0， 解得x >−m ，∴ B ＝{x|x >−m}，∵A⊂B，∴{x|2<x<6}⊂{x|x>−m}，∴−m≤2，即m≥−2，∴m的取值范围是[2, +∞)．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cos B cos C−sin B sin C=12．（1）求角A；（2）若a＝2√3，b+c＝4，求△ABC的面积．【答案】在△ABC中，∵cos B cos C−sin B sin C=12，∴cos(B+C)=12，又∵0<B+C<π，∴B+C=π3，∵A+B+C＝π，∴A=2π3；由余弦定理a2＝b2+c2−2bc⋅cos A，得(2√3)2＝(b+c)2−2bc−2bc⋅cos2π3，把b+c＝4代入得：12＝16−2bc+bc，整理得：bc＝4，则△ABC的面积S=12bc sin A=12×4×√32=√3．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos(B+C)的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】在△ABC中，∵cos B cos C−sin B sin C=12，∴cos(B+C)=12，又∵0<B+C<π，∴B+C=π3，∵A+B+C＝π，∴A=2π3；由余弦定理a 2＝b 2+c 2−2bc ⋅cos A ， 得(2√3)2＝(b +c)2−2bc −2bc ⋅cos2π3，把b +c ＝4代入得：12＝16−2bc +bc ， 整理得：bc ＝4，则△ABC 的面积S =12bc sin A =12×4×√32=√3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】∵ {a n }为等差数列，S 4＝24，S 7＝63． ∴ {S 4=4a 1+4×32d =24S 7=7a 1+7×62d =63 ， 解得{a 1=3d =2，∴ a n ＝2n +1．∵ b n =2a n =22n+1=2⋅4n ， ∴ T n =2(41+42+⋯+4n)=8(4n −1)3．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】∵ {a n }为等差数列，S 4＝24，S 7＝63． ∴ {S 4=4a 1+4×32d =24S 7=7a 1+7×62d =63， 解得{a 1=3d =2，∴ a n ＝2n +1．∵ b n =2a n =22n+1=2⋅4n ， ∴ T n =2(41+42+⋯+4n )=8(4n −1)3．已知向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)．若f(x)=m →⋅n →（1）求f(x)递增区间；（2）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(2a −c)cos B ＝b cos C ，求f(A)的取值范围．【答案】f(x)=m→⋅n→=√3sin x4cos x4+cos2x4=√32sin x2+1+cosx22=sin(x2+π6)+12，由2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2,k∈Z得：4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3,k∈Z，∴f(x)的递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3],k∈Z⋯∵(2a−c)cos B＝b cos C，由正弦定理得(2sin A−sin C)cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B−sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin(B+C)，∵A+B+C＝π，∴sin(B+C)＝sin A≠0，∴cos B=12⋯∵0<B<π，∴B=π3，∴0<A<2π3，∴π6<A2+π6<π2，sin(A2+π6)∈(12,1)，又∵f(x)=sin(x2+π6)+12，∴f(A)=sin(A2+π6)+12，故函数f(A)的取值范围是(1,32)⋯【考点】平面向量数量积的性质及其运算三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）求出函数的解析式，根据正弦函数的性质求出函数的递增区间即可；（2）根据正弦定理得到B的值，求出f(A)的解析式，根据三角函数的性质求出f(A)的范围即可．【解答】f(x)=m→⋅n→=√3sin x4cos x4+cos2x4=√32sin x2+1+cosx22=sin(x2+π6)+12，由2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2,k∈Z得：4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3,k∈Z，∴f(x)的递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3],k∈Z⋯∵(2a−c)cos B＝b cos C，由正弦定理得(2sin A−sin C)cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B−sin C cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin(B+C)，∵A+B+C＝π，∴sin(B+C)＝sin A≠0，∴cos B=12⋯∵0<B<π，∴B=π3，∴0<A<2π3，∴π6<A2+π6<π2，sin(A2+π6)∈(12,1)，又∵f(x)=sin(x2+π6)+12，∴f(A)=sin(A2+π6)+12，故函数f(A)的取值范围是(1,32)⋯设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且对任意正整数n，满足2a n+1+S n−2＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】∵2a n+1+S n−2＝0，∴当n≥2时，2a n+S n−1−2＝0，两式相减得2a n+1−2a n+S n−S n−1＝0，2a n+1−2a n+a n＝0，∴a n+1=12a n；又当n＝1时，2a2+S1−2=0⇒a2=12a1，即a n+1=12a n(n∈N+)，∴{a n}是以首项a1＝1，公比q=12的等比数列，∴数列{a n}的通项公式为a n=(12)n−1；由（1）知，b n=na n=n2n−1，则T n=1+22+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，①1 2Tn=12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，②①-②得12T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=(1−1 2n )1−12−n2n=2(1−12n)−n2n=2−(n+2)12n，所以，数列{b n}的前n项和为T n=4−(n+2)12n−1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）由n≥2时，a n＝S n−S n−1，将n换为n−1相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得b n=na n=n2n−1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【解答】∵2a n+1+S n−2＝0，∴当n≥2时，2a n+S n−1−2＝0，两式相减得2a n+1−2a n+S n−S n−1＝0，2a n+1−2a n+a n＝0，∴a n+1=12a n；又当n＝1时，2a2+S1−2=0⇒a2=12a1，即a n+1=12a n(n∈N+)，∴{a n}是以首项a1＝1，公比q=12的等比数列，∴数列{a n}的通项公式为a n=(12)n−1；由（1）知，b n=na n=n2n−1，则T n =1+22+322+⋯+n−12n−2+n 2n−1，①12Tn =12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n ，② ①-②得12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n 2n=(1−12n )1−12−n 2n =2(1−12n )−n2n =2−(n +2)12n ，所以，数列{b n }的前n 项和为T n =4−(n +2)12n−1．.已知数列{a n }，{b n }满足：a n +b n ＝1，b n+1=b n(1−a n )(1+a n )，且a 1，b 1是函数f(x)＝16x 2−16x +3的零点(a 1<b 1)． （1）求a 1，b 1，b 2；（2）设c n =1b n −1，求证：数列{c n }是等差数列，并求b n 的通项公式；（3）设S n ＝a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+...+a n a n+1，不等式4aS n <b n 恒成立时，求实数a 的取值范围． 【答案】由16x 2−16x +3＝0解得：x 1=14,x 2=34， ∴ a 1=14,b 1=34．由a n +b n =1,b n+1=b n(1−a n )(1+a n)，得b n+1=b nb n (2−b n)=12−b n， 将b 1=34代入得b 2=45．∵ b n+1−1=12−b n−1，∴ 1bn+1−1=2−b nbn−1=1b n −1−1．即c n+1＝c n −1， 又c 1=1b1−1=134−1=−4．故：数列{c n }是以−4为首项，−1为公差的等差数列． 于是c n ＝−4+(n −1)×(−1)＝−n −3， 由c n =1b n −1得b n =1c n+1=1−1n+3=n+2n+3．不由题意及（2）知：a n =1−b n =1n+3．1a n a n+1=1(n+3)(n+4)=1n+3−1n+4．∴ S n ＝a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+...+a n a n+1 =(14−15)+(15−16)+⋯+(1n +3−1n +4) =14−1n +4=n4(n+4)．由4aS n −b n =ann+4−n+2n+3=(a−1)n 2+(3a−6)n−8(n+3)(n+4)<0恒成立，即(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0恒成立即可，） 设f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8①当a ＝1时，f(n)＝−3n −8<0恒成立②当a >1时，由二次函数的性质f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0不可能恒成立． ③当a <1时，由于−3a−62(a−1)=−32(1−1a−1)<0，∴ f(n)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8在[1, +∞)上单调递减， 由f(1)＝(a −1)n 2+(3a −6)n −8＝4a −15<0得a <154，∴ a <1，4aS n <b n 恒成立．综上所述：所求a 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】数列与不等式的综合 等差数列的性质 【解析】（1）由16x 2−16x +3＝0解得：x 1=14,x 2=34，可得a 1，b 1．由a n +b n =1,b n+1=b n(1−a n )(1+a n)，得b n+1=b nb n (2−b n)=12−b n，可得b 2． （2）由b n+1−1=12−b n−1，可得1bn+1−1=2−b nbn−1=1b n −1−1．即c n+1＝c n −1，利用等差数列的通项公式可得c n ，b n ．（3）利用“裂项求和”方法可得S n ，对a 分类讨论，通过转化利用单调性即可得出． 【解答】由16x 2−16x +3＝0解得：x 1=14,x 2=34， ∴ a 1=14,b 1=34．由a n +b n =1,b n+1=b n(1−a n )(1+a n)，得b n+1=b nb n (2−b n)=12−b n， 将b 1=34代入得b 2=45．∵ b n+1−1=12−b n−1，∴ 1bn+1−1=2−b nbn−1=1b n −1−1．即c n+1＝c n −1， 又c 1=1b 1−1=134−1=−4．故：数列{c n }是以−4为首项，−1为公差的等差数列． 于是c n ＝−4+(n −1)×(−1)＝−n −3， 由c n =1bn−1得b n =1c n+1=1−1n+3=n+2n+3． 不由题意及（2）知：a n =1−b n =1n+3．1a n a n+1=1(n+3)(n+4)=1n+3−1n+4．∴S n＝a1a2+a2a3+a3a4+...+a n a n+1=(14−15)+(15−16)+⋯+(1n+3−1n+4)=14−1n+4=n4(n+4)．由4aS n−b n=ann+4−n+2n+3=(a−1)n2+(3a−6)n−8(n+3)(n+4)<0恒成立，即(a−1)n2+(3a−6)n−8<0恒成立即可，）设f(n)＝(a−1)n2+(3a−6)n−8①当a＝1时，f(n)＝−3n−8<0恒成立②当a>1时，由二次函数的性质f(n)＝(a−1)n2+(3a−6)n−8<0不可能恒成立．③当a<1时，由于−3a−62(a−1)=−32(1−1a−1)<0，∴f(n)＝(a−1)n2+(3a−6)n−8在[1, +∞)上单调递减，由f(1)＝(a−1)n2+(3a−6)n−8＝4a−15<0得a<154，∴a<1，4aS n<b n恒成立．综上所述：所求a的取值范围是(−∞, 1]．。
四川省成都市第七中学2020学年高一10月月考数学文试题Word版含解析
成都七中高2020届数学10月阶段性试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 方程的解集为，方程的解集为，且，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，,代入得4-2p+6=0，即p=5，又，代入得4+12-q=0，即q=16，则21，选D.2. 函数定义域是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,解得,即,故选A.3. 若集合，则( )A. 或B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴A B=，故选D4. 如果函数在区间上是递增的，那么实数的取值范围( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在上单调递增, ,,故选B.5. 若函数满足，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令x=1，，则，故选B。
6. 下列各组函数中，是同一函数的是( )①与② 与③与④与⑤与A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①④⑤【答案】C【解析】对于①，= ，与对应法则不同，不合题意；对于②，, ,是同一函数;对于③, , 而，定义域不同，不合题意；对于④，与，定义域均为R，且对应法则相同，是同一函数；对于⑤，, ,定义域不同，不合题意；综上可知，②④符合题意，故选C.点睛:本题考查函数的性质,属于基础题目. 函数的定义：给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数.函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征.7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是奇函数, 不等式可化简为,即,等价于或,又在上为增函数，且，则在上为增函数，且，或,即或,故选D.点睛: 本题主要考查抽象函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同，即在和上分别为增函数，且可得,再将不等式化简为,即或,分两种情况讨论写出解集即可.8. 函数的值域为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,即函数的值域为,故选A.9. 已知是关于的方程两个根，则以下结论正确的是( )A. 的取值范围为B. 若，则的取值范围为C. 的取值范围是D. 若，则的取值范围为【答案】D【解析】选项A,是关于的方程两个根,则,解得,错误;选项B, 若,则,解得,错误;选项C,= ,又,,错误;选项D, 若，设,则,解得,正确;故选D.10. 若表示不超过的最大整数，则关于的不等式解集为( )A. B. 或C. D.【答案】C【解析】不等式,分别画出函数和的图象,如图所示,则当或x=1时满足题意,故选C.11. 定义表示两个数中的较小者，表示两个数中的较大者，设集合都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的都有，,则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，对于M，含2个元素的子集有个,其中, {1，2}、{2，4}、{3，6}、{4，8}可以任选两个; {1，3}、{2，6}符合题意; {2，3}、{4，6}符合题意; {3，4}、{6，8}符合题意;即满足的任意的最多有4个,故的最大值是4,应选C. 12. 函数的定义域为，对于内的任意都有成立，则的值为A. B. C. D. 以上答案均不正确【答案】A【解析】由,可得函数在x=1处取到最大值,即的对称轴为x= =1,解得b=2,又,则的解集为[-1,3],则-c=,即c=3,, 则= ,故选A.点睛:本题考查复合函数的单调性和二次函数的性质,属于中档题目. 由,可得函数在x=1处取到最大值,即根号下开口向下的二次函数的对称轴为x=1,可求出b的值,再由可得x=-1为的一个零点,再根据对称性可得的解集为[-1,3],由韦达定理求出c的值,即可求出函数解析式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知集合，集合满足，则集合有___________个．【答案】【解析】集合,即,集合有个,故填4.14. 写出一个定义域为，值域为的函数解析式__________．【答案】【解析】由题意得,当时, ,函数在对称轴x=1处取最小值0,且y<=4,故填15. 已知函数，与函数图像恰有一个交点，则的范围为__________．【答案】【解析】由题意,当时,,且当时,,与函数图像恰有一个交点，则需;又当时,,图象是一个开口向上且对称轴为y轴的抛物线在的部分, 又与函数图像恰有一个交点,则需a=f(0)=2或;综上可知,的范围为,故填.16. 集合中的元素恰有个整数，则的范围为__________．【答案】【解析】由题意得,解得，则集合中的整数元素最小为1，若整数元素为1和2，则，无解；若整数元素为2和3，则，解得；若若整数元素为3和4，则，解得；综上可得，或,故填.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数（1）写出函数的单调减区间.（不用写出过程）（2）证明：函数在上是减函数.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析:(1)根据反比例函数的性质写出单调区间;(2)由定义法证明函数在上是减函数.试题解析:解：（1）单调区间为（2）证明：取任意的，且，，，，在上是减函数.点睛:本题考查反比例函数的单调性,属于基础题目.在解答题中证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.18. 设全集，集合，若，求的值.【答案】）【解析】试题分析:,可求出a值,确定集合A,,可求出b,通过检验求得集合B,即得出符合条件的的值.试题解析:解：即将代入得或当时，而当时，与矛盾，综上所述点睛: 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示,并注意多值时的检验；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．19. 某工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为万元，已知生产件这样的产品需要在增加可变成本（另增加投入）万元，根据市场调研分析，销售的收入为（万元），，其中是产品售出的数量（单位：百件），假设此种产品的需求量最多为件，设该工厂年利润为万元.（1）将年利润表示为年产量的函数；（2）求年利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，【解析】试题分析:(1)利用年利润=年销售收入-投资成本（包括固定成本），可得年利润表示为年产量的函数；（2）用配方法化简解析式，求出最大值.试题解析:解：（1）设年产量为百件.当时，产品能够全部售出，，当时，只能售出件，，（2）当时，，时，；当时，，综上所述，当时，点睛:本题考查函数模型的实际应用以及分段函数,属于中档题目. 利用年利润=年销售收入-投资成本（包括固定成本），设年产量为百件.当时，产品能够全部售出，当时，只能售出件，分别列出函数解析式;由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值，比较两段的最大值即可求出所求.20. 已知函数（为常数），方程有两个实根，（1）求函数的解析式；（2）设，解关于的不等式：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析:(1) 将分别代入方程,解出a,b的值,求出函数的解析式；(2) 不等式即为，可化为即,比较三个零点的大小,分三类进行讨论,分别写出不等式的解集.试题解析:解：（1）将分别代入方程得解得，所以，（2）不等式即为，可化为即①当，解集为②当时，不等式为解集为③当时，解集为21. 函数对任意的都有，并且当时，（1）判断函数是否为奇函数，（2）证明：在上是增函数，（3）若，解不等式；【答案】（1）不可能是奇函数（2）见解析（3）..................试题解析:解：（1）当时，解得，显然函数不可能是奇函数，（2）任取,且，在上但增.（3）解：令，由题，则，在上单增，，，22. 已知函数（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由，（2）若，求的范围；（3）若，且是否存在，使得对于恒成立，若有，求的解析式？若无，说明理由；【答案】（1）奇函数（2）试题解析:解：（1），，，，为奇.（2）设联立消得：，，，，（3）存在由图像得，。