7第七章参数估计
i1
n
选取使 f xi; dxi 达到最大的作为的估计值.
i1
而 ˆˆ(x1,x2,...,xn) 作为样本观测值的函数,
通常记为 ˆ ˆ(X 1,X 2,...,X n)
如果X为离散型,通常用X 的概率函数P(x; )代替 f(x; ).
定义 设总体X的密度函数为 f (x; 1¸2,... ,l),其中
似然方程组：
ln L
1
2
n
(xi )
i1
0
ln L 2
n 2
2
214
n
(xi
i1
)2
0
解出：
ˆ
1 n
n i1
xi
x
21nin1(xi x)2B2
所以, X 和B2分别为和2的极大似然估计量.
(与和2的矩估计量完全一样)
例2 设总体X服从参数>0的指数分布,其密度为
f(x;)ex x0
EX , DX进行估计, 而数字特征通常与分布中的参数 有一定关系, 因此也称为参数估计.
总体 随机抽样
样本 加工
统计量
统计分析
作出推断
§7.1 点估计
适当选择一个统计量，用此统计量的观测值作为 未知参数的近似值。
例1 已知某地区新生婴儿的体重X~ N(, 2)， 未知, 随机抽查100个婴儿得到100 个体重数据：
定义: 如果总体X的分布函数F(x; 1¸2,... ,l)中含有 l个不同的未知参数, 假定总体X的l 阶原点矩E(Xl)
存在,并记 k= k (1¸2,... ,l)= E(Xk) (k=1, 2, ...l) (1)
(通常k都是1¸2, ... ,l的函数 ) 如能从(1)式中解出 k= k (1¸2,... ,l) (k=1, 2, ...l)
i iˆi
由此解得 ˆi ˆi (X1, X2,…, Xn) 且能验证它是一个极大值点, 则 ˆ i 为i的
极大似然估计量.
若X为离散型,概率函数为 P (x; 1¸2,... ,l),
则似然函数为
L(
1¸2,...
,l)=
n
i 1P(xi;1,2,...,l )
由似然方程组
lnL 0
i iˆi
1¸2,... ,l为未知参数, (X1,X2,...,Xn)为样本,其
联合密度函数为f (x1 ,x2 ,... , xn; 1¸2,... ,l), 称
n
L(
1¸2,...
,l)=
i1
f
(xi;1,2,...,l
)
为1¸2,... ,l的
似然函数.
若有 ˆ1,ˆ2,...,ˆl 使下式成立
L(ˆ1,ˆ2,...,ˆl)max {L( 1¸2,... ,l)} 1¸2,... ,l
i 1,2,...,l
解得 ˆi ˆi (X1, X2,…, Xn), 若它是极大值点
则 ˆ i 为 i的极大似然估计量.
例1设总体 X~N(,2), (X1,X2,...,Xn)为样本
求参数 及2的 极大似然估计量.
解：f( Xx ii的;密,度2 )函 数2 1 为：e (x 2 i 2 )2( 0; i 1 ,2 ,...,n )
矩估计量不统一, 这在应用时是很不利的.
二 最大似然法 (极大似然法) (R.Fisher在1912年的论文中提出的方法)
(极大似然法是点估计中最重要的方法.利用总体X的 分布函数的表达式F(x; )及样本所提供的信息,建立
未知参数的估计量 ˆ (X1,X2,...,Xn) )
例如:两人射击同一目标,事先并不知道谁的技术好,现在
把样本值代入T(X1,X2,…,Xn)中，得到
T(x1, x2 ,…, xn) 称为 的一个点估计值 .
定义 设总体X的分布函数为F(x ; ), 其中是未知
参数, X1,X2,…,Xn是样本, 现由样本建立不带 未知参数的统计量T(X1,X2,...,Xn), 对于样本的观
测值(x1,x2,...,xn), 若将T(x1,x2,...,xn)作为 的估计值, 则称T(X1,X2,...,Xn)为 的估计量,记作
1 X1*= min{X1, X2, ...Xn} Xn* = max{X1, X2, ...Xn} 2
由于 L(1,2)(2 11)n(Xn * 1X1*)n
今取
ˆ1X1*,ˆ2Xn*
则有 L(1,2)L(ˆ1,ˆ2)
因此, ˆ1 , ˆ2 为1及2的极大似然估计量.
例4 设总体X在[0, ]上服从均匀分布，其概率密
又因为DX = , 所以 ˆ1 nXiX2B2
此例同样说明矩估计的结果不唯一.
注: (1)估计量和估计值的区别. 参数的估计值是估计量的一次观测值,由于估计 量是随机变量, 具有波动性, 因而参数的估计值
只是一个近似值, 参数的估计所关心的不是估计 值的数值本身, 而是关心它是用什么办法求出来 的, 即由一个怎样的统计量得到的, 并研究该 统计量的优良性质, 如无偏性, 有效性, 相合性等.
1
f(x;1,2)21
x1,2
0
其它
其中1, 2未知, 2> 1, 求 1, 2的矩法估计量.
解: 因为EX=
1 2
1
2
DX=
1 12
2
1
2
由方程组
X
1 2
ˆ1 ˆ2
B
2
1 12
ˆ2 ˆ1
2
解出 ˆ1X 3B2
ˆ2X 3B2
则 ˆ1, ˆ2 分别是 1, 2的矩法估计量.
例4 设总体X服从参数>0的指数分布,其密度为
f(x;)ex
0
解:
因为EX=
1
又因为DX=
1
2
x0 x0
求的矩估计.
即 1
EX
由矩法 ˆ 1
X
即 1
DX
由矩法 ˆ 1 1
B2
B2
此例说明, 矩估计的结果可能不唯一(通常选
择第一个结果)
例5 设总体X ~P(), 求参数的矩估计.
解: 因为EX = , 所以
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
0
x0
求的最大似然估计.
解:
的似然函数为
n
L( )
exi nexi
i1
则 LnL()= n LnXi
似然方程为 解出 ˆ 1
X
L nLnXi 0
(容易验证, ˆ 为极大值点)
例3 设总体X服从[1, 2]上的均匀分布, 1, 2未知,
求1, 2的最大似然估计量
解： X的密度函数为
1
f(x;1,2)21
用i的估计量Ai代入上式, 得到估计量
ˆk ˆkA 1,A 2,...,A l
称 ˆ k 为k的矩法估计量, 其中Ai(i=1, 2, ...l) 为
样本的 i 阶原点矩.
若 ˆ 为的矩法估计量, g()为的连续函数,则 也称 g ( ˆ ) 为g()的矩法估计量.
例1 不论总体X服从什么分布, 若 EX=, DX= 2
2
ˆ2
ˆ2
1 n
Xi2 ˆ21nXi2 X2
1 n
Xi2nX2
1 n
2
Xi X
B2
(此处B2是样本的二阶中心矩)
本例题说明,样本均值 X 和样本二阶中心矩B2分别为总体 均值和方差的矩法估计量.
例2 求事件A的概率P(A)=p的矩法估计量.
解: 用随机变量X表示事件A的指示变量
即
X
1
8 , 7 , 6 , 6.5 , 5 , 5.2 , … 而掌握的信息就由这100个数据组成.
据此 ,我们应如何估计 呢?
为估计 ,我们需要构造出适当的样本的函数
T(X1, X2,…,Xn)，每当有了样本值，就代入该
函数中算出一个值，用来作为 的估计值。 T(X1,X2,…,Xn) 称为参数 的点估计量，
0
A出现 A不出现Βιβλιοθήκη 则 P{X=1}=p , P{X=0}=1p , EX=p
所以 p的矩法估计量为
pˆA11n
Xi X
n n
在其n中次独n为立事试件验A中在,n用次事独件立A试出验现中的出频现率的次n n 数作.也为就事是件说A,
出现的概率p的矩法估计量.
例3 设总体X服从[1, 2]上的均匀分布,其密度为
方法选定后，用样本值代入统计量就得到该参数 的估计值.
估计量就是一个统计量，原则上可以由样本
构造出许多统计量作为总体中某个未知参数的
估计量。
例如：可以用样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
也可以用单个分量Xi
作为总体均值 的估计量。
一 矩法 (K.Pearson在二十世纪初的一系列论文中引进的方法) 矩法的基本思想: 用样本矩作为总体矩的估计量 矩法的理论依据: 辛钦大数定律
每人各打一发,有一人击中目标,我们认为击中的技术比击 不中的技术要好, 显然是合理的.
又例如: 某事件A发生的概率是0.1或0.9, 在一次试验中 该事件发生了,当然认为它发生的概率是0.9.
再例如:设在一口袋中装有许多白球和黑球, 只知道两种 球的比例是3:1, 但并不知道黑球多还是白球多, 就是说 抽到黑球的概率是1/4或3/4, 希望通过实验来判断黑球 占的比例是1/4还是3/4.
(2) 矩估计是古老的点估计方法, 直观且简便, 特别是对总体 X 的期望和方差等数字特征进行 估计时, 并不一定要知道 X 的分布函数F(x; ),
但是矩法要求总体的原点矩存在, 如果原点矩 不存在,就不能用矩法. 另一方面, 矩法没有充分 利用分布函数F(x; )对参数所提供的信息.另外,
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5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
第七章 参数估计
第三节 总体均数估计
估计总体平均数的步骤： 估计总体平均数的步骤： X与S 1、 计算样本 2、 计算 σ X 3、 确定置信水平或显著性水平并查表 4、计算置信区间 5、解释总体平均数的置信区间
一、正态估计法 ， σ２已知 、
1、前题条件： 、前题条件：
总体正态, n不论大小 总体正态, n不论大小
点估计与区间估计的比较
定义: 定义
直接以样本统计量（数轴上的一个点） 点估计 :直接以样本统计量（数轴上的一个点） 作为总体参数的估计值
区间估计：按一定概率要求， 区间估计：按一定概率要求，根据样本统计量估 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。也 就是说整体参数所落的有把握的范围 整体参数所落的有把握的范围。 就是说整体参数所落的有把握的范围。
D=0.95时 时
75.7 ≤ µ ≤ 81.3
5、解释：用样本1估计，总体的平均数落在 、解释：用样本1估计， 73.6-82.4之间的可能性为95%， 之间的可能性为95% 73.6-82.4之间的可能性为95%，超出这一范 围的可能性为5% 5%。 围的可能性为5%。 用样本2估计，总体的平均数落在76.7 80.3之 76.7用样本2估计，总体的平均数落在76.7-80.3之 间的可能性为95% 落在75.7 81.3的可能性为 95%， 75.7间的可能性为95%，落在75.7-81.3的可能性为 99%。 99%
X ± 2.58σ X
置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。 置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。即
X − 1.96σ X ≤ µ ≤ X + 1.96σ X
置信下限 置信上限
标准误
标准误（中心极限定理 ） 标准误（中心极限定理3）
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
第七章 参数估计
第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：
第7章参数估计
对于是非标志（即服从两点分布的变量)来说，若 将其具体表现分别用1、0数量化 ，成数就是其平 均数 是非标志的方差＝P(1-P)
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异 抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的 样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误 差可以计算并加以控制，但不可以避免。
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异 抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的 样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误 差可以计算并加以控制，但不可以避免。
第七章-参数估计
1.什么是参数估计？（基本概念、参数估计）答：一个总体的分布函数，可以用表示，其中是一个未知的参数或参数向量（多个参数）。
比如，，其中是未知参数。
又如，则是未知参数向量。
在实际问题中，总体的参数通常都是未知的，我们需要通过样本提供的信息，对参数作一个基本的估计。
这就是参数估计问题。
参数估计问题可以分为点估计和区间估计两大类。
2.什么是点估计？（基本概念、点估计、估计量、估计值）答：设总体的分布函数的形式已知，它含有一个或多个参数是未知的，借助于总体的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。
具体描述如下：设总体的分布函数为，其中为未知参数。
从总体中抽取样本，其观察值为。
构造某个统计量，用它的观察值来估计未知参数，则称为的估计值，称为的估计量，它是一个随机变量。
估计量和估计值称为的一个点估计。
点估计值或点估计量都可以简记为。
有两种基本的点估计法：矩估计和极大似然估计。
例如：某厂生产电子元件，电子元件的寿命服从正态分布，当电子元件的平均寿命未知，即参数是未知的。
若抽查了200个电子元件，测得这200个电子元件的平均寿命个小时，这个个小时就可以做为电子元件平均寿命的一个点估计。
3.什么是矩估计法？（基本概念、点估计、矩估计、矩估计量）答：设总体的分布函数中，为维未知参数。
假定总体的前阶原点矩都存在，则这些矩都可表为的函数，即取阶样本原点矩做为总体阶原点矩的估计量，则有方程组其中。
利用上面的方程组可以解出，即有则叫做的矩估计量。
这种方法叫做参数的矩估计方法。
注意，在利用矩估计法估计参数时，有个未知参数就要使用直到的原点矩。
矩估计方法的理论解释如下：若总体的阶原点矩存在，则样本阶原点矩有。
这样，当充分大时，阶样本原点矩与阶总体原点矩会充分接近。
因而是一个合理的估计。
利用矩估计来估计参数一般分为下面三个步骤：（1）根据参数的个数，求总体的各阶原点矩；（2）用各阶样本原点矩代替总体原点矩，为了加以区别通常在参数上加一个尖角符号，如；（3）解关于矩估计量的方程；（4）若给出了样本观察值，代入求得的矩估计量得到估计值。
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
(07)第7章 参数估计
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
7 - ‹#›
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学STATISTICS (第六版)
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批 灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如 下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
使用正态分布统计量 z
z x - ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
7 - ‹#›
x z 2 n
或 x z 2
s ( 未 知)
n
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学STATISTICS (第六版)
总体均值的区间估计
数据计算得x ： 3 9 .5 s， 7 .7 7
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.5 1.645 7.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
7 - ‹#›
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学STATISTICS (第六版)
7.2 一个总体参数的区间估计
7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计
7 - ‹#›
作者：贾俊平，中国人民大学统计学院
统计学STATISTICS (第六版)
统计学原理：第7章 参数估计
7 - 25
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 26
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
7.2.1 总体均值的区间估计
1、正态总体、２已知，
非正态总体、大样本
2、正态总体、２未知，小样本
7 - 27
总体均值的区间估计
(1、Z分布)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可 靠性的度量，一个点估计量的可靠性是由它的 抽样标准误差来衡量的。
7 -9
抽样分布回顾
Xi ~
, 2
..X
~
,
2
n
p Z Z Z 1
2
2
p Z 2
X
X
Z 2
1
p
Z 7 - 10
2
X
X
Z
2
X
1
抽样分布回顾
p
Z
2
X
X
7 - 12
实际情况是，样本均值已知，而总体均值未知 。
x
样本均值与总体均值的距离是对称的，
若某个样本均值落在总体均值的两个标准差范围以内， 则总体均值就会被包括在以样本均值为中心左右两个标 准差的范围之内。
7 - 13
区间估计
(interval estimate)
1. 总体参数估计的一个区间： 样本统计量 加减 估计误差
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 26
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
7.2.1 总体均值的区间估计
1、正态总体、２已知，
非正态总体、大样本
2、正态总体、２未知，小样本
7 - 27
总体均值的区间估计
(1、Z分布)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可 靠性的度量，一个点估计量的可靠性是由它的 抽样标准误差来衡量的。
7 -9
抽样分布回顾
Xi ~
, 2
..X
~
,
2
n
p Z Z Z 1
2
2
p Z 2
X
X
Z 2
1
p
Z 7 - 10
2
X
X
Z
2
X
1
抽样分布回顾
p
Z
2
X
X
7 - 12
实际情况是，样本均值已知，而总体均值未知 。
x
样本均值与总体均值的距离是对称的，
若某个样本均值落在总体均值的两个标准差范围以内， 则总体均值就会被包括在以样本均值为中心左右两个标 准差的范围之内。
7 - 13
区间估计
(interval estimate)
1. 总体参数估计的一个区间： 样本统计量 加减 估计误差
张厚粲 第七章 参数估计
间。
解：12名学生阅读能力的得分假定是从正态总体
中抽出的随机样本，而总体标准差σ未知，样本的容量 较小（ｎ=12<30），在此条件下，样本平均数与总体 平均数离差统计量服从呈t分布。
于是需用t分布来估计该校三年级学生阅读能力总
体平均数95％和99％的置信区间。
由原始数据计算出样本统计量为
X 29.917
性的指标。
平均数区间估计的基本原理
通过样本的平均数估计总体的平均数,首先假定该样本 是随机取自一个正态分布的母总体(或非正态总体中的n＞ 30的样本)，而计算出来的实际平均数是无数容量为n的
样本平均数中的一个。
根据样本平均数的分布理论，可以对总体平均数进行估 计，并以概率说明其正确的可能性。
一．总体平均数区间估计的基本步骤 ①．根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差； ②．计算平均数抽样分布的标准误；
例：已知某样本的分散程度
标准差与方差分别计算）。
解1（标准差）：
，样本
容量40，问该样本之总体的分散程度如何。（用
，样本标准差的分布接近正态分布，用Z分布。
（1） 0.95或0.05
10-1.96×1.12＜σ＜10+1.96×1.12
7.8 ＜σ＜12.2 （2）0.99或0.01 10-2.58×1.12＜σ＜10+2.58×1.12 7.11＜σ＜12.89
第二节 总体平均数的估计
平均数抽样分布的几个定理
⑴．从总体中随机抽出容量为n的一切可
能样本的平均数之平均数等于总体的平均数。
E( X )
⑵．容量为n的平均数在抽样分布上的标准差 （即平均数的标准误），等于总体标准差除以n的平 方根。