大学概率论与数理统计复习

大学概率论与数理统计

复习

文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

第一章 随机事件及其概

率

知识点：概率的性质 事件运算 古典概率

事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式

常用公式 应用举例

1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。

2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。

3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。

4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ）。

5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B -与A 的关系是（ ）。

6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。

（1）试求他在5:40~5:50到家的概率；

（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。

解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}，i B ={第i 段时

间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后

则由全概率公式有

由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P （2）由贝叶斯公式

8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。

看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

第二章 随机变量及其分布

知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质

连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布

重要内容

）（R x x f ∈≥0)(

4. 概率计算

1

=∑i

i

p

)

()()(12121x F x F x x x F ≤?<单调递增，即）（1

)(lim )(0

)(lim )(2==+∞==-∞+∞

→-∞

→x F F x F F x x ）（)

()0()(3x F x F x F =+右连续，即）（R

x x F ∈≤≤1

0)

4(）（2．分布律的性质

...)

2,1(,10=≤≤i p i 1.分布函数的性质

（1）非负性

（2）规范性

3.分布密度函数的性质

?

+∞∞

-=1

)(dx x f （1）非负性 （2）规范性

5.常用分布 应用举例 1、设2()(0)x f x ke x -=>是某随机变量的密度函数，则k =（ ）。

2、设随机变量X 的概率密度为)2

2

(,cos 2

1)(π

π+≤≤-=x x x f ，则)01(<<-X P ＝（ ）。

3、设随机变量X 的分布函数为??

?

??≥<≤<=.,1,1,

ln ,1,

0)(e x e x x x x F 则 )2(>X P =（ ）。

4、设),(~2σμN X ,满足)1()1(-≤=->X P X P 的参数μ=（ ）。

5、离散型随机变量X 的分布律为11

()(1,2,3)!

P X k k c k ===，则c =（ ）。

6、土地粮食亩产量（单位：kg ）)60,360(~2N X .按亩产量高低将土地分成等级.若亩产量高于420kg 为一级，在360~420kg 间为二级，在315~360kg 间为三等，低于315kg 为四级.求等级Y 的概率分布。(5.0)0(=Φ,8413.0)1(=Φ,7734.0)75.0(=Φ) 解

7、110在长度为t 的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为

t 2

1

的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.求某一天中午12时至下午3时至少收到1次呼救的概率。

解 X 的分布律为),2,1,0(!

)2()(2

==

=-k k t e k X P k

t

中午12时到下午3时，表明3=t 求)1(≥X P

二项分布:

8、一批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数X 的分布律。

解 X 所有可能的取值为1,2,3 i A ={第i 次取到正品}（3,2,1=i ）

看作业习题2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28

第三章 多维随机变量及其分布

知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质 二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布） 随机变量的独立性 二维常用分布 内容提要 1.概率分布的性质 2.二维概率计算 3.边际密度函数计算 4.常用分布 二维正态分布

5.随机变量的独立性

6.正态分布的可加性 应用举例

1、设()Y X ,的密度函数()?

??>>=--其他,00

,0,,2y x ke y x f y x 则k =（ ）。

2、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

1/61/91/181/3X Y P αβ

),,,,(~),(22

2121ρσσμμN Y X

且Y X ,相互独立，则（ ）。

3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10件，现从中

随机的抽取一件，记?

??=等品抽到其它

i X i 10，3,2,1=i 求（1）1X 和2X 的联合分布

律；（2）并求)(21X X P ≠。

4、设随机变量),(Y X 在曲线x y =，x y =围成的区域D 里服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。

5、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

?????≤≤=其它0

1

4

21),(2

2y x y x y x f 求)(X Y P < 6、设随机变量321,,X X X 相互独立，并且均服从正态分布

3,2,1),,(~2=i N X i

i i σμ，则∑=+=3

1

~)(i i i i b X a X （ ）。

看作业习题3： 1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18 第四章 随机变量的数字特征

知识点：随机变量的数学期望的性质与计算

随机变量的方差（协方差、相关系数）的性质与计算 主要内容

1、数学期望的计算

2、性质

当随机变量相互独立时 3、方差的计算 4,、方差性质 5、协方差与相关系数 协方差的计算

相关系数的计算DY

DX

Y X COV XY

),(=

ρ

2

()()

D X

E X EX =-即(,)[()][()]

Cov X Y E X E X Y E Y =--

应用举例

1. 某农产品的需求量X(单位：吨)服从区间[1200,3000]上的均匀分布。若售

出这种农产品1吨，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润 解 设每年准备该种产品k 吨（1200

2.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于０，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y （ ）。 A 、不相关的充分条件，但不是必要条件 B 、独立的充分条件

C 、不相关的充分必要条件

D 、独立的充分必要条件

3.已知2)(,4)(==Y D X D ，X 与Y 相互独立，则)(c bY aX D +-=（ ）。

4.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 与Y 有相同的概率分布，数学期望与方差均存在，记Y X +=2ξ，Y X 3-=η，求ξηρ 解：因为X 与Y 相互独立，则EXEY XY E =)(

X 与Y 有相同的概率分布，则DY DX EY EX

==,

=

)3-52(2

2EY XY X E - =2

2

352EY EXEY EX --=2

2

)(5EX EX --

看作业习题4

第五章 大数定律和中心极限定理

知识点：切比雪夫不等式 大数定律和中心极限定理 内容提要

1. 切比雪夫不等式

2. 独立同分布的中心极限定理

]2,0[~,10021U X X X X i 独立同分布，且设 ，

则 3

1

,1==i i DX EX

则（1） )3100

,100(~100

1

N X i i

∑= （近似）中心极限定理

（2）标准化后

)

1,0(~3

100100

-100

1

N X

i i

∑=

)

(3

100100

-100

1

x X

i i

Φ∑=的分布函数是，

即

)

()3

100100

-(100

1

x x X

P i i

Φ≈≤∑=

(4)

2

2

100

1

100

1

3

1001)

(1)100(εε

ε-=-≥<-∑∑==i i i i X D X P

（切比雪夫不等式）

(5)同理)3001

,1(~100

1100

1

N X X i i ∑== （近似） 标准化后

)

1,0(~300

11-100

1

100

1

N X

i i

∑=

（切比雪夫不等式） 3．

第六章 数理统计的基本概念

知识点：抽样分布 内容提要

1、 基本概念 样本 统计量（常用统计量）

2~(,),(1,2),,n X B n p n x R =∈定理设随机变量则对任意有

2、 抽样分布定理 （1） 特别地：)1(~),1,0(~2

2χX N X 则若 （2） （3） （4）

1.设总体Y X ,相互独立，且都服从)3,0(2N ，而）和（921921,,,),,,(Y Y Y X X X 分别来自Y X 和的样本，问： （1）921X X X +++ 服从什么分布 (2)?)(2292221=+++C Y Y Y C 分布，服从若χ

解： 92,1)3,0(~2

=∴i N X i

则)9(~)3(229

1

χ∑=i i Y c=1/9 第七章 参数估计

知识点：点估计 区间估计 估计量的评价标准 主要内容

1、 矩法

~(0,1)

(1,2),,i

X N i n =设且相互独立称

2

~(0,1),~(),X N Y n χ设且X 与Y 相互独立,则称

2、 极大似然估计法

（3）解方程组求出估计量 3、估计量的评价标准 无偏性 4、区间估计

单正态总体均值的置信区间 )117(),97(132--P

应用举例 1．

7141P

2. 设总体X 的概率分布为

1 2 3

其中θ)2

1

0(<<θ是未知参数，利用总体X 的如下样本值：11=x ，32=x ，

33=x ，24=x ，15=x 。求θ的矩估计值和极大似然估计值。

矩估计法的具体步骤:

1

1(2)1,2,,n r

r i

i A X r k

n ===∑12,,,k k θθθ这是一个包含个未知参数的方程组.

12(4),,,,k θθθ解出其中12(1)()(,,)

1,2,

r r r k v E X v r k

θθθ===求出12???,,,.k

θθθ用表示(3)r r

v A =令1212

???(5),,,,,,,.

k k

θθθθθθ用方程组的解分别作为的估计量这个估计量称为矩估计量

解 2343)

(θθ+-=X E 2=

x

6

1?=θ =64)1(4θθ-

3. 4141P ，

第八章 假设检验

知识点：假设检验 主要内容

1

2、范围 单侧与双侧检验

（2）. 寻找检验统计量g(X 1,…,X n ), 并在H 0为真的情况下确定其分布(或极限分布);

（3）. 给定显着水平α(0<α<1), 确定拒绝域W;

（4）. 由样本值x1,…,xn计算出统计量g(X1,…,Xn)的值; （5）作判断: 若g(x1,…,xn)落在拒绝域W 内, 则拒绝H0 ; 否则接受H0 (相容).

、假设检验的基本步骤

（1）. 提出检验假设H 0(称为原假设)和备择假设;