混沌理论及其在密码学的应用

混沌理论及其在密码学的应用

摘要：由于混沌系统对初始条件和混沌参数非常敏感以及生成的混沌序列具有非周期性和伪随机性的特性，近年来混沌系统在密码学领域中得到了较多的

研究。介绍了混沌学理论和现代密码学的具体内客，通过对混沌和密码学

之间关系的分析。提出了把混沌用于密码学之中的具体方法和混沌密码系

统的框架结构，给出了数字加密中选择混沌系统的原则。

关键词：密码学；混沌；混沌加密

正文：

计算机从出现到现在，已经从用于计算机转到主要用于信息处理。Internet 每天为用户提供大量的信息服务。由于Internet的基础协议不是完全安全的协议。未经特别加密的信息在网络上传送时，会直接暴露在整个网络上。现代高性能的计算机、自动分析和截获程序每秒可以搜索数百万个底码，对传统的加密算法构成严重的压力。信息领域急切希望拥有更安全、方便、有效的信息保护手段。在过去的十年中，随着对混沌理论研究的不断深入，混沌理论的应用范围也不断扩展。混沌在密码学中的应用成了热门的研究领域，并提出了大量的混沌加密算法。大多数模拟混沌的密码使用混沌同步技术通过有噪信道实现秘密通信。许多研究者都已提出混沌和密码学的密切联系。混沌的许多基本特征，例如：混频(nlixi 峭)和对初始条件的敏感性都与好的密码的属性——混乱和扩散相联系。由于混沌理论近几十年得到了极大发展，无数混沌系统都可应用在密码学中，所阻混沌应当成为密码学中的新的丰富资源。

1、现代密码学

密码学包含两个互相对立的分支，即密码编码学和密码分析学.前者寻求保证消息保密性或真实性的方法，而后者则研究加密消息的破译或消息的伪造。一个保密系统由下述几个部分组成：明文消息空间M，密文消息空间C，密钥空间K1和K2，在单钥体制下KI=K2=K．此时密钥K需经安全的密钥信道由发方传给收方；加密变换Ek1∈E，M—C，其中kl∈K1，由加密器完成；解密变换Dk2∈D，C∈M，其中k2∈K2，由解密器实现。称总体(M，C，K1,K2，Ekl，Dk2)为一保密系统。对于给定明文消息m∈M，密钥kl∈Kl，加密变换把明文m变换为密文c，即

c=f(m，k1)=Ekl(m) (1)

接收端利用通过安全的密钥信道传过来的k(单钥体制下)或用本地密钥发生器产生的解密密钥k2∈K2(双钥体制下)控制解密操作D，对收到的密文进行变换得到恢复的明文消息m，即

m=g(c．k2)=Dk2(c) (2)

而密码分析者，则用其选定的破译变换函数h，对截获的密文c进行变换，得到明文空间的某个元素m’，即

m’=h(c) (3)

一般，m’≠m，若m’=m，则密码被破译成功。

双钥体制下,若用户A要向用户B发送机密消息m，则A需到公钥本上查到用户B 的公开钥kBl，用它对m作变换，得c=EkBl(m)．用户B收到c后，用自己的秘密钥KB2对c解密。即

m=DkB2(C)=DkB2(EkB1(m))

因为kB2只有用户B知道．而密码分析者只能以k’对c解密。所以保密通信得到实现。

双钥体制下，还可以构造一个认证系统：

用户B用用户A的公开钥A1对用户A用他的秘密钥A2数字签名的密文c作变换，可得到m，即

m=EkA1(c)=EkA1(DkA2(m))

若用户B用用户A1的对公钥对伪造的c’作EkAl变换，则不能得到有意义的m，故可认证c确为用户A所发。

2、混沌理论

混沌系统是一种高度复杂的非线性动态系统．具有对初始条件和混沌参数非常敏感以及生成的混沌序列具有非周期性和伪随机性的特性。20世纪60年代人们发现有一些系统，虽然描述它们的方程是确定的，但系统对初值有极强的敏感性，即初值有极微小的变化，将引起系统后来不可预测的改变。从物理上看运动似乎是随机的。这种对初值的敏感性，或者说确定性系统内在的随机性就是混沌。

2 .1 描述混沌的数学模型

近年来，对混沌现象的实验得到了许多有意义的结果，但更多的结果还是来自对非线性系统数学模型的理论分析和计算机模拟。描述这些模型的方程有：非线性迭代方程(组)、非线自治微分方程组和差分微分方程(组)。

2．2 系统走向混沌的演化过程

非线性系统从非混沌态到混沌态的演化过程有多种形式。其中最典型的有三类：

1)倍周期分叉过程。设某一非线性系统最初处在定常态。随着控制参数的增加．在达到某一数值时，系统状态发生突变，出现稳定的周期振荡状态，随着控制参数的不断增加，系统的状态将发生一系列的突变．振荡频谱中出现分频或周期倍增现象。当系统出现非周期的混乱的振荡状态，即混沌运动状态。分频现象只有在非线性系统中控制参数的某个阀值上才能出现，它是混沌运动产生的序曲。

2)阵发混沌过程。对于具有倍周期分叉演化过程的非线性系统，当进人混沌状态以后，在控制参数的某个范围以内构成一个混沌区。在混沌区内，并不是每一个控制参数对应的都是混沌态。在控制参数的许多小区问内，对应着周期振荡状态，这些小区间称为混沌区内的周期窗I=I。在周期窗口附近，状态变量的时间行为表现出时而周期、忽而混乱，随机地在二者之间跳跃。

3)准周期运动到混沌。如果系统随控制参数增加，在振荡频谱中出现两个不可公约频率，此种运动称为准周期运动。准周期和锁频交替出现，最终进入混沌状态。

2．3 判断混沌运动的三个主要特征量

1)维数。把维数的概念推广到相空间来研究混沌问题，奇异吸引子的维数是分数维的不会是整数维。

2)熵。kolmogorov把熵的概念引入动力系统内，用熵值来判断动力系统的有序或混沌程度。k>0对应于混沌特性；k=0对应于周期特性；k<0对应于随机特性。

3)Lyapunov指数。在动力系统内，Lyapunov指数是用来检验动力系统是有序或混沌状态的重要判据。Lyapunov指数的定义表示为t>0时，两条轨道之间的距离不断扩散，各自走自己的轨道轨迹，相互间毫无关系，对应于相空间上的混沌解；当t=0时，两条轨道相互收缩在一起，对应于相空间上一个固定点，即定常解；当t<0时，对应于相空间上的分叉点，即周期解或拟周期解。

3、混沌加密的方法和原理