【公开课教案】《二次函数与幂函数》教学设计
高考复习之
二次函数与幂函数
1.高考要求
（1）要掌握二次函数的图象和性质，如单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用
（2）能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值
2.基础知识回顾
（1）二次函数概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
注意：⑴与一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零． ⑵等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑶ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
（2）二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．
一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可
以写成两根式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式
表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
（3）二次函数的图形及性质
对于二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）
①当a>０时
图像特点：图像开口向上，且向上无限伸展
顶点坐标：顶点为(－a b 2,a b ac 442
-)
对称性：图像关于直线x=－a b
2对称
最小值：当x=－a b
2时，y 有最小值为a b ac 442-
值域：[a
b a
c 442
-，+∞） 单调性：x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增
②a<０时
图像特点：图像开口向下，且向下无限伸展
顶点坐标：顶点为(－a b 2,a b ac 442
-)
对称性：图像关于直线x=－a b
2对称
最大值：当x=－a b
2时，y 有最小值为a b ac 442-
值域：[-∞，a
b a
c 442
-） 单调性：x ∈(－∞，－b 2a ]时递增，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递减
（4）知识拓展
若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧ a >0，Δ<0时 恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧
a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 例1：判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是 .( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( )
(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( )
例2.[P44A 组T9]已知函数f (x )＝x 2
＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是
A.a ≥3
B.a ≤3
C.a ＜－3
D.a ≤－3
4ac －b 2
4a
例3.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是
题型分类，深度剖析
（1）求二次函数的解析式
典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，
则它的解析式为__________________.
跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝____________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为
(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
（2）二次函数的图像与性质
命题点1 二次函数的图象
典例两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是
命题点2 二次函数的单调性
典例函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是A.[－3,0) B.(－∞，－3] C.[－2,0] 、 D.[－3,0]
引申探究：
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
命题点3 二次函数的最值
典例已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.
引申探究：
将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值.
命题点4 二次函数中的恒成立问题
典例(1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是_____________.
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数
a的取值范围为___________.
思维升华：
解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草
图)，再“定量”(看图求解).
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. 跟踪训练(1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________.
(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实
数a的取值范围为__________.
二次函数小结
（1）扎实掌握二次函数的基本性质及最大最小值、对称轴、零点的求法（2）注意定义域
（3）认真领悟二次函数与导数、不等式等知识点的结合，学会灵活变通课外作业：
1、题型二，引申；题型三，跟踪
2、课时作业和预习下一节。
《幂函数》公开课教案
《幂函数》教案授课班级：１6高职物流教者:课题：幂函数课型：新授课教学目标:㈠知识目标１．熟悉幂函数的概念,判别幂函数；2.根据具体的幂函数图象，描述其定义域,值域，单调性,奇偶性。
㈡能力目标培养学生数形结合能力，合作交流能力,以及应用数学的能力。
㈢情感目标让学生感受到数学来源于生活，应用于生活，并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的作用，激发学生的学习动力。
教学重点：幂函数的概念辨析,幂函数的图象及性质。
教学用具:多媒体。
教学过程:教学环节教学任务教学步骤问题设计师生活动巩固反馈拓展提升练习1、分别写出下列函数关系式，指出它们是否是幂函数：(1)圆面积x与半径ｒ之间的关系；(2）正方体体积y与棱长x之间的关系;(3)周长为80的等腰三角形的底边长y与腰长x之间的关系。
练习2、观察下列幂函数在同一坐标系中的图象,指出它们的定义域,值域单调性以及奇偶性:⑴3y x=⑵14y x=⑶2y x-=⑷12y x-=学生完成学案中练习,教师巡视,及时指导学困学生，学生给出答案,教师点评。
总结课题回顾反思本节课我们学习了幂函数的形式a xy=(α∈R，α≠0），通过观察幂函数的图象,知道了幂函数没有统一的定义域,但在（０，＋∞)都有定义。
了解到幂函数的单调性还是有一定规律的。
教师引导,学生回答。
布置任务课后延伸必做题根据下列函数的图象，写出它们的定义域：⑴52y x=⑵43y x-=⑶34y x-=⑷13y x=3y x=2y x-=12y x-=14y x=。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
二次函数与幂函数：教案
铭智教育一对一个性化教案铭智教育一对一个性化教案学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题二次函数与幂函数重难点 1.二次函数的图像和性质2幂函数的图像和性质3.二次函数、幂函数性质的应用教学步骤及教学1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c f(x)＝ax2＋bx＋c内容(a>0) (a<0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a单调性在x∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递减；在x∈⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递增在x∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递增；在x∈⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a对称性图像关于直线x＝－b2a成轴对称图形3. 幂函数形如y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．4．幂函数的图像及性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减[难点正本 疑点清源] 1． 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2． 幂函数的图像(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．(2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．1． 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]解析 f (x )的图像的对称轴为x ＝1－a 且开口向上， ∴1－a ≥3，即a ≤－2.2． (课本改编题)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1，无解．当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2， y max ＝f (0)＝3.当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3， ∴m ＝0，m ＝2，无解．∴1≤m ≤2.3． 若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不经过原点，则实数m 的值为________．答案 1或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合．4． (人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为____________．答案 2，12，－12，－2解析 可以根据函数图像是否过原点判断n 的符号，然后根据函数凸凹性确定n 的值． 5． 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m 2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m＝－2.题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用． 解 方法一 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 设f (x )＝a (x －m )2＋n ，a ≠0.∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解之，得a ＝－4. ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 依题意知，f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)． ∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.探究提高 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．已知二次函数f (x )同时满足条件： (1)f (1＋x )＝f (1－x )； (2)f (x )的最大值为15； (3)f (x )＝0的两根平方和等于17. 求f (x )的解析式．解 依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15 (a <0)， 即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15a.x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2⎝⎛⎭⎫1＋15a ＝2－30a ＝17， ∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4x ＋13. 题型二 二次函数的图像与性质例2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是____________． 答案 (－∞，－3]解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]． 题型三 二次函数的综合应用例3 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图像过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称． (1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1.又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2. 又f (x )的图像过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2， ∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称， ∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )， ∴g (x )＝－x 2＋2x .(2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ， 当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ2(1＋λ)＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1.∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数． 综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]． 题型四 幂函数的图像和性质例4 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3 (m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图像关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <－1或23<a <32.探究提高 (1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．分类讨论思想在二次函数中的应用典例：(14分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集． 审题视角 (1)求a 的取值范围，是寻求关于a 的不等式，解不等式即可；(2)求f (x )的最小值，由于f (x )可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起；(3)对a 讨论时，要找到恰当的分类标准． 规范解答解 (1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0， 即a <0，由a 2≥1知a ≤－1，因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．[3分](2)记f (x )的最小值为g (a )，则有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋2a 23，x >a ①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ②[5分] (ⅰ)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.[7分] (ⅱ)当a <0时，f ⎝⎛⎭⎫a 3＝23a 2， 若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2.若x ≤a ，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2，综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥02a 23，a <0.[10分](3)(ⅰ)当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)；(ⅱ)当a ∈⎣⎡⎭⎫－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； (ⅲ)当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.[14分]温馨提醒 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一．本题充分体现了分类讨论的思想方法．在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a 的值时，讨论的过程中没注意a 自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论． 除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分： 1．含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2．分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小； 3．解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系，思路受阻.方法与技巧1． 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从①开口方教务处签字：日期：年月日..百1百百百s.5.u.作业布置教师留言教师签字：家长意家长签字：见日期：年月日；.。
高考数学复习知识点讲解教案第9讲 二次函数与幂函数
7
[解析] 设.由，得 的图象关于直线对称，则，即①.设的图象与 轴交点的横坐标为,，则由题意得，得 ②.由已知得③.由①②③解得，，， ， .
探究点三 二次函数的图象与性质
例3（1） [2024·江苏南通模拟] 记函数在区间 上的最大值为，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.1
②
（ⅲ）当时，画出的大致图象，如图③④，当 时，，易知当时，，则在 上单调递增，在上单调递减，所以，当时， ，则在上单调递增，所以.所以当 时，.因为，所以综上可知， 的最小值为 .故选A.
③
④
（2） [2024·浙江名校协作体联考] 已知函数在区间 上单调递增，则 的取值范围为( )
变式题（1） [2024·黑龙江省实验中学月考] 函数是幂函数，对任意，，且 ，满足.若，，且，，则 的值( )
B
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
[解析] 因为函数对任意，，且，满足 ，所以在上单调递减.由 是幂函数，可得，解得或.当时，，在 上单调递增，不满足题意.当时，，在 上单调递减，满足题意，故，且为奇函数.因为，，所以 ，所以，所以，所以 .故选B.
[解析] 当时，函数在给定区间上单调递增，不符合题意；当 时，函数是二次函数，其图象的对称轴为直线，依题意知 解得 .
6.已知幂函数，若，则 的取值范围为_______.
[解析] 幂函数在定义域上单调递减，由 ，得解得 .
探究点一 幂函数的图象和性质
例1（1） 已知幂函数,,, 在第一象限内的图象如图所示，则( )
（2） 写出一个满足条件“函数的图象与轴、 轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数: _ ___________________.
教学设计3：2.7二次函数与幂函数
第7课时 二次函数与幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．3．掌握二次函数的概念、图象特征．4．掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．5．掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力．【梳理自测】一、幂函数1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x2 D ．y ＝x 13 【答案】1.B 2.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 为自变量，α为常数． (2)五种幂函数的性质二、二次函数1．一般式：f (x )＝________________________________． 2．顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为： f (x )＝______________________．3．两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝____________________________．4．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值是( ) A ．－32 B ．3C ．－1D ．不存在5．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________．6．若函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )max ＝________．【答案】1.ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 2.a (x －h )2＋k 3.a (x －x 1)(x －x 2) 4.C 5.9或25 6.30 ◆以上题目主要考查了以下内容： 二次函数的图象和性质【指点迷津】1．研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负，及对称轴的位置，两点不应忽视．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数．考向一 幂函数图象性质及应用(1)(2014·山西太原模拟)当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________．(2)(2014·江西临川模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝________．【审题视点】 利用幂函数图象结合指数的奇偶性解答． 【典例精讲】 (1)分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示． 可知h (x )＞g (x )＞f (x )．(2)由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3＜0，由m 2－2m －3＜0得－1＜m ＜3，又m ∈N *，故m ＝1，2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3，∴m ＝2. 【答案】 (1)h (x )＞g (x )＞f (x ) (2)2【类题通法】 (1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸； 0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )【解析】选C.设幂函数y ＝x α，∴2＝4α，∴α＝12，∴y ＝x 12，图象为C.考向二 求二次函数解析式已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式．【审题视点】 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值求出系数a 即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g (x )解析式．【典例精讲】 (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .【类题通法】 求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)由f (0)＝1得，c ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1＞0，得m ＜－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．考向三 二次函数图象性质及应用函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．【审题视点】 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 【典例精讲】 (1)f (x )＝(x －1)2＋1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1.当t ＜1＜t ＋1，即0＜t ＜1时，g (t )＝f (1)＝1， 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1， 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0＜t ＜1，t 2－2t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0，1]上取到最小值1.【类题通法】 (1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．(2)求二次函数最值的类型及解法①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；②常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．(3)二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解．3．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．【解析】(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6，6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]x 2＋2x ＋3，x ∈（0，6]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0，6]， 单调递减区间是[－6，0]．二次函数闭区间上的最值讨论(2014·安阳高三模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．【审题视点】 本题针对字母a 进行讨论，a ＝0、a ＞0，a ＜0及抛物线对称轴与区间[0，1]的位置关系．【思维流程】a ＝0，f (x )是一次函数．开口向上的抛物线的对称轴x ＝1a ∈[0，1]，x ＝1a时，取最小值． 开口向上时，对称轴x ＝1a ∈(1，＋∞)，x ＝1时，取最小值．开口向下时，对称轴x ＝1a∈(－∞，0)，x ＝1时，取最小值．总结答案．【规范解答】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.2分(2)当a ＞0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a.6分②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.8分(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.10分综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a，a ≥1.12分【规范建议】 (1)函数f (x )＝ax 2－2x 中，a ∈R ，并不一定是二次函数，故本题讨论中易丢失a ＝0，a ＜0，及(2)中1a＞1的情况．(2)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a ＞0和a ＜0.第三层：对称轴x ＝1a与区间[0，1]的位置关系，左、内、右．1．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R}，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}【解析】选D.先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0，2}，故M ∪N ＝{－2，0，2}，选D.2．(2013·高考浙江卷)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0 D ．a ＜0，2a ＋b ＝0【解析】选A.根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得．因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b＝0，故选A.3．(2013·高考重庆卷)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3 D.322【解析】选B.利用配方法结合函数的定义域求解． （3－a ）（a ＋6）＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，（3－a ）（a ＋6）有最大值92.4．(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【解析】f (x )＝(x ＋a 2)2＋b －a 24，∵值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2，由f (x )＜c ，(x ＋a2)2＜c ，－a 2－c ＜x ＜－a2＋c ， ∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m －a2＋c ＝m ＋6，①②∴②－①得2c＝6，c＝9.【答案】9。
高中数学教案 第5讲 二次函数与幂函数
第5讲二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如□1y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点□2(1，1)和□3(0，0)，且在(0，＋∞)上单调□4递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调□5递减.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限.图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点.2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝□6ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为□7(h，k).(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.3.二次函数的图象与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R值域□8[4ac －b 24a，＋∞)□9(－∞，4ac －b 24a]单调性在□10[－b2a，＋∞)上单调递增；在□11(－∞，－b2a]上单调递减在□12(－∞，－b2a]上单调递增；在□13[－b2a，＋∞)上单调递减奇偶性当□14b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点□15(－b 2a ，4ac －b 24a)对称性图象关于直线x ＝□16－b2a成轴对称图形常用结论1.一般地，对于幂函数f (x )＝x mn (m ∈Z ，n ∈N *，m 与n 互质)，当m 为偶数时，f (x )为偶函数；当m ，n 均为奇数时，f (x )为奇函数；当n 为偶数时，f (x )为非奇非偶函数.2.幂函数的图象：在第一象限内，在直线x ＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x13是幂函数.()(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增.()(3)当n 是偶数时，幂函数y ＝x nm (m ，n ∈Z ，且m 是奇数)是偶函数.()(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.回源教材(1)已知幂函数f(x)的图象过点(2，12)，则f(4)的值是() A.64 B.42C.2 4D.1 4解析：D设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝12，得α＝－1，则f(x)＝x－1，故f(4)＝4－1＝14.(2)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为()A.[－6，2]B.[－6，1]C.[0，2]D.[0，1]解析：A函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2].(3)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为.解析：由幂函数、指数函数的单调性知0.30.4＜0.30.3，0.40.3＞0.30.3，即c＜b＜a.答案：c＜b＜a幂函数的图象与性质1.(多选)下列说法正确的是()A.若幂函数的图象经过点(18，2)，则其解析式为y＝x－3B.若函数f(x)＝x－45，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C.幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)D.若函数f(x)＝x，则对于任意的x1，x2∈[0，＋∞)，都有f（x1）＋f（x2）2≤f(x1＋x22)解析：CD 若幂函数的图象经过点(18，2)，则其解析式为y ＝x －13，故A 错误.函数f (x )＝x－45是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故其在(－∞，0)上单调递增，故B 错误.幂函数y ＝x α(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)，故C 正确.作出y ＝x 的图象(图略)，易知f （x 1）＋f （x 2）2≤f (x 1＋x 22)成立，D 正确.2.已知幂函数y ＝x pq (p ，q ∈N *，q ＞1且p ，q 互质)的图象如图所示，则()A.p ，q 均为奇数，且pq ＞1B.q 为偶数，p 为奇数，且pq ＞1C.q 为奇数，p 为偶数，且pq ＞1D.q 为奇数，p 为偶数，且0＜pq ＜1解析：D由幂函数的图象关于y 轴对称，可知该函数为偶函数，所以p 为偶数，则q 为奇数.因为幂函数y ＝xpq 的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜pq＜1.3.若a ＝(12)23，b ＝(15)23，c ＝(12)13，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：D 因为y ＝x23在第一象限内是增函数，所以a ＝(12)23＞b ＝(15)23，因为y ＝(12)x 是减函数，所以a ＝(12)23＜c ＝(12)13，所以b ＜a ＜c.反思感悟1.幂函数y ＝x α(α∈R )只有一个参数α，因此只需一个条件可确定解析式.2.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.二次函数的解析式例1已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解：法一(利用“一般式”解题)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).c ＝－1，1，8，＝－4，＝4，＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”解题)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a (x －12)2＋8.因为f (2)＝－1，所以a (2－12)2＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用“零点式”解题)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4.故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.反思感悟求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.训练1(1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于()A.x 2－2x ＋1B.x 2＋2x ＋1C.2x 2－2x ＋1D.2x 2＋2x －1解析：B设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，＝1，＝2a ，＝b －1，＝1，＝2，＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝.解析：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1和2＋22＝3，所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f (x )＝a (x －1)(x －3).又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1，故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.答案：x 2－4x ＋3二次函数的图象与性质二次函数的图象例2二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示.则下列结论正确的是(填序号).①b 2＞4ac ；②c ＞0；③ac ＞0；④b ＜0；⑤a －b ＋c ＜0.解析：由题图知，a ＜0，－b2a＞0，c ＞0，∴b ＞0，ac ＜0，故②正确，③④错误；又函数图象与x 轴有两交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，故①正确；又由题图知f (－1)＜0，即a －b ＋c ＜0，故⑤正确.答案：①②⑤二次函数的单调性与最值例3(2024·福州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.(1)若f (x )在区间[1，2]上单调递减，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，设函数f (x )在区间[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式.解：(1)当a＞0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝12a，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足12a≥2，a＞0，解得0＜a≤14.当a＜0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝12a＜0，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足a＜0，综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(0，1 4 ].(2)①当0＜12a＜1，即a＞12时，f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，f(x)在区间1，12a上单调递减，在区间12a，2上单调递增，此时g(a)＝f(12a)＝2a－14a－1.③当12a＞2，即0＜a＜14时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3，综上所述，g(a)a－3，a∈（0，14），a－14a－1，a∈14，12，a－2，a∈（12，＋∞）.反思感悟1.分析二次函数图象问题要抓住三点：一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点.从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象，反之，也能从图象中得到以上信息.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.训练2(1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]解析：D 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a ≠0时，f (x )的对称轴为直线x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3，0].(2)(2024·厦门模拟)函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax2＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系内的图象可以是()解析：C若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ，D ；对于选项B ，由直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.训练3设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值.解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＜1＜t ＋1，即0＜t ＜1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；(1)(2)(3)当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1，当0＜t ＜1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.限时规范训练(十)A 级基础落实练1.(2023·邯郸质检)已知幂函数f (x )满足f （6）f （2）＝4，则f (13)的值为()A.2B.14C.－14 D.－2解析：B设f (x )＝x α，则f （6）f （2）＝6α2α＝3α＝4，所以f (13)＝(13)α＝14.故选B.2.(2024·六安一中段考)已知幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1是奇函数，则实数m 的值为()A.1B.2C.3D.4解析：B 由题意m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x 2不是奇函数，排除；当m ＝2时，y ＝x 3是奇函数，满足题意.故选B.3.(2024·保定检测)已知a＝243，b＝323，c＝2512，则()A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析：A由题意得b＝323＜423＝243＝a，a＝243＝423＜4＜5＝2512＝c，所以b＜a＜c.4.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a 的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]解析：D由题意，得当a≠0时，＜0，－a－32a≤－1，得－3≤a＜0，当a＝0时，f(x)＝－3x＋1也满足，故选D.5.(多选)幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x m2－6在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是()A.m＝3B.函数f(x)在(－∞，0)上单调递增C.函数f(x)是偶函数D.函数f(x)的图象关于原点对称解析：ABD因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x m2－6在(0，＋∞)上单调递增，2－5m＋7＝1，2－6＞0，解得m＝3，所以f(x)＝x3，所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增.6.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是()A.2a＋b＝0B.4a＋2b＋c＜0C.9a＋3b＋c＜0D.abc＜0解析：ACD由图象知，a＜0，f(0)＝c＞0∵函数图象对称轴为x＝1，即－b2a＝1.∴2a＋b＝0，A正确；∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，D正确；由图知，f(－1)＜0，∵f(0)＝f(2)＝4a＋2b＋c＞0，故B错；f(－1)＝f(3)＝9a＋3b＋c＜0，故C正确.7.若f(x)＝x12，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是.解析：因为f(x)＝x 12在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)，x≥0，8x－16≥0，x＞8x－16，即2≤x＜167，所以不等式的解集为2，167.答案：2，1678.已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，13)，且函数y＝f(x－12)是偶函数，则函数f(x)的解析式为.解析：∵y＝f(x－12)是偶函数，有f(x－12)＝f(－x－12)，∴f(x)关于x＝－12对称，即－b2＝－12，故b＝1，又图象经过点(1，13)，∴f(1)＝13，可得c＝11.故f(x)＝x2＋x＋11.答案：f(x)＝x2＋x＋119.(2024·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则1a＋4c的最小值为.解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a＞0，所以f(x)min＝4ac－44a＝ac－1a＝1，即ac－1＝a，可得a＝1c－1＞0，则c＞1，所以1a＋4c＝c＋4c－1≥2c·4c－1＝3，当且仅当c＝2时，等号成立，因此1a＋4c的最小值为3.答案：310.已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)x4m2－2(m∈R)为偶函数.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0，4]上的最大值为9，求实数a的值.解：(1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝3 2，当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；当m＝32时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，故f(x)的解析式为f(x)＝x2.(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，由题意得，在区间[0，4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，所以实数a的值为2.11.已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈13，12恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)].又已知值域为[1，a]，（a）＝a2－2a2＋5＝1，（1）＝1－2a＋5＝a，解得a＝2.(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－12x2＋52x≤a≤12x2＋52x(*).令1x＝t，t∈[2，3]，则(*)可化为－12t2＋52t≤a≤12t2＋52t.记g(t)＝－12t2＋52t＝－12(t－52)2＋258，则g(t)max＝g(52)＝258，所以a≥258；记h(t)＝12t2＋52t＝12(t＋52)2－258，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，综上所述，258≤a≤7.所以实数a的取值范围是258，7.B级能力提升练12.已知幂函数y＝x a与y＝x b的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m ＜1)与y＝x a，y＝x b的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则m a＋m b等于()A.12B.1C.2D.2解析：B由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|m a－m b|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，m a＞m b，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b ＝(m a＋m b)·(m a－m b)＝m a－m b，因为m a－m b＞0，所以m a＋m b＝1.13.设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为.解析：＋β＝2m ，＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.答案：714.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)若函数f (x )在区间(－1，2)上不单调，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值.解：f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3图象的对称轴为x ＝－2a －12.(1)若f (x )在(－1，2)上不单调，则－1＜－2a －12＜2，解得－32＜a ＜32.(2)由于区间[－1，3]的中点为x ＝1，①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意.综上可知，a ＝－13或a ＝－1.。
第三节 二次函数与幂函数 教案
第三节 二次函数与幂函数核心素养立意下的命题导向1.与不等式、方程等问题综合考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查二次函数的图象与性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．2．五种幂函数的图象与性质 函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇函数 单调性在R 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R 上 单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)一般式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a 顶点式 f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝m ，顶点坐标是(m ，n ) 零点式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，图象的对称轴是x ＝x 1＋x 224．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象和性质a >0a <0图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减，在[－ b 2a，＋∞）上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增，在[－b2a，＋∞）上单调递减最值当x ＝－b2a 时，y min ＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y max ＝4ac －b 24a[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(幂函数的概念)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案：C2．(幂函数的图象)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．a <c <b答案：D3．(二次函数的图象)已知抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案：154．(二次函数的值域)函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________．答案：－3 9 二、易错点练清1．(图象特征把握不准)如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是( )答案：C2．(对二次函数的单调性理解不到位)若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－16 3．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f (x )＝x -12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________． 答案：(3,5)考点一 幂函数的图象与性质[典例] (1)与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )(2)已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b[解析] (1)y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图象所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.(2)因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． [针对训练]1．(多选)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则( ) A ．函数f (x )在定义域内为增函数 B ．函数f (x )为偶函数 C ．当x >1时，f (x )>1D ．当0<x 1<x 2时，f (x 1)＋f (x 2)2<f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 解析：选ACD 由题意得4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12＝x ，∴函数f (x )在[)0，＋∞上单调递增，且为非奇非偶函数，故A 正确，B 错误；当x >1时，f (x )＝x >1，故C 正确；由函数图象知f (x )＝x 为“上凸函数”，故D 正确，故选A 、C 、D. 2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或m ＝2D ．m ≠1±52解析：选A 因为函数y ＝(m 2－m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝2. 3．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析：选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎨⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1<m <2，即5－12≤m <2.故选D.考点二 求二次函数的解析式[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一：利用一般式 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用顶点式设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：利用零点式由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1(a ≠0)．又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧] 求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：[针对训练]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式f (x )＝________________.解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－2，4a －2b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，因此所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵二次函数f (x )图象的顶点坐标是(－2，－1)， ∴f (x )＝a (x ＋2)2－1. ∵图象经过点(1,0)，∴f (1)＝a (1＋2)2－1＝9a －1＝0，∴a ＝19，∴f (x )＝19(x ＋2)2－1＝19x 2＋49x －59.答案：19x 2＋49x －592．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求函数f (x )的解析式． 解：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象与性质考法(一)二次函数的图象识别[例1](多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则() A．f(m＋1)＞0B．f(m＋1)＜0 C．f(－2－m)＞0 D．f(－2－m)＜0 [解析]因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0＞－1 2，所以f(m＋1)＞f(0)＞0，f(－2－m)＝f(m＋1)＞0，故选A、C.[答案]AC[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”考法(二)二次函数的最值问题[例2](1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最大值4，则a的值为________．(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．[解析](1)∵f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.答案：38或－3(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为直线x ＝1. 当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.[方法技巧]二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值情况m <n <－b2am <－b2a <n ，即－b2a∈(m ，n ) －b2a<m <n 图象最大 值、最小值f (x )max ＝f (m )， f (x )min ＝f (n )f (x )max ＝max{f (n )，f (m )}， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a f (x )max ＝f (n )， f (x )min ＝f (m )考法(三) 二次函数中恒成立问题[例3] (1)已知关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0恒成立，求实数k 的取值范围．(2)若对∀x ∈[－1,0]，不等式－2x 2＋4x ＋6＋t ≤4恒成立，求实数t 的取值范围． [解] (1)∵关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0恒成立，∴k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2＋3k <0，即k ＝0或－3<k <0， ∴实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤0}．(2)由－2x 2＋4x ＋6＋t ≤4得∀x ∈[－1,0]，t ≤2x 2－4x －2恒成立．当－1≤x ≤0时，2x 2－4x －2∈[－2,4]，∴t ≤－2.∴实数t 的取值范围是(－∞，－2]． [方法技巧]二次函数中恒成立问题的解题思路(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0；(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0；(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[针对训练]1．已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析：选C 由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴方程为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称， 由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．2．已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]D ．[－3,0]解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围是[－3,0]．3．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________． 解析：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)． 当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或2创新命题视角——学通学活巧迁移二次函数零点分布的类型及解题方法一、二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的零点分布及条件零点的分布 (m ，n ，p 为常数)图象满足条件x 1<x 2<m⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <m ，f (m )>0m <x 1<x 2⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >m ，f (m )>0x 1<m <x 2f (m )<0m <x 1<x 2<n⎩⎨⎧Δ>0，m <－b 2a<n ，f (m )>0，f (n )>0m <x 1<n <x 2<p⎩⎪⎨⎪⎧f (m )>0，f (n )<0，f (p )>0只有一个零点 在(m ，n )之间⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，m <－b 2a <n 或f (m )·f (n )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝0，m <－b 2a <m ＋n 2 或⎩⎪⎨⎪⎧f (n )＝0，m ＋n 2<－b 2a <n二、一元二次方程的实根分布的解题方法一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的分布问题，常常转化为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)零点的分布问题．[典例] 已知f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，关于x 的方程f (x )＝1必有实数根；(2)若方程f (x )＝0在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个实数根，求实数t 的范围． [思路点拨](1)关于一元二次方程在R 内有无实根的判断，就是将方程f (x )＝1整理成x 2＋(2t －1)x －2t ＝0，再计算判别式；(2)方程f (x )＝0在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个实数根，则二次函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点分别落在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎫0，12内，结合图象得到区间端点函数值的三个不等式，进而求得t 的范围．[解] (1)证明：方程f (x )＝1⇒x 2＋(2t －1)x －2t ＝0，因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0， 所以方程f (x )＝1必有实数根．(2)因为方程f (x )＝0在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个实数根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－(2t －1)＋1－2t >0，1－2t <0，14＋12(2t －1)＋1－2t >0，解得12<t <34.所以实数t 的范围是⎝⎛⎭⎫12，34. [应用体验]1．(2021·湖北黄石港期中)已知一元二次方程x 2＋mx ＋3＝0(m ∈Z)有两个实数根x 1，x 2，且0<x 1<2<x 2<4，则m 的值为( ) A ．－4 B ．－5 C ．－6D ．－7解析：选A 令f (x )＝x 2＋mx ＋3，∵一元二次方程x 2＋mx ＋3＝0(m ∈Z)有两个实数根x 1，x 2，且0<x 1<2<x 2<4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2m ＋7<0，f (0)＝3>0，f (4)＝4m ＋19>0，解得－194<m <－72.结合m ∈Z ，可得m ＝－4.故选A.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，－1≤x ≤1，－|x －2|＋1，1<x ≤3，若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，13 B.⎝⎛⎭⎫16，14 C.⎝⎛⎭⎫16，8－215D.⎝⎛⎭⎫16－67，16 解析：选C 由f (x ＋4)＝f (x )，得函数f (x )是以4为周期的周期函数，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象如图．由图象可得，f (x )＝ax 在(3,5)内有两个实数根， 当x ∈(3,5)时，f (x )＝－(x －4)2＋1，即x 2＋(a －8)x ＋15＝0在(3,5)上有2个实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a －8)2－60>0，32＋3(a －8)＋15>0，52＋5(a －8)＋15>0，3<8－a 2<5，解得0<a <8－215.再由方程f (x )＝ax 在(5,6)内无解，可得6a >1，a >16.综上可得，正数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫16，8－215.3．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．当Δ<0，即1<a <4时，x 2－2(a －2)x ＋a >0在R 上恒成立，符合题意；当Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，x 2－2(a －2)x ＋a >0的解为x ≠a －2，显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；当Δ>0，即a <1或a >4时，∵x 2－2(a －2)x ＋a >0对于x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2(a －2)＋a ≥0，25－10(a －2)＋a ≥0，1<a －2<5，解得3<a ≤5.又a <1或a >4，∴4<a ≤5. 综上，实数a 的取值范围是(1,5]． 答案：(1,5][课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度 1．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.2．已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x24的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1.3．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，关于f (x )的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( ) A ．f (x )在区间[]－1，0上的最小值为1B ．f (x )在区间[]－1，2上既有最小值，又有最大值C ．f (x )在区间[]2，3上有最小值2，最大值5D ．当0<a <1时，f (x )在区间[]0，a 上的最小值为f (a )；当a >1时，f (x )在区间[]0，a 上的最小值为1解析：选BCD 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1.在选项A 中，因为f (x )在区间[]－1，0上单调递减，所以f (x )在[]－1，0上的最小值为f (0)＝2，A 错误；在选项B 中，因为f (x )在[]－1，1上单调递减，在[]1，2上单调递增，所以f (x )在[]－1，2上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在[]－1，2上的最大值为f (－1)＝5，B 正确；在选项C 中，因为f (x )在区间[]2，3上单调递增，所以f (x )在区间[]2，3上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5，C 正确；在选项D 中，当0<a <1时，f (x )在[]0，a 上单调递减，所以f (x )的最小值为f (a )；当a >1时，f (x )在区间[]0，1上单调递减，在[]1，a 上单调递增，所以f (x )在区间[]0，a 上的最小值为f (1)＝1，D 正确，故选B 、C 、D.4．设a ，b 满足0<a <b <1，则下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b aD ．b b <a b解析：选C D 中，幂函数y ＝x b (0<b <1)在(0，＋∞)上为增函数，又因为a <b ，所以b b >a b ，D 错误；A 中，指数函数y ＝a x (0<a <1)为减函数，因为a <b ，所以a a >a b ，A 错误；B 中，指数函数y ＝b x (0<b <1)为减函数，因为a <b ，所以b a >b b ，B 错误．故选C.5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.6．已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A ．{0，－3}B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[0，＋∞)D ．{0,3}解析：选A ∵函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[－2(m ＋3)]2－4×3×(m ＋3)＝0，解得m ＝－3或m ＝0，∴实数m 的取值范围为{0，－3}．故选A. 7．已知二次函数f (x )满足f (x )＝f (－4－x )，f (0)＝3，若x 1，x 2是f (x )的两个零点，且|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的解析式； (2)若x >0，求g (x )＝xf (x )的最大值． 解：(1)∵二次函数满足f (x )＝f (－4－x )， ∴f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－2， ∵x 1，x 2是f (x )的两个零点，且|x 1－x 2|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－3，x 2＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，x 2＝－3. 设f (x )＝a (x ＋3)(x ＋1)(a ≠0)．由f (0)＝3a ＝3得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋4x ＋3. (2)由(1)得g (x )＝x f (x )＝x x 2＋4x ＋3＝1x ＋3x ＋4(x >0)， ∵x >0，∴1x ＋3x ＋4≤14＋23＝1－32，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时等号成立．∴g (x )的最大值是1－32. 二、综合练——练思维敏锐度 1．幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x3m －m 2(m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( ) A ．0 B ．1和2 C ．2D ．0和3解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2，故选C.2．若存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，则函数f (x )可能是( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋1解析：选A 由存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，可得函数图象的对称轴为x ＝a2≠0，只有f (x )＝x 2－2x ＋1满足题意，故选A.3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4 B ．－2,4 C ．2，－4D ．－2，－4解析：选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，∴－b2a ＝1.①又图象过点P (－1,7)， ∴a －b ＋1＝7，即a －b ＝6，② 联立①②解得a ＝2，b ＝－4，故选C.5．(多选)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －a 4在区间[]0，1上的最大值是32，则实数a 的值为( )A ．3B ．－6C ．－2D.103解析：选BD 函数f (x )＝－x 2＋ax －a 4＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋14(a 2－a )的图象开口向下，对称轴方程为x ＝a2，①当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝14(a 2－a )，则14(a 2－a )＝32，解得a ＝－2或a ＝3， 与0≤a ≤2矛盾，不符合题意，舍去；②当a 2<0，即a <0时，f (x )在[]0，1上单调递减，f (x )max ＝f (0)＝－a 4，即－a 4＝32，解得a ＝－6，符合题意，B 正确；③当a2>1，即a >2时，f (x )在[]0，1上单调递增，f (x )max ＝f (1)＝34a －1，即34a －1＝32，解得a ＝103，符合题意，D 正确，故选B 、D.6.若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( ) A ．－1<m <0<n <1 B ．n <－1<0<m <1 C ．－1<m <0<1<n D ．－1<n <0<m <1解析：选D 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n ，∴－1<n <0，综上所述，选D.7．若(a ＋1) 1212<(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 8．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为__________________．解析：由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ， 所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数， 应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)9．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________． 解析：设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程f (x )＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2－49a ＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋4010．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，x ∈(1,4)． 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案：(－∞，－2)11．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]． 12．已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1)若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； (2)若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎡⎦⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a (a ＞1)， 所以f (x )在[1，a ]上为减函数， 所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]． 又已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a 2－2a 2＋5＝1，f (1)＝1－2a ＋5＝a ，解得a ＝2.(2)由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x .(*)令1x＝t ，t ∈[2,3]， 则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12⎝⎛⎭⎫t －522＋258， 则g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫52＝258，所以a ≥258； 记h (t )＝12t 2＋52t ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋522－258， 则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7， 综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤258，7.三、自选练——练高考区分度1．已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，m 的值域为⎣⎡⎦⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π3，0 B.⎣⎡⎦⎤－π6，0 C.⎣⎡⎦⎤－π3，π6 D.⎣⎡⎦⎤－π6，π3 解析：选B 由题意得f (x )＝－10⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，m ，令t ＝sin x ，则f (x )＝g (t )＝－10(t ＋12)2＋2，令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由g (t )的图象，可知当－12≤t ≤0时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，2，所以－π6≤m ≤0.故选B. 2．已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A 因为f (x )＝(m －1)x n 是幂函数，所以m －1＝1，m ＝2，所以f (x )＝x n .因为点(2,8)在函数f (x )＝x n 的图象上，所以8＝2n ⇒n ＝3.故f (x )＝x 3.a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312＝⎝⎛⎭⎫1332＝133<1，b ＝f (lnπ)＝(ln π)3>1，c ＝f ⎝⎛⎭⎫2-12＝2-32＝122>a .故a ，b ，c 的大小关系是a <c <b .故选A.3．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2， 2] B ．[1, 2] C ．[2,3]D ．[1,2]解析：选B 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1.要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2， 只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2. 又t ≥1，所以1≤t ≤ 2.。
二次函数与幂函数教案
二次函数与幂函数仁怀市第四中学 李正辉 一、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．2. 能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．3.了解幂函数的概念；结合函数 x y =，2x y =，3x y =，xy 1=，21xy =的图象，了解它们的变化情况.函数)(x f y =对称轴的判断方法 （1）.对于二次函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(21x f x f =，那么函数)(x f y =的图象关于221x x x +=对称． （2）. 对于二次函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(x a f x a f -=+成立的充要条件是函数)(x f y =的图象关于直线a x =对称(a 为常数)．二、教学重难点1. 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从五个方面分析：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号．2. 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．3. 研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应二次不等式的解集来确定图象形状.三、知识要点1、二次函数的解析式的三种常用表达形式 （1）一般式：c bx ax x f ++=2)( )0(≠a ；（2）顶点式：a b ac a b x a x f 44)2()(22-++= )0(≠a ，其中顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --；（3）两根式：))(()(21x x x x a x f --= )0(≠a ，其中1x ，2x 分别是0)(=x f 的两实根。
2、二次函数在某区间上的图象0>a0>a3、幂函数的图象归纳四、例题讲解例1：已知幂函数)(x f 的图象过点)4,2(，幂函数)(x g 的图象过点)81,2(. (1)求)(x f 、)(x g 的解析式； (2)解不等式)()(x g x f > .例2: 利用幂函数的性质比较212，313，616值的大小．例3: 已知二次函数)(x f 满足1)2(-=f ，1)1(-=-f ，且)(x f 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.α0<α 0=α 10<<α 1=α 1>ααx y =在第 I 象限图像例4: 若函数5)(2++=x mx x f 在区间[)+∞-,2上是增函数，求实数m 的取值范围.例5：如果函数b x a x x f +++=)2()(2 ([]b a x ,∈) 满足)1()1(x f x f -=+则函数)(x f 的最小值为( )A ．30B ．3C ．6D ．5例6: 当关于x 的方程0722=-+-a ax x 的两个根一个大于2，另一个小于2时，求实数a 的取值范围.。
高中数学第9讲幂函数与二次函数(教案)新人教版必修1
幂函数与二次函数教学目标：了解幂函数的概念，〔高考要求A 〕掌握二次函数的图像性质及其应用。
〔高考要求B 〕 教学重难点：幂函数的图像分布，常见幂函数的图像性质，二次函数的图像性质及其应用。
教学过程： 一、知识要点： 1．幂函数〔1〕幂函数的定义：形如f(x)=x α〔α为常量〕。
〔2〕幂函数的性质：所有幂函数在 〔0，+∞〕上都有意义，并且图像都过点 〔1，1〕。
〔3〕幂函数a y x =的图像分布及其性质：第一象限一定有图像且过〔1，1〕点，当幂函数偶函数时图像分布一二象限，奇函数时图像分布一三象限；第四象限一定无图像；第一象限图像的变化趋势：当0α<时，递 减，0α>递增，其中1α>时，递增速度越来越快，01α<<时递增速度越来越慢； 2 二次函数(1)二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n(2)基本性质：当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q )假设－a b 2<p ,那么f (p )=m ,f (q )=M ; 假设p ≤－a b 2<x 0,那么f (－ab2)=m ,f (q )=M ; 假设x 0≤－a b 2<q ,那么f (p )=M ,f (－a b 2)=m ; 假设－ab2≥q ,那么f (p )=M ,f (q )=my ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕之间关系〔1〕当△＝b 2－4ac ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与x 轴有两个交点〔x 1，0〕、〔x 2，0〕，〔不妨设x 1＜x 2〕对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕有两个不等实根x 1、x 2； 〔2〕当△＝b 2－4ac ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与x 轴有且只有一个交点〔x 0，0〕，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕有两个相等实根x 0；〔3〕当△＝b 2－4ac ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ＞0〕与x 轴没有公共点，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ＞0〕没有实根． 4.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根假设在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p >q )⇔()0()0af p af q <⎧⎨<⎩二、基础练习：1．设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，那么使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 -1,32. 比较以下各组数的大小：22330.30.23322(1)0.7,0.6;(2)( 1.2),( 1.25);(3)0.2,0.3(4),,(01)b a b a b b a b ----<<< 解：22330.30.23322(1)0.70.6;(2)( 1.2)( 1.25);(3)0.20.3(4)a b b b b a -->->-<>>3.函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，那么a 的取值X 围是 )⎡⎣ 4.函数21554(32)y x x x =++≥-的值域是[3,+∞ 〕5.二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，那么实数b 取值X 围是b<-1三、例题精讲：例1．点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，在指数函数()g x 的图象上．问方程()()0f x g x -=有 3 个根，当x ≥0时不等式()()f x g x ≥和()()f x g x <的解集分别是[2，4]、[0，2〕∪〔4，+∞〕． 分析：由幂函数的定义先求出()f x 与()g x 的解析式，f 〔x 〕=x 2，g 〔x 〕=2x 再利用图象判断即可． 例2.函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，那么m 的取值X 围是 [1,2]变式：函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 例3.二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值X 围(1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,那么x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2a c|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 22222224444()4()b c b ac a c ac a a a a ----=--==22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++ ∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0 ∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=ac ac ac f 的对称轴方程是21-=a c a c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3) 例4.关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的X 围 (2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m 的X 围解(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)例5.集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，假设A ∪B ＝A ，求a 的取值X 围．解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识． ∵A ＝［1，4］，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．假设B ＝φ，即x 2－2ax ＋a ＋2＞0恒成立，那么△＝4a 2－4〔a ＋2〕＜0， ∴－1＜a ＜2； 假设B ≠φ，解法一：△＝4a 2－4〔a ＋2〕≥0， ∴a ≥2或a ≤－1． ∵方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根为x 1，2＝a ±a 2―a ―2 ．那么B ＝{x |a －a 2―a ―2 ≤x ≤a ＋a 2―a ―2 }，由题意知 ⎩⎨⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈〔－1，187 ］．21-1oyx1oyx解法二：f 〔x 〕＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4a 2－4〔a ＋2〕≥0f 〔1〕＝3－a ≥0f 〔4〕＝－7a ＋18≥01≤a ≤4 解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈〔－1，187 ］．四.自我检测一.填空题;2()26f x x x =-+在以下定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；值域{0，4}(2) 定义域为[]2,1-．值域[-20,4] 2假设不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，那么a 的取值X 围是解析当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，那么a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的X 围是－2＜a ≤23设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),假设f (m )<0,那么f (m －1)的值正负情况为解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,那么f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>04二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,假设在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,那么实数p 的取值X 围是_________解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3,23)5.函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是()1f <()0f < ()1f -6.函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，那么a 的取值X 围是 a ≤-3 二.解答题：7方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，某某数a 的取值X 围．解析：方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，那么⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜52 ．方法二：利用二次函数图象的特征，设f 〔x 〕＝x 2－2ax ＋4， 那么⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a＜52 ．8．不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．解析：由题意，方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得⎩⎨⎧，＝－，＝－61b a那么所求不等式为6x 2－5x －1＞0，解之得x ＜－16 或x ＞1．9如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求m 的取值X 围解∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意(2〕当m >0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1 综上所述，m 的取值X 围是{m |m ≤1且m ≠0}10.对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值X 围 解由条件知Δ≤0,即(－4a 〕2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为 x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2425 ∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max 425∴49≤x 425 (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12 综上所述,49≤x ≤12。
《25二次函数与幂函数》教案
教学过程一、课堂导入以提问的形式复习一元二次方程的一般形式，一次函数，反比例函数的定义，然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案，创设情境：（1）你们喜欢打篮球吗？（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？从而引出课题〈〈二次函数〉〉，导入新课二、复习预习1.复习一次函数的相关概念2.预习二次函数的概念3.预习二次函数的相关性质4.预习二次函数的图像三、知识讲解考点1二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．考点2 二次函数的图象和性质考点3 幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．考点4 五种幂函数的图象考点5 五种幂函数的性质四、例题精析【例题1】【题干】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)·(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.【例题2】【题干】已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．【解析】(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.【例题3】【题干】幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．－1<m<3B．0C．1D．2【答案】D【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．【例题4】【题干】当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．五、课堂运用【基础】1．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫33α＝3， 解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (0)<f (2)<f (－2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：选C∵f(1＋x)＝f(－x)，∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c. ∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c. ∴2＋b＝－b，即b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝1 2.∴f(0)<f(2)<f(－2)．3．已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有() A．f(p＋1)＞0 B．f(p＋1)＜0C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符号不能确定解析：选A函数f(x)＝x2＋x＋c的对称轴为x＝－12，又因为f(0)＞0，f(p)＜0，故－1＜p＜0，p＋1＞0，所以f(p＋1)＞0.【巩固】4．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋a24－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋a24－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎨⎧2m＋6＝－a，m(m＋6)＝a24－c，解得c＝9.答案：95．已知函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．解析：当m ＝0时，y ＝－3x ＋1，显然成立．当m ≠0时，要使y ∈[0，＋∞)，只要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(m －3)2－4×m ×1≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.综上m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)【拔高】6．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．解：∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a . ①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)；②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a 2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.7．已知f (x )＝x 2＋3x －5，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式．解：如图所示，函数图象的对称轴为x ＝－32，(1)当t ＋1≤－32，即t ≤－52时，h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋3(t ＋1)－5，即h (t )＝t 2＋5t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－52.(2)当t ≤－32<t ＋1，即－52＜t ≤－32时，h (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－294.(3)当t >－32时，h (t )＝f (t )＝t 2＋3t －5.综上可得，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋5t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－52，－294⎝ ⎛⎭⎪⎫－52<t ≤－32，t 2＋3t －5⎝ ⎛⎭⎪⎫t >－32.课程小结1.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧ a >0，b 2－4ac <0. (2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a <0，b 2－4ac <0. [注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．。