2018年武汉中考数学专题复习路径问题
路径问题
1. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，点C 为圆上任意一点，OD ⊥AC 于D ，当点C 在⊙O 上运动一周，点D 运动的路径长为( )
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
第1题图
D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝12
AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π.
第1题解图 2. 如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，则点P 运动的路径长是( )
A. 2π
B. π
C. 2π D ．3π
第2题图
C 【解析】如解图，点P 运动的路径是以G 为圆心的劣弧EF ︵，在⊙G 上取一点H ，连接EH 、FH ，∵四边形AOCB
是正方形，∴∠AOC ＝90°，∵∠CEA ＝12
∠COA ＝45°，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF ＝90°，∴∠APF ＝∠AFP ＝45°，∴∠H ＝∠APF ＝45°，∴∠EGF ＝2∠H ＝90°，∵EF ＝4，GE ＝GF ，∴GE ＝GF ＝22，∴EF ︵的长为90π·22180
＝2π.
第2题解图 3. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝45°，BC ＝4，当点D 在优弧BAC 上由B 点运动到C 点时，弦AD 的中点E 运动的路径长为( )
第3题图
A. 322π
B. 32π
C. 2π
D. 22π
A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在以AO 为直径的圆上，当点D 运动到点C 处时，AE ′＝12
AC ；当点D 运动到点B 处时，AE ″＝12AB ，∴E ′E ″为△ABC 的中位线，∴E ′E ″＝12
BC ＝2，∵∠A ＝45°，∴弧E ′E ″所对的圆心角为90°，点E 所在圆的半径r ＝2，∵点D 在优弧BAC 上运动，∴点E 运动的路径长为（360－90）2π180＝322
π.
第3题解图
4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，BC ＝AB ＝4，点D 在以斜边AC 为直径的圆上，点E 在线
段DB 的延长线上，EB ＝12BD ，当点D 在劣弧AB ︵上从点A 运动至点B 时，点E 运动的路径长
是( )
第4题图
A. 22π
B. 2π
C. π
D. 2π
A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在⊙M 上，点D 运动到D ′处时，D ′、O 、
B 、M 共线，此时D ′B
为⊙O 的直径，∵BE ＝12BD ，∴BM ＝12
BO ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝4，∴AC ＝42，∴BO ＝AO ＝22，∴BM ＝2，当点D 与点A 重合时，点E 运动到E ″处，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°，∴∠BOA ＝90°，∴∠E ″MB ＝90°，
∴当点D 从点A 运动至点B 时，点E 的运动路径长为90×2π180＝22
π.
第4题解图
5. 如图，已知直线l 经过圆O 的圆心O ，P 是半径OM 上一动点，当半径OM 绕点O 旋转时，总有点P 到点O 的距离等于点M 到直线l 的距离，若OM ＝10，则当OM 绕点O 旋转一周时，点P 运动的路程是( )
第5题图
A. 10π
B. 15π
C. 20π
D. 25π
C 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥OM ，交直线l 同侧的⊙O 于点F ，连接OF ，记OF 的中点为G ，∵CM ⊥直线l ，
∴∠MCO ＝∠OPF ＝90°，在Rt △CMO 和Rt △POF 中，∵?
????MC ＝OP OM ＝OF ，∴Rt △CMO ≌△Rt △POF ，∴∠POF ＝∠CMO ，OF ⊥直线l ，∵点G 是OF 的中点，∴OG ＝GP ＝GF ，∴点P 在以点G 或G ′为圆心OG 或OG ′长为半径的圆上，当点M 运动一周时，点P 的运动路程是⊙G 周长的2倍，OF ＝OM ＝10，∴点P 运动路程为2×10π＝20π.
第5题解图
6. 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)，点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1，点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交于x 轴于点N (n ，0)，设点M 转过的路程为m (0＜m ＜1)．
(1)当m ＝14时，n ＝________．
(2)随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为________．
第6题图
－1，233 【解析】本题以圆和直角坐标系为背景考查了动态直角三角形的解法，(1)如解图①，当m ＝14
时，即AM ︵的长为14
，∵⊙P 的周长为1，∴∠APM ＝90°，∵AP ＝MP ，∴∠NAO ＝45°，∴ON ＝OA ＝1，∴n ＝－1；(2)如解图②，当m ＝13时，同理可得∠NAO ＝30°，ON ＝OA ×tan30°＝33，当m ＝23
时，点N (N ′)到了x 轴的正半轴上，同理得∠N ′AO ＝30°，此时ON ′＝33，∴点N 相应移动的路径长为33－(－33)＝23
3.
中考数学专题复习-轨迹问题
E 中考数学核心知识专题复习----轨迹问题探究 符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹 六种常用的基本轨迹： ①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。 ②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。 ③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。 ④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。 ⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。 ⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。 一、尺规作图：轨迹法确定动点位置 1）已知∠AOB,求作点P，使得点P到角两边距离相等，且满足OP=2 2）已知∠AOB和直线L,在直线L上确定点P，使得使得点P到角两边距离相等 3）已知∠AOB和线段CD,使得点P到角两边距离相等且满足PC=PD 4)已知线段AB和直线L，在直线L上确定点P使得∠APB=600 C A A D O B O B 1)2) L A L O B A B 3)4) 二交轨法应用 1.在正方形ABCD中，为AD边上一点，以BE边所在直线为折痕将?ABE对折之?PBE位置。若AB=2，且PC=1. 1)不全图形
B 2) 求 tan ∠ PCD 的值 A D B C 2．如图，在 △Rt ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300，BC =8，D 为线段 AB 上的动点，过点 A 作 AH ⊥CD 于点 H ，连接 BH ，则 ② 求 AB 的长 ②求 BH 的最小值。 A D H C B 3．等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC ，BC 边上各取一点 E ，F ，连接 AF ，BE 相交于点 P ．且 AE =CF ； （1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数； （2）若 AE =2，试求 AP AF 的值； （3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长． 4．如图，以 G （0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C ，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点， CF ⊥ AE 于 F ．当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长 y C G E A D
2018年武汉市中考数学试卷及答案解析
2018年武汉市初中毕业生考试数学试卷 考试时间：2018年6月20日14:30~16:30 、 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．温度由－4℃上升7℃是（ ） A ．3℃ B ．－3℃ C ．11℃ D ．－11℃ 2．若分式 2 1 x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞－2 B ．x ＜－2 C ．x ＝－2 D ．x ≠－2 3．计算3x 2－x 2的结果是（ ） A ．2 B ．2x 2 C ．2x D ．4x 2 4．五名女生的体重（单位：kg ）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．2、40 B ．42、38 C ．40、42 D ．42、40 5．计算(a －2)(a ＋3)的结果是（ ） A ．a 2－6 B ．a 2＋a －6 C ．a 2＋6 D ．a 2－a ＋6 6．点A (2，－5)关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．(2，5) B ．(－2，5) C ．(－2，－5) D ．(－5，2) 7．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ） A ． 4 1 B ．2 1 C ．4 3 D ． 6 5 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 …… 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A ．2019 B ．2018 C ．2016 D ．2013 10．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ） A ．32 B ．23 C ． 23 5 D ． 2 65
2019年湖南省常德市中考数学试卷(答案解析版)
2019年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1.点（-1，2）关于原点的对称点坐标是（） A. B. C. D. 2.下列各数中比3大比4小的无理数是（） A. B. C. D. 3.下列运算正确的是（） A. B. C. 4. 公司的普通员工最关注的数据是（） A. 中位数和众数 B. 平均数和众数 C. 平均数和中位数 D. 平均数和极差 5.如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是 （） A. B. C. D. 6.小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说： “至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（） A. B. C. D. 7.如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相 似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边 形DBCE的面积是（） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中 的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（） A. 0 B. 1 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9.数轴上表示-3的点到原点的距离是______． 10.不等式3x+1＞2（x+4）的解为______． 11.从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩 都是89.7，方差分别是S甲2=2.83，S乙2=1.71，S丙2=3.52，你认为适合参加决赛的选手是______．
2018年武汉市中考数学试卷(正式版)
2018年武汉市中考数学试卷 、 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．温度由－4℃上升7℃是（ ） A ．3℃ B ．－3℃ C ．11℃ D ．－11℃ 2．若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞－2 B ．x ＜－2 C ．x ＝－2 D ．x ≠－2 3．计算3x 2－x 2的结果是（ ） A ．2 B ．2x 2 C ．2x D ．4x 2 4．五名女生的体重（单位：kg ）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．2、40 B ．42、38 C ．40、42 D ．42、40 5．计算(a －2)(a ＋3)的结果是（ ） A ．a 2－6 B ．a 2＋a －6 C ．a 2＋6 D ．a 2－a ＋6 6．点A (2，－5)关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．(2，5) B ．(－2，5) C ．(－2，－5) D ．(－5，2) 7．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 …… 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A ．2019 B ．2018 C ．2016 D ．2013 10．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB ＝4，则BC 的长是（ ） A ． B ．
2018中考数学模拟试题
东营市2017年三轮复习模拟试题演练（第一套） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，满分60分） 1．﹣的相反数是（） A．﹣B．C．﹣5 D．5 2．下列运算正确的是（） A．3﹣1=﹣3 B．=±3 C．（ab2）3=a3b6D．a6÷a2=a3 3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 4．第六次全国人口普查数据显示，德州市常驻人口约为556.82万人，此数用科学记数法表示正确的是（） A．556.82×104B．5.5682×102C．5.5682×106D．5.5682×105 5．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（） A．①②B．②③C．②④D．③④ 6．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（） A．45°B．54°C．40°D．50° 7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）
为（）
A．4km B．2km C．2km D．（+1）km 8．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（） A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60° 9．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表： 年龄14 15 16 17 18 人数 5 6 6 7 2 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（） A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16 10．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是（） A．B．C．1 D． 11．函数y=mx+n与y=，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）
【最新人教版初中数学精选】2020年湖南省常德市中考数学试卷.doc
2020年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）下列各数中无理数为（） A．B．0 C．D．﹣1 2．（3分）若一个角为75°，则它的余角的度数为（） A．285°B．105°C．75°D．15° 3．（3分）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 4．（3分）如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是（） A．30，28 B．26，26 C．31，30 D．26，22 5．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（） A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 6．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．B．C．D． 7．（3分）将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（） A．y=2（x﹣3）2﹣5 B．y=2（x+3）2+5 C．y=2（x﹣3）2+5 D．y=2（x+3）2﹣5 8．（3分）如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（） sin60° sin45° ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）计算：|﹣2|﹣=． 10．（3分）分式方程+1=的解为． 11．（3分）据统计：我国微信用户数量已突破887000000人，将887000000用科学记数法表示为． 12．（3分）命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：．13．（3分）彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷节”期间，从山上5棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷千克． 14．（3分）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是．
中考数学轨迹问题精选
运动轨迹 1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角 形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______． 2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分 别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π） 3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D， 当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______ 4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺 时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______ 5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1． （1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积． 6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______ 7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．
8、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8． 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF． （1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由． 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C →D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长． （4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值． 9、如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．
2018年中考数学模拟试题
2018年中考数学模拟试题 一、选择题 1． -2的绝对值是 （ ） A ．±2 B ．2 C ．一2 D ． 12 2．如图所示的立体图形的主视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下列运算正确的是 （ ） A ．222()x y x y +=+ B ．235()x x = C x = D ．623x x x ÷= 4．如今网络购物已成为一种常见的购物方式，2016年11月11日当天某电商平台的交易额就达到了1107亿元，用科学记数法表示为（单位：元） （ ） A ，101.10710? B ．111.10710? C ．120.110710? D ．12 1.10710? 5．如图，BE 平分∠DBC ，点A 是BD 上一点，过点A 作AE ∥BC 交BE 于点E ，∠DAE=56°， 则∠E 的度数为（ ） A ．56° B ．36° C ．26° D ．28° 6．一组数据5，2，6，9，5，3的众数、中位数、平均数分别是（ ） A ．5，5，6 B ．9，5，5 C ．5，5，5 D ．2，6，5 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，则图中阴影部分的面积为 （ ） A ． 1312π B ．34π C ．43π D ．2512 π 8．若一次函数y=mx+n （m ≠0）中的m ，n 是使等式12m n =+成立的整数，则一次函数y=mx+n （m ≠0）的图象一定经过的象限是 （ ） A ．一、三 B ．三、四 C ．一、二 D ．二、四 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=E 是CD 的中点，连接AE ， 将△ADE 沿直线AE 折叠，使点D 落在点F 处，则线段CF 的长度是 （ ） A ．1 B C ．23 D
湖南省常德市2018年中考数学试题(含答案)
2018年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）﹣2的相反数是（） A．2 B．﹣2 C．2﹣1D．﹣ 2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（） A．1 B．2 C．8 D．11 3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0 D．﹣a＞b 4．（3分）若一次函数y=（﹣2）+1的函数值y随的增大而增大，则（）A．＜2 B．＞2 C．＞0 D．＜0 5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛， 2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S 甲 你认为派谁去参赛更合适（） A．甲B．乙C．丙D．丁 6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）
A．B．C．D． 8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为： ；其中D=，D=，D y=． 问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（） A．D==﹣7 B．D=﹣14 C．D y=27 D．方程组的解为 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）﹣8的立方根是． 10．（3分）分式方程﹣=0的解为=． 11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为千米． 12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是．13．（3分）若关于的一元二次方程22+b+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是（只写一个）．
中考数学轨迹问题
1．如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ． （1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长． 2．如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图①
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ． （1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标； （2）求t 为何值时，△DP A 的面积最大，最大为多少？ （3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△DP A 能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由； （4）请直接写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长. 4.如图，直角坐标系中，已知点A （2，4），B （5，0），动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动，动点Q 从A 点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x 秒． （1）Q 点的坐标为( , )（用含x 的代数式表示）； （2）当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形？ （3）记PQ 的中点为G ．请你直接写出点G 随点P ，Q 运动所经过的路线的长度．
2018湖北省武汉市中考数学解析
2018年武汉市初中毕业生考试试卷 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1． （2018武汉市，1，3分） 温度由－4℃上升7℃是（ ） A ．3℃ B ．－3℃ C ．11℃ D ．－11℃ 【答案】A 【解析】－4+7＝3（℃）.故选A . 【知识点】有理数的加法 2． （2018武汉市，2，3分） 若分式 2 1 +x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞－2 B ．x ＜－2 C ．x ＝－2 D ．x ≠－2 【答案】D 【解析】∵2x +≠0，∴x ≠－2.故选D . 【知识点】分式有意义的条件 3． （2018武汉市，3，3分） 计算3x 2－x 2的结果是（ ） A ．2 B ．2x 2 C ．2x D ．4x 2 【答案】B 【解析】原式＝（3－1）2 x ＝22 x .故选B . 【知识点】整式的减法 4． （2018武汉市，4，3分） 五名女生的体重（单位：kg ）分别为：37，40，38，42，42，这组数据的众数和 中位数分别是（ ） A ．2，40 B ．42，38 C ．40，42 D ．42，40 【答案】D 【解析】∵37、40、38、42、42，这组数据共有5个数，其中42出现2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是42；把37、40、38、42、42，按从小到大的顺序排列为37，38，40，42，42，共有5个数据，其中40在中间位置，∴这组数据的中位数是42.故选D . 【知识点】一组数据众数、中位数的求法 5． （2018武汉市，5，3分） 计算(a －2)(a ＋3)的结果是（ ） A ．a 2－6 B ．a 2＋a －6 C ．a 2＋6 D ．a 2－a ＋6 【答案】B 【解析】(a －2)(a ＋3)＝2 326a a a +--＝2 6a a +-.故选B . 【知识点】整式的乘法、整式的加减 6． （2018武汉市，6，3分） 点A (2，－5)关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．(2，5) B ．(－2，5) C ．(－2，－5) D ．(－5，2) 【答案】A 【解析】∵点P (,a b )关于x 轴的对称点是1P (,a b -)，∴点A (2，－5)关于x 轴对称的点的坐标是（2，5）.故选A . 【知识点】两点关于x 轴对称的坐标的关系 7． （2018武汉市，7，3分） 一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几 何体中正方体的个数最多是（ ） A ．3 B ．4
2018年河北中考数学模拟试卷
A C D B 图2 2018年河北中考模拟 数 学 试 卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共42分） 注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在3，－1，0，－2这四个数中，最大的数是（ ） A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3 2．如图1所示的几何体的俯视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．一元一次不等式x +1<2的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图2，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，若∠BAD =70°， 那么∠ACD 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．50° D ．45° 5．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从 中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ） A ． 3 1 B ． 2 1 -1 0 -1 0 1 正面 图1 0 1
C ． 3 2 D ． 6 1 6．下列计算正确的是（ ） A ．|－a |=a B ．a 2·a 3=a 6 C ．()2 1 21 - =-- D ．(3)0=0 7．如图3，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的： 分别以A 和B 为圆心，大于 AB 2 1 的长为半径画弧，两弧相交 于C 、D 两点，直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边 形ADBC 一定是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定 8．已知n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．如图4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD =88°， 则∠BCD 的度数是（ ） A ．88° B ．92° C ．106° D ．136° 10．下列因式分解正确的是（ ） A ．m 2+n 2=（m +n ）（m -n ） B ．x 2+2x -1=（x -1）2 C ．a 2-a =a （a -1） D ．a 2+2a +1=a （a +2）+1 11．下列命题中逆命题是真命题的是（ ） A ．对顶角相等 B ．若两个角都是45°，那么这两个角相等 C ．全等三角形的对应角相等 D ．两直线平行，同位角相等 12．若关于x 的方程x 2﹣4x +m =0没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣4 B ．m ＞﹣4 C ．m ＜4 D ．m ＞4 13．如图5所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边 三角形，点E 在正方形ABCD 内，点P 是对角线AC 上一点， 若PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．32 B ．62 C ．3 D ．6 14．如图6，在平面直角坐标系中，过点A 与x 轴平行的直线交抛 图3 C B A D 图4 A B 图
2018年中考数学模拟试卷及答案解析
2018年中考数学模拟试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．7的相反数是（） A．7 B．﹣7 C．D．﹣ 2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（） A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2 3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（） A．B．C．D． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（） A．B．C．D． 5．下列运算正确的是（） A．3a2+a=3a3B．2a3?（﹣a2）=2a5C．4a6+2a2=2a3D．（﹣3a）2﹣a2=8a2 6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 7．下列命题中假命题是（） A．正六边形的外角和等于360° B．位似图形必定相似 C．样本方差越大，数据波动越小 D．方程x2+x+1=0无实数根 8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（） A．B．C．D．1 9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（） A．45°B．60°C．75°D．85°
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（） A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2； 的最小值是，其中正确结论的个数是（） ⑤若AB=2，则S △OMN A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 13．计算：﹣3﹣5= ． 14．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为．15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为． 16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C 顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为． 17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）
中考数学轨迹问题集锦
动点问题讲义 1、如图1，已知线段 AB= 6, C D 是AB 上两点，且 AC = DB= 1, P 是线段CD 上一动点，在 AB 同侧 分别作等边三角形 APE 和等边三角形PBF G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移 动的路径长度为 . 2、正△ ABC 的边长为3cm,边长为1cm 的正△ RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P, Q 分别在AC, AB 上，将△ RPQ 沿着边AB BC, CA 逆时针连续翻转(如图所示)，直至点 P 第一次回到原来位置，则点 P 运动的路径长为 3、如图，AB 为O O 的直径，AB=8,点C 为圆上任意一点，ODL AC 于D,当点C 在O 0上运动一周，点 D 运动 的路径长为 ______________ 4、如图，一块边长为 6cm 的等边三角形木板 ABC 在水平桌面上绕 C 点按顺时针方向旋转到厶 A B ' C'的 位置，则边AB 的中点D 运动的路径长是 ____________________ 5、如图所示，扇形 OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，/ 0=60°, OA=1. (1 )求O 点所运动的路径长； (2) O 点走过路径与直线 L 围成图形的面积 .cm .(结果保留n) O A O 图L 图2 C
6、如图，0从0B,垂足为0, P、Q分别是射线OA 0B上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4则动 点C运动形成的路径长是_______ 90°的扇形0AB的弧AB上有一运动的点P.从点P向半径0A引垂线PH交当点 P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为. &如图，正方形ABC啲边长是2, M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止?连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G连结EG FG (1 )设AE= x时，△ EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2) P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长.
2018~2019学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷(含答案)
2018~2019学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷 考试时间：2019年1月17日14：00~16：00 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是－6，常数项是1的方程是（ ） A ．3x 2＋1＝6x B ．3x 2－1＝6x C ．3x 2＋6x ＝1 D ．3x 2－6x ＝1 2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） 3．若将抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A ．y ＝(x －1)2＋2 B ．y ＝(x －1)2－2 C ．y ＝(x ＋1)2＋2 D ．y ＝(x ＋1)2－2 4．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ） A ．两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B ．两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C ．两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D ．两枚骰子向上一面的点数之和等于12 5．已知⊙O 的半径等于8 cm ，圆心O 到直线l 的距离为9 cm ，则直线l 与⊙O 的公共点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定 6．如图，“圆材埋壁”和我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，则直径CD 的长为（ ） A ．12．5寸 B ．13寸 C ．25寸 D ．26寸 7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（ ） A ．61 B ．83 C ．85 D ．3 2 8．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转一个角度，使点O 的对应点D 落在弧AB 上，点B 的对应点为C ，连接BC ，则图中CD 、BC 和弧BD 围成的封闭图形面积是（ ） A ．63π- B ．623π- C ．823π- D ．3 3π - 9．古希腊数学家欧几里得的《几何原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：如图，画Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ，则该方程的一个正根是（ ） A ．AC 的长 B ．BC 的长 C ．AD 的长 D ．CD 的长 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴的一个交点为(2，0)．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝p （p ＞0）有整数根，则p 的值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．已知3是一元二次方程x 2＝p 的一个根，则另一根是___________．
2018年中考数学模拟试卷
机密★启用前 2018年初中毕业生学业（升学）统一考试模拟试卷 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。 2.答题时，卷Ⅰ必须使用2B铅笔，卷Ⅱ必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚。 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 4.本试题共6页，满分150分，考试用时120分钟。 5.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上） 1.下列各数中，无理数为（） A. 0.2 B. C. D. 2 2.2017年毕节市参加中考的学生约为115000人，将115000用科学记数法表示为（） A.6 5. 11? D. 5 15 .1? 10 10 .0? B.4 10 15 .1? B. 6 115 10 3. 下列计算正确的是（）
A. 933a a a =? B. 2 22)(b a b a +=+ C. 022=÷a a D.6 32)(a a = 4.一个几何体是由一些大小相同的小立方块摆成的，其主视图和俯视图 如图所示，则组成这个几何体的小立方块最少有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 （第4题图） 5.对一组数据：-2，1，2，1，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是1 B. 众数是1 C. 中位数是1 D. 极差是4 6.如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=70°，则∠AED=（ ） A. 55° B. 125° C. 135° D. 140° 7.关于x 的一元一次不等式的解集为想4，则m 的值为（ ） A. 14 B. 7 C. -2 D. 2 8.为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的的数量约为（ ） A. 1250条 B. 1750条 C. 2500条 D.5000条 9.关于x 的分式方程721511 x m x x -+=--有增根，则m 的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
2018年湖南省常德市中考数学试卷及答案解析
2018年湖南省常德市中考数学试卷及答案解 析．
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14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视．这个范围的频率为 4.9≤x＜5.5力在 频视24.4.44.4.74.4.6605.24.9≤x≤105.55.2≤x＜15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ． 16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人 心．里想的数是 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）2﹣017．（．5分）计算：）|+﹣）﹣π﹣|12﹣（（18．（5分）求不等式组的正整数解． 页）31页（共5第 （本大题．分）分）分，满分122个小题，每小题6四、 先化简，再求值：（，其中+x=）÷19．（6=y≠0）与反比例函数y=kx+b（k0（k≠）20．（6分）如图，已知一次函数21112的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．）求一次函数与反比例函数的解析式；1（的取值范围．时yx2）请根 据图象直接写出y＜（21 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水千克．/元千克，乙种水果20元果10（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）
平面几何轨迹问题分类例析
平面几何轨迹问题分类例析 近年来，在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题，由于较难确定动点轨迹的形状，往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例，就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析，供读者参考. 一、直线型动点轨迹 事实上，要说明一动点轨迹为直线型(直线、射线或线段)，必须证明两点:第一、该轨迹恒过一定点(确定位置);第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行(明确方向). 例1 (2013年湖州)如图1，已知点A 是第一象限内横坐标为AN x ⊥轴于点M ，交直线y x =-于点N .若点P 是线段ON 上的一个动点，30APB ∠=?, BA PA ⊥,则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动.求当点P 从点O 运动到 点N 时，点B 运动的路径长是___. 图1 解析 如图2，由点P 位于O 、N 时，点B 所对应的位置0B 、n B 以及点P 在线段OC 上运动，可猜想点B 的轨迹是线段0n B B .如何证明呢? 显然，点B 的轨迹已经过0B 点，下面只需证明0AB B ∠为定值，即证明它与某一个定角相等即可. 观察可得，APN ∠就是与0AB B ∠相等的 定角，再由两角的位置特征和题设条件，不难 想到用三角形相似来证明两角相等. 由0tan30,tan30AB AO AB AP =?=?，得0::tan30AB AO AB AP ==? 又易知0OAC B AB ∠=∠ ,得0AB B ?∽AOP ?, 所以0AB B AOP ∠=∠为定值. 故点B 在线段0n B B 上，
即线段0n B B 就是点B 运动的路径(或轨迹). 同理可证 0n A B B ?∽AON ?，且相似比为 t a n 3?， 则 0t a n 22 n B B O N = ?= 图2 注 例1利用角来确定动点的运动方向，还可用与定直线平行确定动点的运动方向. 例2 (2010年桂林)如图3，已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上，且2AC DB ==. P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边AEP ?和等边PFB ?，连结EF ，设EF 的中点为G .当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动路径的长 是 . 图3 解析 如图4，分别延长AE 、BF 交于点H ，由60EAP FBP ∠=∠=?可知，当点P 在线段CD 上移动时，点E 、F 分别在线段AH 、BH 上移动. 图4 由60A FPB ∠=∠=?，知AH //PF , 同理BH //PE .