理论力学11—动量矩定理
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于是得
n d LO M O ( Fi (e) ) dt i 1
nn
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点 系的外力对于同一点之矩的矢量和。
11.2 动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d d L M ( F (e) (e) ) x M x (F i L d x x i (e) ) d t d t Lx M x ( Fi ) d t d d L M ( F (e) (e) ) y y i d Ly M y ( Fi (e)) d t d t Ly M y ( Fi ) d t d d L M ( F (e) (e) ) z z i Lz M z ( Fi (e)) d d t d t Lz M z ( Fi ) dt
11.2 动量矩定理
例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为 m1 ，绕O 轴转动。小车和矿石的总质量为 m2 。作用在鼓轮 上的力偶矩为 M，鼓轮对转轴的转动惯量为 J，轨道倾角为α。 设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。 分析： 小车的速度对时间的一阶导数等 于加速度，利用动量矩定理可求 出小车速度的表达式。 解：以系统为研究对象，受力 如图。以顺时针为正，则
(i) M ( F O i )0 i 1 n
11.2 动量矩定理
上式左端为
d d nn d d d d MO (m m vii)) MO (m m vii)) L L M v M v O( O( O ii ii O dtt dtt ii dtt d d ii 11 d 11
11 动量矩定理
引言 由静力学力系简化理论知： 平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等 于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 由刚体平面运动理论知：
刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描 述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。
z
A
l
a
0
a
B
l
C
D
故应使用动量矩守恒定理。
11.2 动量矩定理
解：以系统为研究对象
z
A
l
C
系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力 这些力对转轴之矩都等于零。
所以系统对转轴的动量矩守恒，即
a
a
B
l
D
Lz1 Lz 2
Lz1 2(ma0 )a 2ma20 Lz 2 2m(a l sin )2 2ma20 2m(a l sin )2
刚体绕质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将 由本章的动量矩定理给出。
它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
11.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩 是矢量。
MO (mv ) r mv
质点动量mv在oxy平面内的投 影(mv)xy对于点O的矩 定义为质点动量对于z轴的矩 简称对于 z 轴的动量矩，是代 数量。 MO(mv)
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等 于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的 乘积。
11.1 质点和质点系的动量矩
注意：
对点的动量矩是矢量，对轴的动量矩是代数量。 计算质点系相对于质心的动量矩时，无论是用绝对运动的动 量，还是用相对于以质心为基点的平动坐标系的相对运动的 动量，其计算结果是相同的。
对质心之外的其它点，用上述两种方法计算的动量矩是不同 的，必须用绝对运动中的动量来计算动量矩。
11.1 质点和质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳， 绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯 量为J ，半径为 r，角速度为 ，重物A的质量 为 m ，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系统 对轴O的动量矩。
O
r
解：
A
mv
LO L盘 m vr vr J 块L LOL L m J 块 盘 2 2 2 J (m r 2 m r ) m r J (m rJ J )
Q
m v
y
O
r
x
d M O ( mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一 点的矩。
11.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量 矩的关系代入，得
d d M x (mv ) M x ( F ) d M x (mv ) M x ( F ) d t d t M x (mv ) M x ( F ) d t d d M y (mv ) M y ( F ) d M y (mv ) M y ( F ) d t d t M y (mv ) M y ( F ) d t d d M z (mv ) M z ( F ) d M z (mv ) M z ( F ) d t d t M z (mv ) M z ( F ) dt
3 平动刚体的动量矩
刚体平动时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其 动量矩。
4 定轴转动刚体的动量矩
z
Lz M z (mi vi ) mi vi ri mi ri
2
ri Mi
令Jz＝Σmiri2称为刚体对z轴的转动惯量, 于 是得
mi vi
Lz J z
z
A
Mz(mv)
mv
Q
A
q
O x
r
y
Q
11.1 质点和质点系的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量 矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。 [MO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是kg· m2/s。
11.1 质点和质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
MR m2 gR2 sin a 2 J m2 R
若M＞m2gRsinα，则a＞0，小车的加速度沿轨道向上。 必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协 调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。
11.2 动量矩定理
例4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长 为l 的杆 AC 及BD 相连，杆端各联结质量为 m的小球 C和D 。起 初两小球用细线相连，使杆 AC 与 BD 均为铅垂，系统绕 z 轴的 角速度为ω0 。如某时此细线拉断，杆 AC 和 BD 各与铅垂线成 α角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度ω 。 分析： 系统所受外力对z轴之矩均为零 故不能使用动量矩定理 但正因为系统所受外力对z轴之矩均为零 所以动量矩守恒
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢 量和。 LO=ΣMO(mv) 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数 和。 Lz=ΣMz(mv) 质点系对某点 O 的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等于 质点系对该轴z的动量矩。 [LO]z= Lz
11.1 质点和质点系的动量矩
质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的 力对同一轴的矩。
11.2 动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O 点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。 解：以摆锤为研究对象，建立如图 坐标，受力如图。 在任一瞬时，摆锤的速度为v 摆的偏角为 ，则
质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对于同一轴之矩的代数和。
11.2 动量矩定理
3 动量矩守恒定律 由上式可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
如果作用在质点系上的力对某定点之矩恒等于零，则质点系 对该点的动量矩保持不变。则
MO (mv ) 恒矢量
如果作用在质点系上的力对某定轴之矩恒等于零，则质点系 对该轴的动量矩保持不变。则
这样的方程共有n个，相加后得
n n n n d (e) (i) (e) (i) M ( m v ) M ( F ) M ( F O O O O ii ii O ii O ii ) 1 dt 1 1 ii 1 ii 1 ii 1 n n
由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项
N FOyபைடு நூலகம்
v
M
O
FOx m1g
LO J m2vR
m2 g
MO (F (e) ) M m2 g sin R
11.2 动量矩定理
由
d ，有 LO mO ( Fi (e) ) dt
d ( J m2 vR) M m2 g sin R dt v dv a ,于是解得 因 , R dt
O
y
M z (mv) mvl ml
2
l
N M mg
M z (F ) mgl sin
式中负号表示力矩的正负号恒与 角坐标 的正负号相反。 它表明力矩总是有使摆锤回到平 衡位臵的趋势。
v
x
11.2 动量矩定理
由
d M z ( mv ) M z ( F ) dt
此微分方程的解为
d ) mgl sin (ml 2 得 dt g sin 0 即 l
这就是单摆的运动微分方程。 当 很小时， sin≈ ， 摆 作微摆动 于是上式变为
g A sin( t ) l
其中 A 和 α 为积分常数， 取决于初始条件。 可见单摆的微幅摆动为简 谐运动。摆动的周期为
LO的转向沿逆时针方向。
11.2 动量矩定理
1 质点的动量矩定理 如图所示 设质点Q对固定点 O的动量 矩为MO(mv) MO(mv)
Q
z F mv
作用力F对同一点的矩为 MO(F)
将动量矩对时间取一次导 数，得
MO(F)
O x
r
y
dd dd M (( m vv )) rr vv )) M m (( m m OO ddtt ddtt dd ddrr vv m vv )) m m rr (( m ddtt ddtt
l T 2 g
显然，周期只与l有关，而 与初始条件无关。
g 0 l
11.2 动量矩定理
2 质点系的动量矩定理 设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内 力Fi(i) 。 由质点的动量矩定理有
d d (e) (e) (i) (i) M MO ( ( m m v v ) ) M M ( ( F F ) ) M M ( ( F F O ii ii O O ii O O i i )) d dtt
11.2 动量矩定理
dr d (mv ) F , v 因为 dt dt d M O ( mv ) v mv r F 所以 dt
又因为 v mv 0, r F M O (F ) 所以 z F MO(m v) MO(F)
a2 0 2 (a l sin ) 显然，此时的角速度＜ 0。
11.2 动量矩定理
例5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对 转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下 绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重 物下落的加速度。 分析：
重物下落的加速度等于速度对时间的一阶导数 重物对O点有力矩，也有动量矩，圆轮的动量矩 可求，所以可用动量矩定理求解。 解：取系统为研究对象，系统对O点的动量矩为： mg FOy
M z (mv ) 恒矢量
当外力对于某定点 ( 或某定轴 ) 的主矩等于零时，质点系对于 该点(或该轴)的动量矩守恒。 这就是质点系动量矩守恒定律。
11.2 动量矩定理
注意： (1)内力不能改变质点系对定点或对质心的动量矩，只有外力 矩才能使之改变。 (2) 动量矩定理仅仅对定点 ( 或定轴 ) 及质心 ( 或质心轴 ) 成立， 对一般的动点或动轴通常是不成立的。在应用动量矩定理时 一定要注意这一点。 (3)这里所称的质心轴Cx、Cy、Cz，均是指以质心为基点的平 动坐标轴。
n d LO M O ( Fi (e) ) dt i 1
nn
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点 系的外力对于同一点之矩的矢量和。
11.2 动量矩定理
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d d L M ( F (e) (e) ) x M x (F i L d x x i (e) ) d t d t Lx M x ( Fi ) d t d d L M ( F (e) (e) ) y y i d Ly M y ( Fi (e)) d t d t Ly M y ( Fi ) d t d d L M ( F (e) (e) ) z z i Lz M z ( Fi (e)) d d t d t Lz M z ( Fi ) dt
11.2 动量矩定理
例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为 m1 ，绕O 轴转动。小车和矿石的总质量为 m2 。作用在鼓轮 上的力偶矩为 M，鼓轮对转轴的转动惯量为 J，轨道倾角为α。 设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。 分析： 小车的速度对时间的一阶导数等 于加速度，利用动量矩定理可求 出小车速度的表达式。 解：以系统为研究对象，受力 如图。以顺时针为正，则
(i) M ( F O i )0 i 1 n
11.2 动量矩定理
上式左端为
d d nn d d d d MO (m m vii)) MO (m m vii)) L L M v M v O( O( O ii ii O dtt dtt ii dtt d d ii 11 d 11
11 动量矩定理
引言 由静力学力系简化理论知： 平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等 于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 由刚体平面运动理论知：
刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描 述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。
z
A
l
a
0
a
B
l
C
D
故应使用动量矩守恒定理。
11.2 动量矩定理
解：以系统为研究对象
z
A
l
C
系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力 这些力对转轴之矩都等于零。
所以系统对转轴的动量矩守恒，即
a
a
B
l
D
Lz1 Lz 2
Lz1 2(ma0 )a 2ma20 Lz 2 2m(a l sin )2 2ma20 2m(a l sin )2
刚体绕质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将 由本章的动量矩定理给出。
它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
11.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩 是矢量。
MO (mv ) r mv
质点动量mv在oxy平面内的投 影(mv)xy对于点O的矩 定义为质点动量对于z轴的矩 简称对于 z 轴的动量矩，是代 数量。 MO(mv)
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等 于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的 乘积。
11.1 质点和质点系的动量矩
注意：
对点的动量矩是矢量，对轴的动量矩是代数量。 计算质点系相对于质心的动量矩时，无论是用绝对运动的动 量，还是用相对于以质心为基点的平动坐标系的相对运动的 动量，其计算结果是相同的。
对质心之外的其它点，用上述两种方法计算的动量矩是不同 的，必须用绝对运动中的动量来计算动量矩。
11.1 质点和质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳， 绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯 量为J ，半径为 r，角速度为 ，重物A的质量 为 m ，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系统 对轴O的动量矩。
O
r
解：
A
mv
LO L盘 m vr vr J 块L LOL L m J 块 盘 2 2 2 J (m r 2 m r ) m r J (m rJ J )
Q
m v
y
O
r
x
d M O ( mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一 点的矩。
11.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量 矩的关系代入，得
d d M x (mv ) M x ( F ) d M x (mv ) M x ( F ) d t d t M x (mv ) M x ( F ) d t d d M y (mv ) M y ( F ) d M y (mv ) M y ( F ) d t d t M y (mv ) M y ( F ) d t d d M z (mv ) M z ( F ) d M z (mv ) M z ( F ) d t d t M z (mv ) M z ( F ) dt
3 平动刚体的动量矩
刚体平动时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其 动量矩。
4 定轴转动刚体的动量矩
z
Lz M z (mi vi ) mi vi ri mi ri
2
ri Mi
令Jz＝Σmiri2称为刚体对z轴的转动惯量, 于 是得
mi vi
Lz J z
z
A
Mz(mv)
mv
Q
A
q
O x
r
y
Q
11.1 质点和质点系的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量 矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。 [MO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是kg· m2/s。
11.1 质点和质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
MR m2 gR2 sin a 2 J m2 R
若M＞m2gRsinα，则a＞0，小车的加速度沿轨道向上。 必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协 调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。
11.2 动量矩定理
例4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长 为l 的杆 AC 及BD 相连，杆端各联结质量为 m的小球 C和D 。起 初两小球用细线相连，使杆 AC 与 BD 均为铅垂，系统绕 z 轴的 角速度为ω0 。如某时此细线拉断，杆 AC 和 BD 各与铅垂线成 α角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度ω 。 分析： 系统所受外力对z轴之矩均为零 故不能使用动量矩定理 但正因为系统所受外力对z轴之矩均为零 所以动量矩守恒
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢 量和。 LO=ΣMO(mv) 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数 和。 Lz=ΣMz(mv) 质点系对某点 O 的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等于 质点系对该轴z的动量矩。 [LO]z= Lz
11.1 质点和质点系的动量矩
质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的 力对同一轴的矩。
11.2 动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O 点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。 解：以摆锤为研究对象，建立如图 坐标，受力如图。 在任一瞬时，摆锤的速度为v 摆的偏角为 ，则
质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对于同一轴之矩的代数和。
11.2 动量矩定理
3 动量矩守恒定律 由上式可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
如果作用在质点系上的力对某定点之矩恒等于零，则质点系 对该点的动量矩保持不变。则
MO (mv ) 恒矢量
如果作用在质点系上的力对某定轴之矩恒等于零，则质点系 对该轴的动量矩保持不变。则
这样的方程共有n个，相加后得
n n n n d (e) (i) (e) (i) M ( m v ) M ( F ) M ( F O O O O ii ii O ii O ii ) 1 dt 1 1 ii 1 ii 1 ii 1 n n
由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项
N FOyபைடு நூலகம்
v
M
O
FOx m1g
LO J m2vR
m2 g
MO (F (e) ) M m2 g sin R
11.2 动量矩定理
由
d ，有 LO mO ( Fi (e) ) dt
d ( J m2 vR) M m2 g sin R dt v dv a ,于是解得 因 , R dt
O
y
M z (mv) mvl ml
2
l
N M mg
M z (F ) mgl sin
式中负号表示力矩的正负号恒与 角坐标 的正负号相反。 它表明力矩总是有使摆锤回到平 衡位臵的趋势。
v
x
11.2 动量矩定理
由
d M z ( mv ) M z ( F ) dt
此微分方程的解为
d ) mgl sin (ml 2 得 dt g sin 0 即 l
这就是单摆的运动微分方程。 当 很小时， sin≈ ， 摆 作微摆动 于是上式变为
g A sin( t ) l
其中 A 和 α 为积分常数， 取决于初始条件。 可见单摆的微幅摆动为简 谐运动。摆动的周期为
LO的转向沿逆时针方向。
11.2 动量矩定理
1 质点的动量矩定理 如图所示 设质点Q对固定点 O的动量 矩为MO(mv) MO(mv)
Q
z F mv
作用力F对同一点的矩为 MO(F)
将动量矩对时间取一次导 数，得
MO(F)
O x
r
y
dd dd M (( m vv )) rr vv )) M m (( m m OO ddtt ddtt dd ddrr vv m vv )) m m rr (( m ddtt ddtt
l T 2 g
显然，周期只与l有关，而 与初始条件无关。
g 0 l
11.2 动量矩定理
2 质点系的动量矩定理 设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内 力Fi(i) 。 由质点的动量矩定理有
d d (e) (e) (i) (i) M MO ( ( m m v v ) ) M M ( ( F F ) ) M M ( ( F F O ii ii O O ii O O i i )) d dtt
11.2 动量矩定理
dr d (mv ) F , v 因为 dt dt d M O ( mv ) v mv r F 所以 dt
又因为 v mv 0, r F M O (F ) 所以 z F MO(m v) MO(F)
a2 0 2 (a l sin ) 显然，此时的角速度＜ 0。
11.2 动量矩定理
例5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对 转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下 绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重 物下落的加速度。 分析：
重物下落的加速度等于速度对时间的一阶导数 重物对O点有力矩，也有动量矩，圆轮的动量矩 可求，所以可用动量矩定理求解。 解：取系统为研究对象，系统对O点的动量矩为： mg FOy
M z (mv ) 恒矢量
当外力对于某定点 ( 或某定轴 ) 的主矩等于零时，质点系对于 该点(或该轴)的动量矩守恒。 这就是质点系动量矩守恒定律。
11.2 动量矩定理
注意： (1)内力不能改变质点系对定点或对质心的动量矩，只有外力 矩才能使之改变。 (2) 动量矩定理仅仅对定点 ( 或定轴 ) 及质心 ( 或质心轴 ) 成立， 对一般的动点或动轴通常是不成立的。在应用动量矩定理时 一定要注意这一点。 (3)这里所称的质心轴Cx、Cy、Cz，均是指以质心为基点的平 动坐标轴。