山西省运城市2020届高三调研测试数学(文)考试试卷
运城市2020年高三调研测试
数学（文）试卷
2020.4
本考试满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，
并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2,0,2,3A，集合|20Bxx，则ABI（ ）
A．2,3 B．2 C．(2,0) D．2,0
2．已知复数z满足(2)21izi，其中i是虚数单位，则此复数z的虚部为（ ）
A．1 B．35 C．53 D．5
3．某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽
到2幅不同种类的概率为（ ）
A．56 B．45 C．34 D．23
4．若2.1log0.6a，0.62.1b，25log3c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． abc B． bca C． cba D．bac
5．古代数学著作《九章算术》中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”
意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍．已知她5天里共织布5尺，问这女子每天分
别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
6．在ABC中，若点D满足3CDDBuuuruuur，点M为线段AC中点，则MDuuuur（ ）
A．3144ABACuuuruuur B．1136ABACuuuruuur
C．2133ABACuuuruuur D．3144ABACuuuruuur
7．已知函数()sin()6fxx(0)的图像与x轴的相邻两个交点之间的距离为2，为了得到函数
()singxx的图像，只需将()yfx
的图像（ ）
A．向左平移6个单位长度 B．向右平移6个单位长度
C．向左平移12个单位长度 D．向右平移12个单位长度
8．若变量x、y满足约束条件30200xyxyy，则43zxy的最小值为（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
9．执行如图所示的程序框图，若输入的n等于9，则输出S的值为（ ）
A．89 B．910 C．1011 D．1112
10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等
于（ ）
A．34 B．32 C．17 D．172
11．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F作倾斜角为60°的直线与
y
轴交于点A，与双曲线的右支交于点B，若点A平分线段1FB，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3 B．23 C．2 D．
21
12．已知函数2,0()241,0xexfxxxx（e为自然对数的底数），若函数()()gxfxkx恰好有两个
零点，则实数k等于（ ）
A．2e B．e C．e D．2e
第Ⅱ卷非选择题
注意事项：
第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试卷上作答，答案无效．
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23
题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所
示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））试根据频率分布直方图求出样
本数据的中位数为________．
14．已知曲线21()ln2fxxxx在点(1,(1))f处的切线与直线10axy垂直，则a________．
15．已知数列na的前n项和为nS，且11a，11nnSa，则数列na的通项公式为________．
16．已知抛物线2:4Cyx的焦点F与准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且
3FAFB
uuuruuur
，则AB________．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
17．（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sincos3cBbC．
（1）求边长b；
（2）若5c，求ABC的面积．
18．（12分）近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅
猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，
M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数ix，iy(1,2,3,4,5)i，
数据如下表所示：
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指标数x 2 4 5 6 8
B指标数y 3 4 4 4 5
经计算得：521()25iixx，521()2iiyy．
（1）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关系数（若0.75r，则线
性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值．
附：相关公式：12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，121()()ˆ()niiiniixxyybxx，
ˆ
ˆ
aybx
．
参考数据：0.30.55，0.90.95．
19．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，点M为PB中点，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥CD，
AD=CD=PC=12AB．
（1）证明：CM∥平面PAD；
（2）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求点M到平面PAD的距离．
20．（12分）
已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长
为半径的圆与直线20xy相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过定点(2,0)P的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：PFMPFB．
21．（12分）
已知函数()ln1fxaxx．
（1）若1a，求函数的单调区间；
（2）对任意的0x，不等式()xfxe恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为12312xtyt（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴
的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是22sin()4．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设点(0,1)P，若直线l与曲线C相交于两点A，B，求PAPB的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知()12fxxx．
（1）若关于x的不等式有实数解，求a的取值范围；
（2）求不等式2()2fxxx的解集．
2020届山西省运城市高三调研测试(第一次模拟)数学(理)试题
运城市2020年高三调研测试数学（理）试卷本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.、1.已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B I 等于（ ）A. {}11x x -<<B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}0,12.复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A. 345i+-B.345i+ C. 34i -+D.345i-+ 3.已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A.B.710C. 10-D. 710-4.函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.5.已知平面向量,a b r r ，满足1,13a b ==r r ，且2a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A.5101900-米 B.510990-米 C.4109900-米 D.410190-米 7.某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A. 21250元B. 28000元C. 29750元D. 85000元8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A. B. 4 C. 2D. 9.已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A. 12ω=B. 82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10.已知12,F F 是椭圆和双曲线公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A.2212314e e += B.221241433e e += C.2212134e e += D. 221234e e +=11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2该球的表面积为（ ）A.B. 4πC.D. 3π12.设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A. ()()22sin sin sin sin f A B f B A <B. ()()22sinC sin sin sin f B f B C <C.的()()22cos sin sin cos f A B f B A > D. ()()22cosC sin sin cos f B f B C >第II 卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第.22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上)13.已知()1nx +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =__________.14.设,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_.15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点(不与M 重合)，若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离ON 的最小值是__________. 16.已知ABC ∆中,AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是__________.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11911,02,,6n n n a n a a n S n N +--=->≥=∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足1234,b a b a == （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）若12n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T 18.在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：.（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198,Z N μμ-似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求38.2(.)802P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望.14≈，若()2,X Nμσ-，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=19.已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率2e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.20.已知函数()()2cos f x ax x a R =+∈（1）当12a =时，证明()'0f x ≥，[0,)+∞恒成立；（2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围. 21.如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈u u u r u u u r 若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF所成角的余弦值为5，求λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.请考生在22、23两题中任选--题作答，如果多做，则按所做的第一-题记分.作答时请写清题号.22.曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=. (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率k ∈时，求1OA OB+的最小值. 23.已知函数()()210f x x x m m =+--> （1）当2m =时，求不等式()1f x ≤解集；（2）()()()2,g x f x g x =-的图象与两坐标轴的交点分别为,,A B C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围.。
山西省运城市高中联合体2020届高考数学测试试卷1(四) (含答案解析)
山西省运城市高中联合体2020届高考数学测试试卷1（四）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}，则A∩B=()A. (0,1)B. (0,2)∪(3,+∞)C. ⌀D. (0,+∞)2.在△ABC中，如果BC=6，AB=4，cosB=13，那么AC等于()A. 2√6B. 6C. 3√6D. 4√63.设x,y均为正数，且x+4y=4，则xy的最大值为()A. 1B. 2C. 4D. 164.如图是2017年1−11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是()A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌5.已知双曲线C的方程为y24−x29=1，则下列说法正确的是()A. 焦点在x轴上B. 虚轴长为4C. 渐近线方程为3x±2y=0D. 离心率为√1326.若x，y满足约束条件{x−y−2⩽0,x−3y+5⩾0,2x+y−4⩾0,则z=x−2y的最小值为()A. −3B. −32C. 0D. 27.函数f(x)=e x−e−xx2+|x|−2的部分图象大致是()A. B.C. D.8.已知点P、A、B、C、D是球O表面上的点，O为球心，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2√3的正方形，若PA=2√6，则△OAB的面积为()A. 2√3B. 3√2C. 3√3D. 4√29.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 100810.某几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 83.B. 73C. 43D. 411.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点A(√5,0)，B(0,3)，则椭圆E的离心率为()A. 23B. √53C. 49D. 5912.设x0为方程2x+x=8的解，若x0∈(n,n+1)(n∈N+)，则n的值为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x3+4x+5的图象在点(1,10)处的切线方程为______ ．14.已知cosθ=2cos(θ−π6)，则tan(θ−π12)=．15.已知a⃗+b⃗ =(3,4),|a⃗−b⃗ |=3，则a⃗⋅b⃗ =____________．16.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a nS n2，求证：b1+b2+⋯+b n<1．18.样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，(Ⅰ)求总体数据落在[2,10)内的概率；(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，求总体数据的平均数．19.如图所示，在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，D、E分别为线段AB、BC上的点，且CD=DE=√2，CE=2EB=2．(Ⅰ)求证：DE⊥平面PCD；(Ⅱ)求点B到平面PDE的距离．20.已知点P(2,2)到抛物线C：y2=2px的焦点和准线的距离相等，直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(点A，B不与点P重合)．(1)求抛物线C的方程；(2)当k1+k2=2时，直线l是否恒过定点？若恒过定点，请求出其坐标；若不恒过定点，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax2−lnx+1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a=1时，f(x)>12x2+32在(1,+∞)上恒成立．22.直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2=124−cos2θ．(1)求出曲线C的直角坐标方程；(2)设过点P(0,1)且倾斜角为45∘的直线l和曲线C交于两点A,B，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|1−2x|+|1+x|．(1)解不等式f(x)≥4；(2)若关于x的不等式a2+2a−|1+x|<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}；∴A∩B=(0,1)．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查余弦定理，直接运用余弦定理解答即可．解：由题意，因BC=6，AB=4，cosB=13，由余弦定理可得：，所以AC=6．故选B．3.答案：A解析：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．由基本不等式4xy≤(x+4y2)2即可求解．解：∵x，y均为正数，且x+4y=4，则4xy≤(x+4y2)2=4，当且仅当x=4y=2即x=2，y=12时取得最大值4．故xy的最大值为1．故选：A．4.答案：D解析：本题考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．由2017年1−11月汽油、柴油价格走势图，得4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时柴油的价格下跌可得D错误，结合走势图可知A、B、C正确，故可得结果．解：由2017年1−11月汽油、柴油价格走势图，得：在A 中，从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大，故A 正确；在B 中，从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快，故B 正确； 在C 中，92#汽油与95#汽油价格成正相关，故C 正确；在D 中，4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时柴油的价格下跌，故D 错误． 故选D ．5.答案：D解析：解：双曲线C 的方程为y 24−x 29=1，可知焦点坐标在y 轴上，虚轴长为6，渐近线方程：2x ±3y =0，所以A 、B 、C 都不正确；双曲线的离心率为：e =√132.所以D 正确； 故选：D ．利用双曲线方程判断焦点位置，虚轴长，渐近线方程，以及离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：A解析：本题主要考查利用线性规划求最值，属于基础题．先画出约束条件{x −y −2⩽0,x −3y +5⩾0,2x +y −4⩾0,的可行域，根据z 的几何意义可求得目标函数z =x −2y 的最小值．解：满足约束条件{x −y −2⩽0,x −3y +5⩾0,2x +y −4⩾0,的可行域如图：由{2x +y −4=0x −3y +5=0，可得{y =2x =1，即A(1,2)， z =x −2y 即为y =12x −12z ，平移直线y =12x −12z ，当直线过点A 时，直线截距最大，此时z 最小，。
运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题与答案
运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知复数112iz =+，则z 的虚部是（）A ．2B ．2iC ．2i 5-D ．25-2．命题2:3,2x p x x ∃>≥的否定为（）A ．23,2xx x ∃><B ．23,2x x x ∀><C ．23,2xx x ∃≤≥D ．23,2xx x ∀≤<3．已知向量()()1,3,2,a b m == ，若()a b a -∥，则m =（）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==，则()sin αβ-=（）A ．13B ．3C ．34D ．125，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A ．6π3B ．26π3C ．46π3D ．86π36．下列说法错误的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率0.05α=值的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.057．曲线()()22e 2xf x x x x =--+在2x =处的切线方程是（）A ．()()2e 22y x =--B ．()2e 22y x =--C ．2e 4y x =-D ．2e 4y x =+8．已知π1cos 63α⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎫⎛+= ⎪⎝⎭（）A ．429B ．79C ．79-D ．429-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()()πf x f x +=B ．()f x 的图象关于直线π6x =对称C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增10．设函数()321f x x x ax =-+-，则（）A ．当1a =-时，()f x 有三个零点B ．当13a ≥时，()f x 无极值点C ．a ∀∈R ，曲线()y f x =对称中心的横坐标为定值D ．a ∃∈R ，使()f x 在R 上是减函数11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设()1,0F c -和()2,0F c 且0c >，动点M 满足212(0)MF MF a a ⋅=>，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是（）A ．曲线C 的方程是()()222222442x y c x y a c +--=-B ．曲线C 关于坐标轴对称C ．曲线C 与x 轴没有交点D ．12MF F △的面积不大于212a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若4215,3S S ==，则q =____________．13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．14．若曲线xx ay e +=有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）记ABC △中的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-，（1）求A ；（2）若a =ABC △的面积为332，求ABC △的周长．16．（本小题满分15分）已知函数()e 2xf x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()2f x ≥-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AD BC AB BC ⊥∥，E 为PD 的中点．（1）若EA EC =，证明：CD ⊥平面ACP ；（2）已知2244AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面PCD 所成的二面角的正弦值．18．（本小题满分17分）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为12．（1）求首次摸球就试验结束的概率；（2）在首次摸球摸出红球的条件下，①求选到的袋子为乙袋的概率；②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球：方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．19．（本小题满分17分）已知点()11,P t t +在抛物线2:4C x y =上，按照如下方法依次构造点()2,3,4n P n = ，过点1n P -作斜率为1-的直线与抛物线C 交于另一点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y ．（1）求t 的值；（2）求证：数列{}n x 是等差数列，并求,n n x y ；（3）求12n n n P P P ++△的面积．运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题答案一、1．D 2．B3．D4．A 5．B 6．C7．A 8．C二、9．AD 10．BC 11．ABD三、13．214．22128x y -=15．()(),04,-∞+∞ 四、答案：15．解：（1）在ABC △中，由正弦定理得，sin sin C cB b=，因为2222sin sin c C b c a B =+-，所以2222c cb c a b=+-，化简得，222b c a bc +-=，在ABC △中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0πA <<，所以π3A =（2）由1333sin 242ABC S bc A ===△，得6bc =，由2222cos a b c bc A =+-，得2276b c =+-，所以2213b c +=所以222()225b c b c bc +=++=，所以5b c +=所以ABC △的周长5a b c ++=+16．解：（1）由题可得：()xf x e a '=-，当0a ≤时，()()0,f x f x >'∴在R 上单调递增．当0a >时，()0f x '=可得ln x a =，若(),ln x a ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，若()ln ,x a ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上可得：当0a ≤时()f x 在R 上单调递增．当0a >时()f x 在(),ln a -∞单调递减，()f x 在()ln ,a +∞单调递增．（2）由()2f x ≥-得xe ax ≥，而10,,2x e x a x ⎛⎫∈∴≤⎪⎝⎭令()()()()21,0,x x e x e g x g x g x x x =<'-=∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()12g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，a ∴≤17．（1）证明：因为PA ⊥平面,,ABCD AD AP ⊂平面ABCD ，可知,PA AD PA CD ⊥⊥，且E 为PD 的中点，则12EA PD =，若EA EC =，即12EC PD =，则PC CD ⊥，且,,PA PC P PA PC =⊂ 平面ACP ，所以CD ⊥平面ACP ．（2）由题意可知：PA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为2244AD PA BC AB ====则()()()()()0,0,0,1,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A C D P E ，可得()()()()0,2,1,1,2,0,0,4,2,1,2,0AE AC PD CD ===-=-，设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z = ，则11112020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，可得()2,1,2m =-；设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z = ，则222242020n PD y z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令22x =，可得()2,1,2n =；由题意可得：cos ,m n m n m n⋅=⋅79==所以平面ACE 和平面PCD 所成二面角的正弦值为42918．解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“摸出白球”为事件1B ，“摸出红球”为事件2B （1）()()()()()1111212P B P A P B A P A P B A =+181432102105=⨯+⨯=所以摸球一次就实验结束的概率为35（2）①因为12,B B 是对立事件，()()21215P B P B =-=，所以()()()22222163210245P A B P A B P B ⨯===所以选到的袋子为乙袋的概率为34②由①可知()()1222311144P A B P A B =-=-=所以方案一种取到白球的概率为()()()()112112212183414104102P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=方案二种取到白球的概率为()()()()2221112123814741041010P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯因为71102>，所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就实验结束的概率更大。
山西省运城市2023-2024学年高三上学期摸底调研测试数学试题含解析
运城市2023-2024学年高三摸底调研测试数学试题（答案在最后）2023.9本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的．1.已知集合{}220A x x x =+<，{}1B x x =>-，则A B ⋃=（）A.()2,0-B.()2,-+∞C.()1,-+∞ D.()1,0-【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行运算即可.【详解】由{}()2202,0A x x x =+<=-，而{}1B x x =>-，所以A B ⋃=()2,-+∞.故选：B 2.若复数z 满足()()1i 11z --=，则z=（）A.2B.1C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算法则和减法运算法则，给合复数模的运算公式进行运算即可.【详解】()()()()()i 1i 111i 1111i 1111i 1i 1i 1i 1i 1i 22z z z -+----=⇒-=⇒=-===-----+，因此2z ==，故选：A3.已知两条不同的直线m ，n 和平面α满足m α⊥，则“//m n ”是“n α⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．【详解】解：若//m n ，则由m α⊥，可得n α⊥，充分性成立；反之，若n α⊥，则由m α⊥，可得//m n ，必要性成立．所以“//m n ”是“n α⊥”的充要条件．故选：C ．4.甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（）A.15B.910C.35D.920【答案】D 【解析】【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：22342255C C 1192C 2C 20⨯+⨯=，故选：D5.已知()()()2lg2lg 10lg f x x x =⋅+，则()5f =（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数运算律计算即可.【详解】()()()()()()()()()()22225lg2lg 50lg5lg2lg5+lg10lg5lg2lg5+lg10lg5lg2lg5lg5+lg2lg5lg2lg5+lg2lg5lg10+lg2===l ====g5+lg2lg10=1f =⋅+⋅+⋅+⋅++故选：A.6.在数列{}n a 中，如果存在非零的常数T ，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()*21Nn n n x x x x ++=-∈，若11x=，2x a=（1a ≤且0a ≠），当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2024项的和2024S 为（）A.676B.675C.1350D.1349【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得341,2x a x a =-=-，得到41x =，求得1a =，进而得到1232x x x ++=，结合周期性，即可求解.【详解】因为2111,(x x a a =≤=且0)a ≠，满足()*21N n n n x x x x ++=-∈所以321=11x x x a a =--=-，因为数列{}n x 的周期为3，可得432221x x x a a =-=-=-=，所以1a =，所以1231,1,0x x x ===，所以1232x x x ++=，同理可得4561,1,0x x x ===，所以4562x x x ++=， ，所以20242023202467426742111350S a a =⨯++=⨯++=.故选：C.7.设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意OE a =，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得22PF a =，14PF a =，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴=，()112OE OP OF =+，∴E 是1PE 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴==，且2//PF OE ，又122PF PF a -=，14PF a ∴=，1PF 是圆的切线，1 OE PF ∴⊥，21PF PF ∴⊥又12||2F F c =，22222212416420c PF PF a a a =+=∴=+，故225c a =，离心率ca=故选：D8.已知1sin 0.1a =+，1ln1.1b =+，101.01c =，则（）A .a b c<< B.b a c <<C.c<a<b D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】根据二项式展开式，得到 1.1c >，设()sin g x x x =-，利用导数得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，根据()()00g x g >=，得到a c <，令()sin ln(1),(0,1)f x x x x =-+∈，得到a b >，即可求解.【详解】由()101012210101101010101.0110.11C 0.01C 0.01C 0.011C 0.01 1.1c ==+=+⋅+⋅++⋅>+⋅+= ，设()sin g x x x =-，可得()1cos 0g x x ='-≥恒成立，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g >=，所以sin x x >在在(0,)+∞上恒成立，所以1sin 0.110.1 1.1a =+<+=，所以a c <，设()21cos 1,(0,1)2x x x x ϕ=-+∈，可得()sin 0x x x ϕ'=-+>，所以()()00ϕϕ>=x ，所以211s 2co x x >-设()sin ln(1),(0,1)f x x x x =-+∈，可得()2111(2)(1)cos 101212(1)x x x f x x x x x x -+-'=->--=>+++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，所以()()0.100f f >=，可得sin 0.1ln1.1>，即a b >，所以b a c <<.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1//A M 平面1ACD B.三棱锥A M BC -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43C.AMC的周长的最小值为8+D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大【答案】ABD【解析】【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理和性质，结合三棱锥的体积公式、线面角的定义、正方体展开图逐一判断即可.【详解】A ：如下图所示：因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以11//A C AC ，而11A C ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，同理由1111ABCD A B C D -是正方体可得11//A B D C ，同理可证明1//A B 平面1ACD ，而1111111,,A C A B A A C A B ⋂=⊂平面11A C B ，所以平面11//A C B 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A C B ，所以直线1//A M 平面1ACD ，因此本选项正确；B ：如下图所示：过M 作1//EF BB ，交11BC 、BC 于E 、F ，过M 作//MG BC ，交1CC 于G ，因为11BCC B 是正方形，所以可得ME MG =，111111222222323233A MBC D MCD M ABC M CDD V V V V MF MG MF ME----+=+=⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⋅=+2242333EF =⋅=⨯=，因此本选项正确；C ：将平面11BCC B 与平面11ABC D展成同一平面，如下图所示：当,,A M C 三点共线时，AM MC +最小，作CN AB ⊥，交AB 延长线于N ，则2CN BN ==，2AN AB BN =+=+，AM MC AC +==，所以AMC的周长的最小值为，因此本选项不正确；D ：当点M 是1BC 的中点时，1CM BC ⊥，因为11D C ⊥平面11BCC B ，CM ⊂平面11BCC B ，所以11D C CM ^，而1111111,,BC D C C BC D C =⊂ 平面11AD C ，所以CM ⊥平面11AD C ，CM 与平面11AD C 所成角为π2，因此本选项正确，故选：ABD11.已知函数()()()2222,1log 1,1x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x 、2x 、3x 、4x （1234x x x x <<<），则下列结论正确的是（）A.12m ≤<B.132x -≤<-C.233458122416x x x <++≤D.2212log mx x ++172【答案】BC 【解析】【分析】画图象判断m 和1x 的取值范围，可得A 错误，B 正确；将方程变形，用m 表示1x 、2x 、3x 、4x ，代入原式化简，利用导数求函数最值判断C 正确，利用基本不等式计算判断D 错误.【详解】如图，由函数()f x 的图像可知，12m <≤，A 错误；当2m =时，13x =-，当1m =时，122x x ==-，故132x -≤<-，B 正确；2324log (1)log (1)x x m -+=+=，则321m x -=-，421m x =-，所以2233422(21)2(21)2(21)mm m x x x --++=-+-+-22223m m -=+⨯-令2m t =，则(2,4]t ∈，原式2123y t t=+-，3332222t y t t-=-+='，显然在(2,4]t ∈时，0'>y ，即y 在(2,4]t ∈上单调递增，21522324y >+⨯-=，2181243416y ≤+⨯-=，即233458122416x x x <++≤，C 正确；由图像可知，22122)2)22x x m ++==（（，则12x =-，22x =-+，所以221222log 4log 224log 22log m m x x m m ++++⨯⨯+-⨯⨯282log log 8log 8210m m m =++=+≥+=，当且仅当logm =m =错误.故选：BC.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数为()f x '，且()()ln f x f x x x ='+，11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()11e 1e 1ef f -⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭B.()()e 1e e1f f -⋅>C.()f x 在()0,∞+上是增函数 D.()f x 存在最小值【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，构造()()1ex F x f x -=，求导得到其单调性，从而判断AB 选项，CD 选项，构造()()1ex F x f x -=，二次求导，得到其单调性，判断CD.【详解】设()()1ex F x f x -=，则()()()()11e e ln x x F x f x f x x x --''=+=，当1x >时，()0F x '>，当01x <<时，()0F x '<，()()1e x F x f x -=在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，A 选项，因为11e <，所以()11e F F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()11e1e 1e ff -⎛⎫> ⎪⎝⎭，A 正确；B 选项，因为e 1>，所以()()e 1F F >，即()()e 1e e 1f f ->，B 正确；C 选项，()()1ex F x f x -=，则()()()1ex F x F x f x -'-'=，令()()()g x F x F x '=-，则()()()111e ln e ln e 1ln x x x g x x x x x x ---''=-=+，当1e x >时，()0g x '>，当10ex <<时，()0g x '<，故()()()g x F x F x '=-在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又11111111e e e e11111111e ln e e +e 0e e e e e e e e g F F f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=⋅-=-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()()0g x F x F x '=-≥恒成立，所以()()()10ex F x F x f x -'-'=≥在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，故无最小值.故选：ABC【点睛】利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e xg x f x =⋅，若()()0f x f x '->，则构造()()xf xg x =e，若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f x g x x=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足：a 5()2a b + ⊥a ，则a b ⋅ =_______【答案】52-## 2.5-【解析】【分析】由向量垂直即可得数量积为0,代入模长即可求解.【详解】由()2a b + ⊥a 可得252=02a ab a b ，+⋅∴⋅=-，故答案为：52-14.已知()()4529012912x x a a x a x a x +-=++++ ，则2468a a a a +++=______________．【答案】24【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在()()4529012912x x a a x a x a x +-=++++ 中，令1x =，得()()450129111216a a a a +-=++++=- ①，令=1x -，得()()45012911120a a a a -+--=-++-= ②，令0x =，得()()450010232a +-==-①+②，得()()024682468221616232242a a a a a a a a a ++++=-⇒+--⨯-==++，故答案为：2415.已知函数()22π()2sin cos ()sin 024x f x x x ωωωω=-->，现将该函数图象向右平移π4ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，且()g x 在区间3(,)24ππ上单调递增，则ω的取值范围为______________．【答案】711(0,1][,23【解析】【分析】根据给定条件，化简函数()f x ，结合图象平移求出函数()g x ，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.【详解】函数22π()sin [1cos()]sin sin (1sin )sin sin 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=+--=+-=，因此ππ)sin())44((g x x f x ωω==--，0ω>，由πππ2π2π,Z 242k x k k ω-≤≤+∈-，解得2ππ2π3π,Z 44k k x k ωωωω-≤≤+∈，即函数()g x 在2ππ2π3π[,](Z)44k k k ωωωω-+∈上单调递增，于是)π3π(2,2πππ3π[,](Z 4244k k k ωωωω-∈⊆+，即2πππ42,Z 2π3π3π44k k k ωωωω⎧-≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得142,Z 813k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，由811432,Z 8103k k k k ⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+>⎪⎩，得3988k -<≤，而Z k ∈，即0k =或1k =，当0k =时，01ω<≤，当1k =时，71123ω≤≤，所以ω的取值范围为711(0,1][,23.故答案为：711(0,1][,2316.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，圆M ；()2211x y -+=，过F 的直线l与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则94AP BQ +的最小值为______________．【答案】12【解析】【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“9||4||13AF BF +-”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将9||4||13AF BF +-表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =，如下图，1PF QF ==，因为()()9||4||9||||4||||9||4||13AP BQ AF PF BF QF AF BF +=-+-=+-，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1122||1,||122p pAF x x BF x x =+=+=+=+，所以129||4||94AP BQ x x +=+，因为直线l 水平时显然不合题意，故可设:1l x my =+，因为直线所过定点()1,0F 在抛物线内部，则直线l 必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩，()222410x m x -++=，所以121=x x ，所以129||4||9412AP BQ x x +=+≥，当且仅当1294x x =，即1223,32x x ==时取等号，所以9||4||AP BQ +的最小值为12.故答案为：12.【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在等比数列{}n a 中，12a =，24a ，32a ，4a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n n a =（2）()1122n n S n +=-+【解析】【分析】（1）由题意设等比数列的公比为q ，根据题意，列出方程组求得2q =，进而得到数列的通项公式；（2）由（1），得到2nn b n =⋅，利用乘公比错位相减法求和，即可求解.【小问1详解】解：由题意设等比数列的公比为()0q q >，因为12a =，且24a ，32a ，4a 成等差数列，可得32444a a a =+，则2311144a q a q a q =+，即32440q q -+=，解得2q =，所以数列{}n a 的通项公式为111222n n n n a a q --==⨯=.【小问2详解】解：由（1）可得222log 2log 22n n nn n n b a a n =⋅=⋅=⋅，则()231122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减，可得2311222222n n n n S n -+-=+++++-⋅ ()1122n n +=--所以()1122n n S n +=-+.18.在①222sin 3b c a ac B +-=；②222sin sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，．（1）求角A ；（2）若a =，求ABC 周长的范围．【答案】（1）π3A =（2）a b c <++≤【解析】【分析】（1）正弦定理结合余弦定理求解即可；（2）先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.【小问1详解】选择①：因为222sin 3b c a ac B +-=，由余弦定理可得232cos sin 3bc A ac B =，cos sin sin B A A B =．因为()0,πB ∈，则sin 0B >，sin A A =，即tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =；选择②：因为222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为()0,πA ∈，所以π3A =；【小问2详解】由（1）知π3A =，又已知a =，由正弦定理得：∵8sin sin sin a b c A B C===,∴8sin b B =，8sin c C =,∴2π18sin 8sin 8sin sin 8sin sin +cos 322b c B C B B B B B ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=+=+-=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦1cos sin22B B ⎫=+⎪⎪⎭π6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2π03B <<,∴1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,∴b c <+≤,∴a b c <++≤19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130140,，[]140,150，得到如图所示的频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为X ，求X 的分布列及均值.（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()*2,n n n ≥∈N个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为Y ，Z .①求Y 的分布列及均值；②求Z 的均值取最大值时，正整数n 的值.【答案】（1）分布列答案见解析，34EX =；（2）①分布列答案见解析，()222EX n =+；②n 的值为2.【解析】【分析】（1）可得X 的可能取值为0，1，2，求出X 取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）①可得Y 的可能取值为0，1，2，求出X 取不同值的概率，即可得出分布列；②利用基本不等式可求出.【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以X 的可能取值为0，1，2.()306238C C C 5014P X ===，()216238C C C 15128P X ===，()126238C C C 3228P X ===，所以X 的分布列为X012P5141528328所以515330121428284=⨯+⨯+⨯=EX .（2）①由题意，知Y 的可能取值为0，1，2.()()()()222244310122n n P Y n n ⎡⎤++==-=⎢++⎢⎥⎣⎦，()()()()()222411221212222P Y n n n n ⎡⎤==-⨯=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦，()()4122P Y n ==+，所以Y 的分布列为Y012P()()224432nn n +++()()242222n n -++()412n +所以()()()()()()224244243221201222222n n EY n n n n n ⎡⎤++=⨯+⨯-+⨯=⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦.因为Z nY =，所以()22214424n EZ nEY n n n===≤+++，当且仅当2n =时取等号.所以EZ 取最大值时，n 的值为2.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，CD AB ∥，1===AD DC CB ，2AB =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒.（1）证明：BD PA ⊥；（2）求二面角D PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）作DM AB ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，通过余弦定理角解得BD =，再通过勾股数得BD AD ⊥，再利用线面垂直的性质得到BD PD ⊥，从而得到BD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可证明结果；（2）建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.【小问1详解】作DM AB ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，因为1===AD DC CB ，2AB =，则1MN CD ==，12AM BN ==，所以1cos 2DAB ∠=，又(0,π)DAB ∠∈，所以60DAB ∠=︒，由余弦定理可知22212cos 1421232BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，得到BD =，所以222AD BD AB +=，所以BD AD ⊥，又PD⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以BD PD ⊥，又AD PD D =I ，,AD PD ⊂面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂面PAD ,所以BD PA ⊥.【小问2详解】以D 点为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立如图坐标系因为PD⊥平面ABCD ，所以PB 与平面ABCD 所成的角就是PBD∠所以45PBD ∠=︒，PBD △为等腰直角三角形，所以PD=(P，()B，1,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(PB =，1,,22PC ⎛=- ⎝ 设平面PBC 的法向量(),,n x y z = ，则则由00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到013022x y =⎨-+=⎪⎩，取1x y z ===-，得)1,1n =--，又易知，平面DPB 的一个法向量()1,0,0m =，cos ,||||5n m n m n m ⋅===⋅，由图知二面角为锐角所以二面角D PB C --的余弦值为5.21.已知函数3()2cos ,()(1),[0,1]2x f x x x g x a x x ==--∈．（1）当2a =时，求证：()2()f x g x ；（2）若()()f x g x 对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）,)[3a ∈+∞.【解析】【分析】（1）由2a =得到3()2x g x x =-，然后作差2()2()2cos 12x f x g x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，构造函数2()cos 12x h x x =-+，用导数法证明.（2）将()()f x g x 对[0,1]x ∈成立，转化212cos 2x a x -+ 对[0,1]x ∈成立，令2()2cos 2xn x x =+，用导数法求得其最大值即可.【详解】（1）2a =时，3()2x g x x =-，23()2()2cos 22cos 1,[0,1]2x f x g x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-+∈ ⎪⎝⎭令2()cos 1,()sin 2x h x x h x x x =-+=-+'，令()()m x h x '=，则()cos 10m x x =+'- ，∴()m x 在[0,1]上是增函数，∴()()(0)0h x m x m ='= ，∴()h x 在[0,1]上是增函数，∴()(0)0h x h = ，∴[0,1]x ∈时，()2()2()0f x g x xh x -= ，∴()2()f x g x ；（2）∵()()f x g x 对[0,1]x ∈成立，∴212cos 2x a x -+ 对[0,1]x ∈成立，令2()2cos 2x n x x =+，则()2sin n x x x '=-+，令()()t x n x '=，则()2cos 1t x x ='-+，∵[0,1]0,3x π⎡⎤∈⊆⎢⎥⎣⎦，∴1cos 2x >，∴()0t x '<，∴()t x 在[0,1]上是减函数，∴()()(0)0n x t x t ='= ，∴()n x 在[0,1]上是减函数，∴()(0)2n x n = ，∴12a - ，∴3a ，即,)[3a ∈+∞．【点睛】方法点睛：求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．22.已知椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>，离心率3e =，且过点1)3，（1）求椭圆方程；（2）Rt ABC △以(0,)A b 为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于,B C 两点，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）2219x y +=；（2）278．【解析】【分析】（1）根据离心率及所给的点可得方程，解之即得椭圆方程；（2）不妨设AB 的方程1(0)y kx k =+>，与椭圆方程联立，求出,B C 两点的坐标，结合弦长公式及三角形面积公式得到关于k 的函数，然后利用换元法及基本不等式求函数的最值．【小问1详解】由3c e a ==，222a b c =+，得3a b =，把点1)3带入椭圆方程可得22221()(22)319b b +=，解得1b =，所以3a =，所以椭圆方程为：2219x y +=；【小问2详解】由题可知()0,1A ，不妨设AB 的方程1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为11y x k =-+，由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(19)180k x kx ++=，所以21819B k x k -=+，k 用1k -代入，可得218,9C k x k=+从而有22,1818199k k AB AC k k==++，于是2222211(1)16216212(19)(9)9(82ABC k k k k S AB AC k k k k++==⋅=⋅++++ ，令12t k k =+³，有2162162276496489ABC t S t t t ==≤++ ，当且仅当823t =>时，ABC 面积的最大值为278．。
2020年4月山西省运城市2020届高三毕业班调研测试(一模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前山西省运城市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次质量调研测试(一模)数学(理)试题(解析版)2020年4月本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.、1.已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭,则A B 等于（ ） A. {}11x x -<<B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}0,1【答案】C【解析】【分析】 先化简集合A ,再与集合B 求交集.【详解】因为{}10212x A x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭,{}1,0,1B =-, 所以{}1,0A B ⋂=-.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.2.复数12z i =+,若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,则12z z 等于（ ） A. 345i +- B. 345i + C. 34i -+ D. 345i -+ 【答案】A【解析】【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,得到22z i =-+,再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且复数12z i =+, 所以22z i =-+ 所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义,属于基础题.3.已知tan 3α=,则2cos sin 2αα+=（ ）A. 10B. 710C. 10-D. 710- 【答案】B【解析】【分析】。
山西省运城市2022-2023学年高三上学期期末调研测试数学试题(原卷版)
18.在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足：
（1）求角 的大小；
（2）若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的取值范围．
19.为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：
（1）求证： 恒成立；
（2）令 ，讨论 在 上的极值点个数．
16.椭圆 的左右焦点分别为 为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足 ，若 构成公比为2的等比数列，则C的离心率为__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设等差数列 的前n项和为 ，已知 ，各项均为正数的等比数列 满足 ．
（1）求数列 与 的通项公式；
A B. C. D.
5.已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（）
A. B.
C. D.
6.已知 ，若 ，则 （）
A. B.3C. D.
7.已知实数 满足 ，其中 是自然对数的底数，则 的值为（）
A. B. C. D.
8.已知 为数列 的前 项和，且满足 ，则 （）
A. B. C. D.
球队胜球队负Βιβλιοθήκη 总计上场22
未上场
12
20
总计
50
（1）求 的值，据此能否有 的把握认为球队胜利与 球员有关；
（2）根据以往的数据统计， 球员能够胜任前锋､中锋､后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为： ，当出任前锋､中锋､后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为： ，则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
2.已知 （ 为虚数单位） 纯虚数，则 （）
山西省运城市2024届高三上学期期末调研测试数学试题含答案解析
运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12i z =-，则z 等于（）A .1B.C.2D.552.设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知e ()1exaxf x =-是奇函数，则=a （）A.2- B.1- C.2D.14.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a>>6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.37.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.08.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C.已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.16.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12iz=-，则z等于（）A.1B. C.2D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i12ii2i2i12i12i12i555 z+-+-====+ --+，所以55z==.故选：D.2.设x∈R，则“03x≤≤”是“02xx≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()20220x xxx x⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x≤<，由于02x≤<是03x≤≤的真子集，故03x≤≤是02xx≤-的必要不充分条件.故选：B3.已知e()1exaxf x=-是奇函数，则=a（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e1e 1ex x ax ax--=---，所以e e e 11eax x xax ax-=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种【答案】A 【解析】【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.3【答案】C 【解析】【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ===.故选：C7.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.0【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin 321x x x x x =+--πcos 23212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++[][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23【答案】B 【解析】【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知293223172PC =+-⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN ，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC 中，916171cos 2343PBC +-∠==⨯⨯，则22sin 3PBC ∠=，根据等面积公式，11344232PN ⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN =，3NC ===，OD ==又2ON MB ==，所以2PO ==，则PD ==直线PD 与平面ABCD 夹角的夹角为PDO ∠，sin17PO PDO PD ∠===.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O 的位置，以及垂直关系的转化.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C .已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A ；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B ；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C ；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A ，若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =,而()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，A 正确；对于B ，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B 错误；对于C ，由于()0.65P A =，()0.32P AB =，故()03232()()06565P BA .P B |A P A .===，则3233()1()16565P B |A P B |A =-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P A P AB P BA ====⨯，C 正确；对于D ，由于~(0,1)N ξ，(1)P p ξ≤=，故(1)1P p ξ>=-，故(1)(1)1P P p ξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p p P ξξ<-=--≤≤==---，D 错误，故选：AC10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π【答案】ABD 【解析】【分析】对于选项A ，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B ，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C ，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D ，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A ，11C A D为边长为的等边三角形，1C P 的最小值即该等边三角形的高，为3cos302== A正确；对于B，如图，将等边1A BD 绕1A D 旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯=≠ ，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d ,11B AB C B ABC V V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，11222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，3d =，以点B 为球心，3为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，233==为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，233OM =，由A 得133OH h ==，cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯=，故D 对.故选：ABD.12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅【答案】CD 【解析】【分析】设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME =，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos 4=，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3x y '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=-- ，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠ ，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TF AF BFTF=，所以，2TFAF BF =⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.【答案】7【解析】【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=--，因为()a ab ⊥-，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.【答案】80-【解析】【分析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512r r r rr T C x--+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.【答案】4π3【解析】【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E ，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P ，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG.因为CF r ===，易得120FEC ∠= ，则120GEC ∠= ，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯=.故答案为：4π316.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.【答案】23,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与exy x=有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x=的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定3ln 3t =，进而得到()()1223ln 3g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0x ax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是exa x=的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,x g x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()0g x '<，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1∞-单调递减；在()1,∞+上单调递增.则()e xg x x=图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且e a >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t ==，则13e e 3t tt t=，即13e 3et t =，化简得13e =3ln t =，当213x x =时，()()12ln 3g x g x ====，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a 的取值范围为23,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.【答案】（1）π3B =（2）选①或选②均为【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin Asin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.【小问2详解】若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△若选②：得()12BD BA BC =+，()()222211244BD BA BCBA BA BC BC =+=+⋅+，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，113sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.【答案】（1）12n n a -=（2）212323-【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【小问1详解】设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q+-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.【小问2详解】根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O 的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．【答案】（1）存在，1B C 为圆柱1OO 的母线（2）25117【解析】【分析】（1）1B C 为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A O B B --的余弦值.【小问1详解】存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC ，AC ，1B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．【小问2详解】以O 为原点，OA ，1OO 分别为y ，z 轴，垂直于y ，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，113,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =--，111,,022O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z =，则111201022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，32z =-，所以2m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B ，所以平面11A O B 的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==- ，又二面角111A O B B --的平面角为锐角，故二面角111A O B B --的余弦值为25117．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【小问1详解】依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 0235P161211214【小问2详解】设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1-【解析】【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k-=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421P kx k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【小问1详解】由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P k x k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q Px x x x--=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k k k k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.【答案】（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2x g x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1xx e x --≥，令()2()2ln xh x x ex =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-，则22()40xa t x ex'=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()ee f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln xh x x e x =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201ex x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。
山西省运城市2024届高三下学期二模试题 数学含答案
运城市2024年高三第二次模拟调研测试数学（答案在最后）试卷类型：A考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足()43i 12i z -=+，则z =（）A.5B.15C.25D.52.已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为（）A. B.3 C. D.33.已知向量a 和b 满足3a = ，2b = ，a b += ，则向量b 在向量a上的投影向量为（）A.13a- B.a- C.13a D.a4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C ：22870x y x +++=相切，且双曲线的左焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A.22197x y -= B.2244197x y -=C.2244179x y -= D.22179x y -=5.将函数()2sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间()0,ϕ上恰有两个零点，则ϕ的取值范围是（）A.53,124ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.313,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.53,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D.313,412ππ⎛⎤⎥⎝⎦6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有（）A.360种B.316种C.288种D.216种7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则21a a 的取值范围是（）A.67,78⎛⎫⎪⎝⎭B.613,715⎛⎫⎪⎝⎭C.67,,78⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.613,,715⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在以A 为圆心，1为半径的圆上，则222PB PC PD ++最小值为（）A.18-B.18-C.19-D.19-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(文科)
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|1x <1}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <0}B. {x|−1<x <1}C. {x|x <0或0<x <1}D. {x|x <0或x >1}2. 已知复数z =1−3i1+2i +2i ，则复数z 在复平面内对应的点为( )A. (1,3)B. (−1,−1)C. (−1,1)D. (1,1)3. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则m =( )A. 3B. −13C. −7D. 134. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，Sn3+a n+1=0，则S 5=( ) A. 827B. 1681C.21181D. 322435. 已知x ，y 满足约束条件{x +y −2≤03x −y +2≥0x −2y −1≤0，则x −y 的取值范围是( )A. [−2,0]B. [−2,43]C. [0,53]D. [−2,2]6. a =0.30.2，b =32，c =log 23，则( )A. b >c >aB. c >b >aC. b >a >cD. c >a >b7. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.5]=2，[4]=4，则函数f(x)=[x]称为取整函数，又称高斯函数．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为( )A. 8B. 7C. 6D. 58. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为棱AB 中点，则过点P 与DB 1垂直的平面截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为( )A. 6√3B. 4√3C. 3√3D. 2√39. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与曲线x +√3|y|=c(c =√a 2+b 2)围成一个面积为2√33的菱形，则双曲线C 的方程为( )A.x 26−y 22=1B.x 22−y 26=1C. x 2−y 23=1D.x 23−y 2=110. 已知f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，则ω的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 611. 已知曲线C 由抛物线y 2=2x 及抛物线y 2=−2x 组成，A(1,2)，B(−1,2)，M ，N 是曲线C 上关于y 轴对称的两点(A,B ，M ，N 四点不共线，且点M 在第一象限)，则四边形ABNM 周长的最小值为( )A. 2+√17B. 1+√17C. 3D. 412. 函数f(x)=xe x −2lnx −2x 的最小值为( )A. −2ln2B. ln2C. 2−2ln2D. 2+ln2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为______．14. 底面圆半径为1，高为4的圆柱形封闭薄壁容器内有一个半径为1的球在容器内任意滚动，则球不能到达的区域的体积为______．15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 32+a 62=1，则S 9的最大值为______．16. 已知函数f(x)={x +a,x ≤0−(1e)x ,x >0，若存在非零实数m ，n ，使得点A(m,n)，B(−m,−n)都在f(x)的图象上，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 采购经理指数(PMI)是衡量一个国家制造业的“体检表”，是衡量制造业在生产新订单、商品价格、存货、雇员、订单交货、新出口订单和进口等八个方面状况的指数，如图为2018年9月−2019年9月我国制造业的采购经理指数(单位：%)．(1)求2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的中位数及平均数(精确到0.1)；(2)从2019年4月−2019年9月这6个月任意选取2个月，求这两个月至少有一个月采购经理指数与上个月相比有所回升的概率．b．18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=ccosB+12(1)求cos C；(2)若c=√3，求a+b的取值范围．19.如图，四边形ABCD为平行四边形，且AB=AD=BD=2，点E，F为平面ABCD外两点，EF//AC，∠EAD=∠EAB．(1)证明：BD⊥CF；(2)若EF=2√3，AE=CE=2，求几何体ABCDEF的体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，圆x 2+y 2−2y =1经过椭圆C 的左，右焦点F 1，F 2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线y =k(x +1)与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，是否存在实数k ，使得△GF 1D 的面积与△OED(O 为原点)的面积相等？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)=2lnx −ax +(a2−1)x 2(a ≤2)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤(e x +a2−1)x 2−1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+2√55ty =a −√55t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． (1)若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值；(2)若A ，B 为曲线C 上两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−2a|+|x+a|(a>0)．(1)求不等式f(x)≥3a的解集；(2)若f(x)的最小值为2−b(b>0)，求证：√2a+1+√b+1≤2√2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合A ={x|x 2<1}={x|−1<x <1}， B ={x|1x <1}={x|x <0或x >1}， 所以A ∩B ={x|−1<x <0}， 故选：A ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z =1−3i1+2i +2i =(1−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+2i =−1−i +2i =−1+i ， ∴复数z 在复平面内对应的点为(−1,1)， 故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即1×(−3)+m ×1=0，所以m =3， 故选：A ．利用已知条件，结合向量的数量积，化简求解m 即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由S n 3+a n+1=0，得S n3+S n+1−S n =0，即S n+1=23S n ， 又S 1=a 1=1，所以{S n }是首项为1，公比为23的等比数列， 所以S 5=(23)4=1681， 故选：B ．通过S n3+a n+1=0，推出{S n }是首项为1，公比为23的等比数列，然后求解即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，考查转化首项以及计算能力．5.【答案】B【解析】解：作出可行域如图中阴影部分所示，设z =x −y ，则y =x −z ，由{3x −y +2=0x +y −2=0解得C(0,2)，由{x +y −2=0x −2y −1=0解得B(53,13)， 当直线y =x −z 经过点B(53,13)时，直线在y 轴上的截距取得最小值，此时z 取得最大值，最大值为：53−13=43，当直线y =x −z 经过点C(0,2)，直线在y 轴上的截距取得最大值，此时z 取得最小值，最小值为：0−2=−2， 故选：B ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，通过最优解，求解函数的最值，得到结果． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．基础题．6.【答案】B【解析】解：∵0.30.2<0.30=1，log 23=log 2√9>log 2√8=32>1， ∴c >b >a ． 故选：B ．可以得出0．30.2<1,log 23>32>1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：第一次执行循环：s =[1003]=33，k =9，满足条件；第二次执行循环：s =[333]=11，k =8满足条件； 第三次执行循环：s =[113]=3，k =7，满足条件； 第四次执行循环：s =[33]=1，k =6，满足条件；第五次执行循环：s =[13]=0，k =5，不再满足条件，结束循环，输出的k 的值为5． 故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s 的值并输出相应变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】C【解析】解：过点P与DB1垂直的平面被正方体ABCD−A1B1C1D1截面是以AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，AA1中点P，E，F，G，H，Q为顶点，边长为√2的正六变形，因为B1D⊥平面A1BC1，平面A1BC1//平面PEFGHQ，所以B1D⊥平面PEFGHQ，且面积为6×(√2)2×√34=3√3．故选：C．作出截面图形，计算正六边形的面积，即可得出答案．本题考查正方体中的截面面积问题，考查空间想象能力，运算求解能力，求解时注意平行性质的应用，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得菱形的一个内角为60°，ba =√33，一条对角线的长为c，另一条对角线的长为√33c，所以12c⋅√33c=2√33，c=2，而a2+b2=c2=4，解得：a2=3，b2=1，双曲线C的方程为x23−y2=1，故选：D．由双曲线的渐近线的对称性及曲线x+√3|y|=c的对称性可得菱形的一个内角为60°，且可知渐近线的斜率，求出对角线的值，再由菱形的面积可得c的值，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；本题考查双曲线的性质及菱形的面积公式，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，而π12+π4=π3，可得f(x)的图象既关于直线x=5π24对称，又关于点(π3,0)对称，∴2k+14⋅2πω=(π3−5π24)，∴ω=8k+4，k∈Z，则ω的最小值为4，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：设抛物线y2=2x的焦点为F，则四边形ABNM的周长l=|AB|+2|AM|+2x M=2+2|AM|+2|AF|−1≥1+√17，当A，M，F共线时取等号，故选：B．通过抛物线的位置关系．转化求解四边形的周长，推出最小值即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】C【解析】解：因为f(x)=xe x−2lnx−2x，设t=lnx+x，则t∈R，且f(t)=e t−2t，设g(t)=e t−2t，则g′(t)=e t−2，g(t)在(−∞,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以g(t)≥g(ln2)=2−2ln2，所以g(t)的最小值为2−2ln2.即f(x)的最小值为2−2ln2．故选：C．用换元法设t=lnx+x，则t∈R，y=e t−2t，设g(t)=e t−2t，求导，分析单调性，再求最值即可．本题考查函数的性质，注意换元法在解题中的应用，属于中档题．13.【答案】28【解析】解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号分别为16，08，02，14，07，28，因此选出来的第6个个体的编号为28．故答案为：28．根据随机数表的定义进行选取即可．本题主要考查简单随机抽样的应用，利用随机数表法是解决本题的关键．比较基础．π14.【答案】23【解析】解：由圆柱的底面圆半径为1，高为4，可得球不能到达的区域的体积为π×12×4−π×12×2−43π×13=23π.故答案为：23π.利用已知条件，转化求解圆柱的体积减去球的体积以及小圆柱的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．15.【答案】3√5【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a32+a62=1，得(a5−2d)2+(a5+d)2=1，整理得5d2−2a5d+2a52−1=0，该等式可看作关于d的一元二次方程，所以△=(2a5)2−20(2a52−1)≥0，所以9a52≤5，即−√53≤a5≤√53，所以S9=9(a1+a9)2=9a5≤3√5，所以S9的最大值为3√5．故答案为：3√5．设等差数列{a n}的公差为d，由a32+a62=1，求出a5的范围，再根据求和公式即可求出．本题考查了数列的通项公式和求和公式，以及方程根的问题，属于中档题．16.【答案】(1,+∞)【解析】解：存在非零实数m，n，使得点A(m,n)，B(−m,−n)都在f(x)的图象上，即f(x)图象上至少存在两点关于原点对称，显然y=−(1e)x，x>0的图象上不存在两点关于原点对称，y=x+a，x≤0的图象上不存在两点关于y=x对称．由于y=−(1e)x，x>0的图象与y=e x，x<0的图象关于原点对称，故问题转化为y=x+a，x≤0的图象与y=e x，x<0的图象有交点，即方程e x=x+a(x<0)有解，分离a得，a=e x−x，令g(x)=e x−x(x<0)，g′(x)=e x−1，g(x)在(−∞,0)上递减，∴g(x)>g(0)=1，由x→−∞时，g(x)→+∞，∴a>1，即实数a的取值范围是(1,+∞)．故答案为：(1,+∞)．把问题转化为y=x+a，x≤0的图象与y=e x，x<0的图象有交点，即方程e x=x+a(x<0)有解，分离a得，a =e x −x ，令g(x)=e x −x(x <0)，利用导数求得g(x)的范围，则a 的范围可求．本题考查分段函数的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：(1)2019年前9个月我国制造业的采购经理指数的中位数为49.5，平均数为19(49.5+49.2+50.5+50.1+49.4+49.4+49.7+49.5+49.8)≈49.7． (2)从2019年4月−2019年9月这6个月任意选取2个月，结果总共有15种， 这6个月中采购经理指数与上个月相比有所回升的有7月9月，共2个，所以从这6个月任意选取2个月，这两个月至少有一个月采购经理指数与上个月相比有所回升的结果有(4月，7月)，(5月，7月)，(6月，7月)，(8月，7月)，(4月，9月)，(5月，9月)，(6月，9月)，(8月，9月)，(7月，9月)，结果有9种，所以所求概率P =915=35．【解析】(1)根据折线图中2019年前9个月的数据和中位数平均数的求法即可得解； (2)根据古典概率公式即可求出．本题考查折线图中平均数中位数的求法，概率公式，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)方法一：因为a =ccosB +12b ，由正弦定理得sinA =cosBsinC +12sinB ，即sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =cosBsinC +12sinB ， 所以sinBcosC =12sinB ， 因为0<B <π，sinB ≠0， 所以cosC =12．方法二：由a =ccosB +12b ，可得2a 2−ab =2accosB =a 2+c 2−b 2， 整理得a 2+b 2−c 2=ab ， 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=12．(2)解法一：由(1)得cosC =12，C =π3，sinC =√32，c =√3，由正弦定理得a sinA =b sinB =csinC =2，所以a +b =2sinA +2sinB =2sinA +2sin(2π3−A)=3sinA +√3cosA =2√3sin(A +π6)， 因为C =π3， 所以0<A <2π3，π6<A +π6<5π6，可得12<sin(A +π6)≤1，所以a +b 的取值范围(√3,2√3].解法二：由(1)得cosC =12，c =√3，及余弦定理得：3=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ≥(a +b)2−3×(a+b 2)2=14(a +b)2，所以(a +b)2≤12，a +b ≤2√3，当a =b 时取等号， 又a +b >c =√3，所以a +b 的取值范围(√3,2√3].【解析】(1)法一：由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简可得sinBcosC =12sinB ，结合sinB ≠0，可求cosC =12；法二：由余弦定理化简已知等式可得a 2+b 2−c 2=ab ，进而可求cosC =12．(2)法一：由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a +b =2√3sin(A +π6)，可求范围π6<A +π6<5π6，利用正弦函数的性质可求a +b 的取值范围；法二：由已知利用余弦定理，基本不等式可求a +b ≤2√3，结合a +b >c =√3，可求a +b 的取值范围． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】(1)证明：设BD 与AC 相交于点G ，连接EG ，由题意可得四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，DG =GB ， 在△EAD 和△EAB 中，AD =AB ，AE =AE ，∠EAD =∠EAB ， ∴△EAD≌△EAB ，可得ED =EB ，则BD ⊥EG ， ∵AC ∩EG =G ，∴BD ⊥平面ACFE ， ∵CF ⊂平面ACFE ，∴BD ⊥CF ；(2)解：由已知EF//AC ，EF =AC =2√3， ∴四边形ACFE 是平行四边形，由AE =CE =2，点G 为AC 中点，可得EG ⊥AC ，EG =1， ∴平行四边形ACFE 的面积S =1×2√3=2√3， 由BD ⊥平面ACFE ，BG =1， 可得V B−ACFE =13×1×2√3=2√33， 同理可得V D−ACFE =13×1×2√3=2√33， ∴几何体ABCDEF 的体积V =V B−ACFE +V D−ACFE =4√33．【解析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，训练了多面体体积的求法，是中档题．(1)设BD与AC相交于点G，连接EG，由已知证明BD⊥AC，△EAD≌△EAB，可得ED=EB，得BD⊥EG，再由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面ACFE，从而得到BD⊥CF；(2)由已知可得四边形ACFE是平行四边形，求其面积，再由(1)知BD⊥平面ACFE，BG=1，求出四棱锥B−ACFE 的体积，同理求得四棱锥D−ACFE的体积，作和即可求得几何体ABCDEF的体积．20.【答案】解：(1)设c=√a2−b2，由题意得ca =12，由圆x2+y2−2y=1，经过椭圆C的左，右焦点F1，F2，得c=1，所以a=2，b=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)假设存在实数k，使得△GF1D的面积与△OED的面积相等，易知k≠0，把y=k(x+1)代入x24+y23=1，整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，△=16(9k2+9)>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k23+4k2，故点G的横坐标为x1+x22=−4k23+4k2，纵坐标为k(−4k23+4k2+1)=3k3+4k2，即G(−4k23+4k2,3k3+4k2).设D点坐标为(x D,0).因为DG⊥AB，所以3k3+4k2−4k23+4k2−x D⋅k=−1，解得xD=−k23+4k2，即D(−k23+4k2,0)．如图，根据相似的判定(AA)可得△GF1D∽△OED，且△GF1D的面积与△OED面积相等，可得|GD|=|OD|．所以√(−k23+4k2+4k23+4k2)2+(−3k3+4k2)2=|−k23+4k2|，整理得8k2+9=0.因为此方程无解，所以不存在实数k，使得△GF1D的面积与△OED面积相等．【解析】(1)由题可得ca =12，再由圆方程得到c=1，解出a，b即可；(2)假设存在，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系表示出点G、D坐标，利用两三角形相似可知|GD|=|OD|，列出关于k的方程，无解，本题考查求解椭圆方程，考查直线与椭圆的综合，属于中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)=2lnx−ax+(12a−1)x2得，f′(x)=2x−a+(a−2)x=(x−1)[(a−2)x−2]x，当a≤2时，(a−2)x−2<0，所以由f′(x)<0得x>1，由f′(x)>0得0<x<1，所以f(x)在(1,+∞)上递减，在(0,1)上递增．(2)x >0时，f(x)≤(e x +a2−1)x 2−1恒成立， 即−a ≤x 2e x −2lnx−1x恒成立．由(1)知a ≤2时，f(x)在(1,+∞)上递减，在(0,1)上递增． 所以f(x)≤f(1)，取a =2，得x ≥lnx +1， 所以x 2e x ≥ln(x 2e x )+1=2lnx +x +1， 所以x 2e x −2lnx−1x≥2lnx+x+1−2lnx−1x=1，当x 2e x =1时取等号，设g(x)=x 2e x ，求导易知g(x)在(0,+∞)上递增，由g(12)=4√e <1，g(1)=e >1，可知存在x 0∈(0,+∞)，使得x 02e x 0=1，所以x 2e x −2lnx−1x的最小值为1，故−a ≤1，a ≥−1，又a ≤2，所以实数a 的取值范围是[−1,2]．【解析】(1)先对函数求导，然后结合函数的单调性与导数关系即可求解；(2)由已知不等式分离参数后，转化为求解相应函数的最值或范围，然后结合导数可求． 本题主要考查利用导数求解函数的单调性，及利用分离法求解参数范围问题，体现了转化思想．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =1+2√55ty =a −√55t，消去参数t 得直线l 的普通方程为x +2y −2a −1=0． 由{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2x =0，即(x −1)2+y 2=1，因为圆C 关于直线l 对称，所以圆心(1,0)在直线x +2y −2a −1=0上， 所以a =0．(2)由点A ，B 在圆ρ=2cosθ且OA ⊥OB ，不妨设∠AOx =α，∠BOx =α−π2， 则△AOB 的面积S =12×|OA||OB|=12×|2cosα||2cos(α−π2)|=|sin2α|≤1， 当α=π4时，取最大值． 所以△AOB 面积的最大值为1．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)={−3x +a,x <−a−x +3a,−a ≤x ≤a 3x −a,x >a ．①当x <−a 时，由f(x)≥3a ，得x <−a ； ②当−a ≤x ≤a 时，由f(x)≥3a ，得−a ≤x ≤0； ③当x >a 时，由f(x)≥3a ，得x ≥4a 3，综上不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥4a 3}；(2)证明：由f(x)={−3x +a,x <−a−x +3a,−a ≤x ≤a 3x −a,x >a ，可知f(x)min =f(a)=2a ，∴2a =2−b ，∴2a +b =2，∴√2a +1+√b +1≤√2[(2a +1)+(b +1)]=√2(2a +b +2)=2√2， 当且仅当a =12，b =1时取等号， ∴√2a +1+√b +1≤2√2．【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≥3a ，利用零点分段法解不等式即可； (2)先求出f(x)的最小值，然后根据f(x)的最小值为2−b ，得到a ，b 的关系，再证明不等式即可． 本考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想，属中档题．。
山西省运城市高中联合体2020届高三第三次模拟测试数学(文)试题
（2）若 c 3 ，求 a b 的取值范围. 19．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，且 AB AD BD 2 ，点 E, F 为平面 ABCD 外两点，EF AC ，
EAD EAB . （1）证明： BD CF ； （2）若 EF 2 3 ， AE CE 2 ，求几何体 ABCDEF 的体积.
13．总体由编号为 01，02，…，30 的 30 个个体组成.利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随
机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个个体的编号为
______.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
轴对称的两点（ A, B, M , N 四点不共线，且点 M 在第一象限），则四边形 ABNM 周长的最小值为（ ）
A． 2 17
B．1 17
C． 3
12．函数 f x xex 2 ln x 2x 的最小值为（ ）
A． 2 ln 2
二、填空题
B． ln 2
C． 2 2ln 2
D． 4 D． 2 2ln 2
A． 1,3
B． 1, 1
C． 1,1
D． 1,1
3．若
AB
1,
m
，
BC
3,1
，若
ABLeabharlann AC2 AB，则
m
（
）
A． 3
B． 1 3
C． 7
D． 1 3
4．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1
1，
Sn 3
an1
0 ，则 S5