华罗庚学校数学教材(五年级上)第06讲 能被30以下质数整除的数的特征
本系列共15讲
第六讲能被30以下质数整除的数的特征
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大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除。
因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征。
在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的特征。
为了叙述起见，我们把讨论的数N 记为：
N==…＋a 3×103＋a 2×102＋a 1×10＋a 0，有时也表3210a a a a ⋅⋅⋅示为N=。
DCBA ⋅⋅⋅我们已学过同余，用mod 2表示除以2取余数，有公式：
①N≡a 0（mod 2）
②N≡a 1a 0(mod 4)
③N≡a 2a 1a 0(mod 8)
④N≡a 3a 2a 1a 0(mod 16)
这几个公式表明一个数被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。
此外，被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被
3（9）整除。
我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下。
如（mod9），如果：
N=a3a2a1a0=a3×1000＋a2×100＋a1×10＋a0
=a3×(999＋1)＋a2×(99＋1)＋a1×(9＋1)＋a0
=(a3＋a2＋a1＋a0)＋(a3×999＋a2×99＋a1×9)
那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有
N≡a3＋a2＋a1＋a0(mod9)
对于mod3，理由相仿，从而有公式：
⑤N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0)(mod9)
N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0)(mod3)
对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
先看一例。
N=31428576，改写N为如下形式：
N=6＋7（11－1）＋5（99＋1）＋8（1001－1）＋2（9999＋1）＋4（100001－1）＋1（999999＋1）＋3（10000001－1）=6－7＋5－8＋2－4＋1－3
＋7×11＋5×99＋8×1001＋2×9999＋4×100001
＋1×999999＋3×10000001
由于下面这两行里，11、99、1001、9999、100001、999999、
10000001都是11的倍数，所以
N≡6－7＋5－8＋2－4＋1－3（mod 11）
小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N 的表达式最后一行中“借用”11的适当倍数（这样，最后一条仍都是11的倍数），把它加到“小减大”的算式中，这样就得到：
N≡11＋6－7＋5－8＋2－4＋1－3≡3（mod 11）
现在总结成一般性公式（推理理由与例题相仿）。
设N≡，
76543210a a a a a a a a ⋅⋅⋅则N≡（a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋…）(mod 11)或者：
⑥N≡[(a 0＋a 2＋a 4＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋…)](mod 11)（当不够减时，可添加11的适当倍数）。
因此，一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7×11×13=1001。
如有一个数有六位，记为N=，那么
FEDCBA N=×1000＋FED CBA
=×1001－＋
FED FED CBA
=×（7×11×13）＋－
FED CBA FED
所以N能被7、11、13整除，相当于
－或－（以大减小）
CBA FED FED CBA
能被7、11、13整除。
总结为公式：
⑦N=≡－（mod7）(mod11)(mod13)
GFEDCBA
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅CBA GFED
﹙当＜时，可在－上加上7或11或13 CBA GFED
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅CBA GFED
的适当倍数。
﹚
表述为：判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
这法则可以连续使用。
下面研究可否被17、19整除的简易判别法。
回顾对比前面，由等式1001=7×11×13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。
对于质数17，我们有下面一些等式：
17×6=10217×59=100317×588=999617×5882=99994
我们不妨从17×59=1003出发。
由于N==×1000＋
FEDCBA FED CBA
=×（1003－3）＋
FED CBA
=×1003＋－3×
FED CBA FED
≡－3×（mod17）
CBA FED
﹙亦可在－3×上加上17的适当倍数﹚
CBA FED
因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与3倍的前面隔出数的差（大减小）是否被17整除。
下面来推导被19整除的简易判别法。
寻找关键性式子：19×52=988，19×53=1007。
由于N==×（1000）＋
FEDCBA FED CBA
=×（1007－7）＋
FED CBA
=×1007＋－7×
FED CBA FED
≡－7×(mod19)
CBA FED
(亦可在－7×上加上19的适当倍数)
CBA FED
因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与7倍的前面隔出的数的差﹙大减小﹚是否被19整除。
下面来推导被23、29整除的简易判别法。
寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，现有
23×435=1000529×345=10005
由此启发得到一个末四位隔开的方法：
由于N==×10000＋
GFEDCBA GFE DCBA
=×100005－5×＋
GFE GFE DCBA
所以N≡－5×（mod23）(mod29)
DCBA GFE
（亦可在－5×上加上23或29的适当倍数）
DCBA GFE
因此，判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与5倍的前面隔出的数的差（大减小）是否被23或29整除。
最后，如读者还想寻找以上数的更简明判别法，或被31以上质数整除的判别法，都是可以去探索的。
把这一节得到的公式简列于下：
N=GFEDCBA
⋅⋅⋅
①N≡－（mod7）(mod11)(mod13)
CBA GFED
②N≡－3×(mod17)(mod59)
CBA GFED
⋅⋅⋅
③N≡－7×(mod19)(mod53)
CBA GFED
⋅⋅⋅
④N≡－5×(mod23)(mod29)
DCBA GFE
⋅⋅⋅
⑤N≡＋8×(mod31)
CBA GFED
⋅⋅⋅
⑥N≡＋1×(mod37)
CBA GFED
⋅⋅⋅
（可在上述这些同余式的右端加上相应质数的适当倍数）
后两式没有证明，读者不难从999=37×27，992=31×32启发出“隔位加”的判别法。
习题六
1．公式1003=17×59曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式②也是判定被59整除的简便公式。
2．说明公式③也是判定被53整除的简便公式。
3．61是质数，并且10004=61×164，你能利用这一等式导出判定被61整除的简便公式吗？
4．67是质数，1005=67×15，请证明：
N=≡－5×(mod67)
GFEDCBA CBA GFED
5．994=71×14，71是质数，请导出判定被71整除的公式。
6．N=31428576可否被37整除？
7．已知整数能被11整除，求x可能的值。
x x x x
12345
8．判别517214316＋7210能否被6整除？能否被9整除？说明理由。
9．证明210－28＋26－24＋22－1被9整除。
10．求使2n－1能被7整除的所有自然数n。
五年级上册奥数第六讲 能被30以下质数整除的数的特征 _通用版(例题含答案)
第六讲能被30以下质数整除的数的特征课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。
大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。
为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
第六讲 能被30以下质数整除的数的特征PPT课件
6
新课教学 课前准备1
多位数的表示方法
（1）字母上方横线法
N= FEDCBA
如六位数N= 34567 xy 能被75整除，则x=
y=
7
(2)数位表示法
（2）100=10×10=102 100=10×10×10=103 1000=10×10×10×10=104 … … … … 如
3
2、整除的性质
1、数的整除性质 性质1、如果a、b都能被c整除，那么它们的和
与差也能被c整除。 性质2、如果b与c的积能整除a，那么b与c都能
整除a。 性质3、如果b与c都能整除a，且b和c互质，那
么b与c的积能整除a. 性质4、如果c能整除b，b能整除a，那么c能整
除a。
4
3、带余除法的一些规律
3、判断52212300能否被23整除？
解：5221 26105
2 3805
×5 －2300 ×5
－10
26105 23805
10
3795
∵3795÷23= 165 ∴52212300能被23整除。
判断一个数能否被23或29整除，只要将末四 位数与前面的数隔开，看末四位数与前面隔出的 数的5倍的差（大减小）能否被23 或29整除。
将末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5 倍的差（大减小）能不能被23、29整除。
21
本课小结
1、记住几个公式及应用方法
简记：17、59 末三减3倍
19、53 末三减7倍 可以连续运用
23、29 末四减5倍
2、公式推导的两个关键
（1）寻找关键性等式
（2）把数字拆成两部分
22
关键性式子的应用规律： 与整齐的数相比，超则隔位减，不足隔位加 例如：由61×164=10004可得10000=10004－4
数 的整除
华罗庚学校数学教材（五年级上）目录上册第01讲数的整除问题第02讲质数、合数和分解质因数第03讲最大公约数和最小公倍数第04讲带余数的除法第05讲奇数与偶数及奇偶性的应用第06讲能被30以下质数整除的数的特征第07讲行程问题第08讲流水行船问题第09讲“牛吃草”问题第10讲列方程解应用题第11讲简单的抽屉原理第12讲抽屉原理的一般表述第13讲染色中的抽屉原理第14讲面积计算第15讲综合题选讲下册第01讲不规则图形面积的计算（一）第02讲不规则图形面积的计算（二）01 第03讲巧求表面积第04讲最大公约数和最小公倍数第05讲同余的概念和性质第06讲不定方程解应用题第07讲从不定方程的整数解谈起第08讲时钟问题第09讲数学游戏第10讲逻辑推理（一）第11讲逻辑推理（二）第12讲容斥原理第13讲简单的统筹规划问题第14讲递推方法第15讲综合题选讲1.有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。
每段最长是多少米？一共可以截多少段？2.一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它裁成正方形纸片，正方形的边长最大可以是几厘米？一共可以裁多少块？3.一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。
这个班共有多少人？4.三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次，上次三个人是星期二在图书馆相逢，至少还要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？5.有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，连两端共有5处是杨树与柳树相对。
这条道路长多少米？6.从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？7.大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圈的周长。
五年级下数学奥数讲义与练习-能被30以下质数整除的数的特征_通用版(扫描版)-精选教学文档
五年级奥数讲义：能被30以下质数整除的数的特征
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。五年级奥数讲义：能被30以下质数整除的数的特征习题
能被2-19及30以下质数整除的数的特征
能被2-19及30以下质数整除的数的特征1.能被2或5整除的数的特征是：（1）被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8（2）被5整除的数的特征：个位数字是0、5时（3）能同时被2、5整除的特征：个位为02．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．7.能被6、12、14、15、18整除的数的特征是：（分解质因数法）（1）能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除（2）能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除（3）14的要同时被2 7整除,要偶数,（4）15的要同时被 3 5整除,（5）18的要被2和9整除,偶数,各个数位的和是9的倍数能被9整除8.能被17、19整除的数的特征是：（末三位与前面的隔出数倍数的差）（1）能被17整除的数若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除（2）能被19整除的数，若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除9、.能被16、23、29整除的数的特征是：（末四位与前面隔出数倍数的差）能被23整除的数，若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23(或29)整除10、能被16整除的数的特征是：（末4位）能被16整除的特点：末4位能被16整除；。
第六讲 能被30以下质数整除的数的特征
842
第一步 － 586 第二步 － 30
30842
812
812÷13=62……6
公式的推导思路与方法
关键1、是把所给的多位数拆成两部分： 除数的倍数 其余的部分
关键2、怎样拆 要寻求与10、100、1000、10000接近的数
能被17整除的数的特征的推导
关键性式子 17×6=102 17×59=1003
∴七位数3456789不能被9整除，除以9所得 的余数是6.
公式N≡…a4+a3+a2+a1+a0（mod9） 是怎样得来的？
利用加上或减去除数的倍数时，结果的余数不变， 结合乘法分配律可以推导出这个公式：
如N=35647=3×10000+5×1000+6×100+4×10+7 =3×（9999+1）+5×（999+1）+6×（99+1）+4×
方法回顾，
关键是把所给的多位数拆成两部分：
除数页体会下面的公式
一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数 字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11 整除即
N≡ (a0+a2+a4+…) －(a1+a3+a5+…) (mod11)
当N≡ 0时，整除；当N≡ 不等于0是结果就是 余数
多少？ 3、3456781能被17整除吗？
新课教学 课前准备1
多位数的表示方法
（1）字母上方横线法
N= FEDCBA
如六位数N= 34567xy 能被75整除，则x=
y=
(2)数位表示法
（2）100=10×10=102 100=10×10×10=103 1000=10×10×10×10=104 … … … … 如
第六讲能被30以下质数整除的数的特征
第六讲能被30以下质数整除的数的特征大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对, 也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。
为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：N 二…幻％日卫。
=…X 103+ X 102 + X 10 + a0,有时也表示为N = -DCBAo我们已学过同余，用mod2表示除以2取余数.有公式：①N 三a0 (mod2)②N三a1a0 (mod4)③N 三a2a1a0 (mod8)④N=a3a2a1a0( mod16)这几个公式表明一个数被2 (4, 8, 16)整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。
此外，被3 (9)整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被 3 (9)整除.我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下•如(mod9)，如果，N=a3a2aa°=a3X 1000+a X 100+a’x 10+a—a x( 999+ 1)+ a2x( 99+1)+ a1x( 9+1) +a°—(c3+a2+a1 +a)) + (a x 999+Q X 99+a x 9)，那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有N = a3 + a2+a+a)(mod9)对于mod3，理由相仿，从而有公式：N=(, +a3+ Q + a i + ao)( mod3) o⑤N=(, + a3+ ◎+ 日 + a0)( mod9)，对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差 (大减小)能被11整除。
先看一例.N=31428576,改写N为如下形式：N=6+ 7 (11-1)+ 5 (99+ 1)+8 ( 1001-1)+ 2 (9999+ 1)+ 4 (100001-1) +1 (999999+1) +3 (10000001-1)=6-7+5-8+2-4+1-3+7X 11+5X 99+ 8X 1001+2X 9999+4X 100001+1X 999999 + 3X 10000001。
奥数状元必读专家点拨五年级上册第6课《能被30以下质数整除的数的特征》试题附答案
第四种：旧题新解。不时翻翻原来做过的试题，重点分析有没有新的解题思路和技巧。不断地增加思考有敏锐思路，随时利用新学知识去解决难题。
【学好奥数的几个小技巧】
第一种：记笔记。这方法其实很普遍也很简单，但恰恰是很多同学不容易做到的，记笔记有很多好处，记录老师讲课精华，练习书写能力，养成边听边写能力，这对于提高学习效率是非常有效的。
第二种：错题本。有些同学对知识点理解不清晰，这类的题目一定要记录下来。还有的是出题者故意设计的陷阱，这也可以记录下来，定时复习，久了之后很多马虎自然而然地就避免了。
状元必读专家点拨
小学五年级上册数学奥数知识点讲解第6课《能被30以下质数整除的数的特征》试题附答案
五年级奥数上册：第六讲能被30以下质数整除的数的特征习题
五年级奥数上册：第六讲能被30以下质数整除的数的特征习题解答
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第五种：学习小组。定期地和小组成员分享好试题，好方法，好技巧，好经验，即可以增加同学之间的情感，又可以在交朋友的过程学习到新的东西，提高学习效率，培养合作精神，增强协调能力。
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华罗庚学校数学课本(五年级上)
华罗庚学校数学课本（五年级·修订版）上册第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。