华罗庚学校数学教材(五年级上)第06讲 能被30以下质数整除的数的特征

本系列共15讲

第六讲能被30以下质数整除的数的特征

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大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除。因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征。在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的特征。

为了叙述起见，我们把讨论的数N 记为：

N==…＋a 3×103＋a 2×102＋a 1×10＋a 0，有时也表3210a a a a ???示为N=。

DCBA ???我们已学过同余，用mod 2表示除以2取余数，有公式：

①N≡a 0（mod 2）

②N≡a 1a 0(mod 4)

③N≡a 2a 1a 0(mod 8)

④N≡a 3a 2a 1a 0(mod 16)

这几个公式表明一个数被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。

此外，被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被

3（9）整除。我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下。如（mod9），如果：

N=a3a2a1a0=a3×1000＋a2×100＋a1×10＋a0

=a3×(999＋1)＋a2×(99＋1)＋a1×(9＋1)＋a0

=(a3＋a2＋a1＋a0)＋(a3×999＋a2×99＋a1×9)

那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有

N≡a3＋a2＋a1＋a0(mod9)

对于mod3，理由相仿，从而有公式：

⑤N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0)(mod9)

N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0)(mod3)

对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

先看一例。N=31428576，改写N为如下形式：

N=6＋7（11－1）＋5（99＋1）＋8（1001－1）＋2（9999＋1）＋4（100001－1）＋1（999999＋1）＋3（10000001－1）=6－7＋5－8＋2－4＋1－3

＋7×11＋5×99＋8×1001＋2×9999＋4×100001

＋1×999999＋3×10000001

由于下面这两行里，11、99、1001、9999、100001、999999、

10000001都是11的倍数，所以

N≡6－7＋5－8＋2－4＋1－3（mod 11）

小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N 的表达式最后一行中“借用”11的适当倍数（这样，最后一条仍都是11的倍数），把它加到“小减大”的算式中，这样就得到：

N≡11＋6－7＋5－8＋2－4＋1－3≡3（mod 11）

现在总结成一般性公式（推理理由与例题相仿）。

设N≡，

76543210a a a a a a a a ???则N≡（a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋…）(mod 11)或者：

⑥N≡[(a 0＋a 2＋a 4＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋…)](mod 11)（当不够减时，可添加11的适当倍数）。

因此，一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。下面研究被7、11、13整除的数的特征。

有一关键性式子：7×11×13=1001。

如有一个数有六位，记为N=，那么

FEDCBA N=×1000＋FED CBA

=×1001－＋

FED FED CBA

=×（7×11×13）＋－

FED CBA FED

所以N能被7、11、13整除，相当于

－或－（以大减小）

CBA FED FED CBA

能被7、11、13整除。总结为公式：

⑦N=≡－（mod7）(mod11)(mod13)

GFEDCBA

???

???CBA GFED

﹙当＜时，可在－上加上7或11或13 CBA GFED

???

???CBA GFED

的适当倍数。﹚

表述为：判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

这法则可以连续使用。

下面研究可否被17、19整除的简易判别法。回顾对比前面，由等式1001=7×11×13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。对于质数17，我们有下面一些等式：

17×6=10217×59=100317×588=999617×5882=99994

我们不妨从17×59=1003出发。

由于N==×1000＋

FEDCBA FED CBA

=×（1003－3）＋

FED CBA

=×1003＋－3×

FED CBA FED

≡－3×（mod17）

CBA FED

﹙亦可在－3×上加上17的适当倍数﹚

CBA FED

因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与3倍的前面隔出数的差（大减小）是否被17整除。

下面来推导被19整除的简易判别法。

寻找关键性式子：19×52=988，19×53=1007。

由于N==×（1000）＋

FEDCBA FED CBA

=×（1007－7）＋

FED CBA

=×1007＋－7×

FED CBA FED

≡－7×(mod19)

CBA FED

(亦可在－7×上加上19的适当倍数)

CBA FED

因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与7倍的前面隔出的数的差﹙大减小﹚是否被19整除。

下面来推导被23、29整除的简易判别法。

寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，现有

23×435=1000529×345=10005

由此启发得到一个末四位隔开的方法：

由于N==×10000＋

GFEDCBA GFE DCBA

=×100005－5×＋

GFE GFE DCBA

所以N≡－5×（mod23）(mod29)

DCBA GFE

（亦可在－5×上加上23或29的适当倍数）

DCBA GFE

因此，判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与5倍的前面隔出的数的差（大减小）是否被23或29整除。

最后，如读者还想寻找以上数的更简明判别法，或被31以上质数整除的判别法，都是可以去探索的。把这一节得到的公式简列于下：

N=GFEDCBA

???

①N≡－（mod7）(mod11)(mod13)

CBA GFED

②N≡－3×(mod17)(mod59)

CBA GFED

???

③N≡－7×(mod19)(mod53)

CBA GFED

???

④N≡－5×(mod23)(mod29)

DCBA GFE

???

⑤N≡＋8×(mod31)

CBA GFED

???

⑥N≡＋1×(mod37)

CBA GFED

???

（可在上述这些同余式的右端加上相应质数的适当倍数）

后两式没有证明，读者不难从999=37×27，992=31×32启发出“隔位加”的判别法。

习题六

1．公式1003=17×59曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式②也是判定被59整除的简便公式。

2．说明公式③也是判定被53整除的简便公式。

3．61是质数，并且10004=61×164，你能利用这一等式导出判定被61整除的简便公式吗？

4．67是质数，1005=67×15，请证明：

N=≡－5×(mod67)

GFEDCBA CBA GFED

5．994=71×14，71是质数，请导出判定被71整除的公式。6．N=31428576可否被37整除？

7．已知整数能被11整除，求x可能的值。

x x x x

12345

8．判别517214316＋7210能否被6整除？能否被9整除？说明理由。

9．证明210－28＋26－24＋22－1被9整除。

10．求使2n－1能被7整除的所有自然数n。