周期问题《巧算“星期几”》
如何计算周期问题
周期问题导言：在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。
我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。
要解决这类问题，关键要抓住两点：①找出规律，找出周期。
即多少个（次）又出现重复②用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。
例1．有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、（1）第2009个数是多少？（2）这列数字中，“2”会出现多少次（3）这2009个数相加的和是多少？解析：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。
周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。
（1）2009÷6=334…5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。
所以第2009个数就是5（2）（1、4、2、8、5、7）重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次（3）我们把2009个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1+4+2+8+5+7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。
（1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038例2．求2×2×…×2（2008个2相乘）+ 3×3×…×3（2009个3相乘）的个位数字解析：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。
来解答2 个位数字是22×2 个位数字是42×2×2 个位数字是82×2×2×2 个位数字是62×2×2×2×2 个位数字是2可见，个位数字是按2、4、8、6不断循环重复，所以周期是42008÷4=502，没余数，个位数字就是最后一个：6（2）同理，我们也可以找出3×3×…×3（2009个3相乘）个位数字的排列规律3 个位数字是33×3 个位数字是93×3×3 个位数字是73×3×3×3 个位数字是13×3×3×3×3 个位数字是3可见，个位数字是按3、9、7、1不断循环重复出现，所以周期是42009÷4=502…1，余数是1，个位数字就是周期里面的第一个数，即3所以，求2×2×…×2（2008个2相乘）+ 3×3×…×3（2009个3相乘）的个位数字，就是6+3的个位数字，即9例3．2009个学生按下列方法编号排成五列：一二三四五9 8 7 610 11 12 1317 16 15 14…………………………问最后一个学生应该在第几列？解析：仔细观察，除了第一个学生外，其余学生都是按这样的次序排列的：二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、五、四、三、二、一……。
巧算星期几
其中，k是整数，要适当选取k的值，使0≤N1＜400，如N=1985，可取k=4，则N1=1985－400×4=385。
二、用下面的公式（2）求R：
R=[ ]－B…………………………………………………（2）
其中， 只取商的整数部分，不要尾数；B等于N1－1的百位数。如N1=385时，B=3，R=[ ]－B= R=[ ]－3=96－3=93.
三、求出从要求的这一年的1月1日到要求的这一天（包括这一天）的天数T。
四、求下面算式余数，余数是几，要求的这一天就是星期几：
（N1－1+R+T）÷7
例如，1818年5月5日是星期几？
N1=1818－400×4=218
R=[ ]－B= [ ]－2=54－2=52
T=31+28+31+30+5=125
（218－1+52+125）÷7=56……2
按照现行历法（公历），连续400年的总天数正好是7的倍数，今天是星期几，400年前（或400年后）、800年前（或800年后）……的今天也是星期几。
所以，我们用上面的方法求某一天是星期几时，不论这是哪一年的一天，都可以当成是公元1年至400年中某一年的同月同日来求。这样就可以使计算简便，方法是：
一、用下面的公式（1）求N1：
三、求（N－1+R+T）÷7的余数。
用这个算式算出商的整数部分后，余数是几，要求的这一天就是星期几；如果余数是0（正好除尽），则这一天就是星期日。
在开头的例子中，（N－1+R+T）÷7=(1985－1+481+253)÷7
=2718÷7=388……2
小六周期问题
周期问题
专题简析：在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现。
如：人的12生肖，一
年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等。
像这些问题，我们称为“简单周期问题”。
这一类问题一般要利用余数的知识来解答。
所以这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
例题1：2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？
练习题：
1、2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？
2、2008年8月1日是星期三，问8月28日是星期几？
例题2：100个3相乘，积的个位数字是几？
练习题：
1、23个3相乘，积的个位数字是几？答：。
2、100个2相乘，积的个位数字是几？答：。
例题3：
A B C A B C A B ……
万事如意万事如意……上表是中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A万”，第二组“B事”，……问第20个组是什么？
练习题：有同样大小的红、白、黑球共120个，按先3个红的，后2个白的，再1个黑的排列，问（1）、白球一共有多少个？（2）、第68个球是什么颜色球？
例题4：有一列数按“432791864327918643279186……”排列。
那么前54个数字之和是多少？。
五年级奥数题：周期性问题(A)
五年级奥数题：周期性问题(A)1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期几。
2.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几。
3.按下面摆法摆80个三角形，有多少个白色的。
4.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯。
也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯。
小明想知道第73盏灯是什么灯。
5.时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是几点。
6.把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在第几列。
第一列。
第二列。
第三列。
第四列。
第五列。
1.10.…7.把分数2/9，11/18，3/8，12/17，4/7，13/16，5/6，14/15，4/5化成小数后，小数点第110位上的数字是什么。
8.循环小数0.xxxxxxxx7与0.3(1)这两个循环小数在小数点后第几位首次同时出现在该位中的数字都是7.9.一串数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4，共有1991个数。
(1)其中共有多少个1，多少个9，多少个4；(2)这些数字的总和是多少。
11.紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。
例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，……得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6……这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？12.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13.设n=2×2×2×……×2，那么n的末两位数字是多少？14.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？每一组数表包含一个奇数排和一个偶数排，且每个奇数排都是从小到大排列，每个偶数排都是从大到小排列。
根据年月日推算是星期几的公式
根据年月日推算是星期几的公式有时候，想知道公元某年某月某日是星期几，可以用下面的公式算出来：这里的方括号表示只取商的整数部分。
式中：x ：这一年是公元多少年。
y ：这一天是这一年的第几天。
s ：星期几。
不过要先除以7，再取余数。
没有余数是星期日，余数是1、2、3、4、5、6，分别是星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。
比如，2010年国庆节(10月1日)是星期几？x ＝2010。
y ＝31＋28＋31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋1＝31×5＋30×3＋28＋1＝274。
s ＝2010－1＋502－20＋5＋274＝2770，2770÷7余5。
所以，2010年国庆节是星期五。
如果，你只想知道这个公式怎样用，到这儿就可以了。
而要想知道这个公式的道理是什么，那可就说来话长了。
“星期制”是公元321年3月7日，古罗马皇帝君士坦丁宣布开始实行的，并且规定这一天为星期一。
实际上，就是把公元元年元旦(公元1年1月1日)规定为星期一。
(相当于公式中的x ＝1，y ＝1，所以s ＝1。
)通常1年有365天，365÷7＝52……1，就是说比52个星期多1天。
所以，同一个日期，下一年是星期几，就要比上一年向后推1天。
比如，上一年元旦是星期三，下一年元旦就是星期四。
“通常每过1年，把同一日期是星期几向后推1天”，是理解这个公式的关键。
要想知道某年某月某日是星期几，首先，要知道这一年元旦以公元元年元旦是星期一为起点，已经把星期几向后推了多少天，还要知道这一天是这一年的第几天。
而要知道这一年元旦已经把星期几向后推了多少天，可以从公元元年到这一年已经过了多少年算起，先按1年向后推1天计算，再根据闰年的规定进行调整。
闰年的规定是：年份是4的倍数的一般都是闰年，其中，年份是整百数的y x x x x s +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=40011001411一般不是闰年，只有年份是400的倍数的才是闰年。
小学日期周期的计算方法
小学日期周期的计算方法
第一种情况：
已知某月1日为星期a，求同月某b日为星期几？
计算公式：
（b-1）+7=c（周数）...a（余数），a（余数）+b（已知星期数）=d（所得星期数）则a+b所得结果则为要求的b日星期数，假如a+b大于7时，为方便计算，则a+b-7所得数为星期几例如：已知6月1日为星期三，求6月18日为星期几？求6月28日为星期几？求6月29日为星期几？
解1：（18-1）+7=2....3，3（星期三）+3（余数）=6，所得结果6则为星期六，解2：（28-1）+7=3....6，3（星期三）+6（余数-7=2，所得结果2则为星期二，解3：（29-1）+7=4.....0，3（星期三）+0（余数）=3，所得结果3则为星期三。
第二种情况
已知某月a日为星期b，求当月1号为星期几？
计算公式：（a-1）?=C（因数）...d（余数），b（已知星期数）-d（余数）=e，e则为需要求的星期数，当b<d时应为7+b（已知星期数）-d（余数）=e例：6月21日为星期二，求6月1日为星期几？
解（21-1）?=2......6，因星期数2小于余数6，所以需要加上周的进率7，所以为7（一周7天进率）+2（已知星期数）-6（余数）=3，所得结果3则为星期三。
例：6月19日为星期日，求6月1日为星期几？
解（19-1）+7=2......4，7（已知星期数）-4（余数）=3，所得结果3则为
星期三。
例：6月15日为星期三，求6月1日为星期几？
解（15-1）+7=2....0，则3（已知星期数）-0（余数）=3，所得结果3则为星期三。
简单的周期问题
【例题】：2001年10月1日是星期一，10月25日是星期几？【例题精讲】：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。
10月1日是星期一，那么再过7天，就是8号，还是星期一。
所以要求10月25日是星期几，首先要求出10月1日到10月25日一共多少天（包括10月1日），那么从10月1日到10月25日经过了25天。
25天中包括了3个星期还多4天，因此用除法算式解答。
（1）从10月1日到10月25日有：25天。
（2）25天里有多少个星期余多少天？25÷7=3（个星期）……4（天）。
（说明25天中包含3个星期还多4天，这个多的四天，是每个周期的第四天，也就是星期四。
）答：10月25日是星期四。
首先找到题目当中多少个为一个循环的周期，然后用除法来进行解答，然后看余数，余数是几，就是这个规律中的第几个。
【同步练习】1. 今天是星期日，再过38天是星期几？2. 2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？3. 2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？【例题】国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了50只彩灯，第50只彩灯是什么颜色的？红色的彩灯一共有多少只？【例题精讲】由题意可知，这些彩灯按“红、黄、蓝、白、绿、紫”六种颜色的顺序六种为一周期循环。
因50÷6=8（组）……2（只），所以第50只彩灯的颜色与第二只彩灯的颜色相同。
第8个周期后又挂出的两盏彩灯是红色和黄色的，所以红色彩灯共有8+1=9（只）。
50÷6=8(组)……2（只），8+1=9（只）。
答：第50只彩灯是黄色的，红色的彩灯一共有9只。
在用用周期问题的方法找到规律以后，再进一步算出题中每个量各是多少。
这是周期问题的进一步运用。
【同步练习】1. 有同样大小的红、白、黑球共120个，按先3个红的，后2个白的，再1个黑的排列，问：（1）白球一共有多少个？（2）第68个球是什么颜色？2. 一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字，如果这本书有128页，而第1页是文字，这本书共有插图多少页？3. 小军数左手的手指，大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小指为5，然后换方向再数，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，再换方向书，食指为10，……这样数到2006，停在哪个手指上？。
周期问题——《巧算“星期几”》
周期问题——《巧算“星期几”》教学目标：1、根据时间、日期的知识，解决一些时间问题。
2、掌握计算共经过的天数：从头到尾总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项开始数几，即可推知是星期几。
算头不算尾、算尾不算头的总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项的下一项开始数几，推知是星期几。
教学过程：一、实践畅销1、探究1：平南小学从2011年12月1日到2011年12月20日举行第三届英语节活动，活动一共举行了多少天？T:：请独立思考，比一比谁能快速得出结果？S1:20天S2：19天T:谁的想法对？用什么方法验证？S:可以将日期列一列。
S:可以列算式20-1=19 19+1=20T:为什么要加1？（头尾都要算，所以要加1）小结：计算从某年（月日）起到某年（月、日）共经过的天数，一般要连头带尾算，也就是经过的年数（天数）=结尾数-开始数+1。
板书：经过的年数（天数）=结尾数-开始数+12、试一试：根据上面的方法，算算经过的天数。
2012年的春节从2012年1月22日到2012年1月31日，经过了（）天。
2008年3月10日到2008年4月10日，经过了（）天。
T:先独立思考，再将你的想法和同桌交流。
反馈：1）31-22+1=10天2）31-10+10+1=32天3、探究2：2012年第二学期从2月7日开学到2012年6月25日放假，一共有（）天。
T:这道题的天数较多，你准备用什么办法解决？先试一试，填一填，再集体反馈反馈：可以用分段推算的方法。
注意考虑2012年是闰年，注意考虑到2月份有29天。
可以将这些天分段如下：第一段：2月7日到2月29日，共23天。
第二段：3月共31天。
第三段：4月共30天第四段：5月共31天第五段：6月1日到6月25日共25天。
合计天数：23+31+30+31+25=140天追问：如果开学那天是周二，放假那天是周几？S1:140/7=20，没有余数，所以是周二S2:应该是周一。
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周期问题——《巧算“星期几”》
教学目标：
1、根据时间、日期的知识，解决一些时间问题。
2、掌握计算共经过的天数：
从头到尾总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项开始数几，即可推知是星期几。
算头不算尾、算尾不算头的总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项的下一项开始数几，推知是星期几。
教学过程：
一、实践畅销
1、探究1：
平南小学从2011年12月1日到2011年12月20日举行第三届英语节活动，活动一共举行了多少天？T:：请独立思考，比一比谁能快速得出结果？
S1:20天S2：19天
T:谁的想法对？用什么方法验证？
S:可以将日期列一列。
S:可以列算式20-1=19 19+1=20
T:为什么要加1？（头尾都要算，所以要加1）
小结：计算从某年（月日）起到某年（月、日）共经过的天数，一般要连头带尾算，也就是经过的年数（天数）=结尾数-开始数+1。
板书：经过的年数（天数）=结尾数-开始数+1
2、试一试：根据上面的方法，算算经过的天数。
2012年的春节从2012年1月22日到2012年1月31日，经过了（）天。
2008年3月10日到2008年4月10日，经过了（）天。
T:先独立思考，再将你的想法和同桌交流。
反馈：1）31-22+1=10天2）31-10+10+1=32天
3、探究2：
2012年第二学期从2月7日开学到2012年6月25日放假，一共有（）天。
T:这道题的天数较多，你准备用什么办法解决？
先试一试，填一填，再集体反馈
反馈：可以用分段推算的方法。
注意考虑2012年是闰年，注意考虑到2月份有29天。
可以将这些天分段如下：
第一段：2月7日到2月29日，共23天。
第二段：3月共31天。
第三段：4月共30天
第四段：5月共31天
第五段：6月1日到6月25日共25天。
合计天数：23+31+30+31+25=140天
追问：如果开学那天是周二，放假那天是周几？
S1:140/7=20，没有余数，所以是周二
S2:应该是周一。
T:有两种意见，哪一种对呢？
我们以一个周期来观察，可以发现第八天时，会与第一天的周几重复，也就是说当余数为1时，从第一个开始，当没有余数时，就是一个周期的最后一天。
二、判断与改错
例1：今天是星期一，从今天起，第30天是星期几？
30÷7=4（个）…2（天）从星期二开始，数两天，答案是：星期三。
例2：如果今天是星期二，再过90天是星期几？
90÷7=12（个）…6（天）从星期二开始，数6天，答案是：星期日。
例3：今年的“六一”儿童节是星期三，今年的教师节是星期几？
29+31+31+10=101（天）101÷7=14（个）…3天）从星期三开始，数三天，答案是：星期五。
例4：2005年10月1日，国庆节的那天刚好是星期六，同学们可知道2006年1月1
日，元旦节的那天是星期几吗？
31+30+31=92（天）92÷7=13（天）…1（天）从星期六开始，数一天，答案是：星期六
分析错因：
1、对这类问题的源头“周期性”不理解。
2、总天数从哪里算起搞不明白。
小结：
巧算“星期几”属于周期问题，解决这类问题，余数起决定性的作用，但是，要余数正确，首先要算准总天数，还要确定循环的第一周期的第一项，最后才能确定是星期几。
四步解题策略
第一步：写出循环的第一周期。
第二步：从头到尾算出总天数，或者算头不算尾、算尾不算头的算出总天数。
第三步：用总天数除以一个循环周期7天。
第四步：根据余数数出是星期几。
从头到尾总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项开始数几，即可推知是星期几。
算头不算尾、算尾不算头的总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项的下一项开始数几，推知是星期几。
正解
例1：⑴、写出循环的第一周期。
一，二，三，四，五，六，日。
⑵、从头到尾算出总天数是30 天（已知）。
⑶、用总天数除以一个循环周期7天，30÷7=4（个）…2（天）
⑷、因为天数是从头到尾的天数，所以余2，就以周期第一项开始数到2，得出第30天为星期二。
例2、（1）写出循环的第一个周期，二，三，四，五，六，日，一。
（2）从头到尾的总天数是1+90=91天，算尾不算头的总天数是90天。
（3）用总天数除以一个循环周期7天，91÷7=13（个）或90÷7=12（个）…6（天）
（4）从头到尾算的天数没有余数，正好一个周期结束，所以是星期一。
算尾不算头天数除以7得余数是6，就从循环周期第一项的下一项开始数到6，结果也是星期一。
例3、（1）写出循环的第一个周期，三，四，五，六，日，一，二。
（2）从头到尾算的总天数是30+31+31+10=102（天）
（3）用总天数除以一个循环周期7天是：102÷7=14（个）…4（天）
（4）因为从头到尾算总天数，所以余数4，就从循环的第一项开始数到第四项，得出星期六。
例4、（1）写出循环的第一个周期，六，日，一，二，三，四，五。
（2）从头到尾算的总天数是30+31+31+1=93（天），或者算头不算尾的总天数是；31+30+31=92（天）（3）用总天数除以一个循环周期7天是：从头到尾93÷7=13（个）…2（天），或者算头不算尾92÷7=13（个）…1（天）
（4）从头到尾算的余数是2，就从循环周期第一项数到第二项是星期日。
算头不算尾的余数是1，就从循环第一项的下一项数一项，也是星期日。
三、思维星空站
豆豆1999年已经20岁了，可是他1996年才过了第6个真正的生日，豆豆出生在几月几日？到了今年豆豆几
岁？过了第几个生日？（刚出生的那天算作过第一个生日）
正解：豆豆出生在2月29日。
6个生日分别是1996、1992、1988、1984、1980、1976年，出生的第一个生日是1976年2月29日。
到了今年2012-1976+1=37岁，2000、2004、2008、2012到了2012年的2月29日过了10个生日。