2020年下期高三级第一次质检试题-数学参考答案

2020年下期高三级第一次质检试题数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答案ADBBC BDA 解析： 1、【答案】A 2、【答案】D【详解】解：(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i -===+++-，所以2155z i =- ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．3、【答案】B 9033222325=⋅⋅A A C C 4、【答案】B【详解】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈, 5、【答案】C【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<，必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”充要条件. 6、【答案】B【详解】因为l 1⊥l 2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3， 所以22tan 3tan 2.14tan ααα==-- 7、【答案】D【详解】∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅，由数量积的几何意义可得：AB AC ⋅的值为AB 与AC 在AB 方向投影的乘积， 又AC 在AB 方向的投影为12AB =2，∴428AB AC ⋅=⨯=，同理4312AB AE ⋅=⨯=， ∴()81220AB AC AE ⋅+=+=，8、【答案】A【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()x x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.答案：9、BD 10、ACD 11、ABD 12、AB 9、【答案】BD 【详解】对A ，()20E X =，∴1100205p p =⇒=，∴14()1001655D X =⋅⋅=，412()114D D X X ⎛⎫⎝+== ⎪⎭，故A 错误； 对B ，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()||()f x f x =，()()22log 0|log |(1)f x f x f >⇔>，∴221log 11log 122x x x <⇔-<<⇔<<，故B 正确； 对C ，1102x x -<⇔<<，∴“0x >”推不出“02x <<”，而“02x <<”可以推出“0x >”，∴“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件，故C 错误； 对D ，样本中心点为(), 2.8m -，∴0.3 2.84m m m ⋅-=-⇒=，故D 正确；10、【答案】ACD【详解】由函数的图象有112T =,则2T =，即22T πω==，所以ωπ=，则A 正确. 由图象可得，11()cos()=044f πϕ=+，所以12.42k k Z ππϕπ+=+∈，即2.4k k Z πϕπ=+∈,由2πϕ<，所以4πϕ=，即()cos()4f x x ππ=+,所以B 不正确.所以函数()f x 的对称轴为：.4x k k Z ππππ+=+∈，即3.4x k k Z =+∈ 当时，34x =是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确. 所以函数()f x 的对称中心满足：.42x k k Z ππππ+=+∈，即1.4x k k Z =+∈ 所以函数()f x 的对称轴心为1(,0)4+k ，k Z ∈，所以D 正确. 11、【答案】ABD【详解】A ，由题意可得抛物线的焦点F （2，0），所以A 正确；B ，由题意设直线PQ 的方程为：y =x ﹣2），与抛物线联立整理可得：3x 2﹣20x +12＝0，解得：x 23=或6，代入直线PQ 方程可得y分别为：，由题意可得P （6，，Q （23，）；所以|PQ |323=，所以B 正确； C ，如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |＝ME |，所以|MF |+|MN |＝|ME |+|MN |≥NE ＝2+2＝4，当N ，M ，E 三点共线时，|MF |+|MN |最小，且最小值为4，所以C 不正确；D ，因为P （6，），Q （23，3-），所以PF ，QF 的中点分别为：（４，），（43，3-），所以由题意可得A （0，，B （0，3-），所以|AB |＝33=，所以D 正确；12、【答案】AB【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，， ，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-，()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

所以22221232019f f f f ++++()()()()122312343220182019201820172019202020192018+++++f f f f f f f f f f f f f f f f f f =----20192020f f =，故D 选项错误；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.答案：13、1(0,)214、45 15、1- 16、； 8π解析13、【答案】1(0,)2【详解】解：由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<，所以实数m 的取值范围为：1(0,)2.14、【答案】45 15、【答案】1-解析：当0a ≤时,1()2f a =,即122a =，解得1a =-.当0a >时,()12f a =,即21log 2a =,解得a故答案为：1-16、【答案】(1).(2). 8π【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角， 所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上， 记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan α=当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小， 又2PAF PBF π∠=∠=， ∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为PF ==所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积248S ππ==.8π四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、【详解】解析： （1）选择①，由已知得220q q --=， ........................................1分 解得2q或1q =-（舍去，∵0q >），...........................2分又∵1n n n a b b +=，113b =， 则1111a b b +=，解得12a =，......................................3分∴2nn a =，.....................................................4分则11121n n n b a ==++；...........................................5分 选择②，当1n =时，11122S a a ==-，得12a =，..........................1分 当2n =时，212222S a a a =+=-，又12a =，得24a =，...........2分 则212a q a ==，2n n a ∴=..................................................................................4分又∵1n n n a b b +=， 则11121n n n b a ==++；...........................................5分 选择③，425S S =，当1q =时，11410a a =，则10a =，舍去；..........................1分 当1q ≠时，()()421111511a q a q qq--=⋅--，解得2q （负值舍去），.....2分又∵1n n n a b b +=，113b =，则1111a b b +=，解得12a =，......................................3分∴2nn a =，......................................................4分则11121n n n b a ==++；...........................................5分 （2）121+=n nb ......................................6分 121(222)12(12)122 2...............................10n n n n T nnn +∴=++++⋅-=+-=+-分18、【详解】（1）在△CED 中由正弦定理可得sin sin DE CEECD CDE=∠∠，...1分即42sin 3CDE =∠，1sin ,2CDE ∴∠=...........................................................2分 因为CE DE <，所以CDE ∠是锐角，故30∠=︒CDE ，...............................3分又∠ADC =120°90ADE ∴∠=︒，在直角三角形ADE 中，.............................4分12332222=+=+=DE AD AE .....................................5分32=AE ................................................................................................................6分（2） 在ABE △中，60AE ABC =∠=︒，由余弦定理可得：60cos 2222BE AB BE AB AE ⋅-+=................................7分 BE AB BE AB ⋅-+=2212..........................................8分因为222,122,AB BE AB BE AB BE AB BE +≥⋅∴⋅+≥⋅...........................9分12AB BE ∴⋅≤，当且仅当AB BE ==时等号成立，...............10分从而，Ｓ△ＡＢＥ1sin 6024AB BE AB BE =⋅︒=⋅≤分所以△ABE面积的最大值为分19、【详解】（1）由题意，当(]0,228x ∈时， 3.25y x =；...................1分 当(]228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-；...............................2分当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=，...................................3分所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩..........................................................................4分（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ， 则ξ可取0,1,2,3，...................................................5分则()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，......................6分 ()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===，......................7分 故随机变量ξ的分布列为：所以()7012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=..............................................8分（3）由题意知()()1010320,1,2,3,1055kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.............9分由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，..........................10分 解得283355k ≤≤，*k N ∈，..........................................11分 所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =........................................................12分20、【详解】（1）证明：在ABE △中，∵2AE =，4BE =，π3AEB ∠=， 由余弦定理得22212cos 416224122AB AE BE AE BE AEB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，∴AB =........................................................1分∴222EB EA AB =+，∴π2EAB ∠=，即EA AB ⊥，.....................2分 又EF EB ⊥，EF EA ⊥，EA EB E =，∴EF ⊥平面ABE ，.............3分ABE AB 平面⊂ ∴EF AB ⊥，......................................4分 又EA EF E =，EA EF ⊂、平面AEF ∴AB ⊥平面AEF ............................5分又ABC AB 平面⊂，∴平面AEF ⊥平面ABC .......................................................6分 （2）解法一：如图，以A 为原点，以AB 为x 轴，AE 为y 轴，过点A 垂直于平面ABE 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：.............................................................................................7分则()0,0,0A，()B ，()0,2,0E ，()0,2,2F，()C ，∴(0,2,2)AF =，(23,2,2)FB =--，(23,0,6)AC =..................................8分 连结EC 与FB 交于点G ，连结DG ，∵//AE 平面BDF ，DG 为平面AEC 与平面BDF 的交线， ∴//AE GD ，∴GC DCGE DA=， 在四边形BCFE 中，∵//EF BC ，∴EFG BCG ∽△△， ∴3GC BC GE EF ==，3DC DA =，∴14AD AC =，...........................9分 设()000,,D x y z ，则()000,,AD x y z =，由14AD AC =，得0002032x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴32D ⎫⎪⎪⎝⎭， ∴31,2,22FD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.................................................................................................10分设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，则31202223220n FD xy z n FB y z ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取1x =，则z =0y =， ∴(1,0,3)n =，......................................................11分 设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则23sin 42AF n AF nθ⋅===⋅. 即直线AF 与平面BDF 分 （2）解法二：如图，以E 为原点，在平面ABE 中过E 作EB 的垂线为x 轴，EB 为y 轴，EF 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：......................................................................7分则()0,0,0E ，()0,0,2F ，()0,4,0B ，()0,4,6C ，()3,1,0A，∴(1,2)AF =--，(0,4,2)FB =-，(AC =-......................................8分 连结EC ，与FB 交于点G ，连结DG ，∵//AE 平面BDF ，DG 为平面AEC 与平面BDF 的交线， ∴//AE GD ，∴GC DCGE DA=， 在四边形BCEF 中，∴//EF BC ，∴EFG BCG ∽△△，∴3GC BC GE EF ==，3DC DA =，14AD AC =，..............................9分 设()000,,D x y z，则()0001,AD x y z =-，由14AD AC =得：00031432x y z ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得0007432x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴73,,442D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴371,442FD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.................................................................................................10分设平面BDF 的法向量(),,n x y z =，则33710{442420n FD x y zn FB y z ⋅=+-=⋅=-=，取1y =，则2z =，x = ∴3,1,2n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，....................................................11分设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则.4631684sin =⋅==θ ∴直线AF 与平面BDF所成角的正弦值为4分 21、【详解】（1）由椭圆22221x y a b +=的右焦点为，知223a b -=，.....1分即223b a =-,则222213x y a a +=-，23a >．...............................2分又椭圆过点(2,1)M -，∴224113a a +=-，又23a >，∴26a =．...........3分 ∴椭圆Γ的标准方程为22163x y +=．.....................................4分（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y由221,63(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(1)6x k x +-=， 即()2222124260kxk x k +-+-=..........................................................................5分∵点(1,0)N 在椭圆内部，∴>0∆∴212221224122621k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩....................................................................................................7分 则()()()()12122211t MA MB x x y y =⋅=+++--()()()1122212411x x x x k k x k x k =++++--⋅--()()()22212121225k x x k k x x k k =++--++++ ...........................................8分()()222222226412252121k k t k k k k k k k -∴=+⋅+--⋅+++++∴22152121k k t k +-=+，∴2(152)210t k k t -+--=，R k ∈.........................10分 则2124(152)(1)0t t ∆=+-+∴(215)(1)10t t -+-，即2213160t t --....................................................11分 由题意知1t ，2t 是2213160t t --=的两根 ∴12132t t +=．.....................................................12分 22、【详解】（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞，2()()()ln 1,(0)h x f x g x x ax x a x =+=+++->.2121()2x ax h x x a x x++'=++=，........................................1分 所以当280a ∆=-≤即a -≤≤()0h x '≥，()h x 在(0,)+∞上单调递增；...................................2分当280a ∆=->，即a <-a >方程2210x ax ++=的根为14a x --=，24a x -+=.........................3分当a >120x x <<，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；.......4分当a <-时，有120x x <<.综上：当a ≥-时，()h x 在(0,)+∞上单调递增，当a <-时，()h x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 在⎝⎭上单调递减..............................................................5分 （2）设函数()f x 的图象上点()()11,x f x 与函数()g x 的图象上点()()22,x g x 处切线相同， 则()()()()121212f xg x f x g x x x -''==-，即21121212ln 112x ax a x x a x x x ++-++==-，.................................6分由1212x a x +=，得12122ax x =- ① 由2112212ln 11x ax a x x x x ++-+=-，得2121122ln 1x x x ax a x x -=++-+ ② 由①②得：2222212ln 2044ax a x a x -++--=，.........................7分 设2212()ln 2((0,))44ax a F x x a x x -=++--∈+∞问题转化为()0F x =在(0,)+∞有解，则23231121()222a x ax F x x x x x+-'=-++=，.............................8分 不妨设()2002100x ax x +-=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>， ∴()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增， ∴()0F x 是()F x 的最小值.只需()00F x ≤，即20020012ln 20424ax a x a x x -++--≤- ③........9分 而200210x ax +-=，故212x a x -=代入③式，得200001ln 220x x x x -++-≤， 令21()ln 22(0)m x x x x x x =-++->，易得()10m =， 211()220m x x x x'=+++>，则()m x 在(0,)+∞递增.....................................10分故200001ln 220x x x x -++-≤解集是（0，1]，即001x <≤.......................11分由0012a x x =-，得1a ≥-. 即实数a 的取值范围是[1,)-+∞..................................................................................12分。