高中数学2.5随机变量的均值和方差(第2课时)(一)教案苏教版选修2_3
高中数学第二章概率2.5.1离散型随机变量的均值学案苏教版选修2-3(2021年整理)
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2．5.1 离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值。
2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4。
会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值或数学期望设有12个西瓜,其中4个重5 kg,3个重6 kg，5个重7 kg.思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值?思考2 当X取上述值时，对应的概率分别是多少?思考3 如何求每个西瓜的平均重量？梳理离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表:X x1x2…x nP p1p2…p n（1)数学期望：E（X）＝μ＝________________________________________________________________________. (2）性质①p i≥0，i＝1，2，…，n;②p1＋p2＋…＋p n＝1。
(3）数学期望的含义:它反映了离散型随机变量取值的____________．知识点二两点分布、超几何分布、二项分布的均值1．两点分布：若X～0－1分布，则E(X)＝________。
2.5.1离散型随机变量的均值 ppt课件(41张) 高中数学苏教版 选修2-3
学习目标
课前自主学案
2.5.1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.掌握离散型随机变量的均值的概念及计算方法．
2．掌握超几何分布、二项分布的均值．
3．会用均值分析解决简单的实际问题．
课前自主学案
温故夯基
1．样本平均数的定义 假设样本数据是 x1，x2，„，xn， x 表示这组数
2．两种常见概率分布的均值 (1)超几何分布：若 X～H(n， M， N)，则 E(X) nM N ＝_______ .
np . (2)二项分布： 若 X～ B(n， p)， 则 E(X)＝ _______
问题探究 1．在实际问题中，为什么能用样本均值来估计总
体均值？
提示：随机变量总体的均值是一个常数，不受其
知新益能 1．离散型随机变量的均值(或数学期望) (1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为 X x1 P p1 x2 p2 … … xn pn
x1p1＋x2p2＋„＋xnpn 为离散型随机变量 X 的 则称 ___________________ 均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记 x1p1＋x2p2＋„＋xnpn . 为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝_____________________ (2)意义：刻画离散型随机变量取值的 平均水平和稳定程度 ． ___________________
(2)令 Y 表示此员工的月工资， 则 Y 的所有可能取 值为 2 100，2 800,3 500. 1 则 P(Y＝ 3 500)＝ P(X＝ 4)＝ ， 70 8 P(Y＝2 800)＝ P(X＝ 3)＝ ， 35 53 P(Y＝2 100)＝ P(X≤ 2)＝ . 70 1 8 53 E(Y) ＝ 3 500× ＋ 2 800× ＋ 2 100× ＝ 2 70 35 70 280. 所以此员工月工资的期望为 2 280 元．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.5.1 离散型随机变量的均值》2
高中数学苏教版选修2-3第二章教学设计课题：离散型随机变量的均值许佳龙【教材地位】这节内容在选修2-3第二章，一方面，它承接了必修3的统计概率知识，另一方面，掌握好这节课的研究方法，将有助于后续离散型随机变量和方差的研究。
因此，它在知识体系上起着承上启下的作用。
离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点。
在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性。
【教学目标】1、知识与技能：通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义；能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题。
2、过程与方法：从样本期望到离散型随机变量的期望，培养学生归纳，概况等合情推理的能力，通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的思维习惯。
3、情感态度与价值观：通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
【教学重难点】重点：能计算简单离散型随机变量均值〔数学期望〕难点：理解离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义【教法学法】以学生为主体，教师为主导，引导启发学生进行自主、探究、合作的学习，通过师生、生生的互动和交流获得知识，提升能力，达成学习目标。
【教辅工具】，N时，EX＝nM/N．，且各次射击互不影响，这名射例2〔改编〕某人每次射击击中目标的概率为23手射击3次，记击中目标的次数的X，求X的数学期望．分析：那么X服从二项分布X～B3，23解：X的分布列为,,,设计意图：同上，由于书本上的例2原题的数据相对来说还是有一定的复杂，所以在不改变问题原理和意图的情况下改变了一定的数据，纯粹为了简化学生的计算过程，为课堂赢得更高的效率。
，且各次射击互不影响，这名射手射再改为“某人每次射击击中目标的概率为23击5次，记击中目标的次数的X，求X的数学期望〞．X～B5，23设计意图：再次进行数据上的变化，一方面可以进一步强化计算的过程以及公式的运用，同时另一方面也让学生看到数据变化后结果有对应的变化，再次引发思考和猜测。
数学苏教版选修2-3 随机变量的均值和方差--离散型随机变量的均值
随机变量的均值和方差--离散型随机变量的均值教学目的：知识与技能：了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的期望的概念。
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望。
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望教学过程： 学生探究过程：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1．7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1 …k … nPnn q p C 00 111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123 … k … P ppq2q p …1k q p -…称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望 解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下： ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例5．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 5 6P 61 61 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值． 巩固练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4； B ．5； C ．4.5； D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望． 解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η12P 23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0 所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶ξ所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ.解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1．∴ P (ξ=k )=P n (k )=C k nm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=mn课后作业：1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答） 解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×10+1×5+2×10=0.8 故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3p(ξ=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3∴ξE=1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p1+p2+p3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3课前导引 随机变量的均值和方差
高中数学-打印版精心校对 2.5 随机变量的均值和方差课前导引 情景导入甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲：所得环数X 110 9 8 概率P0.2 0.6 0.2射手乙：所得环数X 210 9 8 概率P 0.4 0.2 0.4 谁的射击水平比较稳定？解析：E （X 1）=10×0.2+9×0.6+8×0.2=9,D (X 1)=(10-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(8-9)2×0.2=0.2+0.2=0.4,E (X 2)=10×0.4+9×0.2+8×0.4=9,D (X 2)=(10-9）2×0.4+(9-9)2×0.2+(8-9)2×0.4=0.4+0.4=0.8.由D （X 1）<D (X 2)，可知甲的射击水平比乙稳定.这即是我们本节所要讨论的方差问题.知识预览把（X 1-E ξ）2·P 1+(X 2-Eξ)2·P 2+…+(X n -E ξ)2·P n +…叫做随机变量ξ的_________，简称为_____________；标准差是σξ=_______-,D (a ξ+b )=__________;若ξ～B (n ,P ),那么D ξ=_______(P =1-q ).第一，D ξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度，D ξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.反之,D ξ越小，ξ的取值越集中，在E ξ附近.统计中常用ξD 来描述ξ的分散程度.第二，D ξ与E ξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.求离散型随机变量的期望与方差是本章的重点内容，求它们的一般步骤为：（1）先求出随机变量ξ的分布列；（2）利用公式先求E ξ，再求D ξ，E ξ=∑∞[]n =1X n P n =X 1P 1+X 2P 2+…+X n P n +…. 均方差 方差ξD a 2Dξ np q。
2020版高中数学 第二章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差学案 苏教版选修2-3
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：思考1 试求E(X)，E(Y)．思考2 能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差和标准差设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下：i 12＋…＋p n ＝1.变形公式：V (X )＝∑i ＝1nx 2i p i －μ2.②标准差：σ＝________.③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的________程度． (2)方差的性质：V (aX ＋b )＝________.知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差 1．两点分布：若X ～0－1分布，则V (X )＝________________________________________________________________________. 2．超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).3．二项分布：若X ～B (n ，p )，则V (X )＝__________.类型一 求随机变量的方差例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的概率分布．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求V(X)．跟踪训练1 甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．类型二两点分布与二项分布的方差例2 某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率)． 跟踪训练2 (1)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，V (X )＝20，则p ＝________.(2)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则V (3ξ)＝________.1．已知随机变量X 的概率分布为则下列式子：①E (X )＝－13；②V (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确式子的序号为________．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V (ξ)＝________. 3．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，若E (X )＝0，V (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.4.已知随机变量X ～B (100,0.2)，那么V (4X ＋3)的值为________．5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和V (ξ)．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X)或标准差V(X)越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差V(X)越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的概率分布；(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)．答案精析问题导学 知识点一思考1 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710， E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 不能，因为E (X )＝E (Y )． 思考3 方差．梳理 (1)①(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ②V (X ) ③平均偏离 (2)a 2V (X ) 知识点二1．p (1－p ) 3.np (1－p ) 题型探究例1 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的概率分布为由定义知，E (X )＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，V (X )＝15×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.跟踪训练1 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2， 则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，∴P (A ＋B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2) ＝P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92， ∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92， 则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8. (2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B ) ＝0.4×0.2＝0.08，P (X ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44. ∴X 的概率分布为E (X )＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝0.44＋0.96＝1.4，V (X )＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4. 例2 解 (1)用ξ表示抽得的正品数， 则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98，所以V (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X 表示抽得的正品数， 则X ～B (10,0.98)，所以V (X )＝10×0.98×0.02＝0.196， 标准差为V (X )≈0.44. 跟踪训练2 (1)13(2)10解析 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.(2)由题意知，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， 则V (ξ)＝5×13×23＝109，所以V (3ξ)＝9V (ξ)＝9×109＝10.当堂训练1．①③ 2.158 3.512 144.2565．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.V (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。
高中数学苏教版选修2-3 精品导学案：2.5 离散型随机变量的均值与方差1
§2.5.2离散型随机变量的均值和方差（二）学习目标1．进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；2．会求均值与方差，并能解决有关应用题．学习过程一、自学导航复习回顾：1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．2．设随机变量~(,)X B n p ，且() 1.6,() 1.28E X V X ==，则n = ，p = .二、例题精讲例1 有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ．（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差．例2 有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为,X Y （单位：），其分布如下： X 1- P 0.1 0.8 0.1比较两种品牌手表的质量．例3 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． Y 2- 1-P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1⑴求的分布列及数学期望；⑵记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.例4 有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．三、课堂精练 71P 5，6，7 80P 10四、回顾小结五、课后作业 《创新活页》对应练习教学反思在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
数学选修2-3课前导引：2.5 随机变量的均值和方差 含解
随机变量的均值和方差
课前导引
情景导入
甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：
射手乙：
谁的射击水平比较稳定？
解析：E（X1）
D(X1)=(10-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(8-9)2
E(X2
D(X2)=(10-9）2×0.4+(9-9)2×0.2+(8-9)2
由D（X1）<D(X2)，可知甲的射击水平比乙稳定
这即是我们本节所要讨论的方差问题.
知识预览
把（X1-Eξ）2·P1+(X2-Eξ)2·P2+…+(X n-Eξ)2·P n+…叫做随机变量ξ的_________，简称为_____________；
标准差是σξ=_______-,D(aξ+b)=__________;若ξ～B(n,P),那么Dξ=_______(P=1-q).
第一，Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ
D来描述ξ的分的取值越分散.反之,Dξ越小，ξ的取值越集中，在Eξ附近.统计中常用ξ
散程度
第二，Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定
求离散型随机变量的期望与方差是本章的重点内容，求它们的一般步骤为：（1）先求出随机变量ξ的分布列；（2）利用公式先求Eξ，再求Dξ，Eξ=∑∞[]n=1X n P n=X1P1+X2P2+…+X n P n+….
D a2Dξnp q
均方差方差ξ。
高中数学第二章概率2.5.2离散型随机变量的方差与标准差课件苏教版选修2-3
阶
段
段
一
三
2.5 随机变量的均值和方差
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解并掌握随机变量的方差和标准差的概念，了解方差、标准差 的意义．(重点)
2．掌握服从两点分布和二项分布的方差公式，会运用方差的概念及 相关公式求随机变量的方差和标准差．(难点)
[基础·初探]
教材整理 离散型随机变量的方差与标准差
阅读教材 P71～P72“例 2”以上部分，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差和标准差
若离散型随机变量 X 的概率分布如下表所示，
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 μ 的偏离程度，故 __(_x1_－__μ_)_2p_1_＋__(_x_2－__μ_)_2_p_2＋__…__＋__(_x_n－__μ_)_2_p_n_ (其中 pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
求离散型随机变量的方差的类型及方法： 1已知分布列型非两点分布或二项分布：直接利用定义求 解，具体如下： ①求均值；②求方差. 2已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解， 具体如下： ①若 X 服从两点分布，则 VX＝p1－p； ②若 X～Bn，p，则 VX＝np1－p. 3未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求 得分布列，然后转化成1中的情况. 4对于已知 VX求 VaX＋b型，利用方差的性质求解，即利 用 VaX＋b＝a2VX求解.
数学知识点苏教版高中数学(选修2-3)2.5.1《离散型随机变量的均值》word学案2篇-总结
2.5.1离散型随机变量的均值 教学案班级 学号 姓名学习目标1. 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2. 能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．重点难点重点：能计算简单离散型随机变量均值难点：离散型随机变量均值（数学期望）的概念课堂学习问题情境（一）：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X 表示，的概率分布如下．学生活动（一）：问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？意义建构（一）：我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．数学理论（一）：若离散型随机的分布列或其中，12i n ，则称1122n n 为随机变量的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学运用（一）：例1.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．例2. 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．例3.某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为1X ． （1）求该运动员两次都命中7环的概率； （2）求1X 的分布列； （3）求1X 的数学期望()1E X ．随堂反馈1. 设随机变量X 的概率分布如下表，试求()EX ．2. 假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，其中不合格品件数为X ，求X 的数学期望．3. 某商家有一台电话交换机，其中有5个分机专供与顾客通话．设每个分机在1h 内平均占线20min ，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目X 的数学期望．课后复习1. 若随机变量X 的分布列为则X 的期望值为 ．2. 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8．则他独立射击8次中靶次数X 的期望值为 ．3. 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个．则其中所含白球个数的期望是 。
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2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一) 课时目标1.理解随机变量的方差和标准差的概念.2.会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．
1．离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，„，n)，则________________________(其中pi≥0，i＝1,2，„，n，p1＋p2＋„＋pn＝1)称为离散型随机变量X的方差，记为____________． 2．标准差 随机变量X的方差V(X)的____________称为X的标准差，即σ＝V(X). 3．随机变量的方差和标准差都反映了________________________________________．
一、填空题 1．若抛掷一枚受损硬币，正面向上的概率为23，反面向上的概率为13，随机变量X＝0，X＝1分别表示反面向上，正面向上，则V(X)＝________.
2．若随机变量X的概率分布如下表所示，则X的标准差为________．
X 1 2 3
P 13 13 13
3.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，概率分布如下表，则________(填“甲”或“乙”)的射击水平比较稳定．
环数 10 9 8 甲的概率 0.2 0.6 0.2 乙的概率 0.4 0.2 0.4 4.某运动员投篮命中率p＝0.6，则投篮一次命中次数X的均值为________，方差为________． 5．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回．若以ξ表示取出次品的个数，ξ的期望值E(ξ)和方差V(ξ)分别为______， ________. 6．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A机床
次品数ξ 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04
B机床
次品数ξ 0 1 2 3 概率P 0.8 0.06 0.04 0.1 质量好的机床为________机床． 7．假设100个产品中有10个次品，设任取5个产品中次品的个数为X，则X的方差为________． 8．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取．设停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤6)＝________，E(X)＝________，V(X)＝________. 二、解答题 9．有甲、乙两名学生，经统计，他们解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示，试分析两名学生的答题成绩水平．
甲 分数X甲 80 90 100 概率 0.2 0.6 0.2
乙 分数X乙 80 90 100 概率 0.4 0.2 0.4
10．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，求其中含红球个数的标准差． 能力提升 个小球中的最小编号，则V(X)＝________. 12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92， (1)求该题被乙独立解出的概率； (2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．
1．求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用V(aX＋b)＝a2V(X)求解． 2．利用方差和标准差可以判断一些数据的稳定性． 2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一) 答案 知识梳理 1．(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋„＋(xn－μ)2pn V(X)或σ2 2．算术平方根 3．随机变量的取值偏离于均值的平均程度 作业设计
1.29
解析 E(X)＝1×23＋0×13＝23， ∴V(X)＝(0－23)2×13＋(1－23)2×23＝427＋227＝627＝29. 2.63 3．甲 解析 E(X甲)＝10×0.2＋9×0.6＋8×0.2＝9， ∴V(X甲)＝(10－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(8－9)2×0.2＝0.4. 又E(X乙)＝10×0.4＋9×0.2＋8×0.4＝9， ∴V(X乙)＝(10－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(8－9)2×0.4＝0.8. 故甲的射击水平比较稳定． 4．0.6 0.24 解析 投篮一次时命中次数X服从两点分布： X 0 1
P 0.4 0.6 则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， ∴V(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
5.25 52175
解 P(ξ＝0)＝C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135， 故ξ的概率分布是 ξ 0 1 2
P 2235 1235 135
所以E(ξ)＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25， V(ξ)＝0－252×2235＋1－252×1235＋2－252×135＝52175.
6．A 解析 E(ξA)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44， E(ξB)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1
＝0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差． V(ξA)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04
＝0.6064， V(ξB)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1
＝0.9264. 因为V(ξA)
7.1944
8.2328 3528 1 323784 解析 X＝k表示前k个为白球，第k＋1个恰为红球，所以P(X＝0)＝A13A18＝38， P(X＝k)＝Ak5·A13Ak＋18(k＝1,2，„，5)，所以X的概率分布表为
X 0 1 2 3 4 5
P 38 1556 1056 656 356 156
所以P(X≤6)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝4656＝2328， E(X)＝54，E(X2)＝134，
V(X)＝E(X2)－(E(X))2＝189112.
9．解 根据题设所给的概率分布表数据，可得两人的均值为 E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90；E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝
90； 方差为 V(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40；
V(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.
由上面数据可知E(X甲)＝E(X乙)，V(X甲)分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大． 10．解 设其中含红球个数为X，则X的可能取值为0,1，2，则
P(X＝0)＝C22C25＝110；
P(X＝1)＝C13·C12C25＝35；
P(X＝2)＝C23C25＝310.
故X的数学期望为E(X)＝0×110＋1×35＋2×310＝65， X的方差为V(X)＝(0－65)2×110＋(1－65)2×35＋(2－65)2×310＝925，
标准差为σ＝V(X)＝925＝35. 11.920 解析 X的可能取值是1,2,3，则X的分布列为 P(X＝1)＝C24C35＝35，P(X＝2)＝C23C35＝310，P(X＝3)＝C22C35＝110，
所以E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32，从而V(X)＝1×35＋4×310＋9×110－94＝920. 12．解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B. 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2， 则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2， P(A∪B)＝1－P(AB)＝1－(1－P1)·(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92.
∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92， 则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8. (2)P(ξ＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08， P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
P(ξ＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48.
ξ的概率分布为： ξ 0 1 2 P 0.08 0.44 0.48
E(ξ)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48
＝0.44＋0.96＝1.4， V(ξ)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48＝0.1568＋0.0704＋
0.1728＝0.4.