广西来宾市2020届高三5月教学质量诊断性联合考试数学(文)试题 PDF版含答案
2020年5月广西自治区普通高中2020届高三毕业班教学质量诊断性联考数学(文)试题及答案解析
绝密★启用前广西自治区普通高中2020届高三毕业班下学期教学质量诊断性联合考试数学(文)试题2020年5月考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M＝{x∈N|－3<x<6},N＝{－2,0,2,4,6},则M∩N＝A. {0,2,4}B. {－2,0,2,4}C. {0,2,4,6}D. {2,4}2.已知复数z＝1032ii+-(i是虛数单位),则z的共轭复数是A.－3－3iB.3＋3iC.151344i-- D.151344i+3.若sinα＝35,且a∈(2π,π),则tan(a＋4π)＝A.－34B.34C.7D.174.若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示,则这组数据的中位数是A.82.5B.83C.93D.725.已知命题p：若a>1,则log a0.2<1<a0.2；命题q：若函数f(x)＝mx2－m2x＋1在(1,＋∞)上单调递增,则实数m的取值范围为(－∞,0)∪(0,2]。
下列说法正确的是A.p∧q为真命题B.q为真命题C.p为假命题D.(⌝p)∧q为假命题6.设实数x,y满足不等式组123x yy xx⎧+≥+≥≥⎪⎨⎪⎩,则z＝2x－y的最小值为A.－2B.2C.1D.77.曲线y＝x3－sinx在点(0,0)处的切线方程为A.x＋y－1＝0B.x－y＝0C.x－y＋1＝0D.x＋y＝08.若双曲线C：22221(0,0) xya ba b-=>>的右焦点(c,0)到渐近线的距离为238ac,则双曲线C的离心率为A.3B.103C.324D.4239.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A.22π＋12B.24π＋12C.26π＋12D.20π＋1210.在△ABC中,∠ACB＝4π,点D在线段BC上,AB＝2BD＝12,AD＝10,则AC＝1022028716711.已知函数f(x)＝msinωx＋2cosωx(ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π,且f(0)＋f(9π)＝6,则函数f(x)在下列区间单调递减的是。
广西省2021届高三数学5月教学质量诊断性联合考试试题 文
广西来宾市2020届高三数学5月教学质量诊断性联合考试试题文考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M＝{x∈N|－3<x<6}，N＝{－2，0，2，4，6}，则M∩N＝A. {0，2，4}B. {－2，0，2，4}C. {0，2，4，6}D. {2，4}2.已知复数z＝1032ii+-(i是虛数单位)，则z的共轭复数是A.－3－3iB.3＋3iC.151344i-- D.151344i+3.若sinα＝35，且a∈(2π，π)，则tan(a＋4π)＝A.－34B.34C.7D.174.若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是A.82.5B.83C.93D.725.已知命题p：若a>1，则log a0.2<1<a0.2；命题q：若函数f(x)＝mx2－m2x＋1在(1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为(－∞，0)∪(0，2]。
下列说法正确的是A.p∧q为真命题B.q为真命题C.p为假命题D.(⌝p)∧q为假命题6.设实数x，y满足不等式组123x yy xx⎧+≥+≥≥⎪⎨⎪⎩，则z＝2x－y的最小值为A.－2B.2C.1D.77.曲线y＝x3－sinx在点(0，0)处的切线方程为A.x＋y－1＝0B.x－y＝0C.x－y＋1＝0D.x＋y＝08.若双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(c，0)到渐近线的距离为238ac，则双曲线C 的离心率为A.3B.10C.324D.4239.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.22π＋12B.24π＋12C.26π＋12D.20π＋1210.在△ABC中，∠ACB＝4π，点D在线段BC上，AB＝2BD＝12，AD＝10，则AC＝A.23B.23C.879D.167311.已知函数f(x)＝msinωx＋2cosωx(ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π，且f(0)＋f(9π)＝6，则函数f(x)在下列区间单调递减的是A.(0，4π) B.(－2π，－4π) C.(3π，2π) D.(－56π，－23π)12.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过y轴上的一点E作直线EF与抛物线C交于A，B两点。
广西来宾市2020届高三5月教学质量诊断性联合考试数学试卷(文)(解析版)
广西来宾市2020届高三5月教学质量诊断性联合考试数学试卷（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M＝{x∈N|－3<x<6}，N＝{－2，0，2，4，6}，则M∩N＝（）A. {0，2，4}B. {－2，0，2，4}C. {0，2，4，6}D. {2，4}2.已知复数z＝1032ii+-(i是虛数单位)，则z的共轭复数是（）A.－3－3iB.3＋3iC.151344i-- D.151344i+3.若sinα＝35，且a∈(2π，π)，则tan(a＋4π)＝（）A.－34B.34C.7D.174.若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A.82.5B.83C.93D.725.已知命题p：若a>1，则log a0.2<1<a0.2；命题q：若函数f(x)＝mx2－m2x＋1在(1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为(－∞，0)∪(0，2』。
下列说法正确的是（）A.p∧q为真命题B.q为真命题C.p为假命题D.(⌝p)∧q为假命题6.设实数x，y满足不等式组123x yy xx⎧+≥+≥≥⎪⎨⎪⎩，则z＝2x－y的最小值为（）A.－2B.2C.1D.77.曲线y＝x3－sinx在点(0，0)处的切线方程为（）A.x＋y－1＝0B.x－y＝0C.x－y＋1＝0D.x＋y＝08.若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c ，0)到渐近线的距离为238a c，则双曲线C 的离心率为（ ）A.3B.3C.4D.39.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.22π＋12B.24π＋12C.26π＋12D.20π＋1210.在△ABC 中，∠ACB ＝4π，点D 在线段BC 上，AB ＝2BD ＝12，AD ＝10，则AC ＝（ ）A.11.已知函数f (x )＝msinωx ＋2cosωx (ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π，且f (0)＋f (9π)＝6，则函数f (x )在下列区间单调递减的是（ ） A.(0，4π) B.(－2π，－4π) C.(3π，2π) D.(－56π，－23π)12.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过y 轴上的一点E 作直线EF 与抛物线C 交于A ，B 两点。
2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合数学(文)试题(解析版)
2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合数学（文）试题一、单选题1．已知全集{1,0,1,2,3}U =-，{0,2}A =，则UA（ ）A ．{}113-,, B ．{1,1,2}- C ．{1,2,3}-D ．{1,0,1}-【答案】A【解析】根据补集的概念，可得结果. 【详解】{1,1,3}UA =-.故选A. 【点睛】本题考查补集的概念，属基础题.2．已知复数z 满足(2)|34|z i i -=+（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--【答案】B【解析】根据复数的乘法、除法运算法则以及复数的模的概念，结合复数与对应点的关系，可得结果. 【详解】由题意，(2)5z i -=，故55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+， 其在复数平面内对应的点的坐标为(2,1). 故选B. 【点睛】本题考查复数的运算以及所对应的点，属基础题. 3．已知命题4:,0p x x x ∀∈+<R ，则p ⌝是（ ）A ．4,0x x x ∀∈+≥RB ．4R,0x x x ∀∈+>C ．4000,0x x x ∃∈+≥R D ．4000R,0x x x ∃∈+>【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可得结果 【详解】特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论， 即4000:,0p x x x ⌝∃∈+≥R . 故选C. 【点睛】本题考查全称命题的否定，掌握一个命题的否定与一个命题的否命题的区别，属基础题.4．已知直线l 在y 轴上的截距为2，且与双曲线2213yx -=的渐近线平行，则直线l 的方程是（ ）A ．2y =+ B ．2y =+或2y =+C ．2y x =+或2y x =+ D ．2y x =+ 【答案】B【解析】根据直线与直线平行关系，并结合直线的截距式，可得结果. 【详解】双曲线2213y x -=的渐近线的斜率为因为所求直线与双曲线的渐近线平行故直线l 的方程是2y =+. 故选B. 【点睛】本题考查直线方程的求法，以及直线与直线的位置关系，属基础题.5．在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为（ ） A ．14B ．23C ．13D ．12【答案】D【解析】根据∆求出a 的取值范围，结合几何概型的概念，可得结果. 【详解】因为方程2280x ax -+=有实数根， 所以2()4280a ∆=--⨯⨯≥， 解得8a ≥或8a ≤-，故方程2280x ax -+=有实数根的概率12811242p -==-.故选D. 【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题 6．已知0.1cos143,3,log 0.99a b c -===，则（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【解析】根据指数函数，对数函数的单调性，借用0，1比较大小，可得结果. 【详解】因为0.100331a -<=<=，cos10331b =>=，44log 0.99log 10c =<=，所以b a c >>.故选A. 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小，学会借用特殊值，属基础题.7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+D ．3122π+ 【答案】B【解析】根据三视图还原该几何体，可知为18个圆柱，结合长对正，高平齐，宽相等，可得长度，以及表面积概念，可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是18个圆柱， 其上下底面均为18圆面， 侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成.故其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故选B. 【点睛】本题考查三视图的还原，以及还原之后几何体的表面积，考验空间想象能力，对常见的几何体要熟悉，属基础题.8．已知直线l 过点(3,0)-且倾斜角为α，若l 与圆22(2)4x y +-=相切，则cos2=α（ ） A ．1 B ．119169-C ．1或119169-D ．1-或119169-【答案】C【解析】利用点斜式可得直线方程，结合直线与圆的相切关系，可得tan α，根据三角恒等变形弦化切的知识，可得结果. 【详解】设直线(3)tan y x α=+ 即tan 3tan 0x y αα-+= 由l 与圆22(2)4x y +-=相切，2=，得tan 0α=或12tan 5α=，又222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++当tan0α=时，10cos2110α-==+； 当12tan 5α=时，221211195cos21691215α⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.综上，cos21α=或119169-. 故选C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，还考查了三角恒等变形，熟练掌握“弦切互换”，属基础题.9．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)+++++的值C ．输出3(12342019)+++++的值D ．输出12342018+++++的值【答案】A【解析】根据逐步计算的方法，结合判断框中的条件，可得结果. 【详解】第一次运行时，2,332k S ==+⨯； 第二次运行时，3,33233k S ==+⨯+⨯；第三次运行时，4,3323334,k S ==+⨯+⨯+⨯…， 以此类推，第2017次运行时，2018,3323332018k S ==+⨯+⨯+⋯+⨯，此时刚好不满足2018k <， 故输出3(12342018)S =+++++，则该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值”. 故选A. 【点睛】本题考查算法应用，对这种题型，可使用逐步计算，理清思路，细心计算，属基础题. 10．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长 速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量 的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 故函数的图象应一直下凹的. 故选B. 【点睛】本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题. 11．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴 【答案】C【解析】根据图像，可得()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果. 【详解】由图可知，2A =， 该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=， 故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，所以该函数的 一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+， 则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ， 解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ， 令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，对这种问题要参照正弦函数的性质，并结合整体法解决问题，属中档题.12．已知函数2e (),()212xf xg x x x a x==-++-，若12,(0,)x x ∀∈+∞，都有()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,)e -∞B ．(,e]-∞C ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据导数，判断函数的单调性，求出最值，采用等价转换min max ()()f x g x ≥，可得结果. 【详解】2(),()(1)2xe f x g x x a x==--+，若12,(0,)x x ∀∈+∞，都有()()12f x g x ≥恒成立， 则minmax ()()((0,))f x g x x ∈+∞≥.2(1)()2x e x f x x-'=， 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 故()f x 的最小值为(1)2ef =.又max ()g x a =， 所以2e a ≤.故实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选C 【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，同时考查恒成立求参数的问题，熟悉等价转换思想，化繁为简，属基础题.二、填空题13．已知向量(,2),(1,3)a k b =-=，若(2)a a b ⊥-，则实数k =__________. 【答案】4-或2【解析】根据向量数量积运算法则，可得结果. 【详解】由题意，2(,2)2(1,3)(2,4)a b k k -=--=---， 因为(2)a a b ⊥-，所以(2)0a a b ⋅-=， 又(2)(,2)(2,4)a a b k k ⋅-=-⋅---即2(2)()(2)2(4)28a a b k k k k ⋅-=---+⨯-=+-， 则2280k k +-= 解得4k =-或2k =. 故答案为：4-或2 【点睛】本题考查向量的数量积用坐标进行运算，重在计算，属基础题.14．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C的方程是_________.【答案】28x y=【解析】根据抛物线的定义，可得结果.【详解】根据抛物线定义，8622p=-=，解得4p=，故抛物线C的方程是28x y=.故答案为：28x y=【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.15．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥底面ABC，1CA CB CC==，AC BC⊥，13CE CB=，113CD CC=，则直线1AC与DE所成角的大小为_____________.【答案】60°【解析】连接1BC，根据平移找到直线1AC与DE所成角，假设CA长度，计算11,,AB BC AC长度，可得结果.【详解】连接1BC.因为113CD CC=，13CE CB=，所以1CD CECC CB=.易知DE //1BC ，所以1AC B ∠就是直线1AC 与DE 所成角.设1CA CB CC a ===，则11AC BC AB ===，则1ABC ∆是正三角形，则160AC B ︒∠=.故直线1AC 与DE 所成角的大小为60°.故答案为：60°【点睛】本题考查异面直线所成的角，这种题型，有以下做法：① 向量法②平移或者作辅助线，找到这个角，根据特点或结合三角函数以及余弦定理求值，属基础题.16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为218c ，则22a b ab+的最大值为________.【答案】【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理，采用整体代换，结合辅助角公式，可得结果.【详解】 由面积公式得，211sin 28ab C c =， 即24sin c ab C =,由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 4sin 2cos a b c ab C ab C ab C ab ab ab+++== 则224sin 2cos )a b C C C abϕ+=+=+ 其中，1tan 2ϕ=，故当2C πϕ+=时，22a b ab+取得最大值故答案为：【点睛】本题考查解三角形中面积公式，余弦定理的应用，以及对辅助角公式的考查，熟练掌握公式，细心计算，属中档题.三、解答题17．已知在等差数列{}n a 中，1344,3a a a +==；{}n b 是各项都为正数的等比数列，1113b a =，3141b a =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.【答案】（1）112n a n =+；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）数列{}n a 的前n 项和为21544n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和为112n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】（1）计算公差和公比，根据公式法，可得结果.（2）利用等差数列，等比数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】解：（1）由134a a +=，得224a =，即22a =，所以等差数列{}n a 的公差42122a a d -==， 则数列{}n a 的通项公式为 211(2)2(2)122n a a n d n n =+-=+-=+. 1111313322b a ==⨯=，由3141b a =， 得381b ⨯=，即318b =， 由0q >所以等比数列{}n b的公比12q ==， 所以数列{}n b 的通项公式为1112n n n b b q -⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）数列{}n a的前n 项和为23111522244n n n S n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==+ 数列{}n b 的前n 项和为11122111212n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭- 【点睛】 本题考查等差数列，等比数列的通项公式与前n 项和公式，记住公式，仔细计算，属基础题.18．如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，,O H 分别为,DE AB 的中点，AO CE ⊥.（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求四棱锥A DBCE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】（1）取线段AC 的中点F ，根据中位线定理，可得,HF DE 位置关系，以及,HF DE 长度，可得四边形DEFH 为平行四边形，利用线线平行，可得结果.（2）根据,AO DE AO CE ⊥⊥，可得线面垂直，并求出垂线段长度，计算底面梯形面积，结合棱锥的体积公式，可得结果.【详解】证明：（1）取线段AC 的中点F ，连接,EF HF .则HF 是ABC ∆的中位线，所以12,2HF BC HF ==//BC又因为2,DE DE =//BC ，所以,HF DE HF =//DE .所以四边形DEFH 为平行四边形.所以EF //HD .又EF ⊂平面ACE ，DH ⊄平面ACE ，所以DH //平面ACE .17解：（2）易求等腰梯形DBCE 的高为222242(5)222BC DE CE --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以等腰梯形DBCE 的面积24262S +=⨯=. 因为AD AE =，O 为DE 中点，所以AO DE ⊥.又AO CE ⊥，DE CE E ⋂=，,DE CE ⊂平面DBCE ，所以AO ⊥平面DBCE ，AO 即为四棱锥A DBCE -的高.在Rt AOD ∆中，11,52OD DE AD === 则2222(5)12AO AD OD =-=-=，故四棱锥A DBCE -的体积1162433V S AO =⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的判定，以及考查锥体的体积，要找准辅助线，可以化繁为简，细心计算，属中档题.19．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象.光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X （小时）的频率分布直方图如下图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）.（1）求月光照量X （小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量[160,240)X ∈，[240,320)X ∈，[320,400]X ∈的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X 是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X 是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320的概率.【答案】（1）平均数为260（小时）；中位数为240（小时）（2）2,1,1（3）15【解析】（1）利用各频率之和为1，计算出a ，然后根据频率分布直方图以及平均数，中位数的求法，可得结果.（2）根据月光照量[160,240)X ∈、[240,320)X ∈、[320,400]X ∈的频率之比为111::244，结合分层抽样的方法，可得结果. （3）采用列举法，将“6个月份之中随机抽取2个月份”所有情况列举出来，并计算“抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320”的个数，结合古典概型可得结果.【详解】（1）根据各频率之和为1，则0.062580()801a a ⨯++⨯=，解得0.003125a =.月光照量X （小时）的平均数为()802000.00625+2800.0031253600.003125X =⨯⨯+⨯所以260X =（小时）设月光照量X （小时）的中位数为0X ，则0[240,320]X ∈.根据中位数的定义，其左右两边的频率相等，都为0.5，可得()00.00625802400.0031250.5X ⨯+-⨯=，解得0240X =.所以月光照量X （小时）的中位数为240（小时）.（2）因为月光照量[160,240)X ∈、[240,320)X ∈、[320,400]X ∈的频率之比为111::244， 所以若准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，那么，抽取的月光照量[160,240)X ∈，[240,320)X ∈，[320,400]X ∈的月份数分别为11142,41,41244⨯=⨯=⨯=. （3）由题意，月光照量[240,320)X ∈的有5，9，10月，月光照量[320,400]X ∈的有6，7，8月，故从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10月份之中随机抽取2个月份的月光照量X （小时）进行调查，所有的情况有：(5,9),(5,10),(5,6),(5,7),(5,8)；(9,10),(9,6),(9,7),(9,8)；(10,6),(10,7),(10,8)；(6,7),(6,8)；(7,8)共15种；其中，抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320的情况有：(6,7),(6,8),(7,8)共3种；故所抽取到的2个月份的月光照量X （小时）都不低于320的概率31155P ==. 【点睛】 本题考查频率分布直方图中平均数，中位数的计算，以及古典概型的应用，分清题意，熟悉公式，耐心计算，属中档题.20．已知函数()e (0)x x f x a a=->. （1）求函数()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，证明：12x ae x <. 【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）利用导数判断函数单调性，结合分类讨论的方法，可得结果.（2）根据（1）的条件，可得1ln 1a >，然后判断12,x x 的范围，可得1211ln x x a -<-，结合()()120,0f x f x ==，可得结果.【详解】解：（1）因为()(0)x x f x e a a =->， 则1()x f x e a'=-. 令1()0x f x e a'=-=，解得1ln x a =. 当1ln x a<时，()0f x '>； 当1ln x a>时，()0f x '<， 故函数()f x 的增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 减区间为1ln,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 当1ln 2a≥，即210a e <≤时，()f x 在区间[1,2]上 单调连增，则2max 2()(2)f x f e a==-； 当11ln 2a <<，即211a e e<<时， ()f x 在区间11,ln a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递墙，在区间1ln ,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则max 1111()ln ln f x f a a a a⎛⎫==- ⎪⎝⎭； 当1ln 1a ≤，即1a e≥时，()f x 在区间[1,2]上 单调递减，则max 1()(1)f x f e a==-. （2）证明：若函数()f x 有两个零点， 则1111lnln 0f a a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，可得1ln 1a >. 则1e a >，此时1(1)0f e a=->， 由此可得1211ln x x a<<<， 故211ln 1x x a ->-，即1211ln x x a-<-. 又因为()()1212120,0x x x x f x e f x e a a=-==-=， 所以112211ln ln(e)12e e e x x x a a x x e e a x e--==<==. 则12x ae x < 【点睛】本题考查用导数求解含参数的函数在区间的最大值，还考查函数零点位置以及比值.掌握分类讨论的方法，属难题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若经过点(1,0)-的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,,M N O 是坐标原点，求OM ON ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据离心率以及弦长，结合222a b c =+，可知,,a b c ，可得结果.（2）假设点,M N 坐标，根据斜率存在与否假设直线方程，并与椭圆方程联立，使用韦达定理，表示出OM ON ⋅，结合不等式，可得结果.【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .因为过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C，所以22b a=得2b a =C的离心率为2，所以c a =② 又222a b c =+③由①②③，解得1,1a b c ===.故椭圆C 的标准方程是2212x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，联立221,1,2x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或1,2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩则点,M N 的坐标分别为1,2⎛-- ⎝⎭，1,2⎛- ⎝⎭或1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2⎛-- ⎝⎭.所以1(1)(1)222OM ON ⎛⎛⋅=-⨯-+-⨯= ⎝⎭⎝⎭；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为()()1122(1),,,,y k x M x y N x y =+. 联立22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222124220k x k x k +++-=，因为点(1,0)-在椭圆22:12x C y +=的内部， 所以直线l 与椭圆C 一定有两个不同的交点,M N . 则22121222422,1212k k x x x x k k-+=-=++. 所以()()1212121211OM ON x x y y x x k x k x ⋅=+=+++化简可得()()22212121OM ON kx x k x x k ⋅=++++ 则OM ON ⋅()222222222411212k k k k k k k ⎛⎫-=++-+ ⎪++⎝⎭化简可得215224OM ON k⋅=-+. 因为2242k +≥，所以2110242k <≤+， 所以2550242k <≤+，所以2550242k >-≥-+. 所以211522224k >-≥-+， 即215122242k -≤-<+，所以12,2OM ON ⎡⎫⋅∈-⎪⎢⎣⎭. 综上，OM ON ⋅的取值范围是12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程，以及直线与椭圆的几何关系，一般联立方程，使用韦达定理，重在于计算，考验计算能力，属中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为,M N ，求22||||AM AN +最大值.【答案】（1）直线l 的普通方程为390x y -+=；曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=（2）128【解析】（1）利用加减消元可得l 的普通方程，结合222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得C 的直角坐标方程.（2）根据（1）的条件，得到点M ，点N 坐标，以及使用曲线C 的参数方程，假设点A 坐标，结合辅助角公式，可得结果.【详解】解：（1）由3,3x t y t=-⎧⎨=⎩得3(3)y x =+， 即390x y -+=.故直线l 的普通方程为390x y -+=.由212cos 350ρρθ++=，代入222cos ,x y x ρρθ=+=得2212350x y x +++=，故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=.（2）直线:390l x y -+=与坐标轴的交点依次为(3,0),(0,9)-，不妨设(3,0),(0,9)M N -，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是22(6)1x y ++=，由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )(02)A αααπ-+<.于是 222||(3cos )sin AM αα=-++222||(6cos )(sin 9)AN αα=-++-所以22||||18(sin cos )128AM AN αα+=-++即22||||AM AN +1284πα⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.所以当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即54απ=时， 22||||AM AN +取得最大值128.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，以及考查两点之间的距离公式，理清思路，知晓公式，属中档题.23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设,(2,)a b ∈+∞，证明：()()22224488a b a b ++>+.【答案】（1）{|2}x x >（2）证明见解析【解析】（1）由式子特点，可得0x >，根据“大于取两边，小于取中间”，可得结果. （2）根据作差比较法，化简式子，可得结果.【详解】解：（1）由不等式|4|0x x --<，得|4|x x -<， 则0,4,x x x x >⎧⎨-<-<⎩解得2x >.故不等式|4|0x x --<的解集为{|2}x x >.（2）证明：()()()22224488a b a b++-+ 原式()22222()441688ab a b a b =+++-+原式222()4416ab a b =--+则 ()()()22224488a b a b ++-+()()2244a b =--因为2,2a b >>，所以224,4a b >>.所以()()22440a b -->.所以原不等式()()22224488a b a b ++>+成立.【点睛】本题考查绝对值不等式解法，还考查了利用作差比较法比较式子大小，属基础题.。
广西来宾高三数学5月模拟考试试题文(含解析)
的值为 __________ ． 【答案】
的前 项和
考点： 1、等差数列前前 项和公式； 2、裂项求和法的应用 . 15. 用一个半径为 的钢质球通过切削加工成一个正六棱柱，为了充分利用材料，要使加工 的正六棱柱体积最大，则最大体积为 _____________ ．
【答案】 【解析】 试题分析：由题知棱柱是球的内接六棱柱，设棱柱高为
方程组求出定点坐标 . ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关
.
21. （本小题满分 12 分）
已知函数
，直线
．
（ 1）若函数
在
处的切线与直线 平行，求实数 的值；
，然
- 14 - / 18
（ 2）设
，当
时
的图象恒在直线 的上方，求 的最大值．
【答案】（ 1）
；（ 2） .
考点： 1、导数的求切线斜率； 2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及不等式恒成 立问题 . 【方法点睛】本题主要考查导数的求切线斜率、利用导数研究函数的单调性以及求函数的最 值与不等式恒成立问题，属于难题 . 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在
方．当整数
满足
这个条件时，
叫做勾股数组．“勾三，股四，弦
五”是勾股定理的一个最著名的例子．现从
个数是勾股数的概率为（
）
【答案】 C
【解析】
3、 4、 5、12、 13 这五个数中任取 3 个数，这 3
- 1 - / 18
试题分析：因为总的基本事件为
事件有
，共 个，∴
考点：古典概型概率公式的应用 .
掘出它们之间的内在联系，本题首先根据双曲线的对称性，求出
，再由 的范围
2020届广西来宾市高三5月教学质量诊断性联合考试数学(文)试题(解析版)
2020届广西来宾市高三5月教学质量诊断性联合考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|36M x N x =∈-<<，{}2,0,2,4,6N =-，则M N =I （ ） A ．{}0,2,4 B ．{}2,0,2,4-C ．{}0,2,4,6D ．{}2,4【答案】A【解析】将集合M 化简可得{}0,1,2,3,4,5M =，再由交集的定义即可求出答案． 【详解】依题意，{}{}|360,1,2,3,4,5M x N x =∈-<<=，故{}0,2,4M N =I ． 故选：A. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题． 2．已知复数1023z i i=-+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．33i -- B ．33i +C ．151344i -- D ．151344i + 【答案】B【解析】由复数的除法运算整理已知复数，再由共轭复数定义表示即可. 【详解】1010(3)10(3)22232333(3)(3)10i i z i i i i i i i i i --=-=-=-=--=-++-Q ， 33z i ∴=+.故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题. 3．若3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．34C ．7D ．17【答案】D【解析】由同角三角函数关系，求得tanα，再由两角和的正切公式展开求解即可. 【详解】若3sin5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2234cos1sin155αα⎛⎫=--=--=-⎪⎝⎭，所以3sin35tan4cos45ααα===--，故3tan tan1144tan3471tan tan1144παπαπα+-+⎛⎫+===⎪⎛⎫⎝⎭---⨯⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查三角函数中给值求值问题，属于基础题.4．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．82.5 B．83 C．93 D．72【答案】A【解析】由茎叶图得出所有数据并从小到大排序，由于偶数个，则中位数为中间两个数之和再除以2.【详解】将这组数据从小到大排列为72，74，76，81，82，83，86，93，93，99，则这组数据的中位数是82832+，即82.5故选：A【点睛】本题考查读取茎叶图数据并求中位数，属于基础题.5．已知命题:p若1a>，则0.2log0.21aa<<；命题:q若函数22()1f x mx m x=-+在(1,)+∞上单调递增，则实数m的取值范围为(,0)(0,2]-∞⋃，下列说法正确的是（）A ．p q ∧为真命题B ．q 为真命题C ．p 为假命题D ．()p q ⌝∧为假命题【答案】D【解析】结合指数函数与对数函数的性质，得到命题p 是真命题，利用二次函数的性质，得到q 是假命题，再利用复合命题的真值表，即可求解． 【详解】由题意，若1a >，则函数log ay x =与函数x y a =在(0,)+∞上单调递增，所以log 0.2log 10a a <=，00.21a a >=，所以0.2log 0.21a a <<，即命题p 是真命题，则p ⌝为假命题；函数22()1f x mx m x =-+在(1,)+∞上单调递增，则满足2012m m m >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得02m <≤，所以命题q 是假命题．所以p q ∧为假命题，命题 ()p q ⌝∧为假命题． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，以及一元二次函数的性质，求得命题,p q 的真假是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．6．设实数,x y 满足不等式组123x yx y x +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．7【答案】B【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，作出不等式组123x y x y x +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =-，可化为直线2y x z =-，当直线2y x z =-过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大，目标函数取得最小值，又由13x yx +=⎧⎨=⎩，解得(3,4)A ，所以目标函数的最小值为2342z =⨯-=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7．曲线3sin y x x =-在点()0,0处的切线方程为（ ） A ．10x y +-= B ．0x y +=C ．10x y -+=D ．0x y -=【答案】B【解析】根据导数的几何意义求出在点()0,0处的切线的斜率，再由点斜式即可得到答案． 【详解】因为3sin y x x =-，所以23cos y x x '=-，则0x =时，1y '=-， 所以曲线3sin y x x =-在点()0,0处的切线的斜率1k =-， 所以切线方程为()00y x -=--，即0x y +=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程，同时考查直线的点斜式方程，属于基础题8．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点(,0)c 到渐近线的距离为238a c，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3 B ．103C ．324D ．423【答案】C【解析】由已知右焦点到渐近线的距离与双曲线中a ,b ,c 的关系构建方程组，进而表示22b a，再由双曲线的离心率计算公式求解即可. 【详解】由题意，得双曲线C 的右焦点(,0)c 到渐近线0bx ay -=的距离为22b a b=+，则238a b c=，即22833bc c b =-，所以223830c bc b --=，解得3c b =，故22228a c b b =-=，所以双曲线C 的离心率为22321b a +=.故选：C 【点睛】本题考查由双曲线的几何性质求离心率，属于简单题.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．2212π+B ．2412π+C ．2612π+D ．2012π+【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱进行切割了一个半圆柱所得的组合体，再分别计算各个表面的面积之后即可. 【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱进行切割了一个半圆柱所得的组合体，所以所求表面积为2223425222212ππππ⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+.故选：A 【点睛】本题考查由三视图还原立体图形并求表面积，属于基础题. 10．在ABC V 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，212AB BD ==，10AD =，则AC =（ ） A ．102B ．2023C 87D 167【答案】D【解析】在ABD ∆中，由余弦定理求得5cos 9B =，得到214sin 9B =，再在ABC ∆中，由正弦定理，即可求解． 【详解】如图所示，在ABD ∆中，由余弦定理得222144361005cos 221269AB BD AD B AB BD +-+-===⋅⨯⨯，所以2214sin 1cos B B =-=， 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB AC C B =，解得1673AC =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解．11．已知函数()sin 2cos (0)f x m x x ωωω=+>图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π，且(0)69f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 在下列区间单调递减的是（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．52,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据条件图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π可得周期T 即可求出ω的值，再由(0)69f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出m 的值，从而可得函数()f x 的解析式，【详解】依题意，图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为6π得46T π=， 则23T π=， 所以23Tπω==， 因为(0)69f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则32162m ++=，解得3m = 所以()332cos34sin 36f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，令3232262k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，解得：2429393k k x ππππ+<<+，k Z ∈，令1k =-，得5299x ππ-<<-， 因为,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭n 52,99ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的一个单调递减区间是,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题考查了利用函数图像性质求参数以及求三角函数的单调区间，考查了学生的计算能力，属于一般题.12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过y 轴上的一点E 作直线EF 与抛物线C 交于,A B 两点若EA AF =u u u r u u u r，且||12BF =，则点A 的横坐标为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．4【答案】C【解析】由题可设直线:2p EF y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，将其与抛物线方程联立，由韦达定理可知12x x ，再由已知和抛物线的性质可分别表示12,x x ，最后带入韦达定理的关系式中解得答案. 【详解】设直线:2p EF y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，交点()()1122,,,A x y B x y ， 将其与22y px =联立可得()22222204p k k x p k x -++=，则2124p x x =. 又焦点,0,2p F EA AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u uu r u u u r ，即点A 为EF 的中点，则14p x =.由|12|BF =，得2122px =-， 所以21212424p p p x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得8p =（0p =舍去），故12x =. 故选：C 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交关系，并由抛物线性质求交点横坐标，属于中档题.二、填空题13．已知向量()3,2m =-u r ，()1,n λ=r ，若m n ⊥u r r，则n =r ______.【解析】根据m n ⊥u r r得到320m n λ⋅=-=u r r ，得到31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，计算模长得到答案.【详解】根据题意，向量()3,2m =-u r ，()1,n λ=r ，m n ⊥u r r ，则320m n λ⋅=-=u r r ，解得32λ=，则31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r，则2n ==r故答案为：2. 【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.14．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________． 【答案】2【解析】在同一直角坐标系中分别画出()y f x =和2y =的图象，结合图象的交点的个数，即可求解． 【详解】由题意，在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =和函数2y =的图象， 如图所示，又由当3x ≥时，函数()22818(4)2f x x x x =-+=-+，当4x =时，函数取得最小值()min (4)2f x f ==所以由图象可得()y f x =与2y =的图象有2个交点， 即函数()()2g x f x =-恰有2个零点． 故答案为:2．【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数图象的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想．15．如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABC DEF -内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为_______.【答案】33【解析】由正六边形的面积公式求得总的面积，再由几何概型概率的计算公式构建方程，求得满足条件的部分的面积，即阴影的面积. 【详解】边长为2的正六边形的面积1362232S =⨯⨯⨯⨯=据题设分析即几何概型的概率可知阴影区域面积03136333626S ==故答案为：33【点睛】本题考查由几何概型的概率求图形的面积，属于基础题.16．在四棱锥S ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，P ，Q 分别是线段BS AD ，的中点，点R 在线段SD 上，若4AS =，2AD =，AR PQ ⊥，则AR =____________.【答案】45【解析】取SA 的中点E ，连接,PE QE ，则//PE AB ，可证AB ⊥平面SAD ，从而可得PE ⊥平面SAD ，即可得PE AR ⊥，进而可证AR ⊥平面PEQ ，可得AR EQ ⊥，在直角ASD V 中，利用等面积法即可求出AR 的长. 【详解】取SA 的中点E ，连接,PE QE ，则//PE AB因为SA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，所以SA AB ⊥， 又AB AD ⊥，AD SA A =I ，所以AB ⊥平面SAD ， 所以PE ⊥平面SAD ，又AR ⊂平面SAD ，所以PE AR ⊥. 又AR PQ ⊥，PE PQ P =I ，,PQ PE ⊂平面PEQ ,所以AR ⊥平面PEQ ，因为EQ ⊂平面PEQ ，所以AR EQ ⊥. 因为E Q ，分别为SA AD ，的中点，所以//EQ SD ，所以AR SD ⊥, 在直角ASD V 中，42AS AD ==，，所以2216425SD AS AD =+=+=所以4525AD AS AR SD ⋅==. 45【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.三、解答题17．某学校高中三个年级共有4000人，为了了解各年级学周末在家的学习情况，现通过分层抽样的方法获得相关数据如下（单位：小时），其中高一学生周末的平均学习时间记为x .高一：14 15 15.5 16.5 17 17 18 19 高二：15 16 16 16 17 17 18.5 高三：16 17 18 21.5 24 (1)求每个年级的学生人数；(2)从高三被抽查的同学中随机抽取2人，求2人学习时间均超过x 的概率. 【答案】(1)高一年级1600人；高二年级1400人；高三年级1000人；(2)35【解析】(1)根据已知求出三个年级被抽查的人数，再利用分层抽样求解即可；(2)根据已知求出x ，用列举法列出在高三被抽查的同学中，随机抽取2人的所有可能的情况，再列出2人学习时间均超过x 的所有可能情况，根据古典概型计算公式即可求出答案. 【详解】(1)由于三个年级被抽查的人数分别是8，7，5， 故高一年级的学生人数为840001600875⨯=++；高二年级的学生人数为740001400875⨯=++；高三年级的学生人数为540001000875⨯=++.(2)1(141515.516.517171819)16.58x =+++++++=.在高三被抽查的同学中随机抽取2人，所有可能的情况为 (16,17)，(16,18)，(16,21.5)，(16,24)，(17,18)，(17,21.5)，(17,24)，(18,21.5)，(18,24)，(21.5,24)，共10种，其中满足条件的为(17,18)，(17,18)，(17,21.5)，(17,24)，(18,21.5)，(18,24)，(21.5,24)，共6种，故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用、古典概型概率的计算,考查运算求解能力，属于基础题． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列112n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，求证115nT <. 【答案】（1）()*31,n a n n N=-∈（2）证明见解析；【解析】（1）利用1n n n a S S -=-求通项公式，注意检验n =1是否成立； （2）由（1）表示数列112n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，再由裂项相消法求其前n 项和，即可证明. 【详解】解：（1）当1n =时，11224S a ==，解得12a =；当2n …时，22123,23(1)(1)n n S n n S n n -=+=-+-， 两式相减，得262n a n =-，解得31n a n =-. 又1n =时，13112a =⨯-=， 故()*31n a n n N=-∈.证明：（2）依题意，得1211111(32)(35)33235n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，则11111113588113235n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L 1113535n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭111153(35)15n =-<+， 即115n T <. 【点睛】本题考查数列中利用n S 求通项公式n a ，还考查了裂项相消法求数列前n 项和进而证明不等式，属于中档题.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E ，F 分别是1BC ，AB ,1AA 的中点，点G 在线段BC 上，A ABC CB =∠∠.(1)求证：//EF 平面1A BC ；(2)若平面//EFG 平面1A BD ，90BAC ∠=o ，14AB AA ==，求点1B 到平面FEG 的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)23【解析】(1)由E ，F 分别是AB ，1AA 的中点，可得1//EF A B ，再由线面平行的判定定理即可证出；(2)根据平面//EFG 平面1A BD ，可得点G 是线段BC 上靠近B 的四等分点，从而可求得12三棱锥G B EF V -=，利用等体积法即可求出点1B 到平面FEG 的距离. 【详解】(1)因为在1A AB V 中，E ，F 分别是AB ，1AA 的中点， 所以1//EF A B ，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ， 所以//EF 平面1A BC .(2)设点1B 到平面EFG 的距离为2h ，点G 到平面1B EF 的距离为1h ，则122h BG =取BC 的中点H 连结AH ,DH ,则//1AH A D ,又1⊂A D 平面1A BD ，AH ⊄平面1A BD ，所以//AH 平面1A BD ， 又平面//EFG 平面1A BD ，而AH ⊄平面EFG ，所以//AH 平面EFG ，又AH ⊂平面ABC ，所以//AH EG ， 又E 为AB 的中点，所以G 为BH 的中点， 所以点G 是线段BC 上靠近B 的四等分点，所以2BG =,所以1111116233△三棱锥E E B F F B G V h S -=⋅⋅=⨯⨯=，22EF =在ABG V 中，由余弦定理，得 2222cos 162242102=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=AG AB BG AB BG ABG 所以2241014FG AF AG =++ 在EFG V 中，由余弦定理，得22257cos 222214EF FG EG EFG EF FG +-∠===⋅⨯⨯所以221sin 1cos 14EFG EFG ∠-∠=， 所以1221112122142332△三棱锥GEF B GEF V h S h -=⋅⋅=⋅⋅⋅=，解得223h =1B 到平面FEG 的距离3【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，等体积法求点到面的距离，属于中档题. 20．已知函数()ln (1)f x x m x =--. (1)若3m =，求函数()f x 的极值；(2)当[1,)x ∈+∞时，()xe ef x e +≥，求实数m 的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)(,2]-∞【解析】(1)当3m =时，()ln 3(1)f x x x =--，先求定义域，再求导并判断单调性，即可求出函数()f x 的极值；(2)将()f x 代入得[ln (1)]x e e x m x e +--≥，即1ln (1)1x e x m x -+--≥，令1()ln (1)x g x e x m x -=--+，只需求出min ()1g x ≥即可，11()x g x e m x-'=+-，令11()e x F x m x-=+-，利用导数研究其单调性可得所以()F x 在[1,)+∞上单调递增，且()()121F m g '=-=，对m 分2m ≤和2m >，即可求出答案. 【详解】(1)当3m =时，()ln 3(1)f x x x =--，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以113()3x f x x x-'=-=. 当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，所以函数()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以当13x =时，函数()f x 有极大值111ln 312ln 3333f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值.(2)依题意，得[ln (1)]xe e x m x e +--≥，即1ln (1)1x e x m x -+--≥，令1()ln (1)x g x e x m x -=--+， 所以11()x g x em x -'=+-，令11()e x F x m x-=+-，则121()x F x e x -'=-. 令121()()(0)x x F x e x x ϕ-'==->，所以132()0x x e xϕ-'=+>， 所以()F x '在[)1,+∞上单调递增，又(1)0F '=，当[)1,x ∈+∞时，()0F x '≥，所以()F x 在[1,)+∞上单调递增，且()()121F m g '=-=.当2m ≤时，[1,)x ∈+∞，()0g x '≥，()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()11g x g ≥=，满足条件；当2m >时，()120-g m '=<.又因为ln 11(ln 1)e0ln 1ln 1'+=-+=>++mg m m m m ，所以0(1,ln 1)x m ∃∈-，使得()00g x '=，当()01,,()0x x g x '∈<，当()0,ln 1,()0x x m g x ∈->，所以()g x 在()01,x 上单调递减，()01,x x ∈，都有()()11g x g <=，不符合题意. 综上所述，实数m 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，由恒成立求参数取值范围，属于中档题．对于第(2)问进行一次求导运算后，很难判断出一阶导数的正负，也就很难对原函数的单调性作出判断，若对一阶导数继续求导，往往可以收到很好的效果，使得我们能通过二阶导数的正负，判断出一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性，使问题得以解决.21．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆1C 上，112PF F F ⊥，11PF =，且1C 的离心率为2，抛物线22:4x C y =，点, M N 在2C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点,M N 作2C 的切线12,l l ，若12l l ⊥，直线MN 与1C 交于,P Q 两点，求POQ △面积的最大值．【答案】（1）22142x y +=（2．【解析】（1）依题意，列出方程组，求得2,a b ==（2）设MN ：y kx m =+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得12124,4x x k x x m +==-， 结合导数，求得1212,22l l x xk k ==，得到1m =，求得MN 的方程，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，表示出三角形POQ ∆，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）依题意，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，点P 在椭圆1C 上，1121,1PF F F PF ⊥=，且1C的离心率为2，可得22221c a a b c b a⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩ ，解得2,a b == 故椭圆1C 的方程为22142x y +=．（2）设直线:MN y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，由24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx m --=，则12124,4x x k x x m +==-， 由24x y =，可得2x y '=，所以1212,22l l x x k k ==，因为12l l ⊥，可得1214x x =-， 又124x x m =-，所以1m =，即直线:1MN y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2212420k x kx ++-=，所以34342242,1212k x x x x k k +=-=-++，所以34||PQ x =-=又由原点到直线PQ 的距离d =，故11||22OPQS d PQ =⋅⋅==V ，设212(1)t k t =+≥，则212t k -=，代入上式可得OPQS ==≤V ，当1t =，即0k =时，OPQ △． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 12ρρθ+=.(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程；(2)若()1,0P ，直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求PM PN +的值.【答案】（1）2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）165【解析】(1)先将直线l 的参数方程消去参数t 化为普通方程，再直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，即求出直线l 的极坐标方程；同样由直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，进而可求出曲线C 的参数方程； (2)求出直线l 的参数方程的标准形式，然后利用参数t 的几何意义，即可求出PM PN +的值.【详解】(1)依题意，得直线0l y -=cos sin 0θρθ--=， 所以直线l的极坐标方程为2cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为2223sin 12ρρθ+=，则223412x y +=，即22143x y +=.所以曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数).(2)因为直线0l y --=经过点()1,0P ，故直线l的参数方程的标准形式为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22143x y +=，可得254120t t +-=，所以1245t t +=-，12125t t =-，所以1216||||||5PM PN t t +=-==.【点睛】本题主要考查参数方程化为极坐标方程的互化，关键是掌握互化方法，同时考查直线参数方程中参数t 的几何意义，属于中档题． 23．已知函数()|2 ||2 2|f x x m x =-++. (1)若3m =，求不等式()8f x <的解集；(2)若12,(0,)x x ∀∈∃∈+∞R ，使得()212232f x x x -≥-，求实数m 的取值范围.【答案】(1)79,44⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)(,4][0,)-∞-+∞U【解析】(1) 若3m =，则()|2 3||2 2|f x x x =-++，然后对()f x 分为1x <-，312x -≤≤，32x >三种情况讨论去掉绝对值，解不等式即可；(2)问题转为1()3f x -的最小值大于等于2222x x -最小值，利用绝对值不等式可求出1()f x 的最小值，利用二次函数的性质可求出2222x x -最小值，从而问题转化为|2|31m +-≥-，解此不等式即可．【详解】(1)当3m =时，|2 3|+|2 2|8x x -+<，若1x <-，则32228x x ---<，得74x >-，所以714x -<<-；若312x -≤≤，则322258x x -++=<，所以312x -≤≤； 若32x >，则2 3 2 28x x -++<，得94x <，所以3924x <<，综上所述，不等式的解集为79,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)()11132223|2|3f x x m x m -=-++-≥+-，而当2(0,)x ∈+∞时，()222222111x x x -=--≥-， 所以()212232f x x x -≥-，等价于|2|31m +-≥-，解得0m ≥或4m ≤-，即实数m 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞U . 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的应用，同时考查双变量不等式恒成立的处理方法，属于中档题.第 21 页共 21 页。
广西壮族自治区来宾市八一中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析
广西壮族自治区来宾市八一中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则A． B．C． D．参考答案：C略2. 如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，则函数g（x）=2cos（φx+ω）图象的对称轴为（）A．x=12k﹣8（k∈Z）B．x=6k﹣2（k∈Z）C．x=6k﹣4（k∈Z）D．x=12k﹣2（k∈Z）参考答案：B【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊法的坐标作图求出φ的值，可得g （x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得函数g（x）=2cos（φx+ω）图象的对称轴．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得A=2，且2sinφ=1，∴sinφ=，∴φ=．再根据AB2=25=42+，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+），故函数g（x）=2cos（φx+ω）=2cos（x+）．令x+=kπ，k∈Z，求得x=6k﹣2，故选：B．3. 等差数列的值是（）A．14 B．15 C．16D．17参考答案：C略4. 已知：函数f（x）=cos（2x+φ），（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后与函数y=sinxcosx+cos2x的图象重合，则|φ|可以为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式可得φ+π=2kπ﹣，k∈Z，从而得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos（2x+φ），（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位，可得y=cos[2（x﹣）+φ]=﹣cos（2x+φ）=cos（2x+φ+π）的图象，由于所得图象与函数y=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象重合，∴φ+π=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ﹣，故令k=1，可得φ=，故选：D．5. 在中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C略6. 展开式中系数最大的项是（A）（B）（C）（D）参考答案：C设r+1项系数最大，则有即又∵0≤r≤7,∴r=5.∴系数最大项为T6=x2·25y5=.7. 已知，若函数满足，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①；②；③；④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在．其中为区间上的“等积分”函数的组数是A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：【知识点】微积分基本定理．B13【答案解析】C 解析：对于①，，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得，而，所以①是一组“等积分”函数；对于②，，而，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故，而，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分，所以④是一组“等积分”函数，故选C【思路点拨】利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间[﹣1，1]上的“等积分”函数的组数8. 设在上有定义，对于给定的实数K，定义函数，给出函数，若对于任意，恒有，则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为2 D．K的最小值为2参考答案：D9. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2参考答案：A考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，由此能求出结果．解答：解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+=0，a1=3a2，e1?e2=?==1，解得e2=．故选A．点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A. 函数g(x)在区间上单调递增B. g(x)图象关于直线对称C. 函数g(x)在区间上单调递减D. g(x)图象关于点对称参考答案：C 【分析】由三角函数的图象变换，得到的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案。
2020年广西高考数学一诊试卷(文科)
2020年广西高考数学一诊试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={-1，0，1，2，3}，A={0，2}，则∁U A=（）A. {-1，1，3}B. {-1，1，2}C. {-1，2，3}D. {-1，0，1}2.已知复数z满足z（2-i）=|3+4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A. （1，2）B. （2，1）C. （-1，-2）D. （-2，-1）3.已知命题p：∀x∈R，x4+x＜0，则￢p是（）A. ∀x∈R，x4+x≥0B. ∀x∈R，x4+x＞0C. ∃x0∈R，x04+x0≥0D. ∃x0∈R，x04+x0＞04.已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A. B. 或C. 或D.5.在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2-ax+8=0有实数根的概率为（）A. B. C. D.6.已知a=3-0.1，b=3cos1，c=log40.99，则（）A. b＞a＞cB. a＞c＞bC. c＞a＞bD. a＞b＞c7.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A. 5π+24B.C. 3π+12D.8.已知直线l过点（-3，0）且倾斜角为α，若l与圆x2+（y-2）2=4相切，则cos2α=（）A. 1B.C. 1或D. -1或9.某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A. 输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B. 输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C. 输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D. 输出1+2+3+4+…+2018的值10.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A. B.C. D.11.函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A. f（x）的最小正周期是2πB. f（x）在上单调递增C. f（x）在上单调递增D. 直线是曲线y=f（x）的一条对称轴12.已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，e）B. （-∞，e]C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数k=______．14.若抛物线C：x2=2py（p＞0）上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是______．15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CA=CB=CC1，AC⊥BC，CE=CB，CD=，则直线AC1与DE所成角的大小为______．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在等差数列{a n}中，a1+a3=4，a4=3；{b n}是各项都为正数的等比数列，，b3a14=1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}，{b n}的前n项和．18.如图，在四棱锥A-DBCE中，AD=BD=AE=CE=，BC=4，DE=2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求四棱锥A-DBCE的体积．19.某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象．光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）．（1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量X∈[160，240），X∈[240，320），X∈[320，400]的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率．20.已知函数．（1）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．21.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点（-1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O是坐标原点，求的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．23（1）求不等式|x-4|-x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．2020年广西高考数学一诊试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. B3. C4. B5. D6. A7. B8. C9. A10. B11. C12. C13. -4或214. x2=8y15. 60°16. 217. 解：（1）由a1+a3=4，得2a2=4，所以a2=2，所以等差数列{a n}的公差d==，所以数列{a n}的通项公式为a n=a2+（n-2）d=2+（n-2）=n+1．b1=a1=×=，由b3a14=1，得b3×8=1，解得b3=，所以等比数列{b n}的公比q==（q＞0），所以数列{b n}的通项公式为b n=b1q n-1=．（2）数列{a n}的n项和为S n==n2+n，数列{b n}的前n项和为T n==1-．18. 解：（1）证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．则HF是△ABC的中位线，所以HF=，HF∥BC．又因为DE=2，DE∥BC，所以HF=DE，HF∥DE．所以四边形DEFH为平行四边形．所以EF∥HD．又EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE，所以DH∥平面ACE．解：（2）等腰梯形DBCE的高为h===2，所以等腰梯形DBCE的面积S=．因为AD=AE，O为DE中点，所以AO⊥DE．又AO⊥CE，DE∩CE=E，DE，CE⊂平面DBCE，所以AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A-DBCE的高．在Rt△AOD中，OD+，则AO===2，故四棱锥A-DBCF的体积V==．19. 解：（1）根据频率之和为1，可得0.0625×80+（a+a）×80=1，解得a=0.003125，月光照量X（小时）的平均数为0.00625×80+280×0.003125×80+360×0.003125×80=260（小时）．设月光照量X（小时）的中位数为M，则M∈[240，320]，根据中位数的定义，其左右两边的频率相等，都为0.5，可得0．00625×80+（M-240）×0.003125=0.5，解得M=240，所以月光照量X（小时）的平均数为260小时，中位数为240小时；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，所以若准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，那么，抽取的月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]的月份数分别为2，1，1．（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，故从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10月份之中随机抽取2个月份的月光照量X（小时）进行调查，所有的情况有：（5，9），（5，10），（5，6），（5，7），（5，8），（9，10），（9，6），（9，7），（9，8），（10，6），（10，7），（10，8），（6，7），（6，8），（7，8）共15种；其中，抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的情况有：（6，7），（6，8），（7，8）共3种；故所抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率为．20. 解：（1）因为，则．令f′（x）=0，解得．当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，故函数f（x）的增区间为；减区间为．当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调连增，则f（x）max=f（2）=；当1＜＜2，即＜a＜时，f（x）在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则f（x）max==；当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，则f（x）max=f（1）=．（2）证明：若函数f（x）有两个零点，则=＞0，可得．则，此时，由此可得x1＜1＜ln＜x2，故x2-x1＞，即x1-x2＜．又因为，，所以．所以．21. 解：（1）设椭圆C的半焦距为c．因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C所得的弦长为，所以=，得=，①因为椭圆C的离心率为，所以．②又a2=b2+c2，③由①②③，解得a=，b=1．故椭圆C的标准方程是+y2=1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，此时联立解得x=-1，y=-或x=-1，y=，则设点M，N的坐标分别为（-1，-），（-1，）．所以=（-1，-）（-1，）=（-1）（-1）+（-）=；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，因为点（-1，0）在椭圆的内部，所以直线l与椭圆C一定有两个不同的交点M，N．则x1+x2=-，x1x2=．所以=（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2=x1x2+k（x1+1）k（x2+1）=（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=（1+k2）+k2（-）+k2==-，因为2+4k2≥2，所以0，所以∈[-2，）．综上所述：的取值范围：[-2，）．22. 解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：3x-y+9=0．所以：直线l的普通方程为3x-y+9=0．曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+12x+35=0．故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+35=0．（2）直线l3x-y+9=0与坐标轴的交点依次为（-3，0），（0，9），不妨设M（-3，0），N（0，9），曲线C的直角坐标方程x2+y2+12x+35=0化为标准方程是（x+6）2+y2=1，由圆的参数方程，可设点A（-6+cosα，sinα），所以|AM|2+|AN|2最=（-3+cosα）2+sin2α+（-6+cosα）2+（sinα-9）2=-18（sinα+cosα）2+128=-18，当，即时，最大值为18．23. 解：（1）由不等式|x-4|-x＜0，得|x-4|＜x，则，解得x＞2．故所求不等式的解集为（2，+∞）．证明：（2）（a2+4）（b2+4）-（8a2+8b2）=（ab）2-4a2-4b2+16=（ab）2-4a2-4b2+16=（a2-4）（b2-4），因为a＞2，b＞2，所以a2＞4，b2＞4，所以（a2-4）（b2-4）＞0．所以原不等式（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2成立．【解析】1. 解：由题意可得，∁U A={-1，1，3}故选：A．利用补集的定义，直接求解即可．本题主要考查了补集的求解，属于基础试题．2. 解：由题意，z（2-i）=5，故z===2+i，其在复数平面内对应的点的坐标为（2，1）．故选：B．直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，即∃x0∈R，x04+x0≥0．故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4. 解：由题意可得双曲线的渐近线的斜率为y=±x，故由题意可得直线l的方程是y=x+2．故选：B．由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由平行和在y轴的截距可得l的方程．考查双曲线的性质及直线的平行的性质，属于基础题．5. 解：因为方程2x2-ax+8=0有实数根，所以△=（-a）2-4×2×8≥0，解得a≥8或a≤-8，所以方程2x2-ax+8=0有实数根的概率为P==．故选：D．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6. 解：a=3-0.1∈（0，1），b=3cos1＞1，c=log40.99＜0，则b＞a＞c．故选：A．利用指数函数对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 解：由三视图可知，该几何体是个圆柱，其上下底面均为圆面，侧面由2个矩形和1个圆弧面构成，所以其表面积．故选：B．直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8. 解：设直线y=（x+3）tanα．因为l与圆x2+（y-2）2=4相切，所以=2，解得tanα=0或tan∵cos2α==，当tanα=0时，cos2α==1；当tanα=时，cos2α==-．综上，cos2α=1或-．故选：C．先根据直线与圆相切求出tanα=0或tan；再结合cos2α==，代入求解即可．本题考查圆的切线方程，诱导公式以及计算能力和分类讨论思想，是中档题．9. 解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k=2，S=3+3×2；第二次运行时，k=3，S=3+3×2+3×3；第三次运行时，k=4，S=3+3×2+3×3+3…，以此类推，第2017次运行时，k=2018，S=3+3×2+3×3+3×4+…+3×2018，此时刚好不满足k＜2018，则输出S=3（1+2+3+4+…+2018），所以该程序的功能是“输出3（1+2+3+4+…+2018）的值．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10. 解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B．分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题．11. 解：由图可知，A=2，该三角函数的最小正周期，故A项正确；由，则f（x）=2sin（x+φ）中，因为，所以该三角函数的一条对称轴为，将代入y=2sin（x+φ），得，解得，所以，令，得，所以函数f（x）在上单调递增．故B项正确；令，得，所以函数f（x）在上单调递减．故C项错误；令，得，则直线是f（x）的一条对称轴．故D项正确．故选：C．由图象求出函数f（x）的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．12. 解：，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则f（x）min≥g（x）max（x∈（0，+∞））．，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的最小值为．又g（x）max=a，所以a≤．故实数a的取值范围为．故选：C．根据题意，f（x）min≥g（x）max，求导，利用导数判断函数f（x）的最小值，利用二次函数的关系，求得g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．本题考查利用导数判断函数的单调性和极值与最值，函数“任意”与“存在”问题，考查转化思想，计算能力，属于中档题．13. 解：由题意，=（-k-2，-4），因为，所以=-k×（-k-2）+2×（-4）=k2+2k-8=0，解可得k=2或k=-4．故答案为：2或-4．结合向量垂直的坐标表示可建立关于k的方程，解方程可求．本题主要考查了向量垂直的坐标表示的简单应用，属于基础试题．14. 解：根据抛物线定义，准线方程为y=-，由题意可得8=6+，解得：p=4，故抛物线C的方程是x2=8y．故答案为：x2=8y．由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出抛物线的方程．考查抛物线的性质，属于基础题．15. 解：连接BC1．因为CD=，CE=，所以=．由题意知DE∥BC1，所以∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．设CA=CB=CC1=a，则，则△ABC1是正三角形，则∠AC1B=60°．故直线AC1与DE所成角的大小为60°．故答案为：60°．连接BC1．由DE∥BC1，得∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．由此能求出直线AC1与DE所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. 解：由面积公式得：ab sin C=c2，即c2=4ab sin C．由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C，可得===4sin C+2cos C=2sin（C+φ），其中，tanφ=，故当C+φ=时，的最大值为2．故答案为：2．由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得=2sin（C+φ），其中，tanφ=，利用正弦函数的性质可求其最大值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．17. （1）利用等差数列的通项公式，由a1+a3=4，a4=3即可求得等差数列{a n}的公差d，从而可得数列{a n}的通项公式；利用等比数列中b1=a1，b3a14=1，即可求得b3，及其公比q，从而可得数列{b n}的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可求得数列{a n}，{b n}的前n项和．本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．18. （1）取线段AC的中点F，连接EF，HF．推导出四边形DEFH为平行四边形．从而EF∥HD．由此能证明DH∥平面ACE．（2）求出等腰梯形DBCE的面积S=．推导出AO⊥DE．AO⊥CE，从而AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A-DBCE的高．由此能求出四棱锥A-DBCF的体积．本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （1）根据频率之和为1，求出a，再求出平均数和中位数；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，求出即可；（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，求出所有的情况个数和满足条件的个数，利用古典概型概率公式求出即可．考查频率分布直方图的应用，求中位数和平均数，古典概型求概率等，中档题．20. （1）求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）在[1，2]上的最大值；（2）由f（x）有两个零点，由（1）可知，．则x1＜1＜ln＜x2，因此可得x1-x2＜．利用，即可证明．本题考查函数单调性与导数的关系，导数与函数最值得关系，考查函数的零点的应用，考查转化思想，属于中档题．21. （1）由离心率及过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，再由参数的取值范围求出数量积的取值范围．考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中档题．22. （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。
2020届广西来宾市高三5月教学质量诊断性联合考试数学(理)试题(解析版)
设直线 与平面 所成角为 ，又 ，
则 .
【点睛】
本题考查空间中线面垂直的证明，还考查了利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题.
20．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)详见解析；(2)
【解析】(1)当 时， ，先求定义域，再求导并判断单调性，即可求出函数 的极值；
21．已知椭圆 .
（1）直线 过点 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程；
（2）在圆 上取一点 ，过点 作圆 的切线 与椭圆 交于 两点，求 的值.
【答案】（1） （2）2
【解析】（1）利用点差法解决中点弦问题中求直线方程；
（2）分类讨论切线 斜率不存在与存在，利用两向量垂直其向量的数量积为零可证明 ，进而在 中，由 与 相似，得 求得答案.
【详解】
依题意，设 ， ，则 ，显然 不是 的解，
当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，
又因为 ，
所以当 且 时， ，
故在存在性问题中 ，即实数 的取值范围为 .
故选：D
【点睛】
本题考查不等式的存在性问题，并利用参变分离法求参数的取值范围，属于较难题.
二、填空题
当 时， ，
两式相减，得 ，解得 .
又 时， ，
故 .
证明：（2）依题意，得 ，
则 ，
即 .
【点睛】
本题考查数列中利用 求通项公式 ，还考查了裂项相消法求数列前n项和进而证明不等式，属于中档题.
18．有关部门在某公交站点随机抽取了100名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟），将数据按 ， ， ， ， ， 分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
广西来宾市2020届高三4月教学质量诊断性联合考试数学(文)试卷(PDF版)
高三·数学（文科）第1页（共6页）数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A【解答】由中不等式变形，得，解得，∴．∵，∴．故选．2.C【解答】，所以虚部为．故选．3.C【解答】如果一次随机取出个球，用列举法可求得全是黄球的概率是，那么至少有个红球的概率为．故选C．4.A【解答】：根据指数函数的性质可知，对任意，总有成立，即为真命题；：“”是“”的充分不必要条件，即为真命题，则为真命题．故选A．5.A【解答】∵，∴，，∴，把代入，得．故选．6.D【解答】∵数列是各项不为的等差数列，由，得，，，∴，解得或（舍去）．则．又数列是等比数列，则．故选．7.A【解答】∵，∴曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是，∴切线的倾斜角的取值范围是．故选．8.A【解答】根据程序框图知，该程序运行后是输出当时，令，解得；当时，，满足题意；当时，令，解得，不满足题意．综上，若输出的，那么输入的为或0．9.B【解答】如图，分别过点，在平面内作，，连接，，由题易证，均为直角三角形．设正方形的边长为，则，，∴.连接，由于是正方形的中心，∴点在上，∴直线都在平面内，是相交直线．故选．10.C【解答】作出表示的平面区域为如图所示的及其内部，其中，，，而的几何意义是可行域内的点到直线的距离的倍，观察图形并结合计算可知，点到直线的距离最大.所以当时，取得最大值．故选．11.C【解答】由题意可得＝，设右焦点为，由＝＝知，＝，＝，所以＝．由＝知，＝，即．在中，由勾股定理，得．由椭圆定义，得＝＝＝，从而＝，得＝，于是＝＝，所以椭圆的方程为．故选．12.B【解答】，易知在上为增函数，且的解为．∴化为，∴解得或．故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（或）【解答】∵，，，设向量与的夹角为，则，解得，∴．故答案为：．14.【解答】由，得，两式相减，得，即，，∴是公比为的等比数列，由，得，所以，故答案为：.15.【解答】点，关于直线对称，可得直线为的垂直平分线，的中点为，的斜率为，所以直线的斜率为，可得直线的方程为，令，可得，由题意可得，即有，由，可得＝，解得＝或（舍去）．故答案为：.16.【解答】由题意,知正四棱锥如图所示，则．高三·数学（文科）第2页（共6页）高三·数学（文科）第3页（共6页）三、解答题（共70分）17.解：在中，由正弦定理，代入，得.··································································1分又因为，得，·············································2分得，····················································································3分.····················································································4分由余弦定理，得····························································5分.·······························································6分由可得，····························································7分由，得，即，······················································8分则，·····································································9分，·····································································10分故········································································11分.····················································································12分18.解：由直方图，得.···········3分∴.·····························································································6分由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为,···········9分高三·数学（文科）第4页（共6页）∴估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12.∴，··················································································11分故估计800名新生中有96名学生可以申请住宿.···············································12分19.证明：在中，因为，所以为的中点.·················································2分又因为是的中点，所以.·························4分又平面，平面，所以平面.·················································6分在中，因为，所以.·······7分又因为，所以.··································8分又因为，所以，即.·························9分又因为平面，平面，所以平面.··················································11分又因为平面，所以平面平面.·········································12分20.解：若直线与的图象相切，设切点为，，································································································1分∴········································································2分且，········································································3分解得，·················································································4分.·················································································5分令，······················································6分不等式对任意的恒成立，等价于在上恒成立．∴，·························································7分设．若，则，在上单调递增，又，∴不成立．···············································································································8分若，的图象开口朝下，对称轴为．①当，即时，，∴在上，，∴，又，∴恒成立．·········9分②当，即时，，∴在上，存在，使，∴时，，即；时，，即．······················································10分∴，∴不满足恒成立．·································11分综上可知，.·······················································································12分21.解：设，．联立消去，得，········································································1分∴.··························································································2分显然直线过抛物线的焦点，∴.···········································································3分设线段的中点坐标为，则，·······························································4分则以为直径的圆的方程为.····································5分由得，易得直线，直线，·····················6分联立由①，得，由②，同理可得，由，得，得，·········7分联立得，则，，∴，，即.·······································8分∴，··········································9分点到直线的距离，··················10分∴.···················11分显然，当时，的面积最小，最小值为.········································12分22.解：曲线的直角坐标方程为，即，·················································································1分故曲线的极坐标方程为，···················································2分高三·数学（文科）第5页（共6页）即．··························································································3分因为曲线的极坐标方程为，即，·····································································4分故曲线的直角坐标方程为，即．·····································································5分直线的极坐标方程化为直角坐标方程，得，·································6分由得或···················································7分则.··············································································8分由得或则.···············9分故.·······························································10分23.解：·························································2分当时，结合，得；······················································3分当时，结合，得；····································4分当时，结合，得．综上，不等式的解集为.·······································5分···················································6分.·······························································7分有解，等价于，·············································8分，·············································9分所以，解得.·······························································10分高三·数学（文科）第6页（共6页）。
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