高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线及其标准方程 同步练习(含答案)
高中数学选修2-1同步练习题库：抛物线(选择题：较易)
抛物线（选择题：较易）1、已知双曲线的两条渐进线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．2、已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（）A． B． C． D．3、已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )．A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm4、抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则（）．A．1 B．2 C．4 D．65、曲线上两点关于直线对称，且，则m的值为（）。
A． B． C． D．6、已知动点满足，则点的轨迹为（）A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆7、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（）A． B． C．2 D．8、已知，点的坐标为，点分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么的周长的取值范围是（）A． B． C． D．9、抛物线的焦点到准线的距离为（）A． B．1 C．2 D．310、抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．11、抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．12、已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A． B． C． D．13、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A． B． C．1 D．14、已知抛物线，则它的准线方程为（）A． B． C． D．15、设抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，若，则的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或16、若点在以点为焦点的抛物线为参数）上，则=（）A． B． C． D．17、已知在抛物线上，且到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A．2 B．4 C．8 D．1618、抛物线上有两点到焦点的距离之和为，则到轴的距离之和为（）A． B． C． D．19、动点在抛物线上移动，若与点连线的中点为，则动点的轨迹方程为A． B． C． D．20、抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．21、下列抛物线中，开口最小的是（）A． B． C． D．22、已知点在抛物线的准线上，则的值为（）A． B． C．8 D．-823、已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点为，则实数的值为（）A．4 B． C．8 D．24、抛物线y=ax2(a¹0)的准线方程为( )A．x=− B．y=− C．x=− D．y=−25、设抛物线的焦点为，点在上，，若轴上存在点，使得，则的值为（）A．或 B． C． D．或26、点在抛物线上，为抛物线焦点，，以为圆心为半径的圆交轴于，两点，则( )A．9 B．12 C．18 D．3227、已知抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，则（）A．1 B． C． D．1628、若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则等于（）A． B．1 C． D．229、已知点是抛物线上一点，为的焦点，的中点坐标是，则的值为（）A． B． C． D．30、已知抛物线的焦点为，点，射线与交于点，与的准线交于点，且，则点到轴的距离是（）．A． B． C． D．131、抛物线的焦点为，是上一点，若到的距离是到轴距离的两倍，且三角形的面积为（为坐标原点），则的值为A． B． C． D．32、过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，且位于轴同侧，若，则直线的斜率为( )A． B． C． D．33、已知点，，，，，是抛物线：（）上的点，是抛物线的焦点，若，且，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．34、已知双曲线（）的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（）A． B． C．2 D．135、若抛物线的焦点到其准线的距离是，则A． B． C． D．36、抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．37、抛物线的准线方程为，则实数的值为A． B． C． D．38、已知点是抛物线上一点，且到抛物线焦点的距离是到直线的距离的倍，则等于（）A． B． C． D．39、抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．40、如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若|，则此抛物线的方程为A． B． C． D．41、抛物线的准线方程是A． B． C． D．42、若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．2 B． C． D．43、设抛物线的焦点为，为其上的一点，为坐标原点，若，则的面积为（）A． B． C． D．44、抛物线的焦点到直线的距离是（）A． B． C．2 D．145、已知点M（4，t）在抛物线上，则点M到焦点的距离为（）A．5 B．6C．4 D．846、抛物线的焦点坐标（）A． B． C． D．47、若抛物线的焦点为，则的值为（）.A． B．4 C． D．848、双曲线的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则双曲线的虚轴长等于（）A．4 B． C． D．49、已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为（）A． B．1 C．2 D．450、已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为（）A． B．1 C．2 D．451、抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．52、抛物线上有两点到焦点的距离之和为，则到轴的距离之和为（）A． B． C． D．53、抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标( )A．1 B．2 C．3 D．454、设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或55、抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．56、抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．57、抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为 ( )A． B．1 C．2 D．458、已知抛物线C：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与C的一个交点．若，则＝A． B． C． D．59、过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条60、抛物线：的焦点坐标是（）A． B． C． D．61、已知，过抛物线上任意一点作垂直于准线于点，则的最小值为（）A．5 B． C． D．62、抛物线的焦点坐标是（）A． B．C． D．63、抛物线上到焦点距离等于6的点的横坐标为（）A．2 B．4 C．6 D．864、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（）A． B． C． D．65、已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（）A． B． C． D．66、若一抛物线的顶点在原点，焦点为，则该抛物线的方程为（）A． B． C． D．67、抛物线的准线方程是，则的值为（）A． B． C． D．68、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A． B． C． D．69、抛物线的准线方程是（）A． B． C． D．70、抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．参考答案1、D2、D3、B4、B5、A6、B7、D8、B9、B10、B11、B12、C13、B14、C15、C16、C17、B18、D19、B20、D21、A22、A23、D24、D25、A26、C27、C28、D29、D30、B31、B32、B33、B34、D35、C36、C37、A38、B39、D40、A41、C42、D43、B44、A45、A46、B47、D48、D49、C50、C51、D52、D53、B54、C55、C56、C57、C58、B59、B.60、B.61、C62、A63、B64、C65、A66、D67、B68、D69、B70、D【解析】1、双曲线的渐近线方程是，当时，，即，所以，即，，故选D.2、，如图，由抛物线的几何意义，可知，所以，所以，故选D。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线
2.1 抛物线及其标准方程[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点一 抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 知识点二 抛物线标准方程的几种形式思考 (1)2(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ 答案 (1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线.题型一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x .(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0). 跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ， 得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0). 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题型二 抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.解 如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|P A |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|P A |＋d 的最小值的问题. 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上动点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.∴点P 坐标为(2,2).反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练2 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B.2C.5D.92答案 A解析 如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |， 则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值， 则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值. 又A (0，2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.题型三 抛物线的实际应用例3 如图所示，一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4， 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵点B 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4，解得p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，∵a 取整数， ∴a 的最小整数值为13.反思与感悟 以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，如图所示，因为点C (5，－5)在抛物线上，解得p ＝52，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高h 米，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.1.抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A.x ＝132B.x ＝12C.y ＝2D.y ＝4答案 C解析 将y ＝－18x 2化为标准形式x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.2.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A.8B.16C.32D.61 答案 B解析 由y 2＝8x 得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝x －2联立得x 2－12x ＋4＝0， 设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由方程知x 1＋x 2＝12，∴弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝±8x答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .4.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.2B.3C.115D.3716答案 A解析 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线， 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度， 其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点. 由图可知，距离和的最小值， 即F 到直线l 1的距离 d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.5.若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.答案 4解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2p216＝1，由此c 2＝3＋p 216，左焦点为(－3＋p 216，0)， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p 2， ∴p ＝4.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程训练案北师大版选修2-1(2021年整理)
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3.2.1 抛物线及其标准方程[A.基础达标］1．已知点P为抛物线y2＝2px上任一点,F为焦点，则以P为圆心，以｜PF｜为半径的圆与准线l（）A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定解析：选B。
圆心P到准线l的距离等于|PF｜，所以相切．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．12 B．8C．6 D．4解析：选B。
由抛物线定义知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，故P到焦点距离＝6－（－2)＝8.3．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b〉0）的曲线大致是( ）解析：选D.a2x2＋b2y2＝1其标准方程为错误!＋错误!＝1,因为a>b〉0，所以错误!<错误!，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－错误!x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．4．一个动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切,则动圆必过定点（）A．(0,2) B．(0，－2)C．（2，0）D．(4,0）解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F（2，0)的距离，所以动圆必过定点（2，0)．5．当a为任意实数时，直线（2a＋3）x＋y－4a＋2＝0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是（）A．x2＝32y或y2＝－错误!xB．x2＝－32y或y2＝错误!xC．y2＝32x或x2＝－错误!yD．y2＝－32x或x2＝错误!y解析：选C.该直线可化为(2x－4）a＋(3x＋y＋2)＝0，令错误!得错误!故该直线恒过定点P （2,－8)，经验证C符合要求．6．准线方程为x＝－1的抛物线的标准方程为________．解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0）,其准线为x＝－错误!＝－1，得p ＝2。
高中数学选修2-1课时作业 抛物线的标准方程附解析
1．抛物线y＝4x2的准线方程为()A．x＝－1B．y＝－1 C．x＝－116D．y＝－1162．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0，2) B．(0，1) C．(2，0) D．(1，0)3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为()A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定4．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y5．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为()A．1 B．1或4 C．1或5 D．4或56．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x7．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________．8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．9．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．10．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．11．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116 D ．y ＝－116答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0) 解析：由题意，y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，将点(2，4)代入可得p ＝4或p ′＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y . 答案：C4．过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y解析：由题意，知动圆圆心到点F (0，3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x 2＝12y .答案：C5．已知M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为( )A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5解析：因为点M 到对称轴的距离为4，所以点M 的坐标可设为(x ，4)或(x ，－4)，又因为M 到准线的距离为5，所以⎩⎪⎨⎪⎧42＝2px ，x ＋p 2＝5，解得⎩⎨⎧x ＝4，p ＝2，或⎩⎨⎧x ＝1，p ＝8. 答案：B6．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x答案：A7．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝x A＋x B＋12＝3，所以x A＋x B＝52.所以线段AB的中点到y轴的距离为x A＋x B2＝54.答案：549．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：x M＋1＝10⇒x M＝9.答案：910．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－1 4，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：411．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p2＝3，所以p＝6.所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即（x－3）2＋y2＝|x＋3|，化简得y2＝12x.所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x.。
高中数学选修2-1课时作业7：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1抛物线及其标准方程1．到定点(3,5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线C ．线段D ．直线[解析] 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线．[答案] D2．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( )A ．x ＝－2B ．x ＝－4C ．y ＝－2D ．y ＝－4[解析] y 2＝8x ＝2·4x ，∴p ＝4，准线方程为x ＝－p 2＝－2. [答案] A3．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )A ．8B ．－8C.18D ．－18[解析] x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a 4＝2，∴a ＝－8. [答案] B4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫14，0C.⎝⎛⎭⎫0，18D.⎝⎛⎭⎫0，14[解析] 由y ＝2x 2得，x 2＝12y .∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，18. [答案] C5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )A ．x 2＝－92y ，或y 2＝43xB ．y 2＝－92x ，或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x [解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，或y 2＝－2p 1x (p 1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p ·3，或9＝－2p 1(－2)，∴2p ＝43，或－2p ＝－92， 故所求的抛物线方程为x 2＝43y ，或y 2＝－92x . [答案] B6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程为__________．[解析] 设抛物线方程为y 2＝ax ，又抛物线过点P (2,4)，则16＝2a ，∴a ＝8，∴y 2＝8x .[答案] y 2＝8x7．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝__________.[解析] 由y 2＝4x 得焦点F (1,0)，代入直线方程得a ＋1＝0.∴a ＝－1.[答案] －18．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．[解析] 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝ax ，得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)为AB 的中点，从而a ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝4x .[答案] y 2＝4x9．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0[解析] ∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，∴圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1.∴圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.[答案] D10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16 [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线l ：x ＝－2，AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与直线l 的交点为(－2,43)．设P (x ，y )，∵P A ⊥l ，∴当y ＝43时，有(43)2＝8x ，∴x ＝6. ∴|PF |＝|P A |＝6－(－2)＝8.[答案] B11．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值，抛物线标准方程和准线方程．解 设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F (0，－p 2)． ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6. ∴m ＝±26，抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.12．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是y 2＝2px (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p ×40，即p ＝454， 所求的抛物线标准方程为y 2＝452x ，焦点(458，0)．。
高中数学 2.2抛物线(二)同步练习(含解析)北师大版选修1-1
§2 抛物线(二)课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫作________________． (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的____________．抛物线的顶点为_______． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的____，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线相切．(2)|AB|＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2(m≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．§2 抛物线(二)知识梳理1．(1)x≥0 右 增 (2)x 轴 抛物线的轴(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p22．k 2x 2＋2(kb －p)x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一 作业设计 1．B 2．A 3．A如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF|.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.]4．B 5．C 6．D7．y 2＝4x 解析 设抛物线方程为y 2＝ax.将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a 2＝2.∴a＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x. 8．2解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x.将其代入y 2＝4x ，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝4 2.又F(1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析 抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF||FB|＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y. 11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q(4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k(x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－＋1，消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. 12.B13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1,0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
高中北师大版数学选修1-1练习：2.2.1 抛物线及其标准方程
§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程1.抛物线y 2=20x 的焦点坐标为( )A.(20,0)B.(10,0)C.(5,0)D.(0,5) 答案:C2.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 26+y 22=1的右焦点重合,则p 的值为( ) A.-2B.2C.-4D.4 解析:椭圆的右焦点为(2,0), ∴p 2=2,∴p=4.答案:D3.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( )A.4B.2C.1D.8 解析:如图,F (14,0),过A 作AA'⊥准线l ,∴|AF|=|AA'|,∴54x 0=x 0+14,∴x 0=1.答案:C4.抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )A.|a |4B.|a |2C.|a|D.-a 2 解析:∵2p=|a|,∴p=|a |2.∴焦点到准线的距离是|a |2.答案:B5.一动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆过定点( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2) D .(0,4)解析:由题意易知直线x+2=0为抛物线y 2=8x 的准线,由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点.答案:B6.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.x 2+y 2+2x=0B.x 2+y 2+x=0C.x 2+y 2-x=0D.x 2+y 2-2x=0解析:抛物线y 2=4x 的焦点是(1,0),∴圆的标准方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.答案:D7.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点是原点O ,且过点P (2,4),则该抛物线的方程是 .解析:由题意可设抛物线方程为y 2=2ax ,∵点P (2,4)在抛物线上,∴42=4a ,∴a=4.即所求抛物线的方程为y 2=8x.答案:y 2=8x8.导学号01844015在抛物线y 2=12x 上,与焦点的距离等于9的点的坐标是 .解析:抛物线的焦点为F (3,0),准线x=-3,抛物线上的点P ,满足|PF|=9,设P (x 0,y 0),则|PF|=x 0+p=x 0+3=9,∴x 0=6,∴y 0=±6√2.答案:(6,±6√2)9.求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点是直线3x+4y-15=0与x 轴的交点;(2)准线是x=-32;(3)焦点在x 轴正半轴上,焦点到准线的距离是2;(4)焦点在x 轴正半轴上,焦点到直线x=-5的距离是8.解(1)直线与x 轴的交点为(5,0),故所求抛物线方程为y 2=20x.(2)准线方程为x=-32,∴p 2=32, ∴p=3,开口向右,∴抛物线方程为y 2=6x.(3)由于p=2,焦点在x 轴正半轴上,∴抛物线方程为y 2=4x.(4)焦点在x 轴正半轴上,设其坐标为(x 0,0),∴x 0+5=8,∴x 0=3.∴焦点为(3,0),即p2=3,p=6.故抛物线方程为y2=12x.10.导学号01844016已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.(2)求点P到点B(-12,1)的距离与点P到直线x=-12的距离之和的最小值.解如图,将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±√6.∵√6>2,∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-12的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为72,即|PA|+|PF|的最小值为72,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.∴点P坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-1即为抛物线的准线,根据抛物线定义得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=√(12+12)2+12=√2,∴|PB|+d的最小值为√2.由Ruize收集整理。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线2.2.1抛物线及其标准方程精练含解析北师大版选修1_1
2.1 抛物线及其标准方程1.抛物线y2=20x的焦点坐标为()A.(20,0)B.(10,0)C.(5,0)D.(0,5)答案:C2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合,则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4解析:椭圆的右焦点为(2,0),∴=2,∴p=4.答案:D3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.4B.2C.1D.8解析:如图,F,过A作AA'⊥准线l,∴|AF|=|AA'|,∴x0=x0+,∴x0=1.答案:C4.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A. B. C.|a| D.-解析:∵2p=|a|,∴p=.∴焦点到准线的距离是.答案:B5.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)解析:由题意易知直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线,由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点.答案:B6.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:抛物线y2=4x的焦点是(1,0),∴圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:D7.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点是原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax,∵点P(2,4)在抛物线上,∴42=4a,∴a=4.即所求抛物线的方程为y2=8x.答案:y2=8x8.导学号01844015在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是.解析:抛物线的焦点为F(3,0),准线x=-3,抛物线上的点P,满足|PF|=9,设P(x0,y0),则|PF|=x0+=x0+3=9,∴x0=6,∴y0=±6.答案:(6,±6)9.求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点是直线3x+4y-15=0与x轴的交点;(2)准线是x=-;(3)焦点在x轴正半轴上,焦点到准线的距离是2;(4)焦点在x轴正半轴上,焦点到直线x=-5的距离是8.解(1)直线与x轴的交点为(5,0),故所求抛物线方程为y2=20x.(2)准线方程为x=-,∴,∴p=3,开口向右,∴抛物线方程为y2=6x.(3)由于p=2,焦点在x轴正半轴上,∴抛物线方程为y2=4x.(4)焦点在x轴正半轴上,设其坐标为(x0,0),∴x0+5=8,∴x0=3.∴焦点为(3,0),即=3,p=6.故抛物线方程为y2=12x.10.导学号01844016已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.(2)求点P到点B的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.解如图,将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.∵>2,∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.∴点P坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-即为抛物线的准线,根据抛物线定义得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=,∴|PB|+d的最小值为.。
北师大版数学高二-2013选修2-1【知能演练】抛物线及其标准方程
1.(2012·抚州调研)下列有关抛物线的说法正确的是( )①有一个顶点；②有一个焦点；③有一个对称中心；④有一条对称轴；⑤有一条准线．A ．①②③B ．②③④C ．①②④⑤D ．①②③④⑤答案：C.2.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝6，则线段AB 的中点横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B.抛物线y 2＝4x 中p ＝2，弦AB 为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋2＝6，即x 1＋x 2＝4，则x 1＋x 22＝2，即线段AB 的中点横坐标为2. 3.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝______． 解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1，0)，|AF |＝x 1＋1＝2，则x 1＝1，故直线AF 的方程是x ＝1.此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF |＝|AF |＝2.答案：24.(2012·宝鸡质检)垂直于x 轴的直线与抛物线y 2＝4x 相交于点A ，B ，且|AB |＝43，则直线AB 的方程为______________．解析：设点A 在x 轴上方，且直线AB 与x 轴交于点M ，则由抛物线的对称性可得|AM |＝23，此即为点A 的纵坐标，代入抛物线方程可得x ＝3，从而直线AB 的方程为x ＝3.答案：x ＝3[A 级 基础达标]1.(2012·阜阳质检)顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为( )A ．y 2＝165x B ．y 2＝－165x C ．x 2＝165y D ．x 2＝－165y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得p ＝85，所以，抛物线方程为x 2＝165y . 2.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x[:]解析：选B.抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为(a 4，0)，则直线l 的方程为y ＝2(x －a 4)，它与y 轴的交点为A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12·|a 4|·|a 2|＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .3.已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值为( ) A ．2B ．3[:]C ．4D ．0解析：选B.z ＝x 2＋12×4x ＋3＝(x ＋1)2＋2， ∵x ≥0，∴x ＝0时，z 有最小值，z min ＝3.4.顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y 2＝2ax ，由于通径长为6，即2|a |＝6，∴a ＝±3.∴适合题意的抛物线方程为y 2＝±6x .答案：y 2＝±6x5.(2010·南阳质检)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则抛物线的焦点坐标为________．解析：∵F (p 2，0)，∴设AB ：y ＝x －p 2，与y 2＝2px 联立，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x A ＋x B ＝3p .由焦半径公式x A ＋x B ＋p ＝4p ＝8，得p ＝2.故焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)6.已知抛物线y 2＝2x .设点A ⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |. 解：设P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2x 上任意一点，则|PA |2＝⎝⎛⎭⎫x 0－232＋y 20＝x 20＋23x 0＋49＝⎝⎛⎭⎫x 0＋132＋13. ∵x 0∈[0，＋∞)，∴当x 0＝0时，|PA |2min ＝⎝⎛⎭⎫132＋13＝49，即|PA |min ＝23. ∴距点A 最近点P 的坐标为(0，0)，此时|PA |＝23. [B 级 能力提升]7.(2010·高考山东卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B.抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ，整理得y 2－2py －p 2＝0，由已知得该方程有两个不相等的实数根，则y 1＋y 2＝2p ，所以p ＝y 1＋y 22＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 8.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )A.43B.75C.85 D ．3解析：选A.设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，则该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m ＋3×（－m 2）－8|42＋32＝|3m 2－4m ＋8|5＝|3（m －23）2＋203|5≥2035＝43，当且仅当m ＝23时等号成立，此时，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值为43.[:] 9. (2012·上饶质检)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________．解析：依题意知抛物线的焦点F 的坐标为(0，p 2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y －p 2＝x ，代入抛物线方程得y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝ |AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ，又直线AB 的斜率为1，故直角梯形有一个内角为45°，故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝22p ，则梯形ABCD 的面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，解得p ＝2.答案：210.若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M 的横坐标和p 的值．解：设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧|y 0|＝6，x 0＋p 2＝10， 因为y 20＝2px 0，所以36＝2p (10－p 2)． 所以p ＝2或p ＝18.所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝18，x 0＝1. 所以m 的横坐标为9或1，相应的P 值为2或18.11.(创新题)已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1）消去x 后，整理，得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y 1·y 2＝－1.∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2.∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∴k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，[:] ∴OA ⊥OB .(2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0.令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1，0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝12 1k 2＋4， 解得k ＝±16.。
高中数学选修2-1北师大版 抛物线的简单性质2 学案(含答案)
2.2 抛物线的简单性质自主整理抛物线y2=2px(p＞0)的简单性质1.范围抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的_____________,它的开口_____________,这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)满足不等式_____________;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向_____________和_____________无限延伸.抛物线是_____________曲线.2.对称性抛物线y2=2px(p＞0)关于对称,我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的_____________.抛物线只有对称轴_____________.3.顶点抛物线y2=2px(p＞0)和它的轴的交点叫作抛物线的.抛物线的顶点坐标是.4.离心率抛物线y2=2px(p＞0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的_____________,叫作抛物线的离心率.用_____________表示,e=_____________.5.通过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为_____________,.连结这两点的线段叫作抛物线的_____________,它的长为_____________.这就是抛物线标准方程中2p的一种意义.高手笔记1.要掌握抛物线的简单几何性质,如范围,对称性,顶点,开口方向等.学生利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法,也就是坐标法.以抛物线y2=2px(p＞0)为例,由于p＞0,所以x≥0,即抛物线在y轴右侧,同时x增大时,|y|也无限增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延展.以-y 代替y方程不变,故抛物线关于x轴对称.2.顶点就是坐标原点,即抛物线与坐标轴的交点,抛物线与椭圆比较,它只有一个焦点,一个顶点,一条对称轴.名师解惑1.重视抛物线的简单性质在解题中的作用剖析:掌握抛物线的简单性质,会运用这些性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合思想的运用,做题时尽可能画出草图来分析问题.由抛物线的范围可得抛物线顶点坐标的取值范围,在涉及求有关最值问题时,也就给出了函数的定义域的要求.2.利用抛物线的方程与性质解决实际问题剖析:解决实际应用问题应先建立恰当的直角坐标系,然后构造出抛物线的标准方程,写出已知点的坐标,确定焦点坐标与位置,画出草图,分析,解决问题.讲练互动【例1】求顶点在原点,以x 轴为对称轴,且通径长为8的抛物线方程,并指出它的焦点坐标和准线方程.解析:抛物线的通径长为2p,焦点在x 轴的哪一个半轴上未确定.故可设抛物线方程为y 2=2px(p≠0),但此时通径长应为|2p|,若不按此设法,需讨论. 解:设抛物线方程为y 2=2px(p≠0), 因为抛物线通径长为8, 所以|2p|=8. 所以p=±4.故所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x.若抛物线方程为y 2=8x,则焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2;若抛物线方程为y 2=-8x,则焦点坐标为(-2,0),准线方程为x=2. 绿色通道求抛物线方程一般要用待定系数法.需先设出方程,若只知道焦点在x 轴上,但不能确定开口方向时,把两种情况统一设为y 2=2px(p≠0)较方便.只要写出方程,就可顺利求出焦点坐标与准线方程. 变式训练1.一抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求此抛物线方程.解:如图,依题意设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0),则直线方程为y=-x+21p. 设直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x 1+2p +x 2+2p,即x 1+2p +x 2+2p=8.① 又A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线和直线的交点,由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,2,212px y p x y 消去y 得x 2-3px+42p =0,所以x 1+x 2=3p.将其代入①得p=2. 所以所求抛物线方程为y 2=4x.当抛物线方程设为y 2=-2px 时,同理可求得抛物线方程为y 2=-4x.【例2】给定抛物线y 2=2x,设A(a,0)(a ＞0),P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d 的最小值. 解析:要求d 的最小值,首先应构造d 的目标函数d=f(x),此函数定含参数a,对参数a 的取值加以讨论,f(x)的定义域由抛物线范围确定. 解:设P(x,y),则x≥0,y 2=2x,所以d=f(x)=|PA|=1)]1([2)()(2222---=+-=+-a x x a x y a x .因为a ＞0,x≥0,故有(1)当0＜a ＜1时,a-1＜0,此时,x=0时,d 最小值为d min =a. (2)当a≥1时,a-1≥0,此时,x=a-1时,d 最小值为d min =12-a .绿色通道求抛物线上的动点到定点距离的最值时,除了要构造出目标函数之外,要注意抛物线是有范围的,从而确定目标函数的定义域;含有参数的,还要对参数进行讨论,否则极有可能出现错误.变式训练2.求抛物线y 2=64x 上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上点的坐标.分析:本题可应用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最小值;也可以转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点(相切)的直线与已知直线的距离.解:设P(x 0,y 0)是抛物线上的点,则x 0=6420y,P 到直线4x+3y+46=0的距离d=5|643644|020++∙y y=80160)24(80|73648|20020++=++y y y . 所以当y 0=-24,x 0=9时,d 有最小值2.所以抛物线上的点到直线的最小距离等于2,这时抛物线上的点的坐标为(9,-24).。
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抛物线及其标准方程 同步练习
【选择题】
1．点P到点F(4, 0)的距离比它到直线l: x=－6的距离小2，则点P的轨迹方
程是
（A）y2=61x （B）y2=34x （C）y2=16x （D）y2=4x
2．抛物线上的点(－5, 25)到焦点F(m, 0)的距离是6，则抛物线的标准方程
是
（A）y2=－2x, y2=－18x （B）y2=－4x, y2=6x
（C）y2=－4x （D）y2=－18x, y2=－36x
3．在抛物线y2=8x上有一点P，它到焦点的距离是20，则点P的坐标是
（A）(18, 12) （B）(18, －12)
（C）(18, 12)或(18, －12) （D）(12, 18)或(12, －18)
4．抛物线y2=2px (p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>2p)，则点M的横坐标是
（A）a+2p （B）a－2p （C）a+p （D）a－p
5．如图所示，方程x=ay2与y=ax+b2(ab≠0)的图象只能是
（A） （B） （C） （D）
6．抛物线y2=41x关于x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是
（A）(0, 116) （B）(0, －116) （C）(116, 0) （D）(－116, 0)
7．经过点P(4, －2)的抛物线的标准方程是
（A）y2=x或x2=y （B）y2=－x或x2=8y
（C）x2=－8y或y2=x （D）x2=－8y或y2=－x
8．平面上动点P到定点F(1, 0)的距离比到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方
程是
（A）y2=2x （B）y2=4x （C）y2=2x和y=0(x≤0) （D）y2=4x和y=0(x≤0)
9．探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知
灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是
（A）11.25cm （B）5.625cm （C）20cm （D）10cm
10．抛物线y=ax2(a<0)的焦点坐标是
（A）(21a, 0) （B）(0, 21a) （C）(0, 14a) （D）(0,－14a)
【填空题】
11．抛物线方程是y2=2px(p>0)，点(－2, 3)到其焦点的距离是5，则
p= .
12．已知A(0, 4)，P是抛物线y=x2+1上任意一点，则|PA|的最小值是 .
13．抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m后，则水
面宽是 .
14．动圆M过点F(0, 2)与直线y=－2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
15．抛物线y2=2x上两点A, B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标
是 .
16．以y轴为对称轴，焦参数p=21的抛物线的标准方程是 .
17．有一个正三角形，它的两个顶点在抛物线y2=－4x上，另一个顶点在原点，
则此正三角形的面积是 .
【解答题】
18．求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点(－3, 2)；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上.
19．若抛物线y2=－2px(p>0)上有一点M，且M的横坐标为－9，它到焦点的距离
是10，求抛物线方程和M点的坐标。
20．已知直线l经过抛物线214yx的焦点F，且被抛物线截得的弦长为8，求l
的方程
参考答案
1—6、CCCBD ACDBC
11、 4. 12、11.2. 13、26.m 14、 x2=8y. 15、 2.
16、 x2=±y 17、 483
18、222249(1);(2)816.32yxxyxyyx或或提示： （1）根据（-3，2）在
第二象限，可设抛物线的方程分别为x2=2py 或者 y2= - 2px
(2)因为方程为标准方程的抛物线的焦点在坐标轴，所以求直线x-2y-4=0与坐标
轴的交点可得焦点分别为(4,0)和(0,-2).
19、24;(9,6).yx提示：点M到焦点的距离是10，即到准线的距离为10，
而点M的横坐标为－9，故准线的方程为x=1.