实数和代数式

实数和代数式
一、重点、难点提示：
1.相反数
实数a的相反数是-a，零的相反数是零。

（1）a,b互为相反数a+b=0。

（2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。

2.绝对值
|a|=
3. 算术根
（1）正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0。

（2）实数的三个非负性：|a|≥0, a2≥0, ≥0(a≥0)。

4.科学记数法
把一大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10。

这种记数法叫做科学记数法。

一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1。

5.幂的运算法则：（m,n为正整数）
a m·a n=a m+n, (a m)n=a mn, (ab)n=a n
b n；
a m÷a n=a m-n(a≠0, m>n)
6.乘法公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2；(a±b)2=a2±2ab+b2；
7.零指数和负整数指数：
规定a0=1(a≠0) ，a-p=(p为正整数)
8.二次根式的主要性质
(1)()2=a (a≥0).
(2)=|a|=
注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。

(3)=·(a≥0, b≥0)。

(4)(b≥0,a>0)。

二、重点例题分析
例1．解答下列各题
（1）已知|a|=8, |b|=2, |a-b|=b-a, 求a+b的值。

（2）已知a>0, b<0, |b|>|a|, 试用“<”将a、b、-a、-b连结起来。

解：（1）∵|a|=8, ∴a=±8；
∵|b|=2, ∴b=±2；
又∵|a-b|=b-a, ∴b-a≥0, ∴b≥a。

因此b取+2, a取-8, 或b取-2, a取-8。

当b=2, a=-8时, a+b=(-8)+2=-6。

当b=-2, a=-8时, a+b=(-8)+(-2)=-10。

（2）b<-a<a<-b。

说明（1）这里应注意绝对值定义的正确应用，若|a|=3,则a=±3,不要漏了-3；还应注意运用|a-b|=b-a这个条件进行分析，不要漏解和多出解来。

（2）解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。

画数轴，先由已知条件确定a、b所对应的点A、B，a>0，A在原点右边，b<0，B 在原点左边，|b|>|a|表示B到原点的距离大于A到原点的距离，再依相反数的概念找出-a,-b所对应的点，如图所示，
显然有：b<-a<a<-b。

此题还可用特殊值法求解。

设a=2,b=-3,所设数字一定要符合a>0, b<0, |b|>|a|的条件，那么a=2, -a=-2, b=-3, -b=3。

∴从小到大的顺序为-3，-2，2，3。

即b<-a<a<-b。

例2、计算下列各题
（1）(-)-2+；
（2）[·(3-2)]-1+(-)8÷×3
解：（1）原式＝9＋
（2）原式=[×(3-2)]-1+×3×3
=[]-1 +
=(-1)-1+
=-1+
=-
说明：在综合运算中搞清各种运算的意义，如乘方运算的底，负指数，零指数的意义及特殊角的三角函数值等。

计算前要仔细审题，一是注意运算的顺序，不要跳步；二是灵活地运用法则，能选择简便运算的要尽可能地采用简便运算；三要特别注意运算符号是否出错。

例3、计算机存储容量的基本单位是字节，用b表示，计算机中一般用Kb(千字节)或Mb（兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1kb=210b, 1Mb=210Kb, 1Gb=210Mb。

一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb，它相当于多少Kb? (结果用科学记数法表示，并保留三个有效数字)
析解：本题目一方面考查近似数和科学记数法，另一方面考查学生收集和处理信息的能力。

解答时，考生直接根据题中所提供的几个单位的换算关系，不难求出
20Gb=20×210Mb=20×210×210Kb
=20×1024×1024Kb≈2.10×107Kb。

例4、给出下列算式：
32-12=8=8×1，
52-32=16=8×2，
72-52=24=8×3，
92-72=32=8×4，
……观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。

分析：观察等式，不难发现其规律：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数。

由此，设n为自然数，则相邻的两个奇数为2n-1和2n+1，用代数式表示为
(2n+1)2-(2n-1)2=2×4n=8n。

说明：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美。

同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力，渗透从特殊到一般的辩证关系。

例5、把下列多项式分解因式
（1）2x n+1-6x n+4x n-1 (n为自然数)；
（2）(ab+1)2-(a+b)2；
（3）x3+x2-x-1。

解：（1）原式=2x n-1(x2-3x+2)=2x n-1(x-1)(x-2)。

（2）原式=(ab+1+a+b)(ab+1-a-b)
=[(ab+a)+(b+1)][(ab-a)+(1-b)]
=(a+1)(b+1)(a-1)(b-1)
（3）原式=(x3+x2)-(x+1)=x2(x+1)-(x+1) =(x+1)(x2-1)=(x+1)2(x-1)
说明：分解因式的一般思路是：“一提、二套、三分组”。

一提是指首先考虑能否提取公因式，其次考虑能否套用公式，最后考虑分组分解，分组分解的关键是在于分组后是否有公因式可提或是否能套用公式来进一步分解。

例6、（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”
①=2（）②=3（）
③=4（）④=5（）
（2）你判断完以上各题之后发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围________。

（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性。

分析：本题是一道归纳猜想型试题；能较好地考查学生的归纳—猜想—验证的思维过程。

答：（1）①②③④正确；
（2）=n；
（3）n为大于1的自然数。

===n。

例7、阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程。

化简：-a2·+。

解：原式=a-a2·+a
=a-a+a
=0+a
=a
答：上述解答过程有错误，正确解答如下：
原式=+|a|=|a|·-a2··+|a|
∵－a>0, ∴a<0。

原式=-a·+a-a=-a。

说明：这道题隐含着条件a<0是解此题的关键，而a<0时，|a|=-a。

这一点是该题错误的根本原因；另外，在化简时，注意计算逻辑要严谨。

例8、化简求值：
已知x=, y=, 求3x2-5xy+3y2的值。

∵x==5-2, y==5+2,
∴x+y=10, xy=1
∴3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11xy=3×102-11=289。

说明：二次根式的化简、求值是一个难点。

求代数式的值，采用变形后整体代入再进行计算，可使问题解答简捷。