1实数和代数式
数学全部的概念教案初中
数学全部的概念教案初中教案目标：1. 使学生掌握初中数学中的基本概念，包括实数、代数式、方程、不等式、函数等；2. 培养学生对数学概念的理解和运用能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
教学内容：1. 实数概念：有理数、无理数、实数的分类和性质；2. 代数式概念：代数式的定义、代数式的运算；3. 方程概念：方程的定义、方程的解法；4. 不等式概念：不等式的定义、不等式的解法；5. 函数概念：函数的定义、函数的性质、函数的图像。
教学过程：一、实数概念：1. 引入实数的概念，让学生了解实数包括有理数和无理数；2. 讲解有理数的定义，如整数、分数等，并让学生进行相关练习；3. 讲解无理数的定义，如根号下非完全平方数的无理数，并让学生进行相关练习；4. 总结实数的分类和性质，让学生掌握实数的基本概念。
二、代数式概念：1. 引入代数式的概念，让学生了解代数式是由字母和数字组成的表达式；2. 讲解代数式的运算规则，如加减乘除、幂的运算等，并让学生进行相关练习；3. 让学生运用代数式解决实际问题，培养学生的运用能力。
三、方程概念：1. 引入方程的概念，让学生了解方程是含有未知数的等式；2. 讲解方程的解法，如代入法、消元法等，并让学生进行相关练习；3. 让学生运用方程解决实际问题，培养学生的运用能力。
四、不等式概念：1. 引入不等式的概念，让学生了解不等式是不相等的等式；2. 讲解不等式的解法，如同号不等式、异号不等式等，并让学生进行相关练习；3. 让学生运用不等式解决实际问题，培养学生的运用能力。
五、函数概念：1. 引入函数的概念，让学生了解函数是自变量和因变量之间的依赖关系；2. 讲解函数的性质，如单调性、奇偶性等，并让学生进行相关练习；3. 讲解函数的图像，如直线、曲线等，并让学生进行相关练习；4. 让学生运用函数解决实际问题，培养学生的运用能力。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对数学概念的理解程度；2. 通过课后作业和测试，评价学生对数学概念的运用能力；3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，评价学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
实数与代数式
实数与代数式【知识梳理】1.实数（1）分类：实数分数（2）⎪⎩⎪⎨⎧〈-=〉=)0()0(0)0(a a a a a a （3）科学记数法：正数),101(10是整数n a a N n 〈≤⨯=。
2.代数式（1）分类：代数式 分式（2）幂的运算公式： )0(1)()(0≠====÷=⋅-+a a b a ab a a a a a a a a n n n m n n m n m n m n m n m ；；；；。
（3）多项式的乘法：bd bc ad ac d c b a +++=++))((；ab x b a x b x a x +++=++)())((2；22))((b a b a b a -=-+；222)(b ab a b a +±=±；3322))((b a b ab a b a ±=+± 。
【双基训练】一、填空题（时间：10分钟）1.在22,101001.0,,14.3,1,0 π-各数中，整数是_______，分数是__________，无理数是__________； 正整数 零 负整数 正分数 负分数有理数 无理数整数 单项式 多项式有理式 无理式整式2.比较大小：（1）-1 _______ 0 ；（2）43-_______32- ；（3）π _______ 3.14； 3.因式分解：（1）a a 43-=__________；（2）22414a b a -+-=_____________________；（3）652--x x =________________；（4）652+-x x =_________________；4.请写出一个比0.1小的有理数_____________；5.当1,3=-=b a a 时，代数式ab a -2的值是_______________；6.若b a x 122+与b a x 53+-是同类项，则x =_____________；7.用科学记数法表示：0.00000101=______________；8.计算：aa a 214122-+-=_________________； 9.已知: ；；；；； 24552455154415448338333223222222+=+⨯=+⨯=+⨯=+ =+⨯=+b a ab 10a b 102则符合前面式子的规律，若____________； 10. 给出下列等式32-12=8=8×1;52-32=16=8×2;72-52=24=8×3;92-72=32=8×4.观察上面一系列等式,用代数式表示这个规律是:______________。
初中数学数与式的复习概括
数与式一．实数和代数式的有关概念1.实数分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两边（0除外），并且与原点的距离相等。
4.倒数：1除以一个数的商，叫做这个数的倒数。
一般地，实数a 的倒数为a1。
0没有倒数。
两个互为倒数的数之积为1.反之，若两个数之积为1，则这两个数必互为倒数。
5.绝对值：一个正实数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负实数的绝对值等于它的相反数。
a =()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0000a a a a a ，绝对值的几何意义：数轴上表示一个数到原点的距离。
6.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（1）正数大于零，零大于负数。
（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。
（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。
（4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a<b,这三种情况必有一种成立，而且只能有一种成立。
7.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
8.整式：单项式与多项式统称为整式。
单项式：只含有数与字母乘积形式的代数式叫做单项式。
一个数或一个字母也是单项式。
单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。
一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式：几个单项式的代数和多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
中考数学专题：实数与代数式
专题一 数与式中考要求：实数：借助数轴理解相反数、倒数、绝对值的意义及性质;掌握实数的分类、大小比较及混合运算;会用科学记数法、有效数字、精确度确定一个数的近似值;能用有理数估计一个无理数的大致范围.代数式：了解整式、分式、二次根式、最简二次根式的概念及意义; 会用提公因式法、公式法对整式进行因式分解; 理解平方根、算术平方根、立方根的意义及其性质; 根据整式、分式、二次根式的运算法则进行化简、求值.考查方式：本专题内容在中考中涉及数轴、相反数、绝对值等概念，多以填空题、选择题的形式出现. 科学记数法、近似数和有效数字往往与生产生活及科技领域中的实际问题相联系，具有较强的应用性，是中考的热点. 关于代数式的概念与运算，往往是单独命题，试题以填空题、选择题及计算题的形式出现，试题难度为中、低档. 试题设计有的带有开放探索性，覆盖面广，常常以大容量、小综合的形式考查灵活运用知识的能力.备考策略：1. 夯实基础，理清考点.2. 对课本中的典型和重点题目做变式、延伸.3. 注意一些跨学科的常识，加强学科整合.4. 关注中考的新题型.5. 关注课程标准中新增的目标.6. 探究性试题的复习步骤:（1）纯数字的规律探索.（2）结合平面图形探索规律.（3）结合空间图形探索规律，（4）探索规律方法的总结.第1课时 实数的概念课时核心问题：数系的扩张及实数相关概念的理解应用. 聚焦考点☆温习理解一、实数1. 有理数： ，它包括 、 .2. 无理数： .3. 实数及分类：注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如π23+等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等. 二、绝对值一个数的绝对值指的是表示.几何意义：一般地，数轴上表示叫做数a 的绝对值，记作|a |.代数意义：（1）正数的绝对值是 ；（2）负数的绝对值是 ；（3）零的绝对值是 .也可以写成：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩.说明：（1）|a |≥0，即|a |是一个非负数；（2）|a |概念中蕴含分类讨论思想；（3）“| |”有括号的作用.三、相反数叫做互为相反数. 零的相反数是零.从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. 若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0, 反之也成立.四、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab ＝1，反之亦成立. 倒数等于本身的数是1和1-. 零没有倒数.五、平方根如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 正数a的平方根记作“”.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.1.(0) ||(0)a aaa a⎧==⎨-<⎩≥.2.与2的联系：3.0)<0)aa>=⎩.六、立方根如果一个数的立方等于a, 那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.注意：（1）=，说明三次根号内的负号可以移到根号外面；（2）＝3.典例解析考点一、实数的分类【例1】下列实数是无理数的是（）.B. 1C. 0D.1-听课记录：【举一反三】1.下列四个实数中，是无理数的是（）.A. 0B. 3-D.3112. 下列选项中，属于无理数的是（）.A. 2B. πC. 32D. 2-3. 下列各数：227，π，cos60︒，0，，其中无理数的个数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 4考点二、绝对值【例2】|2|-等于（）.A. 2B. 2-C.12D.12-听课记录：【举一反三】2的绝对值是（）.A. ±2B. 2C. 12D. 2-考点三、相反数【例3】5的相反数是（）.A. 5B. 5-C. 15D.15-听课记录：【举一反三】1. 2014的相反数是（）.A. 2014B. 2014-C.12014D.12014-2.15-的相反数是（）.A. 15B.15-C. 5D. 5-考点四、倒数【例4】12-的倒数是（）.A. B.C. D. 听课记录：【举一反三】1. 12的倒数是（）.A. 2B. 2-C. 12D. 12- 2. 14-的倒数是（ ）. A. －4B. 4C. 14D. 14- 考点五、平方根【例5】得（ ）.A. 100B. 10C.D. 10± 听课记录：【举一反三】1. 一个数的算术平方根是2，则这个数是 .2. 的平方根是 .3. 若2y =，则()y x y +＝ .4. 若实数x , y 满足|4|0x -=，则以x , y 的值为等腰三角形的周长为 .5. 若1a <1-= .6. 2210b b ++=，则221||a b a +-= .7. 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 .第2课时 实数的计算课时核心问题：实数的灵活运算.聚焦考点☆温习理解一、实数大小的比较1. 数轴：规定了、、的直线叫做数轴. （画数轴时要注意上述三要素缺一不可）解题时要真正掌握数形结合思想，理解实数与数轴上的点是一一对应的，并且能灵活运用.2. 实数大小比较的几种常见方法.（1）数轴比较：数轴上的点所表示的数在右边的总比左边的大；（2）求差比较：设a, b为实数，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.（3）求商比较：设a, b为两正实数，有a＞1⇔a＞b；ba＜1⇔a＜b；ba＝1⇔a＝b.b（4）绝对值比较法：设a, b为两负实数，则a a b>⇔<.b（5）平方比较法：设a，b为两负实数，则22a b a b >⇔<.二、科学计数法和近似数1. 有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字.2. 科学计数法：把一个数写成10n a ±⨯的形式，其中110a <≤，n 是整数，这种计数法叫做科学计数法.三、实数的运算1. 加法交换律：a b b a +=+.2. 加法结合律：()()a b c a b c ++=++.3. 乘法交换律：ab ba =.4. 乘法结合律：()()ab c a bc =.5. 乘法对加法的分配律：()a b c ab ac +=+.6. 实数的运算顺序：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的. 典例解析考点一、实数的大小比较【例1】下列各数中，最大的数是（ ）.A. 0B. 2C.2-D.12- 听课记录：【举一反三】1. 下列各数中，最小的数是（）.A. 0B. 1 3C.13- D.3-2. 在数1,0,1,2--中，最小的数是（）.A. 1B. 0C. 1-D. 2-考点二、科学计数法与近似值【例2】“着力扩大投资，突破重点项目建设”是遵义经济社会发展的主要任务之一．据统计，遵义市2014年全社会固定资产投资达1762亿元，“1762亿”这个数用科学计数法表示为（）.A. 1762×108B. 1.762×1010C. 1.762×1011D. 1.762×1012听课记录：【举一反三】1. 据统计，2015年河南省旅游业总收入达到3875.5亿元. 若将“3875.5亿”用科学计数法表示为3.8755×10n，则n等于（）.A. 10B. 11C. 12D. 132. 将6.18×10－3化为小数是（ ）.A. 0.000618B. 0.00618C. 0.0618D. 0.6183. 20140000用科学计数法表示（保留3位有效数字）为 .考点三、实数的运算【例3】计算：201(π2014)sin 6023-⎛⎫+-+︒ ⎪⎝⎭．听课记录：【举一反三】1. 计算：2(2)(3)2-+-⨯．2. 2014(1)2sin 45--︒+-3. 计算：1011)23-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．第3课时整 式 课时核心问题：整式的相关概念及运算.聚焦考点☆温习理解一、单项式1. 代数式.用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 单独的一个数或一个字母也是代数式.2. 单项式.只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示. 例如，2143a b -就是错误的，应写成2133a b -. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如325a b c -是6次单项式.二、多项式1. 多项式.几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数为多项式的次数.统称为整式.用数值代替代数式中的字母，按照代数式指出的运算计算出的代数式的结果，叫做求代数式的值.注意：（1）求代数式的值，一般先化简再代入.（2）求代数式的值，有时求不出具体字母的值，此时需要利用技巧“整体”代入求值.2. 同类项.所含 ，并且 的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项.3. 去括号法则：（1）括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都.（2）括号前是“－”，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都.三、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项.1. 幂的运算法则：（1）同底数幂相乘：m n m n⋅=(m, n都是整数，a≠0).a a a+（2）幂的乘方：()m n mn=(m, n都是整数，a≠0).a a（3）积的乘方：=⋅(n是整数，a≠0, b≠0).()n n nab a b（4）同底数幂相除：m n m n÷=(m, n都是整数，a≠0).a a a-2. 整式乘法.（1）单项式与单项式相乘，把作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. （2）单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb.（3）多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.3. 乘法公式.（1）平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.（2）完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．4. 整式的除法：（1）单项式除以单项式：法则：（2）多项式除以单项式：法则：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式.（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项.（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式.（6）011(0),(0,)p pa a a a p a -=≠=≠为正数. （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 单项式除以多项式是不能这么计算的. 典例解析考点一、整式的加减运算【例1】下列计算正确的是（ ）.A. 2x －x ＝xB. 326a a a ⋅=C. (a －b )2＝a 2－b 2D. (a ＋b )(a －b )＝a 2＋b 2听课记录：【举一反三】已知x 2－2＝y ，则x (x －3y )＋y (3x －1)－2的值是（）. A.2- B. 0C. 2D. 4考点二、同类项的概念及合并同类项【例2】下列各式中，与2a 是同类项的是（ ）.A. 3aB. 2abC. 23a -D. a 2b听课记录：【举一反三】下列运算正确的是（ ）.A. 2323a a a +=B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a =考点三、幂的运算【例3】下列运算正确的是（ ）.A. 33a a a ⋅=B. 33()ab a b =C. 326()a a =D. 842a a a ÷=听课记录：【举一反三】1. 计算：2()ab 的结果是（ ）.A. 2abB. a 2bC. a 2b 2D. ab 22. 计算：63m m ⋅的结果是（ ）.A. m 18B. m 9C. m 3D. m 2考点四、整式的乘除法.【例4】计算：23(2)()a a ⋅-=.A. 312a -B. 36a -C. 12a 3D. 6a 2【例5】计算：2x (3x 2＋1)，正确的结果是（）. A. 5x 3＋2x B. 6x 3＋1C. 6x 3＋2xD. 6x 2＋2x听课记录：【举一反三】1. 下列计算正确的是（ ）.A. 4416x x x ⋅=B. 325()a a =C. 236()ab ab =D. 23a a a +=2. 下列运算正确的是（ ）. A. 2323a a a += B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a = 考点五、整式的混合运算及求值【例6】先化简，再求值：2(3)()()a a b a b a a b -++--，其中11,2a b ==-. 听课记录：【举一反三】1. 下列计算中，正确的是（ ）.A. 235a b ab +=B. 326(3)6a a =C. 623a a a ÷=D. 32a a a -+=-2. 下列运算正确的是（ ）. A. (m ＋n )2＝m 2＋n 2B. (x 3)2＝x 5C. 5x －2x ＝3D. (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 23. 下列计算正确的是（ ）.A. (2a 2)4＝8a 6B. a 3＋a ＝a 4C. a 2÷a ＝aD. (a －b )2＝a 2－b 24. 化简：2()()()2a b a b a b ab ++-+-.5. 化简：2(1)2(1)a a ++-.6. 已知x (x ＋3)＝1，求代数式2x 2＋6x －5的值为 ．7. 先化简，再求值：(x ＋1)(2x －1)－(x －3)2，其中2x =-.。
【高三数学复习讲义】第1讲 高考比较实数(或代数式)的大小-解析版
第1讲 比较实数(或代数式)的大小知识与方法比较实数(或代数式)的大小以不等式的性质为主要依据,涉及不等式、函数等数学知识,具有涉及面广、解法灵活等特点,因此,理解、掌握比较实数(或代数式)大小的基本事实,掌握不等式性质及常用方法,是解决问题的关键.一、基本事实1 0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<.2 已知,a b 是两个正数,则1;1;1a a a a b a b a b b b b>⇔>=⇔=<⇔<. 二、不等式性质1 a b b a >⇔<;2 ,a b b c a c >>⇒>;3 a b a c b c >⇒+>+;4 ,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<;5 ,a b c d a c b d >>⇒+>+;6 0,0a b c d ac bd >>>>⇒>;7 ()0,2n n a b a b n n >>⇒>∈N三、常用方法1.作差比较;2.作商比较;3.赋值;4.构造函数.四、易错警示1 利用不等式的性质时需要注意该性质成立的前提条件.2 变形后比较大小需要关注变形的等价性.五、典型例题【例1】已知a>b>0的大小. 【分析】比较代数式大小的基本方法是作差比较,又因为两个代数式都是大于零的,所以也可以尝试作商比较.【解析】解法1：-=+=.⎛⎫=因为0a b>>,0 >>,所以0⎛⎫>,>.解法2：因为0a b>>,=>>.所以2222a ba bb a-=--+()()()332221()0,a ba baba ab ba baba ba bab+=-+⎛⎫-+=+-⎪⎝⎭-=+>所以22>.>.解法3：1a b====+.因为0a b >>,所以11+>,1>.0->，>. 【点睛】(1)作差比较基本步骤:作差、变形、定号、结论.(2)作商比较基本步骤:作商、变形、定号、结论.【例2】已知实数a,b,c,d 满足,a b c d a d b c +=++<+,则a,b,c,d 的大小关系是( ) A.,a c d b B.,a c d b <<C.,a c d b ><D.,a c d b >>【分析】此题不宜用作差比较或作商比较,考虑利用不等式的主要性质.另外,对选择题还可以采用赋值法.【解析】解法1：因为a b c d +=+,所以a c d b -=-.又因为a d b c +<+,所以a c b d -<-,所以d b b d -<-,所以,0d b a c d b <-=-<,即,a c d b <<.故选B.解法2：令3,5,7,1a b c d ====,则满足,a b c d a d b c +=++<+.故选B.【点睛】解法1借助不等式性质构建a c -与b d -的关系,继而得出d b <,从而解决了问题. 解法2既快又准,适用于选择题.【例3】若 0,0,0a b c b d >>>-<<，试比较 ,,,b a b c a d a b a c b d++++的大小.} 【分析】先分成两组,一组比1大,一组比1小,再作差比较.【解析】解法1：因为0a b >>,所以1,1b a a b. 又因为0,0c b d >-<<,所以1,1b c a d a c b d++++. 又因为()()()()0,0a b c b a d b c b a d a a c a a a c b d b b b d --++-=>-=>++++, 故b b c a a d a a c b b d++<<<++. 解法2：令4,3,2,1a b c d ====-, 则3453,,,4362b a bc ad a b a c b d ++====++,故b b c a a d a a c b b d++<<<++. 【点睛】(1)已知0a b >>,且0m >,则b b m a a m+<+; (2)已知0a b >>,且0m >,则a a m b b m+>+. 【例4】已知1,01a b c ><<<,设1,,log cb b x a y zc a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,试比较,,x y z 的大小. 【分析】根据式子结构构造函数,并用函数性质比较大小.【解析】解法1：因为1a >,所以函数xy a =是递增函数. 又因为01b c <<<,所以11c c b y a x a a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭.又log log 1b b z c b =<=,故y x z >>.解法2：因为,1,0bb c c x a a a b c y a-==>-<, 所以1,1x x y,即1x y <<. 而log log 1b b z c b =<=,故y x z >>.解法3：令4,0.25,0.5a b c ===,则0.50.250.25142,log 0.50.54x y z -⎛⎫====== ⎪⎝⎭.【点睛】根据代数式结构构造函数是突破,用函数的性质比较大小是关键,熟练掌握基本函数及其性质是解题的基础.【例5】已知a,b 为正实数,且242log 42log a ba b +=+，试比较a 与2b 的大小.【分析】等式两边的结构类似,可化成同等结构变成不等式,然后通过构造函数并利用函数的单调性比较大小.【解析】解法1：因为()2224222log 42log 2log 2log 2a b b b a b b b +=+=+<+, 令()22log x f x x =+,则()()2f a f b <.又因为()22log x f x x =+是递增函数,故2a b <.解法2：假设2a b ,则()2222242log 2log 241log 4log 42log a b b b b a b b b b ++=++>+=+,这与已知条件242log 42log a b a b +=+矛盾,所以假设不成立.故2a b <.解法3：令1b =,则22log 4a a +=.因为函数()22log x f x x =+是递增函数,且()()12,25f f ==,则12a <<.【点睛】解法1与解法2是解答题的两种常规解法. 解法1通过放缩变成结构相同的代数式,然后构造函数并利用函数性质解决. 解法2是用反证的恩想,当正面难以解答时,考虑从反面解答. 解法3是赋值法,适用于小题.【例6】已知12,24a b a b -+,求证:54210a b -【分析】建立所求不等式与已知不等式的关系，再利用不等式的性质进行运算.【解析】解法1：设()()()()42a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--,则4,2,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得3,1,m n =⎧⎨=⎩即()()423a b a b a b -=-++. 因为12,24a b a b -+,故54210a b -.解法2：令()2f x ax bx =+,则()()1,1,f a b f a b ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩ 所以()()()()11,211,2f f a f f b ⎧+-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩所以()()42311a b f f -=-+.又因为()()112,214f f -,故54210a b -.【点睛】多次使用不等式性质有可能会扩大取值范围,因此要用整体思想求解,即所求式子用条件表示.强化训练1. 已知,a b 为非零实数,试比较22a b b a-与a b -的大小. 【解析】解法1：()()2233a b a b a b a b b a ab ⎛⎫----=--= ⎪⎝⎭()22a b a b ab+- 所以,当0a b >或0a b >时,22a b a b b a--;当0a b >>时,22a b a b b a -<-; 当0b a >或0b a >时,22a b a b b a --;当b >0a >时,22a b a b b a->-. 【解析】解法2：当a b =时,22a b a b b a-=-; 当a b ≠时,()223322a b a b a ab b b a a b ab a b ab --++===--221a b ab++ 当0a b >>或0a b >>时,22a b a b b a->-; 当0a b >>时,22a b a b b a-<-; 当0b a >>或0b a >>时,22a b a b b a-<-; 当0b a >>时,22a b a b b a->-. 2.（多选题)设01,a b c <<<∈R ,则下列不等式成立的是（）A.ac bc >B.33a b <C.11a b <D.()20a b c -【答案】BD【解析】当0c 时选项A 不成立;根据不等式性质,得到33a b <,选项B 成立; 由110b a a b ab --=>得11a b>,选项C 不成立; 因为20,0a b c -<,由不等式性质④得()20a b c -.3.某建筑公司建居民住宅时,要求窗户面积与卧室地面面积的比值达到20%左右,这个比值越大采光条件越好.如果同时减少相等的窗户面积和卧室地面面积,那么采光条件A.变好了B.变差了C.没有发生变化【答案】B【解析】:由0a b >>,且0m >,则b b m a a m+<+,可得采光条件变差了. 4.若,,x y z 是正实数,满足235x y z ==,试比较3,4,6x y z 的大小.【解析】令235x y z k ===,则233log ,4x k y ==354log ,66log k z k =, 所以23lg 33log 33lg3lg27lg21lg 44log 4lg2lg164lg3kk x k y k ====>, 即34x y >.同理可得36,64x z z y >>.故364x z y >>.5.若22sin sin a a b b b a -<-,则（）A.a b >B.a b <C.a b <D.a b >【答案】C【解析】:令()2sin f x x x x =+,则()f x 为偶函数. 又当0x >时,()()sin cos 2cos 1f x x x x x x x x =++=+++'sin 0x , 所以()f x 在[)0,∞+上单调递增.因为222sin sin sin sin a a b b b a a a a b b -<-⇔+<2b +,即()()f a f b <,所以a b <.6.若22ππαβ-<<<,则2αβ-的取值范围为_____. 【答案】3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】:因为22ππαβ-<<<,所以0παβ-<-<,所以()322ππααβ-<+-<, 故2αβ-的取值范围为3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 7.已知ABC 的三边长分别为,,a b c ,且满足3b c a +,则c a的取值范围是_____. 【答案】()0,2【解析】:由已知三角形三边关系得3,,,a b c ab a cc a b<+⎧⎪<+⎨⎪<+⎩所以13,1,1,b ca ab ca ac ba a⎧<+⎪⎪⎪<+⎨⎪⎪<+⎪⎩即13,11,b ca ac ba a⎧<+⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩故ca的取值范围是()0,2.。
实数与代数式初中数学教案
实数与代数式初中数学教案一、教学目标：1.了解实数的概念和性质。
2.学习代数式的基本知识和运算方法。
3.掌握实数和代数式的应用。
二、教学内容：1.实数的概念和性质：（1）实数的含义：实数指的是可以用于度量和数量关系的数。
这些数包括自然数、整数、有理数、无理数等。
（2）实数的性质：①可加性：实数之间可以进行加法运算。
②可乘性：实数之间可以进行乘法运算。
③可对比性：实数之间可以进行大小比较。
④稠密性：在任意两个不同实数之间，都可以找到一个实数。
2.代数式的基本知识和运算方法：（1）代数式的含义：代数式指的是数和字母的组合，例如2x+3y。
（2）代数式的基本构成：数、字母、符号（+、-、×、÷）。
（3）代数式的运算法则：加、减、乘、除、分配律、结合律、交换律、分数的加减、乘除等。
（4）字母的运算：提取公因数、移项、合并同类项、配方法等。
3.实数和代数式的应用：（1）实数的应用：计算、大小比较、平均数、方差、分布等。
（2）代数式的应用：解方程、解不等式、求根、构造模型等。
三、教学方法：1.讲解法：讲解实数的概念和性质，介绍实数的应用场景。
2.演示法：演示代数式的构成、运算法则和应用。
3.实践法：进行计算、推导、解题和建模等实践操作。
四、教学步骤：1.实数的概念和性质。
2.代数式的构成和运算法则。
3.实数和代数式的应用。
4.实践操作和应用实例。
五、教学评估：1.课堂讨论：讨论实数和代数式的概念、性质和运算方法。
2.小组合作：小组合作完成代数式的构造和运算实践任务。
3.个人测试：个人测试实数和代数式的应用和解题操作。
六、教学资源：1.教材：《初中数学》等。
2.多媒体教具：电脑、投影仪、智能白板等。
3.实践工具：纸笔计算器、模型材料等。
七、教学反思：本次教学实践主要围绕实数和代数式的概念、性质、构成、应用和实践进行，主要采用讲解法、演示法和实践法。
通过教学实践，学生了解了实数的含义和性质，掌握了代数式的构成和基本运算方法，同时还进行了实际计算、推导和建模等学习实践操作。
代数式——知识篇
成 一项 叫做合 并同类 项 ． 合并 的法 则
是 把 系 数 相 加 ． 得 的 结 果 作 为 合 并 所
铀 ＋ Ⅱ６ ｎ － ６ ６ ６ ６
因 此 中 间 省 略 号 部 分 的 式 子
为 一 ａｂ ６ １ ４ ３＋ ｎ６ ａ ３ ｂ．
第 一条 ： 当ｋ Ｏ时， 函数 图象 “ ＞ 的 两个 分 支分 别在 第 一 、三象 限 内． 在每 个 象 限 内， 自变 量 ｚ 逐渐增 大时． ｙ的值 则 随 着逐
学好高中数学也
补 充省 略 号 部 分 的 内容 ．
单项式 、 多项式统称 为整式 ， 在整 式 的运算 中要 注意同类 项和合并 同类
项 的处 理 ．把 多项 式 中 的 同 类 项 合 并
阅读 ，在 语 文 中要抓 住精
炼 的或 生 动 形 象 的词 与 句 ， 而 在数 学 中 。则应抓 住关键 的词
—
—
１
读 时 抓 住 关键 词 语 的 重 要 性。
（）、 １ （ ／ａ） （≥０ ； ｎ ）
，
是 代 数 式 运 算 中 的 重 点 知 识 ． 类 整 这
式 的 化 简整理 在 高 中二项 式 定 理 中
一
有 着重要 的应 用 ； 对于 整式的 运算要 掌握 整式 的幂运 算 法则 ， 合并 同类 项 法 则 ． 能根据 乘 法公 式的结 构特 点 并
化 简 整 式．
式 的化简常用 以下两种 方法 ：１利 用 （） 除法法 则 ：２ 利 用分式 的 基本性 质． （）
全平方公式 ．乘法公式的学习是数学恒等变换的重要工具和手段 ， 作为恒等变换的五个方
面， 在理解和熟练掌握初 中的二个公式 的基础上再拓展 三个乘法公式显得十分必要 ， 只有
初中数学实数与代数式概念及运算(第二讲)
6.若a 4 3,b 4 3,求 a b 的值. a ab a b
点评
此题的关键点是能够将a转化为 a
2
,进而可将式子类
似分解因式进行变化、约分,达到简化计算的目的.
实数的运算
7.计算
1.
1
2
1
0
3 1
2 1 2
2.
12005
1
0.5
31
22
cos
600
4
0
3
分式的化简求值
(4)二次根式:式子
叫做二次根式
(5)最简二次根式:如果一个二次根式同时满足:①被开 方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含开 得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次 根式.
(6)同类二次根式:几个二次根式化为最简二次根式后, 如果它们的被开方数相同,则称这几个二次根式是同 类二次根式.
方根;0的平方根是0.
(2)算术平方根:正数a的正平方根,叫做a的算术平
方方根根记,0的作算: a术a平方0根是0;一个非负数a的算术平
(3)立方根:如果一个数的立方等于a那么这个数
是a的立方根.记作3:a .正数有一个正的立方根,
负数有一个负的立方根,0的立方根是0.
根式
1.根式t;4/3.
点评 求字母的取值范围是中考中常考内容之一,方 法是综合考虑各种因素条件,取所有解集的公共部分.
2.下列各式中属于最简二次根式的是 ( ) A
A. x2 1 B. x2 y5 C. 12 D. 0.5
点评 此题主要考查最简二次根式的概念,判断一个二次根 式是不是最简二次根式必须按其定义中的两个条件,进行判 定,本题A选项中虽然有二次项,但就整体而言,没有能开得 尽方的因式,所以是最简二次根式.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实数和代数式课标（及考纲）要求：有理数① 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
② 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值 （绝对值符号内 不含字母）。
③ 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算以三步为主）。
④ 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤能运用有理数的运算解决简单的 问题。
实数① 了解平方根、算术平方根，立方根的意义，会用根号表示数的平方根、算术平方根、 立方根② 了解开方和乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根， 会用立方运 算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根③ 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应， 能求实数的相反数与绝 对值④ 能用有理数估计一个无理数的大致范围⑤ 了解近似数与有效数字的概念，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按 问题的要求对结果去取近似值⑥ 了解二次根式、最简二次根式的概念，其加、减、乘、除运算，会用它们进行实数 的简单四则运算 代数式① 在现实情境中了解一些简单代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
② 能分析具体情景中简单问题的数量关系，并用代数式表示。
③ 会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值 进行计算。
整式与分式① 了解整数指数幕的意义和基本性质，会用科学记数法表示数 ② 了解整式的概念，掌握合并同类型和去括号的法则， 能进行简单的整式乘法运算③ 会推导乘法公式：（a 十b ） （a — b ） = a 2— b 2 ； 的几何背景，并能进行简单计算。
④ •会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次⑤ 了解分式和最简分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单 的分式加、减、乘、除运算。
练习检测：一二选择题用的平方根是（） A ± 4B 2C 4会进行简单的整式加减运算; (a ± b)2 = a 2 ± 2ab 十 b 2，了解公式 ）进行因式分解（指数是正整数）。
1、2、对于实数a、b，给出以下三个判断:B . 23、下列说法正确的是（）A. a 一定是正数B.叟不是分数 C . 242是有理数 D.平方等于自身的数只有1 24、温家宝总理强调， 十二五”期间，将新建保障性住房36 000 000套，用于解决中低收入2 2 2 2a +4a =6a 1壬匕卫（m 2-1）的结果是（1 -m①若a = b ，则②若a c b ，贝U a c b .③若a = —b ，则 （-a ）2=b 2.其中正确的判断的个数是和新参加工作的大学生住房的需求.把 36 000 000用科学记数法表示应是(A) 3.6X 107(B)3.6X 1065、下列各式计算正确的是A(A ) (―1)0七宀—3(C) 36X 1060.36 X108(B )/ 2\36(a )=a2 2A. -m -2m — 1 B . -m + 2m — 1C. m 2-2m -1D.7、当分式X —1 X +2(A ) 01 1 1 &已知丄-丄=丄， a b 2A 1C1的值为0时，x 的值是（（B ） 1则樂的值是 a -b(C )— 1 (D )— 2C.2D.9、设 m> n > 0，m + n 2=4mn2则m mn2—的值等于B.D. 310、如图，从边长为（a + 4） cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 （a +1）cm 的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（A. （2 a 2+5a ）cm 2 B)..(3a+15)cm 2C . (6a + 9)cm 2D . (6a+15)cm 2第9题11、把四张形状大小完全相同的小正方形卡片（如图 0）不重叠的放在一个底面为长方形则图②中两块阴影部分的周长和是（A. 4 mcm B . 4 ncm C— -—一 .19、实数a b 在数轴上的位置如图所示，则 J （a + b ）2+a 的化简结果为（长为mcm ,宽为ncm ）的盒子底部（如图 ②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,.2( m + n)cmD.4( mi- n)cmJi刮：12、某企业今年3月份产值为a 万元, 增加了 15%,则5月份的产值是 A. （ a-10%）（ a+15%）万元C. （ a-10% +15%）万元 4月份比3月份减少了 10%, )a (1-10%)( 1+15%) a (1-10 % +15%)万元 5月份比4月份B. D. 万元 13、若x 2+kx+9是完全平方式，则 k=A. 9B. -9C. ±9 )D. ±314、 若(7x -a)2 A. 18 B 11—iZ15、 已知 J-/-：= 49x 2-bx+9，则|a + b 之值为何(D . 45.24 C . 39 ；匠，则0的取值范围是（ aB . （k <0 16、若分式2x -2x +m不论x 取何实数总有意义,m 的取值范围是 （ ） A m> 1、mi> 1mK 1、mK 117、估计 蠢近 的运算结果应在（ A. 6到7之间 B. 7到8之间C. 8到9之间 二、填空题D. 9到10之间18、(x + 1) 2-(x + 2)(X — 2)=，其中弱K XV 打0，且X 是整数。
20、已知分式——，当x= 2时，分式无意义，则a=2x -5x +a，当a<6时，使分式无21、22、23、意义的x的值共有个.若m为正实数，且m-丄=3，则m2-丄mx —1 x —2 2x —x(——二^)宁x x + 1 ' X2+ 2x + 1,其中x满足X2—X—1 =0.分解因式: 2 23m(2x —y) -3mn=24、、分解因式: 25、分解因式: X2—6X—7=26、am+a n+bm+b n=解答题:27、V s -(兀-2 )0+ 2COS450+ 4, (-2)工29、化简(X28、+ sin30。
-1 +(-丄)。
+占X 2 X I — X — 2 W 3)斗¥^，然后从不等组《3的解集中，选取一个你认为符" 2^12/ 2X-5 5-X X -25合题意的X的值代入求值.30、对于任何正整数n，3(n+2)2-3n2是不是12的倍数？说说你的理由。
31、(59-57)能被24整除吗?32、先化简，再求值:a中1丿aa----- ，其中a =sin60°.已知三个数X，y，z满足xy =-2，X十yyz 4y +z 3zxz+x一彳.则的值为xy+ yz +zx练习二:红黄绿蓝紫红黄绿（第 20 题）二、填空3、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律,0 4 2 32 64 324 E e 4410■4、观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第★、 ★ ★★★ ★ ★ ★ ★ ★ 第1个ffl 形第2个图形第3个图形将1、72、也、U 6按下列方式排列.若规定 则(5, 4)与( 15, 7) 表示的两数之积是 1 第1排 72 V3 第2排 76 1 ?2第3排 J 3 恵 1 32 第4排 庙 76 1 72 73第5排5、 数, m , n ）表示第m 排从左向右第n 个1、观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数1112 1016 )14（A ）第502个正方形的左下角（C ）第503个正方形的左上角 （B ） （D ） 2、一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列, 示，则被截去部分纸环的个数可能是（第502个正方形的右下角第503个正方形的右下角截去其中的一部分，剩下部分如图所2012 (D ) 2013m 的值是个图形共有120个。
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 第4个图形4 第I 个 正方形杲第2个正方形-------9 第3个 正方形2011应标在（15_ 13第斗个正方形黄绿蓝紫6观察图形:第3个图形7、它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9个图形中共有 根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字.&先找规律，再填数: 丄 1 +1 _ ___ ____ ___ _ _12'56 3 一30,7 ' 8 4 一56,9、定义新运算：对任意实数a 、b ,都有a®b=a 2-b,例如，3®2=32-2=7，那么 2® 1 = b=a （ 1-b ）,下面给出了关于这种运算的几个结论:11、对实数a 、b ,定义运算★如下：b=!a[a>b,aHO ）[a （a 兰 b, aH0）Q 1例如 2^ 3=23=—.计算[2 ★(- 4) ] X [ (-4) ★( - 2)]8**★* *★ ★* *★**★ ★* ★ ★ *★*★第2个图形第4个图形个3 9 [ 305 25 I1111—:= — I则丄+丄2011 2012— 2011X201210、定义运算a① 2 (-2)=6②a b= b a③若a+b=0, 则(a a ) + (b b ) =2 ab ④若a b=0,则a =0其中正确结论的序号是 .（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）。