第一二期实数代数式

第一期实数考试要求l．理解实数的意义,掌握实数的分类,明确实数集中各类数集的包含关系,会判定一个数的类别;2.理解并掌握相反数、倒数和绝对值的概念，掌握去掉绝对值符号的方法（会进行分类讨论）；3．知道实数集的一些性质，特别是数轴上的点和实数的一一对应关系，能利用数轴表示某个实数集的范围，会利用数轴比较两个实数的大小；4．知道在实数集中，原有的运算律和运算性质都能继续运用，能根据数的运算法则准确、熟练地进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；5．了解近似数与有效数字的概念；会根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求实数的近似值；会用科学记数法表示数.要点解析一、本章知识网络二、数集的扩充在初中，我们对数的认识有两次飞跃，一是引进负数，把数集扩充到有理数集；二是引进无理数，又将有理数集扩充到实数集，对于数集的不断扩充，我们应该注意到以下几点：1．数的概念是逐步发展的，其发展过程大体上可按如下顺序，即2．数的概念产生于实际的需要，数集的每一次扩充既是表示量的需要（例如，为了表示具有相反意义的量引入负数，无理数的引进，最终解决了连续量的度量问题），又是为了解决数学本身矛盾的需要（例如，为了解决在自然数集合里，除法的运算不能总是可以实施的矛盾，引入了正分数，而负数的引入，又解决了正有理数集会里减法的运算不能总可实施的矛盾）.因此，数集的每一次扩充，都是希望扩充后的新数集能解决原有旧数集所不能解决的某些矛盾.3．数集的每一次扩充总要增添新的元素，并且新、旧元素合在一起作为新数集的元素.4．在新数集中重新定义的数与数之间的关系和运算法则，与原有的关系、运算法则不矛盾，并且原有的一些主要性质（例如运算定律、顺序律等）仍能适用.三、实数的有关概念1．实数的分类一般有以下两种：以下各概念请注意：（1）形如（m、n是整数，）的数叫做有理数．由于任何一个分数都能化成有限小数或无限循环小数，而任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，因此，有限小数和无限循环小数都是有理数．（2）无限不循环小数叫做无理数．（3）对于整数，若按它们被2除所得的余数来分类，整数可分为奇数和偶数．（4）对于自然数，若按它们各自的约数的个数来分类，自然数可分为质数、合数及1．注意，1既不是质数，也不是合数，在质数中只有2是偶数．2．实数的绝对值任何一个非零实数都是由符号及其绝对值两部分组成．实数a的绝对值的意义是的几何意义是在数轴上表示数a的点到原点O的距离．3．实数的绝对值有以下性质：（1）；（2）；（3），特别地，；（4）；（5）.4．实数集的性质（1）实数与数轴上的点一一对应我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但是对于数轴上的任意一个点未必表示有理数，当有理数集扩充到实数集之后，全体实数和数轴上的所有点之间构成一一对应关系．（2）四则运算的封闭性当在实数集重新定义了加、减、乘、除（除数不为零）四则运算法则后，四则运算在实数集总可以实施，并且满足加法、乘法基本运算律．（3）实数大小的比较①在数轴上表示两个实数的点，靠右边的点所表示的数较大．②正数都大于零；负数都小于零；两个正数，绝对值大的那个正数大；两个负数，绝对值大的那个负数反而小．③；；.5．非负数（1）非负数正实数和零统称非负数，例如：任何一个实数a的绝对值是非负数．任何一个实数a的平方是非负数．任何一个非负实数的n次算术根，也是非负数．（2）非负数的性质①若a为非负数，则a≥0．②几个非负数的和与积仍为非负数．③若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零．反之亦真．四、科学记数法、近似数及有效数字1．科学记数法：把一个数记成的形式（其中n是整数，1≤a＜10），叫做用科学记数法表示这个数．2．近似数及有效数字：近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．典型例题例1写出一个到之间的无理数： .例2的倒数是；的相反数是 .说明注意a与b互为倒数等价于；a与b互为相反数等价于.例3若2a与1－a互为相反数，则a等于（） A．1 B．－1 C． D．说明对于一个具体的数求它的相反数或倒数比较容易，读者还应会求一个用字母表示的数的相反数或倒数等.例如：若2a与1－a互为负倒数，求a的值，即求方程的解..经验证，为所求.例4设a是任意实数，下列判断一定正确的是（）A． B． C． D．说明比较两个数的大小是初中代数的一个难点，又是学生学习高中代数必须掌握的基础知识，读者可对此题作进一步的研究.（1）使成立的条件是. （2）使成立的条件也是.（3）使成立的条件是. （4）使成立的条件是或.（5）使成立的条件是或.例5判断题（判断下列说法是否正确，正确的在题后括号内画“√”，不正确的画“×”.）（1）0既不是正数，也不是负数，但是整数.（）（2）有理数的平方一定是正数.（）（3）绝对值相等的两个数一定相等.（）（4）三个不同的有理数之积等于零，其中必有一个因数是零.（）（5）近似数万精确到千位.（）（6）圆周率π是有理数.（）（7）.（）（8）当锐角时，的值都大于.（）例6实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（）A． B． C． D．说明：含绝对值的代数式的化简，首先应弄清绝对值符号内的数或式的值是正、是负还是零，然后再根据绝对值的定义把绝对值的符号去掉．本题是一道数形结合的题目，解题的关键在于首先通过认真细致地观察图，弄清数轴上的各点所表示的数的正负性及各实数之间的大小关系，然后正确地丢掉绝对值符号，从而达到化简的目的．例7如果—2,1－,三个数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么的取值范围是（）.(A) >0 (B) <0 (C) > (D) 为任意实数例8不求根式的值，比较下列各组数的大小：（1）与（2）与例9若，则的值是 .分析本题若先考虑、、的数性，再求值，考虑不一定全面，注意到本题特点，我们知道，时，时，所以，所以、、、这四个数非1即－1，只要明确四个数中1有几个，－1有几个，值就可求出我们采用从整体上考虑的办法，先估计这四个数中负数的个数.因为，所以这四个数中，负因数（即一1）有偶数个，可能是0、2、4个，从而可能值是4、0、－4．例10已知、、满足，求的值.说明：，，均为非负数，若几个非负数之和为零，则每个非负数均为零.例11 计算：（1）；（2）说明：（1）有理数的混合运算中，应先确定运算的符号及顺序，再进行运算，有分数及小数的一般将小数化为分数较为简便；（2）熟练掌握有理数的运算需做到以下三点：①熟悉运算律（包括正向与逆向）；②灵活运用各种运算法则；③掌握一定的运算技巧；（3）注意零指数、负整数指数的意义；遇到绝对值要先去掉绝对值符号再计算.例12观察下列各式及其验证过程：. 验证：.. 验证：.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明.分析这是考查观察、分析、类比、归纳能力的试题.根据我们学过的根式知识，本例给出的变形显然不适用于任意根式，因而它属于对一类特殊根式的特殊变形规律，那么这类根式的特殊性在哪里是如何变形的又是怎样验证这种变形的正确性的显然，若能找到这几个问题的答案，则问题易解.因此首先应仔细观察分析所给例示的特点：①观察与易知，根式的系数与被开方数的分子相同；分母的特点不易看出，但若顾及验证过程，则可发现它们分别是系数平方与1的差.②观察变形规律，易见它们分别是将根式的系数移作被开方数的加数.③观察验证过程特点易见，第一步，按我们学过的方法将系数移入根号内；第二步，在新分子内创造出逆用分数加法法则的条件，将被开方数化为需要的和的形式—在新分子上减去并加上原分子（即加0）.应当注意，利用、进行变形，是常用的变形技巧.例13据测算，我国每天土地沙漠化造成的经济损失平均为0元，若一年按365天计算，用科学记数法表示我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为（）元.（A）. (B). (C). (D).能力训练A组一、判断正误1．的立方根是和－；（） 2．7的平方根是±49；（）3．是3的算术平方根；（） 4．是的立方根；（）5．无限小数是无理数；（） 6．任何实数既有平方根，也有立方根；（）7．无理数的和、差、积、商仍是无理数；（） 8．无论m取任何实数，根式都有意义；（）9．数轴上的所有点都对应着有理数；（）10．设a是实数，则①；（）②；（）③；（）④；（）⑤；（）二、填空题11．和数轴上的点一一对应的数集是 . 12．小于而大于的自然数是 .13．小于而大于的整数是 . 14．平方根的绝对值与自身相等的数是 .15．的相反数是，倒数是，绝对值是，负倒数是，平方是，平方根是，算术平方根是 .16．若，化简. 17．18．若与互为相反数，则19．（1）如果一个正数的平方根是a，那么它的另一个平方根是.（2）1的平方根是，－2的平方根是 .20．（1）若，则x . （2）如果的平方根是±3，那么三、选择题21．下列命题中错误的命题是（）A．的平方根是 B．－是的平方根C．的负平方根是－ D．是的正的平方奶22．已知下列各数：，，，，π，，其中无理数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．323．和数轴上的点一一对应的数是（）A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数24．下列实数中π，，，－…，，有理数的个数有（）A．2个 B．3个 C．1个 D．4个25．“25的平方根是±5”的表达式是（）A． B． C． D．26．下列说法正确的是（）A．9的算术平方根是±3 B．4是16的算术平方根C．是的算术平方根 D．的算术平方根是－527．若，则（）A． B． C． D．28．的平方根是（）A．16 B．±16 C．4 D．±429．在实数范围内，下列判断正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则30．用四舍五入法，（保留两个有效数字）应为（）A． B． C． D．31．现有四个无理数：、、、，其中在实数与之间的有（）A． B．和 C．和 D．和32．计算的值为（）A．21 B．30 C．39 D.33．生物学家指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10％的能量能够流动到下一个营养级.在这条生物链中（表示第个营养级，1，2，…，6），要使获得10千焦的能量，那么需要提供的能量约为（）.（A）千焦 . (B) 千焦 . (C) 千焦. (D) 千焦.B组1．已知a、b为实数，且，求的值.2．已知，求代数式的值.3．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 4．下列命题是否为真命题为什么（1）若，则；（2）若a为任意实数，则；（3）如果，则. 5．回答下列问题：（1）若3m－5与－2m＋1互为相反数，求m的值；（2）若3m－5与－2m＋1互为倒数，求m的值；（3）是否存在使的m的值为什么6．若，求的值.7．计算：（1）；（2）.8．若，求.9．计算：（1）；（2）.10．到火星旅行，来回的行程需要三个地球年（包括在火星上停留449个地球天），已知火星和地球之间的距离为千米，那么，这个旅行的平均速度是每小时多少千米（说明：地球年、地球天是指在地球上的一年或一天）11．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为| AB|.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点, 如图1, | AB|=| OB|=| b|=|a-b|;当A、B两点都不在原点时：①如图2，点A、B都在原点的右边，| AB|=| OB|—| OA|=| b|—| a|=b—a=| a—b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，| AB|=| OB|—| OA|=| b|—| a|=—b—（—a）=| a—b|；③如图4，点A、B都在原点的左边，| AB|=| OB|+| OA|=| b|+| a|= a+（—b）=| a—b|.综上，可知数轴上A、B两点之间的距离| AB|=| a—b|.（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是；②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是，如果| AB|=2，那么为；③当代数式|+1|+|—2|取最小值时，相应的的取值范围是 .第二期代数式考试要求1．了解代数式、代数式的值的概念，会按要求列代数式和求代数式的值.注意在求较复杂的代数式的值时，能化简的要先化简.2．掌握整数指数幂的运算法则，能熟练地进行整式的四则运算，会灵活运用乘法公式简化运算.3．在复习因式分解的意义和步骤时要注意因式分解与整式乘法的区别和联系，避免出现这样的错误，进行因式分解要做到：熟练掌握提取公因式法（字母的指数是正整数）、运用公式法（直接使用公式不超过两次）、掌握分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，勿需拆项或添项），会用这些方法分解因式；会用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式.4．掌握使分式有意义的条件和分式的基本性质，会熟练地进行简单分式的约分和通分；掌握分式的加、减、乘、除和乘方的运算法则，会进行简单的分式的运算．5．理解二次根式的两个非负性（），掌握二次根式的性质，能熟练地化简二次根式（如无特别说明，根号内的字母都表示正数，并且不需要加以讨论）；掌握二次根式的加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行运算；会将分母中不超过两个二次根式的式于进行分母有理化.6．“配方法”是中学阶段常常涉及到的数学方法，在应用乘法公式进行计算和运用公式分解因式时要注意配方法的应用，其中特别要记忆经常使用的关于配方的恒等变形公式，如要点解析整式一、代数式的有关概念及分类1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式. 单独一个数或者一个字母也是代数式. 2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫做代数式的值.3．代数式的分类：二、整式的有关概念及运算1．概念（1）单项式：像、7、这种数字与字母的积叫做单项式；单独一个数或字母也是单项式.①单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.②单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式①多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项．一个多项式含有几项，就叫几项式.②多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数不含字母的项叫常数项.③升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列.（3）整式：单项式和多项式统称整式．（4）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.2．整式的运算（1）整式的加减：①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变.②去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都变号.③添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号.④整式的加减实际上就是合并同类项在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项（2）整式的乘除：①幂的运算法则：其中、都是正整数.．同底数的幂相乘： 2．幂的乘方：．积的乘方：．同底数的幂相除：（，）．零次幂：（）．负整指数幂：（）②单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.③单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.④多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（加“*”的未做必须记忆要求）⑤乘法公式：．平方差公式：．完全平方公式：⑥单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑦多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加⑧多项式除以多项式（竖式除法）：被除式=除式×商式十余式3．运算结果：整式加、减、乘的结果仍是整式；整式相除的结果可能是整式，也可能是分式.典型例题例1下列各题中，错误的是（）A．代数式的意义是、的平方和 . B．代数式的意义是5与的积 .C．的5倍与的和的一半，用代数式表示是. D．的与的的差，用代数式表示是.例2有下面4个等式：（1）；（2）；（3）；（4）. 其中正确的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3下列等式中，一定成立的是（）（A）; (B); (C); (D) .例4（1）若与是同类项，则， .（2）若单项式与是同类项，则 .说明：同类项的概念可写成：从定义可知，从左到右，可看出“两相同”作为判断单项式是否为同类项的条件；从右到左，可看出同类项具有“两相同”的性质，这是解答本题的思维方法．这说明所有定义既具有判定又具有性质的特性．例5已知当时，代数式的值为6，那么当时，代数式的值是 .说明:本题利用了当时，的值线为相反数这一关系，然后再往所求的代数式的结构凑.这是解这类问题常用的方法.例6 计算例7计算说明在计算中，要注意根据运算律和运算法则，寻求合理的运算途径（如先去括号还是先合并同类项）和简便的算法（如公式的应用），还要小心去或添括号时符号的变化.例8计算：例9 化简并求值：已知：，求的值.说明:本考题把对代数式的运算能力的考查通过分式的运算来进行，这是因为分式的运算包括了整式运算和因式分解，再把计算、化简和求值结合起来，进一步增加了考查的综合性．通过对这类题目的复习有助于提高学生综合运算的能力例10阅读下面材料：在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时，我们发现，从第一个数开始，后面的每一个数与它的前面一个数的差都是一个相等的常数.具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用下面的公式来计算它们的和.（其中表示数的个数，表示第一个数，表示最后一个数）.那么2+5+8+11+14+17+20+23+26+29=.用上面的知识解答下面的问题.某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包，有符合条件的两企业A、B分别拟订上缴利润方案如下：A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴万元,以后每半年比前半年增加万元.（1）如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包，总公司获利多（2）如果承包年，请用含的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额（单位：万元.）（2002年湖北省咸宁市中考题）评析本题取材于高中代数中的“等差数列”求和公式的内容.通过自学，让学生从中了解规律.本题中的常数即公差3（如5-2=8-5=…），然后熟悉等差数列的求和公式，最后要求学生解决与市场经济有关的实际应用问题.整个阅读过程层次清楚、简明扼要，因而这道渗透试题有利于考察学生的阅读理解能力和数学方法运用的能力.例11（1）据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的.问：全国人均水资源占有量是多少立方米世界人均水资源占有量是多少立方米（2）北京市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有个水龙头、个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水；一个漏水马桶，一个月漏掉b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少是多少立方米（用含a、b的代数式表示）（3）水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费.假设不超标部分每立方米水费元，超标部分每立方米水费元.某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为多少立方米.说明: 能运用所学知识（例如本题列代数式表示量），解决简单实际问题，是考查数学能力的一个重点.能力训练A组一、选择题1．下列式子中，正确的是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．是根式也是整式 B．实数a的相反数是－a是负数 C．实数a的倒数是 D．带根号的数是无理数3．下列各式中去括号正确的是（）A．B．C． D．4．下列运算中，结果正确的是（）①②③④A．①② B．②④ C．②③ D．②③④5．已知下列运算：①；②；③；④，其中错误的运算个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．下列用科学记数法表示的各数中，正确的是（）A． B． C． D．7．将二次三项式进行配方，正确的结果是（）A． B． C． D．8．下列各题中，所列代数式错误的是（）A．表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是； B．表示“a与b的平方差的倒数“的代数式是；C．表示“被5除商是a，余数是2”的代数式是5a＋2； D．表示“数a的一半与数b的3倍的差”的代数式是. 9．下列各式中与相等的是（）A．x B．－x C． D．－10．若实数x满足，则的值为（）A．3 B．2 D．3或－2 D．－3或211．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（）A． B． C． D．12．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简结果为（）A． B． C． D．二、填空题13．多项式的次数是 .14．多项式的二次项系数是 .15．若，则a与b互为，若则x与y互为 . 16．化简，.17．计算：18．化简：19．已知，则实数的相反数为 .20．化简：21．计算：22．计算：23．计算：.24．如果某商品降价x%后的售价为a元，那么该商品的原价为元（用代数式表示）. 25．每支钢笔原价a元，降低20%后的价格是元.三、解答题26．先化简，再求值：，其中.27．先化简，再求值：，其中.28．先化简，再求值：，其中.B组1．先化简，再计算：，其中.2．先化简，再求值：，其中.3．给出下列算式：1＋3＝4，①1＋3＋5＝9，②1＋3＋5＋7＝16，③1＋3＋5＋7＋9＝25. ④……⑤观察上面一系列等式，你能发现什么规律用代数式来表述这个规律.因式分解l．概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆运算它要求把每一个因式都分解到不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解．怎样是不能再分解呢这要看题目的要求．若没有明确指出在什么范围内分解，一般是指在有理数范围内分解，如就符合要求．若指出是在实数范围内，则应分解为。